《逻辑学》（第三版）课件 第5章 谓词逻辑的自然演绎系统

《逻辑学》（第三版）第五章谓词逻辑的自然演绎系统马克思主义理论研究和建设工程重点教材目

录第一节谓词逻辑的自然演绎系统第二节带等词的谓词逻辑自然演绎系统授课内容：

1.目标要旨

2.注意事项

3.总体框架

4.主要内容

5.重点难点

6.难点串讲

7.案例补充1.目标要旨

通过谓词逻辑自然演绎系统的知识传授和技术训练，使得学生掌握基本的谓词逻辑推理知识，获得谓词逻辑推理的技术训练，从而提高学生的逻辑思维能力。

授课内容：

1.目标要旨

2.注意事项

3.总体框架

4.主要内容

5.重点难点

6.难点串讲

7.案例补充2.注意事项1.1要阐述清楚推理规则背后的直观思想；1.2要结合具体实例来进行阐述，举例要自然、具体，不要太抽象。可以举以正整数、实数为论域或者以人为论域的例子，这样比较直观，学生也容易理解。授课内容：

1.目标要旨

2.注意事项

3.总体框架

4.主要内容

5.重点难点

6.难点串讲

7.案例补充3.总体框架1.1谓词逻辑自然推理系统；

1.2带等词的谓词逻辑自然推理系统；

1.3推理实例分析。授课内容：

1.目标要旨

2.注意事项

3.总体框架

4.主要内容

5.重点难点

6.难点串讲

7.案例补充4.主要内容(1)自然推理系统的6条推理规则：全称量词消去规则，全称量词引入规则，存在量词消去规则，存在量词引入规则，等词消去规则，等词引入规则。(2)运用6条规则进行推理；(3)能够运用推理技术对推理实例进行分析。授课内容：

1.目标要旨

2.注意事项

3.总体框架

4.主要内容

5.重点难点

6.难点串讲

7.案例补充5.重点难点(1)6条推理规则的附加条件。

(2)运用规则进行推理的技巧；

(3)运用推理技术进行推理实例分析。授课内容：

1.目标要旨

2.注意事项

3.总体框架

4.主要内容

5.重点难点

6.难点串讲

7.案例补充6.难点串讲1.1谓词逻辑自然推理系统

1.2带等词的谓词逻辑自然推理系统1.1谓词逻辑自然推理系统其中包括4条推理规则一、全称量词消去规则（简记为

E） 如果

xA，则

A(t/x)。其中t是一个项，并且t对A中的变元x可自由代入。全称量词消去规则的直观含义是：如果所有个体都具有某个性质，那么“t”所代表的个体也具有该性质。1.1谓词逻辑自然推理系统例1

x(A

B),A(t/x)

B(t/x)，其中t对A和B中x可自由代入。这实际上是单称三段论的AAA式。证明：

[1]

x(A

B) pre [2]A(t/x) pre [3]A(t/x)

B(t/x)

E:[1] [4]B(t/x)

E:[2],[3]1.1谓词逻辑自然推理系统

在运用全称量词消去规则时，要注意限制条件：t对A中x可自由代入。不满足这个限制条件时，不能应用这条规则。例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：

[1]

x

yRxy

[2]

yRyy第[2]步得到的公式

yRyy=

yRxy(y/x)，但y对

yRxy中的x不是代入自由的。从[1]不能得到[2]。1.1谓词逻辑自然推理系统例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：

[1]

x

yRxy [2]

yRyy例如：考虑论域D={a,b}，R的解释为{(a,b),(b,a)}。在这个模型上[1]是真的，因为对D中每个个体，都有另一个个体与它有R关系。但[2]是假的，因为D中每个个体都与自身没有R关系。1.1谓词逻辑自然推理系统例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：

[1]

x

yRxy [2]

yRyy再如：考虑论域D为正整数集合N+，Rxy解释为y大于x。在这个模型上[1]表示的是任一正整数都存在一个比它大的正整数，这是真的。[2]表示的是存在一个正整数它比自身大，这是假的。1.1谓词逻辑自然推理系统例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：

