2025-2026学年教师培训新高考教学设计

2025-2026学年教师培训新高考教学设计学科年级册别七年级下册教材授课类型新授课教材分析一、教材分析本节选自人教版A版高中数学必修第一册第一章“集合与函数概念”，是高中数学的核心起始章节。函数概念及其基本性质（单调性、奇偶性）是后续学习导数、三角函数等内容的逻辑基础，也是新高考函数与导数模块的考查重点。教材通过实例抽象函数定义，从具体到抽象构建知识体系，强调数学抽象与逻辑推理核心素养的培养，符合学生认知规律，为解决实际问题奠定理论基础。核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过函数概念的抽象过程，培养数学抽象素养；借助单调性、奇偶性的逻辑推导，发展逻辑推理能力；运用函数模型解决实际问题，提升数学建模意识；结合函数图像分析性质，增强直观想象；在函数性质判断与运算中，强化数学运算素养；通过实际问题中的函数关系分析，渗透数据分析观念。教学难点与重点1.教学重点：函数概念的本质理解，通过课本实例（如炮弹射高h与时间t的关系）抽象出“非空数集到数集的对应关系”；单调性的定义与判断，重点掌握图像法与定义法（如f(x)=x²在(-∞,0)递减的证明步骤）；奇偶性的定义特征，明确“f(-x)=f(x)（偶）”或“f(-x)=-f(x)（奇）”的解析式判断（如f(x)=|x|是偶函数）。

2.教学难点：函数概念的抽象思维转换，学生易混淆“对应关系”与“解析式”（如y=√(x-2)的定义域{x|x≥2}与对应关系的理解）；单调性定义证明的逻辑严谨性，难在“作差法”中变形符号判断（如f(x)=1/x在(0,+∞)递增时，x₂-x₁与1/x₂-1/x₁的关系推导）；奇偶性判断的完备性，易忽略“定义域关于原点对称”的前提（如f(x)=x²,x∈[0,1]非常非偶）。教学资源1.软硬件资源：实物教具（函数图像模型）、多媒体投影仪、交互式电子白板、平板电脑（学生终端）。

2.课程平台：国家中小学智慧教育平台、校本数字化课程管理系统。

3.信息化资源：函数图像绘制软件（如GeoGebra）、动态函数性质演示动画、互动式函数题库。

4.教学手段：小组讨论卡、函数概念实物教具、函数单调性/奇偶性探究实验单、课堂即时反馈系统。教学流程1.导入新课（5分钟）

展示课本实例：炮弹射高h与时间t的关系h=130t-5t²（0≤t≤26），某城市一天气温T与时间t的关系图。提问：“这两个问题中，变量之间是否存在某种联系？这种联系有什么共同特点？”引导学生观察变量间的“对应关系”，引出函数概念的本质——非空数集到数集的对应。通过生活实例降低抽象概念理解难度，紧扣课本“函数概念引入”部分，为后续新课奠定直观基础。

2.新课讲授（20分钟）

（1）函数概念的本质理解（7分钟）

结合课本P3“思考”栏目，以f(x)=√(x-2)为例，强调函数的三要素：定义域（x≥2）、值域（y≥0）、对应关系（平方根运算）。对比y=√(x-2)与y=√(x-2)²（定义域不同），突出“对应关系”与“解析式”的区别，突破学生易混淆的难点。通过板书“函数是对应关系，不是解析式”，强化核心认知。

（2）单调性的定义与判断（8分钟）

讲解课本P35“探究”内容，以f(x)=x²为例，通过图像（抛物线）直观展示(-∞,0)递减、(0,+∞)递增。重点分析定义法：取x₁<x₂，作差f(x₂)-f(x₁)=x₂²-x₁²=(x₂-x₁)(x₂+x₁)，当x₁,x₂∈(-∞,0)时，x₂-x₁>0，x₂+x₁<0，故f(x₂)-f(x₁)<0，得递减。强调“作差—变形—定号”的逻辑步骤，突破学生符号判断的难点，结合例题f(x)=1/x在(0,+∞)的单调性证明，巩固方法。

