2025-2026学年吉林省长春市榆树市某中学八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年吉林省长春市榆树市慧望中学八年级（上）期末数学试

卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数中，是无理数的是（）

99

A.yB.y/lGc.沟D.3.141414-

2.下列整式运算正确的是（）

A.3a+2b=5abB.a2*a3=a6C.（-ayb）2=a6b2D.a2b3-i-a=a3

3.以下列各组数为边氏，能构成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.C.32,42,52D.i

345

4.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）

A.a（x+y）=ax+ayB.x'-4+3x=（x+2）（x-2）+3x

C.5x2+\Ox=5x（x+2）D.x24r4=（x-2）2

5.长春冰雪大世界的工匠雕刻一座等腰三角形冰雕时，为保证冰雕对■称美观、重心稳定，雕刻时需先确定

关键基准线.工匠在冰雕的顶角顶点处系了一根铅锤线（重力作用下铅锤线始终垂直于水平面），若铅锤线

恰好经过底边的中点，则可判断该冰雕的两腰长度相等，且铅锤线为底边上的高.能解释这一现象的数学知

识是（）

A

A.等边对等角B.垂线段最短

C.三角形具有稳定性D.等腰三角形“三线合一”

6.《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵

地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，右后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问

折处高几尺？即：如图，加计4>2（）尺，BC=5尺,设4C为x尺，则下列方程正确的是（）

第1页，共10页

A

A.x+(20-x)2=52B.x2+20=(20-x)2

C.7+2(20-x)-52D.x2-52-(20-x)2

7.如图，若力B=4,4>3,△力0c的周长为7,下列尺规作图方法中，不能

确定4c的中点的是（）

A

A.

B

8.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出

入相补法.如图，在△49C中，分别取力4、力。的中点。、E,连接过点

力作力ELOE,垂足为点尸，将△/BC分割后拼接成长方形8C//G.已知。E=5,

AF=3,则。的面积为（）

A.33

B.30

第2页，共10页

C.27

D.24

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.8的立方根是.

10尸公*|耽=

4——

11.长方形的面积是6Q2.2M,若一边长是2d则另一边长足,

12.如图，在数轴上点力表示的实数是—.

13.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边4。=6皿、BC=Scm,现将△48。

折叠，使点8与点力重合，折痕为QE,则。。的长为.

14.如图，在△/8C中，乙48c=45°,过点。作CO148于点过点8作8M14C

于点M,连接过点。作DW1ON,交BM于点NCD与BM相交于点E,若

点E是CQ的中点，则下列结论：①△在应£2\。“1；②DM=NE；③乙力WQ=45°；

④EA/：.历C：NE=\：2：3.正确的是—(填序号).

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.体小题6分)

计算：

(1)他+|1-图+户+(产；

(2)(x-3)(x+4)-x(x+6).

16.(本小题6分)

因式分解：

(1)3/・12标+124；

(2)(2x+y)2-(x+2y)2.

第3页，共10页

17.（本小题6分）

5

先化简,再求值:（4+3）2-（4+1）（4/）-2（2a-4）-13,其中n

24

18.（本小题7分）

如图，乙ACB=90°,AC=BC,AD1.CE,BE工CE,垂足分别为。、E.

（1）求证：△ACDQ/\CBE；

（2）延长EB至点尸使得BF=DE,连接AF交CE于点G,若EF=8,BE=4,求月C的长.

19.（本小题7分）

图①、图②、图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点力、B、E、”均在格点上.只

（1）在图①中，以月8为腰画一个等腰三角形48C；

（2）在图②中，以力〃为边画一个三角形477,使44BH丝AHFA；

（3）在图③中，画的高线EQ.

20.（本小题7分）

2025年被定为“全国青少年冰雪运动推广年”.某校响应号召，计划开设冰壶、滑雪、滑冰、冰球四个冰雪

运动社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项运动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行“我最喜爱

的冰雪运动项目”问卷调查（每名学生选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，并根据样

本数据绘制了如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：

第4页，共10页

（2）请补全条形统计图;

（3）小的值为______；

（4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱滑雪运动的学生有多少人？

21.（本小题8分）

如图1是我国古代用于冷藏食物的青铜冰鉴，由放置食物的方尊缶（中间小正方形）和放置冰块的方鉴（外

围大正方形）组成，从上方往下看的形状如图2所示.已知大正方形的边长为（2a+力）小正方形的边长为

（。而cm.

（1）放置冰块的区域为大正方形与小正方形的面积差，请用含明〃的式子表示放置冰块部分的面积并化简:

（2）当斫4（）,65时，求放置冰块区域的面积.

图2

22.（本小题9分）

【阅读】公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角

形中，两条直角边的平方和等于_____,这个结论在中国称为“勾股定理”.

