《均值不等式及其应用》高考通关练

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《均值不等式及其应用》高考通关练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共5题，25分）1.(5分)(福建师大附中高三模拟)已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式中正确的是().A.ab⩽B.ab⩾C.a2+b2⩾2D.a2+b2⩽32.(5分)(新疆兵团二中高一期末测试)如果a>0,那么a++2的最小值是().A.2B.2C.3D.43.(5分)(天津实验中学高三适应性测试)若a,b∈R,且ab>0,则+的最小值是().A.1B.C.2D.24.(5分)(江西师大附中、九江一中联考)已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)的().A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-45.(5分)(辽宁抚顺一中高三模拟)高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,已知当教室在第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n,但高处空气清新,嘈杂声较小,环境较好,因此随着教室所在楼层的升高,环境不满意度降低,设教室在第n层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为()A.2 B.3 C.4 D.8二、填空题（共4题，20分）6.(5分)(北京丰台检测)已知函数y=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=____________.7.(5分)(江西南昌质量检测)已知m,n∈(0,+∞),若m=+2,则mn的最小值为____________.8.(5分)(山东曲阜期中)若当x>2时,不等式a⩽x+恒成立,则实数a的取值范围是____________.9.(5分)(山东莱阳一中高三模拟)若正数a,b,c满足++⩽则=____________.三、解答题（共2题，20分）10.(10分)(云南昆明一中高三适应性测试)已知a,b,c>0,求证:++⩾a+b+c.11.(10分)(福建仙游一中高三适应性测试·考法1)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.《均值不等式及其应用》高考通关练答案一、单项选择题1.【答案】C【解析】∵a⩾0,b⩾0,由2=a+b⩾2可得⩽1(当且仅当a=b=1时取等号),∴ab⩽1,故A,B错误;又⩾()2=1,∴a2+b2⩾2(当且仅当a=b=1时取等号),故选C.2.【答案】D【解析】a++2⩾2+2=2+2=4,当且仅当a=,即a=1时,等号成立.3.【答案】C【解析】根据题意,若a,b∈R,且ab>0,则>0且>0,+⩾2,当且仅当a=b时,等号成立,故最小值为2,选C.4.【答案】C【解析】∵x<0,∴-x>0,∴x+-2=-[(-x)+]-2⩽-2⋅-2=-4,等号成立的条件是-x=,即x=-1.故f(x)有最大值为-4,故选C.5.【答案】B【解析】略二、填空题6.【答案】36【解析】由题意可得,y=4x+⩾2=4.当且仅当4x=,即x=时,等号成立.因为函数在x=3时取最小值,所以=3,即a=36.7.【答案】8【解析】因为m=+2,化简可得mn=m+2n⩾2,故mn≥8,当且仅当m=2n=4时,等号成立,即mn的最小值是8.8.【答案】-∞,2+22​/a≤2+2【解析】因为x>2,所以x-2>0,则x+=x-2++2⩾2+2,当且仅当x=2+时,等号成立,所以a⩽2+2.9.【答案】136【解析】由++⩽,得(++)(a+b+c)⩽36,即1+++4+++9++⩽36,即+++++⩽22.因为+++++=(+)+(+)+(+)⩾22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号,所以==.三、解答题10.【答案】【解析】∵a,b,c,,,均大于0,∴+b⩾2=2a,①当且=b时等号成立.+c⩾2=2b,②当且仅当=c时等号成立.+a⩾2=2c,③当且仅当=a时等号成立.①+②+③得+b++c++a⩾2a+2b+2c.∴++⩾a+b+c,当且仅当a2=b2=c2时等号成立.11.【答案】【解析】解法1:由+=1,得x=.∵x>0,y>0,∴y>9.∴x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y>9,∴y-9>0.∴y-9++10⩾2+10=16.当且仅当y-9=,即y=12时取等号.又+=1,则x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.解法2:∵+=1,∴