（3）奇偶性的定义与特征（5分钟）

以课本P41“观察”栏目f(x)=|x|、f(x)=x³为例，解析奇偶性定义：若f(-x)=f(x)，则为偶函数（图像关于y轴对称）；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数（图像关于原点对称）。强调“定义域关于原点对称”的前提，举例f(x)=x²(x∈[0,1])非常非偶，突破学生忽略定义域的难点，通过图像对称性加深理解。

3.实践活动（10分钟）

（1）用GeoGebra绘制函数图像（3分钟）

学生使用平板电脑，输入f(x)=x²-2x+1，拖动滑块改变参数，观察图像顶点移动与单调性变化（对称轴x=1左侧递减、右侧递增），直观理解“数形结合”，突破单调性判断的抽象难点。

（2）定义法证明单调性（4分钟）

分组完成课本P37练习1：证明f(x)=2x+1在R上递增。要求写出“取x₁<x₂→作差f(x₂)-f₁=2(x₂-x₁)→∵x₂-x₁>0，∴f(x₂)-f(x₁)>0→递增”的完整步骤，教师巡视指导，强化逻辑推理能力，突破证明步骤不严谨的难点。

（3）奇偶性判断练习（3分钟）

判断下列函数的奇偶性：①f(x)=x+1/x；②f(x)=0（x∈R）。学生独立完成，强调①需先检查定义域（x≠0，关于原点对称），再计算f(-x)=-x-1/x=-f(x)，得奇函数；②f(-x)=0=f(x)，既是奇函数又是偶函数。通过易错题巩固定义域与解析式判断的要点。

4.学生小组讨论（5分钟）

（1）函数概念对应关系举例（2分钟）

讨论问题：“生活中还有哪些问题可以用函数描述？对应的两个数集分别是什么？”举例回答：“超市购买苹果，总价y与数量x的函数y=5x，数集为x∈N*，y∈{5,10,15,…}。”强化“对应关系”的实际意义，突破抽象思维难点。

（2）单调性证明关键步骤（2分钟）

讨论问题：“用定义法证明单调性时，作差后变形的目的是什么？举例说明。”举例回答：“目的是判断差的符号。如f(x)=x³-x，作差f(x₂)-f(x₁)=x₂³-x₁³-(x₂-x₁)=(x₂-x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²-1)，需因式分解或配方判断符号。”突破变形逻辑难点。

（3）奇偶性函数定义域必要性（1分钟）

讨论问题：“为什么判断奇偶性要先检查定义域是否关于原点对称？举例说明。”举例回答：“如f(x)=x²(x≥0)，定义域[0,1]不对称，-1不在定义域内，无法满足f(-x)=f(x)，故非常非偶。”突破忽略定义域的难点。

5.总结回顾（5分钟）

板书梳理核心知识：函数概念（三要素）、单调性（图像法与定义法）、奇偶性（定义+定义域对称）。强调重难点：“函数核心是‘对应关系’，不是解析式；单调性证明需严谨逻辑变形；奇偶性必须先验证定义域对称。”用课本P43“小结”内容强化记忆，确保学生清晰把握本节课逻辑主线，为后续导数学习奠定基础。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）函数概念的历史演进：介绍17世纪莱布尼茨首次提出“函数”术语，18世纪欧拉用解析式定义函数，19世纪狄利克雷提出对应关系定义，完善函数概念的抽象过程，帮助学生理解教材中“函数是对应关系”的本质。

（2）实际应用案例：物理中的简谐运动位移函数s=Acos(ωt+φ)，分析其周期性与奇偶性；经济中的需求函数Q=50-2P，通过单调性解释价格与需求的关系；生物中种群增长模型N(t)=N₀e^rt，结合指数函数性质分析增长趋势。

