2025-2026学年广东广州某中学九年级（上）期中考数学试题（含答案）

2025学年第一学期初三级数学科中段测试（问卷）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间

120分钟.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将答案直接填在下面的表格中.）

1.下列图形中既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）

2.一元二次方程2/+、一1=0的根的情况是（

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

3.抛物线y=（x+1）2+3的顶点坐标是（）

A.（1,-3）B.（I,3）C.（-1,3）D.（-I,-3）

4.如图，已知在0。中，4C是直径，AB=DC,则下列结论不一定成立的是（）

A.OA=OB=ABB.ZAOB=ZCOD

C.AB=DCD.。到CO的距离相等

5.用配方法解一元二次方程/_2工-5-0,下列配方正确的是（）

A.(X4-1)2=6B.C.(1『二9D.(x-1)2=6

6.在平面直角坐标系中，将抛物线'=先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的

新抛物线的解析式为()

A.y=-(x-1)2-2B.y=-(x+1)--2

C.y=-(x-1)2+2D.y=-(x+l)~+2

初中

7.如图，将中，N8=32。，ZC=90°,将其绕点/顺时针方向旋转到△力4G的位置，使得

C、4用在同一条直线上，那么旋转角的度数为（）

B.90°C.122°D.132°

8.如图，0O的半径为10匹，强AB的长为16后，。是弦力8上一动点，则线段。夕长的最个值为（）

B.8亚C.5D.6历

9.我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为

170万人次，设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是（）

A.120(1+%)=170B.170(1)=120

C.120(1+x)2=170D.1204-120(1+X)+120(14-X)2=170

2+/ZX+C的图象与X轴交于4（1,0）,8（-4,0）两点，下列说法正确的是（）

B.抛物线的对称轴是直线工=-2

C.4。-2b+c<0D.点（一1,%）和（一3,，2）在抛物线上，则必＞必

二、填空题（本大题共6小题，每个空3分，满分18分.将答案直接填在题中的横线上）

11.在平面直角坐标系中，点力（-3,2）关于原点对称的点的坐标为

初中

12.雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱，如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它

的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度为.

奉

13,已知关于x的一元二次方程f+2x+〃?=0有实数根，则的取值范围是,

14.如图，在中，Z/lC^=90°,Z/l=60o,JC=l,将V4BC绕点C按逆时针方向旋转得到

△A'B'C,此时点H恰好在48边上，则点"与点4之间的距离为.

15.已知〃?，〃是方程X?—2x—3=0的两个根，则代数式+的值为.

16.已知二次函数y=a（x-l）2-a（QrO）,当时，）的最小值为一4,则。的值为.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解方程：X2-2X=3.

18.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,在平面直角坐标系xQr内，三个顶点坐标分

别为4（2,4）、8（1,1）、C（4,3）.

>

x

（I）画出a/BC关于原点对称的△4AC；

（2）画出“BC绕点8顺时针旋转90。后的△4&C,:

初中

19.已知二次函数＞=-/+2x+3.

（I）在直角坐标系内描出该抛物线的图象;

X..................

y••・•••

（2）该抛物线与y轴的交点坐标为,与％轴的交点坐标为；

（3）根据图象，直接写出当y〉0时，自变量X取范围为.

20.已知关于人的方程A2+UA+u-2-0

（I）若该方程的一个根为I,求。的值及该方程的另一根；

（2）求证：二次函数》=/+如十。-2的图象与x轴有两个交点.

2L如图，是。。的直径，。是k的中点，过点、D作DEJ.4B于点E,交。。于点尸.已知

AE=2,DF=S.

（I）求O。的半径；

（2）求证：AC=DF；

22.某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元.市场调查发现•在一段时间内，销售量叩（千克）随销

售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售

初中

利何为y（元），解答下列问题；

（1）请直接写出y与x的关系式；

（2）当销售单价》为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？

（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/十克，公司想要在这段时间内获得2400元的

销售利润，销售单价应定为多少元？

23.【发现问题】

掷实心球是中考体育考试项日之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距

离一直在相应的发生变化.

【提出问题】

实心球竖直高度与水平距离之间芍怎样的函数关系？

【分析问题】

明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：

根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数

的一部分.