[1]

x

yRxy [2]

yRyy再如：考虑论域D为所有人的集合，Rxy解释为y是x的母亲。在这个模型上[1]表示的是任何一个人都有一个母亲，这是真的。[2]表示的是存在一个人，她是自己的母亲，这显然是假的。1.1谓词逻辑自然推理系统例如，下面的全称量词消去规则的应用是错误的：

[1]

x

yRxy [2]

yRyy为什么？因为

x

yRxy中的x表示的是论域中的任一个体，而在第[2]步运用全称消去由

yRxy(y/x)得到

yRyy时，其中的y对

yRxy中的x不是代入自由的。即以y代入

yRxy中的x时，由于y被量词约束，使得代入后的y并不是论域中的任一个体，失去了原意。1.1谓词逻辑自然推理系统

二、全称量词引入规则（简记为

I） 如果

A(c/x)，则

xA

其中c是不受限制的新常元（用[c]表示），即c是不在前提集

中出现的新常元。全称引入规则的直观含义是：如果任意个体都具有性质A，那么所有对象都具有性质A。这里用新常元不受限制就是为了使它能够代表任何个体。

1.1谓词逻辑自然推理系统如果

A(c/x)，则

xA其中c是不受限制的新常元（用[c]表示），即c是不在前提集

中出现的新常元。如果c不是不受限制的新常元，推理就可能出现错误。例如，以Pa为前提不能推出

xPx。构造这样一个模型：论域为所有正整数集合；P在论域上解释为所有偶数的集合；a解释为自然数“2”。显然，“2是偶数”是真的，而“所有正整数都是偶数”是假的。1.1谓词逻辑自然推理系统例2

xA

yA(y/x)，其中y对A中x可自由代入。证明：

[1]

xA pre [2]A(c/x)

E:[1][c] [3]

yA(y/x)

I:[2]1.1谓词逻辑自然推理系统例3

x(A

B)

xA

xB

证明：

[1]

x(A

B) pre [2]

xA hyp [3] A(c/x)

E:[2][c] [4]

x(A

B) reit:[1] [5] A(c/x)

B(c/x)

E:[4] [6] B(c/x)

E:[3],[5] [7]

xB

I:[6] [8]

xA

xB

I:[2]-[7]1.1谓词逻辑自然推理系统三、存在量词消去规则（简记为

E）

如果

,A(c/x)

B，则

,

xA

B

其中c是受限制的新常元（用[c*]表示），即c不在前提集和B中出现。存在量词消去规则的直观含义是：如果假定论域中有一个具有性质A的对象c，由此可以得出结论B，那么我们就可以得出：只要论域中存在个体具有性质A，就可以得出结论B。在规则中我们用符号*表示所使用的常元c是受限制的，即这个c不能代表任意的个体，而只能代表论域中具有性质A的那个证据个体。

1.1谓词逻辑自然推理系统三、存在量词消去规则（简记为

E）

如果

,A(c/x)

B，则

,

xA

B

其中c是受限制的新常元（用[c*]表示），即c不在前提集和B中出现。注意：不能对受限制的新常元c进行全称引入。例如，如果c是受限制的新常元，那么由A(c/x)推不出

xA。

1.1谓词逻辑自然推理系统例9

x(Sx

Pa),

xSx

Pa

证明： [1]

x(Sx

Pa) pre [2]

xSx pre [3] Sc hyp:[c*] [4]

x(Sx

Pa) reit:[1] [5] Sc

Pa

E:[1] [6] Pa

E:[3][4] [7]Pa

E:[1]-[6]1.1谓词逻辑自然推理系统四、存在量词引入规则（简记为

I） 如果

A(t/x)，则

xA其中t是一个项，并且t对A中的变元x是可自由代入。存在引入规则的直观含义是：如果t所代表的个体具有性质A，那么论域中存在具有性质A的对象。

1.1谓词逻辑自然推理系统例10

xA

xA

证明：

[1]

xA hyp [2] A(c/x)

E:[1] [3]

xA

I:[2] [4]

xA

xA

I:[1]-[3]1.1谓词逻辑自然推理系统

四、存在量词引入规则（简记为

I）： 例15

x(A

B)

xA

xB1.1谓词逻辑自然推理系统

四、存在量词引入规则（简记为

I）： 例15

x(A

B)

xA

xB 证明：

[1]

x(A

B) pre [2] A(c/x)

