人教版小学数学三年级下册《数学广角-搭配（二）》单元教学设计

人教版小学数学三年级下册《数学广角——搭配（二）》单元教学设计

单元整体概览与课标分析

一、单元地位与核心价值

“搭配问题”隶属于人教版小学数学“数学广角”系列内容，是渗透现代数学思想方法的重要载体。在三年级下册第八单元中，本主题以“搭配（二）”呈现，是在学生二年级上册已接触过最简单的事物排列与组合（如用1、2组成两位数）基础上的一次显著深化与拓展。其核心价值在于引导学生从生活现象中抽象出数学模型，初步形成“分类讨论”、“有序思考”的数学思维，并为未来系统学习排列、组合、概率统计以及计算机科学的算法思想奠定至关重要的认知基础。

本单元的学习，直接关联《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“综合与实践”领域的要求，旨在通过现实问题，让学生经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动，理解运用基本的组合数学思想方法，培养模型观念、应用意识和创新意识。它与数与代数（乘法原理）、统计与概率（等可能事件计数）领域紧密交织，是体现数学内部联系及跨学科应用（如编码、决策、路径规划）的典型课例。

二、单元内容结构解析

本单元通常包含2-3个核心例题及相应练习，其知识逻辑脉络呈现清晰的递进性：

1.基础的排列问题：涉及数字、人物等不同元素的排列，数字通常不重复（如用0、1、3、5组成没有重复数字的两位数）。重点在于引导学生掌握“固定法”或“交换法”进行有序枚举。

2.简单的组合问题：区分“排列”与“组合”。核心情境如“几个人相互握手”、“几支球队进行单循环赛”，其特点是顺序无关。这是学生思维上的一个飞跃点。

3.两类原理的综合与深化：如图形（路线）的搭配、服装搭配等稍复杂情境，可能涉及乘法原理的直观应用，即分步进行搭配。

作为一份顶尖的教学设计，我们不应孤立地看待这几个例题，而应将其整合为一个完整的、探究驱动的学习单元，引导学生在解决逐层递进的问题串中，自主构建知识体系，领悟思想方法。

二、学情深度剖析与学习起点确定

三年级下学期的学生，其思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。

1.已有认知基础：

1.2.具备利用两张数字卡片组成两位数的初步经验，知道“调换位置”会得到不同结果。

2.3.拥有一定的生活经验，如选择衣服搭配、选择出行路线等，但多为无意识的、零散的经验。

3.4.掌握了两位数乘一位数的计算，为理解分步计数的乘法原理提供了运算支撑。

5.潜在学习障碍与迷思概念：

1.6.枚举的“无序性”与“不完整性”：学生在尝试列举所有可能时，极易出现重复或遗漏，根源在于思考的随机性，未建立“有序”的思维框架。

2.7.“排列”与“组合”的本质混淆：这是本单元最大的认知难点。学生难以区分“组数”（与顺序有关）和“握手”（与顺序无关）两类问题的本质差异，常常用同一种方法（如画线）解决，但无法解释为何有时需要将连线“排序”，有时则不必。

3.8.对“0”不能作最高位的理解困惑：在数字排列问题中，“0”的特殊性需要结合数位的实际意义来理解，这对部分学生构成挑战。

9.学习心理与兴趣点：该年龄段学生好奇心强，乐于参与操作、游戏和解决具有挑战性的现实问题。因此，创设真实、有趣、富有挑战性的任务情境（如“设计密码”、“策划活动”、“规划路线”），能有效激发其探究内驱力。

基于以上分析，本单元的教学设计必须聚焦于引导学生的思维从“无序”走向“有序”，从“经验”走向“模型”，并通过对比辨析，初步感知“顺序”在两类问题中的决定性作用。

三、单元学习目标（素养导向）

依据课标与学情，制定如下三维整合的学习目标：

（一）知识与技能

1.能借助观察、操作、实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。

2.能运用连线、列表、枚举等直观方法表示搭配的过程与结果，并逐步学会用简洁的算式进行计算。

3.能区分简单问题的排列与组合，知道解决问题时要有序思考。

（二）数学思考与问题解决

1.经历从具体情境中抽象出数学问题、建立模型、寻求策略、解决问题的全过程，发展模型观念。

2.在探索排列组合规律的过程中，培养全面、有序、简洁地思考问题的能力，形成初步的几何直观和逻辑推理能力。

3.学会与他人合作交流，初步学会表达解决问题的大致过程和结果。

（三）情感态度与价值观

1.在解决现实问题的过程中，体会数学与日常生活的密切联系，增强应用意识。

2.感受数学思考的条理性与严谨性，体验探索的乐趣和成功的喜悦，增强学习数学的信心。

3.初步养成乐于思考、勇于质疑、言必有据的良好品质。

四、单元教学结构图（思维导图式）

《数学广角——搭配（二）》单元核心脉络

核心思想：有序思考，分类讨论，模型建立

|---情境导入：破解密码，唤醒经验(排列的初步感知)