■】rn

------------、

X六,7./77.7.7厂.77.77一.厂厂7丁厂厂？7一A

O]JPE

【解决问题】

（I）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是一米，实心球在空中的最大高度是

米；

（2）求满足条件的抛物线的解析式；

（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或

等于9.7米时，即可得满分1（）分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由.

24.如图1,在中，AC=BC=3,点。在48边上，连接。Z）,将。。绕点。逆时针旋转90。

初中

得到CE,连接〃石，DE.

（I）求证：ACADaCBE；

（2）若力。=应时，求CE的长；

（3）如图2,在四边形48CO中，/BCD=45。,/ADB=90。,AD=BD,若CB=3,CD=6,

求4。的长.

25.如图1,抛物线），=・/+区+'与x轴交于力、8两点，与y轴交于点C,已知点8坐标为（3,0）,

（I）求抛物线的表达式；

<2）点〃为直线8C上方抛物线上的一个动点，当△P8C的面积最大时，求点〃的坐标；

（3）如图2,点M为该抛物线的顶点，直线MO_Lx轴于点。，在直线上是否存在点M使点N到

直线MC的距离等于点N到点力的距离？若存在，求出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

初中

2025学年第一学期初三级数学科中段测试（问卷）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间

120分钟.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将答案直接填在下面的表格中.）

1.下列图形中既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考有了中心对称图形的定义：一个图形若绕某一点旋转180。后仍然和原来的图形事合，那么

这个图形就是中心对称图形.也考查了轴对称图形的定义.根据中心对称图形和轴对称图形的定义分别进

行判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；

C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：B.

2.一元二次方程2/+x—1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【解析】

【分析】根据A=〃—4ac即可判断.

【详解】解：b=\,c=-l,

=从-4ac=『-4x2x(-1)=1+8=9>0,

••・一元二次方程2/+x-1=0有两个不相等的实数根.

初中

故选；A.

【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当A>0时，方程有两个不相等的实数

根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当Av0时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根

的方法是解题的关键.

3.抛物线y=(x+l)2+3的顶点坐标是()

A.(1,-3)B.(1,3)C.(-1,3)D.(-1,-3)

【答案】C

【解析】

【分析1根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可.

【详解】解：抛物线y=2(x+l)2+3的顶点坐标是(-1,3).

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键.

4.如图，已知在中，4c是直径，48=。。，则下列结论不一定成立的是()

A.OA=OB=ABB.NAOB=NCOD

C.=DCD.。到C。的距离相等

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案.

【详解】在。。中，弦彳8=弦。。，则其所对圆心角相等，艮】NAOB=/COD,所对优弧和劣弧分别

相等，所以有标二发，故B项和C项结论正确，

VAB=DC,AO=DO=BO=CO

:AABO<ADCO(SSS)

可得出点。到弦48,QC的距离相等，故D项结论正确;

而由题意不能推出48=04,故A项结论错误.

故诜：A

初中

【点暗】此题上要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系.

5.用配方法解一元二次方程/-2工-5=0,下列配方正确的是()

A.+1)2=6B.(x+l)~=9C.(x-1『=9D.(x-1)2=6

【答案】D

【解析】

【分析】将方程常数项移动右边，两边都加上1,左边化为完全平方式，右边合并.

【详解】解：N-2x=5,

x2-Zr+1=5+1,即(x-1)2=6,

故选：D.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1,常数项

移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方

转化为两个一元一次方程来求解.

6.在平面直角坐标系中，将抛物线y=先向右平移I个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的

新抛物线的解析式为()

A.y=-(x-1)2-2B.y=-(x+1)2-2

C.y=-(x-1)2+2D.y=-(x+l)2+2

【答案】A

【解析】

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】解：将抛物线)，=-/先向右平移I个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析

式为：J；=-(X-1)2-2.

故选：A.

【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加

下减是解题关键.

7.如图，将放△ABC中，/3=32。，ZC=90°,将其绕点4顺时针方向旋转到△/用G的位置，使得

C、A、用在同一条直线上，那么旋转角的度数为()

初中

B

【分析】根据三角形的外角的性质得到/4=N4C3+N8即可解答.

【详解】解：•・・在中，=32°,ZC=90°,C、4片在同一条直线上，

・•・/BAB】=/ACB+NB=90°+32°=122°,

故选C.

【点睛】本题考程r平角的定义，旋转性质、三角形外角的性质，找到旋转角并掌握三角形外角的性质

是解题的关键.