B(c/x)

hyp:[c*] [3] A(c/x)

E:[2] [4]

xA

I:[3] [5] B(c/x)

E:[2] [6]

xB

I:[5] [7]

xA

xB

I:[4],[6] [8]

xA

xB

E:[1]-[7]1.1谓词逻辑自然推理系统例15

x(A

B)

xA

xB

定理15的逆不成立。即由

xA

xB推不出

x(A

B)。例如，以正整数作为论域，Ax解释为x是偶数，Bx解释为x是奇数，“存在正整数是偶数，并且存在正整数是奇数”是一个真命题，但是“存在正整数既是偶数又是奇数”却是一个假命题。再如，以人为论域，Ax解释为x是大于60的老人，Bx解释为x是小于6岁的幼儿，“有人是大于60的老人，有人是小于6岁的幼儿”是一个真命题，但是“有人既是大于60的老人，又是小于6岁的幼儿”却是一个假命题。1.1谓词逻辑自然推理系统例17

x

yA

y

xA

证明： [1]

x

yA pre [2]

yA(c/x) hyp:[c*] [3] A(c/x)(d/y)

E:[2][d] [4]

xA(d/y)

I:[3] [5]

y

xA

I:[4] [6]

y

xA

E:[1]-[5]

定理表明，如果论域中存在对象与论域中的所有对象具有关系A，那么论域中的所有对象均存在与其具有关系A的对象。例如，如果至少有一个人尊重所有的人（包括他自己），那么可以得出，所有的人都至少被一个人尊重。1.1谓词逻辑自然推理系统例17

x

yA

y

xA

定理17的逆命题不成立。即由

y

xA推不出

x

yA。例如，以自然数作为论域，“所有自然数都存在自然数比它大”是一个真命题，但是“存在自然数比所有自然数大”却是一个假命题。再如，以所有人为论域，“所有的人都存在一个人是其父亲”是一个真命题，但是“存在一个人是所有人的父亲”却是一个假命题。1.1谓词逻辑自然推理系统例18

xA

x

A

证明： 先证

xA

x

A [1]

xA pre

[2]

x

A hyp [3]

A(c/x) hyp:[c*] [4]

xA reit:[1] [5] A(c/x)

E:[4] [6]

A(c/x)(A(c/x)B

B)

命题逻辑

[7] A(c/x)B

B E:[3],[6] [8] B

B E:[5],[7] [9] B

B

E:[1]-[8] [10] B

E:[9] [11]

B

E:[9] [12]

x

A

I:[2]-[11]

归谬法1.1谓词逻辑自然推理系统例18

xA

x

A

再证

x

A

xA [1]

x

A pre

[2]

A(a/x) hyp[a] [3]

x

A

I:[2] [4]

x

A reit:[1] [5]A(a/x)

E:[2][4] [6]

xA

I:[5]

反证法1.1谓词逻辑自然推理系统例20

xA

x

A

证明：

先证

xA

x

A [1]

xA pre

[2]

x

A hyp [3]

xA 例18:[2] [4]

xA reit:[1] [5]

x

A

E:[2]-[4]反证法1.1谓词逻辑自然推理系统例20

xA

x

A

再证

x

A

xA [1]

x

A pre

[2]

xA hyp [3]

x

A 例18:[2] [4]

x

A reit:[1] [5]

xA

I:[2]-[4]

归谬法1.2带等词的谓词逻辑自然推理系统一、等词消去规则（简记

E）： A(t1/x)A(t2/x)

t1

t2t1

t2

A(t2/x) A(t1/x)

其中t1和t2是项，分别对A中x可自由代入。等词消去规则的直观含义是：如果t1（或t2）所代表的个体具有性质A，那么t2（或t1）所代表的同一个个体也具有性质A。

1.2带等词的谓词逻辑自然推理系统二、等词引入规则（简记

I）：

t

t

等词引入规则的直观含义是：任何个体与自身相等。例26a

b

b

a

证明：

[1]a

b pre [2]a

a

I [3]b

a

E:[1],[2]1.2带等词的谓词逻辑自然推理系统

例27

a

b

b

aa

b,b

c

a

c

证明：

[1]a

b pre [2]b

c pre [3]a

c

E:[1],[2]1.2带等词的谓词逻辑自然推理系统

例28

a

b,a

c

b

c

证明：

[1]a

b pre [2]a

c pre [3]b

c

E:[1],[2]1.2带等词的谓词逻辑自然推理系统

例29

x(

y(x

y

Py)