（3）性质探究深化：复合函数单调性法则（同增异减），如f(g(x))中g(x)在[1,3]递增，f(x)在[2,5]递增，则f(g(x))在[1,3]递增；分段函数奇偶性判断，如f(x)=x²(x≥0)，-x²(x<0)，验证定义域对称性及f(-x)与f(x)关系；抽象函数单调性证明，如已知f(x)在R递增，证明f(x²+1)在[0,+∞)递增，强化逻辑推理能力。

（4）教材延伸内容：结合课本P43“实习作业”，建议学生收集生活中的函数实例（如手机套餐费用与通话时长关系），分析定义域、值域及对应关系；利用P45“信息技术应用”栏目，用GeoGebra探究f(x)=ax²+bx+c中参数a,b,c对图像顶点、单调区间的影响，深化数形结合思想。

2.拓展建议：

（1）阅读拓展：精读教材“阅读与思考”栏目《函数概念的形成与发展》，梳理函数定义的三次重大变革，撰写500字小论文阐述“对应关系”在函数定义中的核心地位；选读《数学史话》中笛卡尔解析几何与函数的关系，理解函数如何成为描述变量关系的工具。

（2）实践拓展：利用Excel制作函数数据表，输入f(x)=x³-3x，计算x∈[-2,2]时y值，绘制散点图观察单调性变化，用“插入图表”功能拟合曲线，直观感受函数图像与性质的对应；设计家庭用电量统计任务，记录每日用电量W与时间t的关系，建立分段函数模型（如峰谷电价），分析不同时段用电量单调性，体会函数在生活中的应用。

（3）探究拓展：分组研究“函数性质的综合应用”，例如：①判断函数f(x)=lg(x²+1)的奇偶性，结合定义域R对称性及f(-x)=f(x)证明；②探究函数f(x)=|x-a|+|x-b|的单调性，数形结合分析对称轴x=(a+b)/2两侧增减情况；③解决实际问题：某商品进价40元/件，售价50元时销量100件，每涨价1元销量减2件，求售价定为多少时利润最大，建立利润函数P(x)=(50+x-40)(100-2x)，通过二次函数单调性求最值。

（4）跨学科拓展：联系物理中的速度-时间函数v(t)=v₀+at，分析其单调性（a>0时递增，a<0时递减），解释匀变速直线运动的速度变化；结合化学中溶液pH值与浓度c的关系pH=-lgc，通过函数单调性解释浓度增大时pH值的变化规律，强化函数作为跨学科工具的认知。

（5）分层提升：基础层完成课本P38习题1.3A组第5题（判断函数单调性）、第8题（奇偶性判断）；提高层探究抽象函数性质，如已知f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时f(x)>0，证明f(x)在R递增；拓展层撰写“函数在人工智能中的应用”短文，如机器学习中的损失函数优化，体现函数思想的现代价值。重点题型整理1.函数概念判断：判断关系y=√x是否为函数，并说明理由。答案：是函数，因为每个x≥0对应唯一y值，满足函数定义。

2.单调性证明：用定义法证明f(x)=2x+1在R上递增。答案：取x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=2(x₂-x₁)>0，故递增。

3.奇偶性判断：判断f(x)=x³的奇偶性。答案：f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，故为奇函数。

4.应用题：某商品售价x元，销量q=100-2x，求利润函数P(x)并分析单调性。答案：P(x)=(x-40)(100-2x)，展开为P(x)=-2x²+180x-4000，开口向下，顶点x=45，在x<45时递增，x>45时递减。

5.综合分析：分析函数f(x)=x²-2x+1的单调性和奇偶性。答案：单调性：顶点在x=1，左侧递减，右侧递增；奇偶性：f(-x)=x²+2x+1≠f(x)或-f(x)，故非常非偶。板书设计①函数概念本质

-非空数集到数集的对应关系（课本P3定义）

-三要素：定义域、值域、对应关系

-实例：炮弹射高h=130t-5t²（定义域[0,26]）

-强调：函数核心是"对应关系"，非解析式

②单调性证明逻辑

-