8.如图，OO的半径为100,弦AB的长为16旅，P是弦力8上一动点，则线段OP长的最小值为（）

【答案】D

【解析】

【分析】过。点作于〃，连接。8,如图，根据垂径定理得到4"=8"=8,再利用勾股定

埋”算出。〃，然后根据垂线段最短求解.

【详解】解：过O点、作OH14B于H,连接03,如图，

初中

在RUBOH中，OH=J。炉-BH2=《10&)2一(86了=6板,

・•・线段OP长的最小值为6拉.

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了垂线

段最短.

9.我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为

170万人次，设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是()

A.120(l+x)=170B.170(l-x)=120

C.120(l+x)2=170D.120+120(1+X)+120(1+X)2=170

【答案】C

【解析】

【分析】增长后的量=增长前的最x(1+增长率)，如果游客人数的年平均增长率为x,根据2016年约

为120万人次，预计2018年约为17()万人次，即可得出方程.

【详解】解：设游客人数的年平均增长率为「

则2017的游客人数为：120x(l+x),

2018的游客人数为：120x(l+x『，

那么可得方程：120(1+x『=170,

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，属于增长率问题，理解题意，找到题目中的等量关系是解题的

关健.

10.如图，二次函数歹=〃/+法+c的图象与x轴交于4(1,0),8(-4,0)两点，下列说法正确的是()

A.c<0B.抛物线的对称轴是直线工=-2

初中

C.4a-2b+c<0D.点（一1,必）和（一3,%）在抛物线上，则必>为

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握好各项系数对图象的影响、对称轴的求法、特殊点

的函数值、距离比较法是解题关键.观察抛物线交y轴正半轴，c〉0,可判断A,由力（1,（））,4（-4,（））

1-43

两点，可得对称轴为直线工=;一=-2,可判断B,当2时，4a-2b+c>0,可判断C由（一1,乂）

离对称轴的水平距离比（-3,无）离对称轴的水平距离小，结合图象开口向下，可判断D.

【详解】解：A、由图象可知抛物线交V轴正半轴，

AC>0,A错误，不符合题意；

B、丁y=ax2+bx+c的图象与x轴交于4（1,0）,8（-4,0）两点，

1-43

...对称轴为直线x=——=一一，B错误，不符合题意；

22

C、由图知，表示工二一2的点在£与。之间，

:.y=4a-2b+c>0,C错误，不符合题意；

D、，.•抛物线开口向下，一1一（一|）=0.5,-1-（-3）=1.5,

（-1,居）离对称轴的水平距离比（-3,力）离对称轴的水平距离小，

，必>为，D正确,符合题意；

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每个空3分，满分18分.将答案直接填在题中的横线上）

11.在平面直角坐标系中，点力（-3,2）关于原点对称的点的坐标为.

【答案】（工一2）

【解析】

【分析［本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标均互

为相反数.

【详解】解：点/（-3,2）关于原点对称时，横坐标变为相反数3,纵坐标变为相反数-2,故对称点坐标为

（3，-2）,

初中

故答案为:(3,-2).

12.雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱，如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它

的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度为.

【答案】60°

【解析】

【分析】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，“雪花图案”可以看成正六边形，根据正

六边形的中心角为60。，即可解决问题.

【详解】解：“雪花图案”可以看成正六边形，

•・•正六边形的中心用为60。.

・•・这个图案至少旋转60。能与原雪花图案重合.

故答案为：60°.

13.已知关于x的一元二次方程V+2x+加=0有实数根，则用的取值范围是—.

【答案】mWl

【解析】

【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式AZO,即

可列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

【详解】解：・・・x2+2x+〃?=()有实数根，

A=Z)2-4ac=22-4x1x/?/=4-4/?/>0»

/.〃7W1.

故答案为：〃?W1.

14.如图，在中，/力。3=90。,/4=60。,4。=1,将V44C绕点C按逆时针方向旋转得到

△A'B'C,此时点W恰好在力4边上，则点"与点6之间的距离为

初中

fi'

【答案】V3

【解析】

【分析】连接8夕，根据RtZXNB。中，ZACB=90°,ZA=60°,得到N/6C=30。，根据NC=1,

得到8C=百，根据旋转得到，CA=CA',CB=CB',ZACA1=NBCB，,得到△力CH为等边三角形，

得到乙4cH=60。，得到N8Ce=60。，推出V5c5'为等边三角形，得到88'=C3=JL

本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形.解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，

含30度角的直角二角形的性质.等边二角形的性质与判定.