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第一层级：排列问题---探究活动：数字卡片操作，探寻不重不漏的方法(固定十位法/交换法)

(顺序有关)|

|---模型初建：用符号、连线、列表表征过程，初步体验“分步”

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|---对比辨析：引入“0”，深化对“数位意义”和“有序思考”的理解

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|---情境迁移：服装搭配，从“数字”到“实物”

第二层级：乘法原理---策略升华：从“一一列举”到“算理探究”(上衣件数×下装件数)

(分步计数)|

|---应用拓展：丰富情境（早餐搭配、路线选择），巩固乘法原理模型

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|---认知冲突：握手vs排队，比赛场次vs排名次

第三层级：组合问题---本质探究：动手实践（模拟握手），讨论“顺序是否影响结果”

(顺序无关)|

|---方法建构：连线后“去序化”，列表“对角线”忽略，归纳组合问题特点

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|---综合应用：设计校园活动方案（包含多个搭配环节）

单元整合实践---项目学习：小组合作，解决真实、复杂的综合性问题

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|---评价反思：梳理方法体系，提炼核心思想，评估学习成效

五、分课时教学设计（重点实施环节）

第一课时：有序的开启——数字的排列艺术

教学目标：

1.通过解决用数字卡片组数的问题，经历探索简单事物排列规律的过程。

2.掌握用固定法、交换法等有序、全面地找出所有排列数的方法，初步形成有序思考的意识。

3.能运用连线、列表等方法表征思维过程，并尝试用算式表达。

4.在具体情境中理解“0”不能作最高位的规定。

教学重难点：

1.重点：掌握有序、全面思考问题的方法。

2.难点：理解并应用固定高位法进行系统枚举。

教学准备：数字卡片（0、1、3、5）学具、学习单、多媒体课件。

教学过程：

（一）情境激疑，提出问题

1.创设情境：出示一个带密码锁的文具盒。“老师的文具盒密码是一个两位数，由0、1、3、5这四个数字中的两个组成。猜一猜，密码可能是多少？”

2.提出问题：

1.3.“密码可能有多少种情况？”

2.4.“怎样才能把所有可能的密码一个不漏、一个不重地找出来？”

【设计意图】以学生感兴趣的“密码”情境引入，迅速激发探究欲。问题直接指向本课核心——如何“不重不漏”（有序全面）。

（二）合作探究，构建策略

1.初步尝试，暴露思维原态：

1.2.学生独立思考，在学习单上写下所有可能的两位数。

2.3.教师巡视，有意识地收集几种典型作品：无序凌乱的、有遗漏的、有重复的、开始有顺序痕迹的。

3.4.投影展示典型作品，引导学生观察评价：“他找全了吗？有没有重复或遗漏？你觉得他的方法怎么样？”

4.5.聚焦矛盾：大家的结果数量不一致，说明在“找”的过程中出现了问题。我们需要一种更可靠的方法。

6.操作感悟，探寻有序路径：

1.7.活动一：摆一摆。同桌合作，用数字卡片摆出所有可能的两位数，并记录下来。要求：想想怎样摆才能既不重复也不遗漏？

2.8.学生操作，教师指导。鼓励学生边摆边说思路。

3.9.汇报交流，提炼方法。

1.4.10.请一组学生上台演示并讲解。

2.5.11.可能生成方法一：固定十位法。

1.3.6.12.学生演示：先固定十位是1，个位可以是0、3、5，得到10,13,15；再固定十位是3，个位可以是0、1,5，得到30,31,35；最后固定十位是5…