【验证】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图①的“弦图”（史称“赵爽弦

图”），其中四边形力8OE和四边形CFG”都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请

你将他下面的证明过程补充完整：

已知：RtAABC中,乙ACB=90°,AC=b,BC=adB=c.

第5页，共10页

求证：a2+b2=c2.

证明：由图可知S正方形ABDE=4S^ABC^S,£方形FCHG

,:SyBU____,正方形HHG边长=______；

:，SLABDE=〃=4X:向+(〃*2fib+<1*2ab+b，,即02=42+52

【迁移】如图②，将等腰直角三角板44。顶点力放在直线/上，过点4作4cL/,过点。作。£U,垂足分别

为C、E.

(I)求证：^ABC^ADAE：

(2)聪聪认真观察图②后发现：如果设/C="BC=a,力后g此图也可以利用面积法证明勾股定理.请你帮聪聪

完戊证明过程.

【应用】如图③，某景区内有一块三角形草坪，ZC=9O°,乙4=60°,4C=50〃i,8c=504加,点。为边

48的中点，小明从4点出发，先到边BC上某一点£,再到。点，最后回到4点，如何确定8C上点£的

位置，才能使所走的路径(AE+ED+DA)最短？并求直接写出最短路径的长为

23.(本小题1()分)

【猜想论证】林林同学在探究三角形中线的相关知识时发现：在三角形中，若一条边的中线长等于这条边

长的一半，那么这条边所对的角就是直角.于是，他尝试做出如下证明：如图①，C。是的中线，且

CD=^AB,求证：^ACB=90°.

2

证明：•••CO是△48C的中线，.•./I。BD

rCD=i.4B...AD=CD=BD,

2

・•.乙DCB=^B,Z-ACD=Z-A.(______)(填依据)

在△48C中，/4+匕8+4/(：8=】80〉,

【证明过程缺失】

.•.NACO+Z.DCB=1x18(r=9()\即"C8=90°.

(I)请补全林林缺失的推理依据和证明过程；

第6页，共10页

【思维迁移】

（2）如图②，在放。中，乙4c8=90°,。是48上的一点，且CZ>8D求证：AD=CD；

【拓展运用】

（3）通过推理不难发现，在出△4BC中,乙4cB=90°,当。是的中点时，AD=CD=BDx请利用上述结

论，解决下面的问题.

如图③，在△力AC中，乙B/C=90°,。是〃。的中点，将△。肥沿直线QE翻折，得到△/）〃£,若BE=2,

AE=5,连接40,当乙/DW=60°时，OE的长为______.

24.（本小题12分）

在R/△/8C中，ZC=9O°,心12,808,动点P从点力出发，沿AC-/以每秒2个单位长度的速度向终

点,4运动，同时动点。从点C出发，沿C-瓜。以每秒I个单位长度的速度做往返运动（到达“后立即沿8c

返回C）,连结尸。.当点P到达点彳时，尸、。同时停止运动.设点尸的运动时间为/秒（r>0）.

（1）在点P从/运动到。的过程中，线段CP的长为；（用含/的代数式表示）

（2）当点。与点C重合时，求线段8。的长：

（3）当为等腰直角三角形时，求/值；

（4）分别过点P、。作尸OL14于点。，QELIB于点E.当△/1PD0AQBE忖,直接写出/的值.

第7页，共10页

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】2

10.【答案】-4

11.【答案】3a-b

12.【答案】瓜

13.【答案】'cm

14.【答案】@@@

15.【答案】3+0-5x-12

16.【答案】3a（4-2）23（x+y）（x-y）

17.【答案】解：（。+3）2.（Q+1）（4-1）-2（2«-4）-13

=（4+64+9）-（«2-1）-（4。-8）-13

=a2^-6a+9-a2+1-4^+8-13

=2。+5,

当a；时，原式=2x（-；）+5-5+50.

18.【答案】：4D工CE,BE1CE,

：.Z.BEC=/-ADC=/-ACB=900（垂直的定义），

即1CBE+乙ECB=UCD+Z.ECB,

:.乙CBE=z~ACD,

在和△C8£中，

（Z.ACD=Z.CBE

〈ABEC=Z.CDA,

IAC=CB

:AACgACBE（AAS）AC=ly/w

第8页，共10页

19.【答案】如图所示，△48。即为所求如图所示，/即为所求如图所示，即为所求

20.【答案】50补全条形统计图如下:

f人数

20——

18

16二酱二J二.二二二二

-fl"—IM-—|H|-----------24720人

8一III-----III-----HI------------

4・・・।・4-…

•-------------------------

0

―矗~S―温运宙项目

21.【答案】(3a2+6ab)cm26000cm2

22.【答案】•:乙4cB=5E4=90°，的£>=90°,

:•乙CAB+乙CBA=^CAB+乙EAD=90°,

:.乙CBA=LEAD,

又，；AB=DA,

:.△/IBgADAECAAS):

•:AE=BC=a,DE=AC=b,

••CE=AC+A