【详解】解：连接解夕,如图,

•・•在Rt△45C中，4CB=90°,ZA=60°,AC=\,

・•・ZJ5C=30°,

・•・BC=6AC=6,

•・•V/8C绕点C按逆时针方向旋转得到△H8'C,点4恰好在AB边上,

ACA=CA,CB=CB',NACA'=NBCB'

•••△ZCH为等边三角形，

・•・ZACAf=60°,

・•・ZBCBf=60°,

・・・V8C9为等边三角形，

・•・BB'=CB=5即点B'与点8之间的距离为G.

故答案为：V3.

初中

15.已知〃?，〃是方程/一2%一3=（）的两个根，则代数式〃/-26+〃?〃的值为.

【答案】0

【解析】

【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关犍是掌握用，%是一元二次方程

,bc

ax?+bx+c=0（。wO）的两根时，X1+x2=——，x]x2=—.

a~a

利用根与系数关系，利用整体代入的思想求解.

【详解】解：•，明〃是方程工2一2工一3二0的两个根，

，〃?〃=-3>ni2-2m-3=0»

•'・m2-2m=3，

:.nv-2m+mn=3-3=0•

故答案为：0.

16.已知二次函数歹二。（工一1）2-4（。/0）,当一14工44时，少的最小值为一4,则。的值为.

【答案】4或一,

2

【解析】

【分析】由题意可知y=a（x-l『-a（aHO）的对称轴为直线工=1,顶点坐标为（1,一〃），分两种情况讨

论：当。>0时，一〃二一4,解得4=4；当〃<0时，在9a—a=-4,解得。二，即可

2

求解答案.

【详解】解：y=a（x-l『-a（awO）的对称轴为直线x=l,

顶点坐标为（1,一〃），

当a>0时，在一1WXW4,函数有最小值一。，

•・・y的最小值为-4,

一。=一4,

工4=4:

当。<0时，在-l«xW4,当x=4时，函数有最小值，

9a-a=-4,

初中

解得a二一《；

2

综上所述：〃的值为4或一

2

故答案为：4或一

2

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数

的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键.

三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.解方程：X2-2X=3.

【答案】玉=3,々=-1

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程.

先移项.将方程化为标准形式.再根据因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：--2'=3

X2-2X-3=0

(x-3)(x+l)=0

x-3=0或x+1=0

-

解得X]=3,X2=1

18.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,在平面直角坐标系xQu内，△48C三个顶点坐标分

别为4(2,4)、8(1』)、C(4,3).

(I)画出△片8c关于原点对称的△4£G；

(2)画出“5C绕点。顺时针旋转90。后的△44。2；

初中

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考杳旋转作图，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置.

（|）利用中心对称变换的性质分别作出43,c的对应点4,4,G，然后顺次连接即可;

（2）利用旋转变换的性质分别作出43,。的对应点4，&，G，然后顺次连接即可.

【小问1详解】

解：所作如图所示：

19.已知二次函数），=一%2+2X+3.

初中

（I）在直角坐标系内描出该抛物线的图象;

X................

y................

（2）该抛物线与y轴的交点坐标为，与％轴的交点坐标为；

（3）根据图象，直接写出当y>0时，自变量X取范围为.

【答案】（1）见解析（2）（0,3）,（3,0）与（—1,0）；

（3）-l<x<3

【解析】

【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识.利用数形结合的思想是

解题关键.

（I）列表，画出图象即可；

（2）令+2x+3中x=0,求出函数图象与1轴交点坐标，令y=（）,求出x的值，即得出该二次

函数图象与X轴的交点坐标；

（3）结合图象即可解答.

【小问1详解】

解:列表，

X.......-10123........

y.......03430••••••

初中

画u；

4

令y=。，则一/+2x+3=0，得x=3或工=一1,

・••抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）,与X轴的交点坐标为（3,0）与（-1,0）：

【小问3详解】

由组象可得，当>>0时，自变量x的取值范围是

20.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0

（I）若该方程的一个根为I，求。的值及该方程的另一根；

（2）求证：二次函数歹=/+仆+。-2的图象与x轴有两个交点.