2.4.7.13.教师引导：“他的方法有什么特点？”（先确定一个位置上的数，再换其他数）板书：固定十位。

5.8.14.可能生成方法二：交换位置法。

1.6.9.15.学生演示：先用1和0摆出10，交换位置是01（不是两位数，排除）；再用1和3摆出13和31…

2.7.10.16.教师引导：“这种方法又是怎么想的？”（先选两个数，再交换位置）板书：交换位置。

8.11.17.比较两种方法，你喜欢哪一种？为什么？（引导学生体会固定法的系统性和条理性）

18.符号抽象，促进思维内化：

1.19.活动二：连一连，画一画。不用卡片，你能用画图的方式表示出刚才的思考过程吗？

2.20.学生尝试用连线图、列表格或文字提纲的方式表征。

3.21.展示优秀作品，建立直观模型。

1.4.22.连线图：将十位数字与个位数字分别列出，有序连线。

2.5.23.列表格：画出表格，在表头标明十位和个位，有序填写。

6.24.引导学生观察这些方法背后的共同思想：有序思考。

（三）变式深化，触及本质

1.关键讨论：“如果用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？”对比之前的问题，强调“没有重复数字”。

2.聚焦“0”：在排列过程中，“0”有什么特殊之处？为什么不能放在十位？（结合数的意义理解：十位上的0没有意义，01就是1，不是两位数）。

3.算式萌芽：引导学生观察，用固定法时，十位有几种选择？（1、3、5共3种）确定十位后，个位有几种选择？（剩下的3个数字中选一个，共3种）。那总共的可能数可以怎么算？引发猜想：3×3=9（种）。初步渗透分步计数的思想。

（四）巩固应用，形成技能

1.基础练习：用2、4、7、9能组成多少个没有重复数字的两位数？要求学生用自己喜欢的有序方法解决，并尝试说理。

2.生活应用：3名同学（甲、乙、丙）排成一排照相，有多少种不同的排法？引导学生将“人”抽象为“符号”，迁移数字排列的方法。

3.挑战延伸：如果密码锁是三位数呢？（由0、1、3、5中三个数字组成）你还能有序地思考吗？留作课后探究。

（五）反思总结，升华认知

1.今天这节课我们解决了什么问题？核心的“金钥匙”是什么？（有序思考）

2.我们学到了哪些有序思考的具体方法？（固定法、交换法）

3.如何保证思考的结果不重复不遗漏？（按照一定的顺序，系统地进行）

板书设计：

数字的排列艺术

核心：有序思考→不重复、不遗漏

方法：

1.固定十位法：确定十位→搭配个位

十位：1→个位：0,3,5→10,13,15

十位：3→个位：0,1,5→30,31,35

十位：5→个位：0,1,3→50,51,53

2.交换位置法：选两个数→交换位置

关键：0不能作最高位

模型：连线图、表格

思想萌芽：3×3=9(种)？

第二课时：分步的智慧——生活中的搭配

教学目标：

1.通过解决服装搭配等实际问题，经历从具体操作到抽象计算的过渡，理解并初步应用乘法原理。

2.能用连线、图示、算式等多种方式解决简单的搭配问题，并能描述思考过程。

3.感受数学在生活中的广泛应用，体会分步解决问题的策略优势。

教学重难点：

1.重点：理解搭配问题的分步特征，掌握用乘法计算的原理。

2.难点：从直观枚举到抽象算理的跨越，理解每一步选择之间的“独立性”与“连续性”。

教学过程（核心环节）：

（一）从排列到搭配，情境迁移

1.回顾上节课的“有序思考”。

2.创设新情境：“小丽明天要参加演讲比赛，她准备了2件上衣（一件T恤、一件衬衫）和3件下装（一条裙子、一条长裤、一条短裤）。一件上衣配一件下装，她有多少种不同的穿法？”

3.引导学生明确问题：“一种穿法”指什么？（一件上衣和一件下装的一种配对）

（二）多元表征，探索规律

1.直观操作，枚举验证：

1.2.学生利用学具图片或在学习单上画图，找出所有穿法。

2.3.展示不同方法：文字罗列、画图连线（一件上衣连三条下装）、符号表示（用A1A2代表上衣，B1B2B3代表下装）。

3.4.共同确认有6种穿法。

5.引发冲突，追求简洁：

1.6.教师：“如果小丽有5件上衣，8件下装，你还想用连线或画图的方法吗？”（太麻烦）

2.7.“能不能从刚才简单的2件上衣、3件下装中，发现什么计算规律？”

3.8.引导学生观察：每件上衣都可以和3件下装搭配，所以2件上衣就有2个3种，即2×3=6种。

9.建立模型，理解原理：

1.10.动态课件演示：先选定一件上衣，此时有3种下装选择，形成3种搭配；再选定另一件上衣，同样有3种下装选择，又形成3种搭配。这是分两步完成的：第一步选上衣（2种可能），第二步选下装（3种可能）。