Px)

证明： [1]

y(a

y

Py) hyp[a] [2] a

c

Pc hyp[c*] [3] a

c

E:[2] [4] Pc

E:[2] [5] Pa

E:[3],[4] [6] Pa

E:[1]-[5] [7]

y(a

y

Py)

Pa

I:[1]-[6] [8]

x(

y(x

y

Py)

Px)

I:[7]授课内容：

1.目标要旨

2.注意事项

3.总体框架

4.主要内容

5.重点难点

6.难点串讲

7.案例补充7.案例补充

例1所有的偶数(Ex)都能被2整除(Dx)，所有的6的倍数(Mx)都是偶数，因此，所有的6的倍数都能被2整除。

x(Ex

Dx),

x(Mx

Ex)

x(Mx

Dx)

证明：

[1]

x(Ex

Dx)

pre [2]

x(Mx

Ex)

pre [3]Ec

Dc

E:[1] [4]Mc

Ec

E:[2] [5] Mc hyp [6] Ec

E:[4][5] [7] Dc

E:[3][6] [8]Mc

Dc

I:[5]-[7] [9]

x(Mx

Dx)

I:[8]7.案例补充例2

所有的马(Fx)都是动物(Ax)。因此，所有的马头都是动物头(Hxy：x是y的头)。

x(Fx

Ax)

x(

y(Fy

Hxy)

y(Ay

Hxy)证明：

[1]

x(Fx

Ax)

pre [2]

y(Fy

Hay) hyp[a] [3] Fc

Hac hyp:[c*] [4] Fc

E:[3] [5] Hac

E:[3] [6]

x(Fx

Ax) reit:[1] [7] Fc

Ac

E:[6] [8] Ac

E:[4][7] [9] Ac

Hac I:[5][8] [10]

y(Ay

Hay)

I:[9] [11]

y(Ay

Hay) E:

[1]-[10] [12]

y(Fy

Hay)

y(Ay

Hay)

I:[2]-[11] [13]

x(

y(Fy

Hxy)

y(Ay

Hxy)

I:[12]7.案例补充例3

任何一条鱼(Fx)都比任一较它小一点的鱼游得快(Sxy：x比y游得快；Lxy：x大于y)。所以，如果有一条最大的鱼就有一条游得最快的鱼。

x(Fx

y(Fy

Lxy

Sxy))

x(F(x)

y(Fy

(x

y)Lxy))

x(Fx

y(Fy

(x

y)Sxy))7.案例补充

x(Fx

y(Fy

Lxy

Sxy))

x(F(x)

y(Fy

(x

y)Lxy))

x(Fx

y(Fy

(x

y)Sxy))证明：

[1]

x(Fx

y(Fy

Lxy

Sxy))

pre [2]

x(F(x)

y(Fy

(x

y)Lxy))

hyp [3] F(c)

y(Fy

(c

y)Lcy))

E:[2][c*] [4] Fc

E:[3] [5]

y(Fy

(c

y)Lcy))

E:[3] [6]

x(Fx

y(Fy

Lxy

Sxy))

reit:[1] [7] Fc

y(Fy

Lcy

Scy)

E:[6] [8]

y(Fy

Lcy

Scy)

E:[4][7] [9] Fa

Lca

Sca

E:[8]

[10] Fa

(c

a)Lca

E:[5]

[11] Fa

(c

a)

hyp [12] Fa

(c

a)Lca

reit:[10] [13] Lca

E:[11][12] [14] Fa

E:[11] [15] Fa

Lca

I:[13[14] [16] Fa

Lca

Sca

reit:[9] [17] Sca

E:[15][16] [18] Fa

(c

a)Sca

I:[11]-[17] [19]

y(Fy

(c

y)Scy)

I:[18]

[20] Fc

y(Fy

(c

y)Scy)

I:[4][19] [21]

x(Fx

y(Fy

(x

y)Sxy))