13

【答案】（1）«=-,另一个根为一二；（2）见解析

22

【解析】

【分析】⑴把尸1代入方程（+双+〃・2=0中，即可求得a的值：把。的值代入方程/+。t+。・2=

0中，解方程即可；

（2）计算判别式，根据判别式即可证明结果.

【详解】（1）把x=l代入方程x2+ax+a-2=（）中，得：1+〃+〃-2=0

解得：

2

11q

把。=大的值代入方程x2+ax+a-2=0中，得方程/+知-：=0

222

3

解方程得：X[=\yx2=--

即方程的另一个根为-1；

2

（2）令尸0,即/+a》+。_2=0

VA=a2-4x1x（«-2）=-4a+8=（a-2）2+4>0

初中

・•・方程2=0总有两个不相等的实数根

,二次函数y=/+ax+a-2的图象与x轴有两个交点.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次

方程根的判别式，熟练掌握这些知识是解决本题的关键.

21.如图，48是。。的直径，。是念的中点，过点D作DEJ.4B于点E,交OO于点已知

AE=2,DF=S.

(I)求。。的半径；

(2)求证：AC=DF；

(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查J'垂径定理及推论、勾股定理、弧、弦的关系，关键是熟练应用知识点解题;

(1)设半径为x,在直角三角形OER中利用勾股定理列方程即可求解•：

(2)根据弦、弧的关系可证.

【小问1详解】

解：设半径为x,

VDE1AB,48是。。的直径，

：.EF=-DF=-xS=4,NOEF=90。，

22

VAE=2,

/.OE=r-2,

OF2=OE2+EF2，

Ar2=(r-2)2+42,

/.r=5；

【小问2详解】

证明；丁。是介的中点，

初中

AD=CD，

VDEIAB,是OO的直径，

♦♦

一AD=AF，

・♦♦

**CD=AFf

♦♦♦♦

**AD+CD=AD+AF'

:♦AC=D『

・•・AC=DF.

22.某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元.市场调杳发现.在一段时间内，销售量卬(千克)随销

售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2X+240.设这种绿茶在这段时间内的销售

利福为J'(元)，解答下列问题：

(I)请直接写HlN与x的关系式：

(2)当销售单价x为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？

(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的

销售利润，销售单价应定为多少元？

【答案】(I)y=-2x2+320x-9600(40<x<120)

(2)当x=80时，J有最大值，最大值为3200.

(3)售单价应为6()元

【解析】

【分析】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会

构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型.

(I)根据俏售利润=每千克的利润x销售量列出函数解析式即可：

(2)用配方法化简函数式求出y的最大值即可.

(3)令y=2400时，求出X的解，再根据题意•解答即可.

【小问1详解】

解：y=(x-40)-w=(x-40)-(-2r+240)=-2x2+320x-9600,

・•・y与X的关系式为：y=-2x2+320x-9600(40<x<120).

故答案为：y=-2X2+320X-9600(40<X<120)；

初中

【小问2详解】

解：y=—2/+320X—9600,即歹二-2(x—80)?+3200

•.•Q=-2<(),抛物线开口向下，

V40<x<120,

...当x=80时，N有最大值，最大值为3200.

【小问3详解】

解:令-=2400,则2400=—2—+320,-9600，

解得西=60,x2=100

依题意，x<90,

故々二100不符合题意，舍去，

所以销售单价应为60元.

23.【发现问题】

掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距

离一直在相应的发生变化.

【提出问题】

实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？

【分析问题】

明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：

米）的数据如下表：

水平距

0245689

离x/m

竖直高

3.23.63.53.221.1

度y/m

根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数

的一部分.

।m

----------、

T........；\

zV^Z777厂F777厂7TT厂厂丁丁一

初中

【解决问题】

（I）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，实心球在空中的最大高度是

米；

（2）求满足条件的抛物线的解析式；

（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或

等于9.7米时，即可得满分1（）分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由.

【答案】（1）2,3.6

（2）；；=-0.1（X-4）2+3.6

（3）明明在此次考试中能得到满分，见解析

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函

数解析式及二次函数的性质.

（I）根据图表即可求解：

（2）设抛物线的解析式为歹=。（'-力『通过图表求出抛物线的顶点，再代入（0,2）即可求出解析式；

（3）把y=0代入＞=一0.1（工一4）2+3.6,即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果.