2.11.归纳：解决这类问题，可以分为相互独立的几步，每一步有若干选择，那么总共的可能数就是这几步选择数的乘积。这就是乘法原理的雏形。

3.12.板书核心模型：搭配总数=上衣件数×下装件数

（三）变式应用，巩固模型

1.路线选择问题：从学校到少年宫有2条路，从少年宫到动物园有4条路，从学校经过少年宫到动物园，有几种不同的走法？引导学生识别“步骤”：第一步选学校到少年宫的路（2种），第二步选少年宫到动物园的路（4种）。

2.早餐搭配问题：饮料有豆浆、牛奶2种，点心有包子、油条、面包3种，一种饮料配一种点心，有几种搭配？尝试直接列式计算2×3=6。

3.逆向思考：如果有12种不同的搭配方法，已知上衣有3件，那么下装可能有几件？(12÷3=4)

（四）对比联系，形成结构

引导学生将本课的“服装搭配”与上节课的“数字排列”进行对比：

1.相同点：都需要有序、全面地思考。

2.不同点：“数字排列”中，数字的位置（十位、个位）有特殊意义，且数字不能重复使用；“服装搭配”中，上衣和下装属于不同类物品，搭配时互不影响，可以看作分步选择。

板书设计：

生活中的搭配——分步的智慧

问题：2件上衣，3件下装，有几种穿法？

方法：

1.操作连线：T恤—裙子、长裤、短裤

衬衫—裙子、长裤、短裤

2.发现规律：每件上衣都有3种搭配→2个3种

3.建立模型：搭配总数=上衣件数×下装件数

2×3=6(种)

本质：分步完成→每一步的选择数相乘（乘法原理）

应用：路线问题、早餐问题...

第三课时：顺序的奥秘——握手与比赛

教学目标：

1.通过解决“握手”、“比赛”等实际问题，认识简单的组合问题，并体会其与排列问题的区别。

2.在对比、操作中理解“顺序是否影响结果”是区分排列与组合的关键。

3.能用连线、算式等方法解决组合问题，并能有条理地进行叙述。

教学重难点：

1.重点：理解组合问题的特征（顺序无关）。

2.难点：自主辨别问题属于排列还是组合，并选择合适策略。

教学过程（核心环节）：

（一）创设对比情境，引发认知冲突

1.情境A（排列）：甲、乙、丙3人排成一排照相，有多少种不同的排法？（复习有序排列，结果是3×2×1=6种）

2.情境B（组合）：还是这甲、乙、丙3人，如果每两人握一次手，一共要握几次手？

3.学生根据直觉猜测。教师不急于评判，记录不同答案。

（二）实践操作，探究本质

1.模拟握手，收集事实：

1.2.请三位学生上台实际握手。要求：每两人握一次，不能重复。其他学生观察计数。

2.3.明确结果：一共握了3次手（甲-乙，甲-丙，乙-丙）。

4.思维对比，聚焦关键：

1.5.提问：“握手问题中，甲和乙握手，与乙和甲握手，是两次不同的握手吗？”（不是，是同一次）

2.6.核心讨论：“为什么同样是3个人，排队有6种情况，握手却只有3次？这两种情况到底哪里不一样？”

3.7.引导学生小组讨论，得出结论：排队时，人的“顺序”不同，就是不同的情况；握手时，人的“顺序”不影响结果，只要两个人碰在一起，就是一次握手。

（三）方法建构，解决问题

1.用连线法解决：将3个人用点表示，每两人之间连一条线，连线数就是握手次数。连线时无需考虑方向（无箭头）。

2.推广到更多人：如果是4个人，每两人握一次手，要握几次？让学生先画图连线，再观察规律。

1.3.画图结果：共6条线。

2.4.引导发现：可以从其中一个人出发思考。甲要和乙、丙、丁握手（3次）；乙已经和甲握过了，只需要再和丙、丁握（2次）；丙只需要再和丁握（1次）。总次数：3+2+1=6（次）。

