2025届江西南昌高三第一次模拟测试数学试题+答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

题号12345678

答案DBAADCCC

二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案CDACDBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．213．14．.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【解析】（1）因为a,b,c是公差为2的等差数列，

所以b=a+2，c=a+4，所以首先a+(a+2)>(a+4)，则a>2；…………2分

其次，因为ΔABC为锐角三角形，所以最大角C∈(0,)，

所以cosC>0，则…………4分

所以c2<a2+b2，即a2—4a—12>0，解得a>6；…………6分

（2）因为7sinA=3sinC，由正弦定理可得7a=3c，

即7a=3(a+4)，

解得a=3，则b=5，c=7，…………9分

所以cosC

所以SΔABCabsinC…………13分

16.【解析】（1）取AC的中点为E，连接BE,DE，

P

因为D为PC的中点，所以DE∥PA，

因为PA丄平面ABC，所以DE丄平面ABC，D

所以DE丄AC，

因为AB=BC=1，所以BE丄AC，………4分E

A

因为DE∩BE=E，C

B

所以AC丄平面BDE，且BDG平面BDE，

所以BD丄AC；…………7分

（2）以点A为坐标原点，以AB,AP为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB=BC=1，上ABC=120O，PA=AC，

z

所以B(1,0,0)，P(0,0,)，C，P

D

则D，所以y

E

→AC

平面PAB的法向量为n=(0,1,0)，……12分

Bx

所以cos

即BD与平面PAB所成角的正弦值为.………………15分

17.【解析】（1）因为f’=lna，

………………2分

因为1<x<2时，f’’(x)<0，f’(x)单调递减；

x>2时，f’’(x)>0，f’(x)单调递增，

所以f’(x)min=f’(2)=2—a，………………4分

因为f(x)在定义域上单调递增，所以f’(x)≥0恒成立，

所以2—a≥0，即a≤2.…………6分

（2）由（1）可知，当y=f(x)—m有两个不同的零点时，a>2

此时f’(x)min=f’(2)=2—a<0，

且x→1时f’(x)→+∞,x→+∞时f’(x)→+∞,

所以f’(x)=0，则x=x1,x=x2(1<x1<2<x2)，其中lna(i=1,2)，

因为1<x<x1时，f’(x)>0，f(x)单调递增；

x1<x<x2时，f’(x)<0，f(x)单调递减；

x>x2时，f’(x)>0，f(x)单调递增，

所以x=x1为f(x)的极大值点，则m=f(x1).………………10分

且f

设g，则g’

所以g(x)在(1,2)单调递增，………………15分

所以g(x)<g(2)=—4，即m<—4.

18.【解析】(1)由条件可知直线l:y=—1x+1，

4

依题意可知b=1，

因为e，所以a=2，

所以椭圆C的标准方程为y2=1；……4分

（2）(ⅰ)设直线l:x=my+4，A(x1,y1),B(x2,y2)，

联立方程消去x得：(m2+4)y2+8my+12=0，

则有y1+y2=，y1y2=.………………6分

则k1+k

其中分子=x1y2+x2y1—(y1+y2)=2my1y2+3(y1+y2)

所以k1+k.………………10分

解法一：(ⅱ)因为MA垂直平分线方程为y—=—(x—)，

即y

x—13x2

同理MB垂直平分线方程为y=—2x+2……②

y28y2

由于k1+k2=0可得+=0，即，……12分

y1y2

所以①+②得：2yE

由②-①得xE

yy

因为直线AB过点P(4,0),所以k=k,即1=2

PAPB

x1—4x2—4

则有x1y2—x2y1=4(y2—y1)，

所以xE，………………15分

所以kMEm，

因为kPD=—kAB=—，所以kPD.kME=m×(—)=—1,

所以ME丄PD.………………17分

解法二：(ⅱ)设圆E:x2+y2+dx+ey+f=0，

因为M(1,0)在圆E上，则有1+d+f=0………………12分

x+ey+f=0

直线l与圆E交于A,B.则有，

消去x得：(m2+1)y2+(8m+dm+e)y+16+4d+f=0（*）

则y1,y2是方程（*）的两根.

22

由于(ⅰ)可知y1,y2是方程(m+4)y+8my+12=0的两根、

此两方程为同解方程，则有

解得d，………………15分

所以圆心E

所以kMEm，

因为kPD=—kAB所以kPD.kME=m

所以ME丄PD.………………17分

19.【解析】（1）4=3+1=2+2=1+3，

所以P；………………4分

（2）X2=0的情形有：4=3+1=2+2，8=6+2=5+3=4+4，12=6+6，

因此，P，……………7分

X2=3的情形有：3=2+1,7=6+1=5+2=4+3，11=6+5，

因此，P

所以P(X2=0)<P(X2=3)