【小问1详解】

解:由题意可知出手时实心球的竖直高度即为x=0时y的值，

通过图表可得当x=0时，y=2,

得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，

由当x=2时，歹=3.2；当x=6时，y=3.2,

可得对称轴为直线x=4,

则当x=4时，实心球在空中取得最大高度，

通过图表可得当》=4时，y=3.6,

得实心球在空中的最大高度是3.6米，

故答案为：2,3.6；

【小问2详解】

解:设抛物线的解析式为y=〃（x—/?『十%,

由（1）得抛物线的顶点坐标为（4,3.6）,

初中

则力=4,左=3.6,

得抛物线的解析式为y=〃（x-4）2+3.6,

把（0,2）代入，

得。（0-4『+3.6=2,

解得。=—0.1,

••・抛物线的解析式为y=-0.1（x-4）2+3.6；

【小问3详解】

解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：

把》=。代入y=—0.l（x-4y+3.6,

得-0.1（工-4）2+3.6=0,

解得内=10或W=-2（不符合题意，舍去），

V10>9.7,

・•・明明在此次考试中能得到满分.

24.如图1,在RL/8C中，AC=BC=3,点D在AB边上,连接C。，将C。绕点。逆时针旋转90。

得到CE,连接BE,DE.

（I）求证：KAD知CBE；

（2）若力。=J5时，求CE的长；

（3）如图2,在四边形Z8CQ中，NBCD=45。,ZADB=90°,AD=BD,若CB=3,CD=6,

求的长.

【答案】（1）见解析（2）逐

（3）9

【解析】

【分析】本题主:要考杳了图形的II何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

初中

质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

(I)利用旋转的性质推出CO=C瓦NOC£=90。，进而得到//。。=/8。。=90。一/8。。，结合全

等三角形判定定理即可证明KADaCBE；

(2)连接。E,利用勾股定理求出力3,进而求出8。，利用全等三角形性质推出8£=力。=收，

ZEBD=90°,结合勾股定理求出。E,在RtaCOE中，再次结合勾股定理建立等式求解，即可解题：

(3)将CD绕点。顺时针旋转90。得到。尸，连接,4凡CF.由(1)同理可证△C4OgaE4Z)(SAS),

结合全等三角形性质，等腰直角三角形性质，在RtaCOR中，利用勾股定理建立等式求解，即可解题.

【小问1详解】

证明：由旋转的性质可知，CD=CE,ZDCE=90°,

N4CB=90。,

4CD=/BCD=90°-/BCD,

•「AC=BC=3,

:..CAD%CBE(SAS):

【小问2详解】

解：连接。E,

•.•在RlAJ8c中，AC=BC=3,

.•."3+32=3应，/A=/ABC=45。,

丁&CAD知CBE,AD=C，

"CBE=ZJ=45°,BE=AD=6，

BD=AB-AD=272,ZEBD=N4BC+NCBE=90°,

:.DE=^BD2+BE2=V10，

vCD=CE,ZZ)CE=90°,

初中

:.CD2+CE2=2CE2=DE2即CE=^X加=6

2

【小问3详解】

解：将CQ绕点。顺时针旋转90。得到。口，连接力£CF

由（1）同理可证△CBDgAEW（SAS）,

•:CB=3,CD=6,

:.AF=CB=3,FD=CD=6,

vZC£）F=90°,ZBCD=45c,

CF=yJCD2+FD2=672»/DCF=ZDFC=/BCD=45。,/AFD=/BCD=45。,

:"AFC=ZAFD+ZDFC=90°,

AC=y]AF2+CF2=9.

25.如图1,抛物线y=・N+bx+c与x轴交于4、8两点，与y轴交于点C,已知点8坐标为（3,0）,

（I）求抛物线的表达式；

（2）点P为直线8c上方抛物线上的一个动点，当△P8C的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2,点〃为该抛物线的顶点，直线MD_Lx轴于点O,在直线MZ）上是否存在点N,使点N到

直线MC的距离等于点N到点4的距离？若存在，求出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

初中

315

【答案】(l)y=-r+2什3；(2)点P(一，一)；；(3)存在；点N坐标为(1,-4+2#)或(1,-4-2#).

24

【解析】

【分析】(1)根据点8(3,0),点C(0,3)在抛物线y=・3+瓜+。图象上，利用待定系数法代入抛物

线解方程组即可：

(2)过点户作轴于〃，交8C于点G