3.5.渗透从特殊到一般的思考：n个人握手总次数=(n-1)+(n-2)+…+1。

6.联系生活同类问题：

1.7.“单循环赛制”：4支球队，每两队比赛一场，一共要比赛多少场？（与4人握手问题本质相同）

2.8.“打电话”：如果每两人互通一次电话，通了多少次电话？（与握手本质相同）

3.9.“从4个景点中选2个去游玩，有多少种选法？”（组合，顺序无关）

（四）系统对比，构建认知网络

设计对比练习，引导学生判断并说明理由：

1.用5、7、9三张数字卡片摆出不同的三位数。（排列，顺序有关）

2.从5、7、9中任意选出两个数求和，得数有几种可能？（组合，5+7和7+5和相同）

3.从小丽、小军、小红三位同学中选一人当班长，一人当学习委员，有多少种选法？（排列，职务不同即顺序有关）

4.从小丽、小军、小红三位同学中选两人参加座谈会，有多少种选法？（组合，顺序无关）

板书设计：

顺序的奥秘——排列vs组合

对比情境：

排队照相：甲-乙-丙与乙-甲-丙→不同！(顺序有关→排列)

两人握手：甲-乙与乙-甲→相同！(顺序无关→组合)

关键：结果是否与“顺序”有关？

组合问题解决方法：

1.实践操作（模拟握手）

2.连线法（无向线段）

3.有序思考加法：4人握手：3+2+1=6（次）

4.公式萌芽：n个人握手=(n-1)+(n-2)+...+1

本质同类：单循环赛、互打电话、选取景点...

第四课时：综合与实践——我是校园活动策划师

教学目标：

1.在真实、复杂的“策划校园活动”情境中，综合运用排列、组合、搭配知识解决实际问题。

2.经历项目化学习过程，提升问题分解、方案设计、合作交流与成果展示的能力。

3.深刻体会数学建模的全过程，增强数学应用意识和创新意识。

教学实施（项目式学习框架）：

（一）项目发布，明确任务

教师以学校大队部名义发布项目任务：“为迎接‘六一’儿童节，学校计划举办游园会。现面向三年级招募‘活动策划师’，请各小组为班级设计一个游园活动方案，方案需包含以下数学元素的计算与说明……”

任务单包含：

1.活动命名与规则设计（创意部分）。

2.奖品搭配：准备3种文具和4种玩具作为奖品等级，每份奖品包含1件文具和1件玩具。共需准备多少种不同的奖品组合？（搭配问题）

3.人员安排：活动需要2名主持人（一男一女），候选男生3人，女生2人。有多少种不同的主持人组合？（组合+搭配）

4.游园路径：活动设4个关卡，游客必须全部通过但顺序自选。从入口到出口，游客有多少种不同的通关顺序？（全排列问题，4×3×2×1=24，可选做或启发）

5.制作方案海报：图文并茂地展示设计方案与其中的数学思考。

（二）组建团队，规划进程

学生4-6人一组，分工协作（组长、记录员、计算员、美术设计、发言人等）。制定简单的时间规划。

（三）探究实践，解决问题

学生小组围绕任务单展开探究。教师巡回指导，扮演顾问角色：

1.针对“奖品搭配”，引导学生明确这是标准的乘法原理应用。

2.针对“人员安排”，引导学生辨析：这是“从3男中选1人”和“从2女中选1人”的两步搭配问题（3×2=6），而非“从5人中选2人”的组合问题，因为角色（男主持/女主持）不同，即顺序有关。

3.针对“游园路径”，允许学有余力的小组探究，提示可先简化成2个、3个关卡来找规律。

（四）成果制作，排练展示

各小组将解决方案与创意设计整合，制作成海报或PPT。准备3-5分钟的展示汇报，重点说明“如何用数学方法解决策划中的问题”。

（五）展示交流，评价反思

1.各小组展示成果。

2.师生共同评价，评价维度包括：方案创意、数学应用的准确性、解决问题的策略、团队合作、展示效果。

3.集体反思：在这个综合项目中，我们用到了本单元学过的哪些知识？这些知识如何帮助我们做出更合理、更全面的策划？

六、单元作业设计与评价建议

（一）分层作业设计

1.基础巩固层（面向全体）：

1.2.完成课本练习题，侧重用连线、列表等方法解决基本排列组合问题。

2.3.“错题诊断”：给出几份有重复遗漏的解答，让学生诊断错误原因并改正。

4.综合应用层（面向大多数）：

1.5.生活调查：记录家中衣橱上衣和下装的数量，算算自己最多有多少种日常搭配。

2.6.设计题：为班级图书角的5本新书设计编号，要求用1、2、3三个数字组成三位数编号（数字可重复），够用吗？如果不够，怎么办？

7.探究挑战层（面向学有余力者）：

1.8.密码强度：一个两位密码，每位可以