2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末测试卷（含答案）

2025-2026学年高二数学上学期期末测试卷

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答窠写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版选择性必修第一册。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.抛物线x=-［y2的准线方程为()

A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=1

2.经过两点(5,3)和(-1,9)的宜线的倾斜角为()

A.7B.二C.yTTD.yTT

4346

3.直线］的一个方向向量为万二(-4,2,2),平面a的一个法向量为五二(2,-1,幻，若［//平面a,则工二()

A.-5B.5C.-1D.1

4.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有()

A.480B.360C.240D.144

5.已知随机变量X的分布列如下，若E(X)=0,则。(3X+1)=()

X-2012

11

Pmn

61

7

A.gB.7C.21D.22

6.在棱长均相等的平行六面体力—中，^AXAB=^AXAD=Z.DAB=60°,则向量后1在向量

而1上的投影向量为()

A.y/2BBxB.；西C.D.2BBX

』—，=的左、右焦点分别为％,F,过原点。的直线与的左、右两

7.己知双曲线C；l(a>0,6>0)2C

支分别交于48两点，点。在C上且取=2西，若以88为直径的圆过点心,贝哈的值为()

8.在三棱锥0-48C中，04=0B=0C=l,48=8C=(L4=&,点P满足丽=mH5+n而+/沅,

若实数m,n,［满足m+2n+3/=3,则OP的最小值为()

「3V73m

A.V3B.亭

C-T14

二,选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得()分。

9.设随机变量X〜N(〃i，决)，随机变量V〜N(〃2,潴)，其正态密度曲线如图所示，则()

A.B.P(X>//j)>P(X>^2)

C.D.P(Y>(Jj>P(Y><72)

10.在对具有相关关系的两个变最进行回归分析时，若两个变局不呈线性相关关系，可以建立含两个待定

参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项

为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可

以根据上述方法进行回归分析的模型有()

22

A.y=cYx+c2xB.y=艺

xC2

C.y=c1+ln(x+c2)D.y=cxe^

11.已知随机事件48满足PG4)=J,P(8)=；,P(A\B)=P(A\B),贝U()

CJ

A.P(AB)=2P(AB)B.P(AB)=P0)P(F)

C.P(A\D)=1D.P(A|O)=g

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知在Q2+X+Q)5展开式中含好的项的系数为51,则正实数。的值为.

13.在平面直角坐标系XQM中，的顶点A的坐标为(-4.2),边上的中线CM所在的.直线方程为

x-y+l=0,的角平分线所在的直线方程为2x+y-2=0,则直线BC的方程为.

14.已知以M为圆心的圆时:》2+丫2一12%一14、+60=0及其上一点力(2,4),设7(匕。)满足：存在圆M上

的两点尸和Q,使得五5十汴=&,则实数t的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知在（返-益）”的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3.

⑴求n；

（2）求展开式中所有的有理项.

16.（15分）

如图，在直四棱柱力中，四边形/BCD是菱形，AB=AAi=2,乙84。=g点E是棱为当

（1）求异面直线BE与4/所成角的余弦值；

（2）求直线6%与平面/1C6所成角的正弦值.

17.（15分）

地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体

征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER,PER分为PERI（导致早起倾向）和PER。（导致

晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠送行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下

是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标:

实验鼠编号12345678

Sd指标9.959.999.969.9610.019.929.9810.04

实验鼠编号910111213141516

Sd指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00,则认定其体征状况严重，

⑴从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；

⑵若编号1〜8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9〜16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据

小概率值a=0.1的独立性检验，分析GRPE雷白干预是否与实验鼠体征状况有关？

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

n(ad-hc)2

附：/=(其中〃=a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.(17分)

甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有I道题目，比赛时甲、乙同时呵I答这一个问题，若一人答对且

另一人答错•，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错•，则两人均得0分.根据

以往答题经验，每道题甲答对的概率为右乙答对的概率为全且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的

结果也互不影响.

(1)求在一局比赛中,甲得10分的概率;

(2)设这次比赛共有4局，设V为甲得。分的次数，求y的分布列和数学期望；

(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率.

19.(17分)

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗

尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点M与两定点Q,P的距离的比值摆=入(2>0,入。1)是个

常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方

程为d+y2=2,定点分别为椭噂+'=l(a>b>0)的右焦点厂与右顶点4且椭圆C的离心率为e=/

U)求椭圆。的标准方程；

(2)如图，过点F斜率为k(k<0)的直线，与椭圆C相交于8,0(点B在工轴上方)两点，点S,T是椭圆C上异

于8,。的两点，SF平分NBSD,TF平分2BTZ).

①求乳的取值范围；

②将点S,F,T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的周长为3乃m求直线［的方程.

参考答案

12345678

BCBACDCD

91()11

ABDABCAB

12.113.18x-y-38=014.12-2氏2+2可

四,

15.(13分)

〃(〃1)(〃2)(3)2!14

【解析】（1）依题意有C：:C：=14:3,

4;«(??-1)3

整理可得/?一5〃-50=0,解得〃=10或〃=-5（不合题意,舍去司所以〃的值为10.（6分）

］。-«（1V/1\*IO-2K

（2）展开式通项为a=C：o（五厂•—十=-C：o•厂（攵=0,1,2广，1“（8分）

由题意得为丝wZ（2=0,l,2,…,10）,则“{2,5,8},（10分）

所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为=生/，C^-1T=-^

|】=丝/.⑴分)

C1

H4.256

16.（15分）

【解析】（1）连接5。，交力。于点O,因为力8c力是菱形，所以4C18D,

分别以08。。为xj轴，过。与彳4平行的直线为z轴建立空间直角坐标系O-x产，（2分）

如铝，AB=AAi=2,/BAD*,则04=OO=1,0/=OC=3，

所以4（0,-6o）,8（1,0,0）,2（-1,0,2）,4（1,0,2）,4（0,-G,2）,

点E是棱4片的中点，则,2），

麻=（一；，一半，2）,丽=（—l,C,2），（6分）

——-13一_

BEAD2_2+4_3V1U

cos（BE,/Oi）=X

I函I何广二K

-^-+4-VI+3+4

所以异面直线8E与42所成角的余弦值为亚；（8分）

20

（2）由（1）知刀=（0,26,0）,设平面4cA的一个法向量是3=（x,y,z），

n-AD=-x++2z=0

则}取Z=1得G=（2,0,l）,（12分）

n-AC=2y/3y=0

班=（0,0,2）,

BB^-n_2_V5

cos（BB；,五）=|西|同一又后一丁

所以直线BB、与平面ACD,所成角的正弦值为手.（15分）

17.（15分）

【解析1（1）由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重.

X的可能取值有0，1，2,3,（1分）

砌9

P—°）

令小户"）=。20

]23

P（X=2）=专Cc=K97,P（,X=3）=^c-=-1.（5分）

'，％80'，C116

所以X的分布列为

X0123

39271

P

202080-16

3977121

所'”的数学期望或所。、痴+”而+2,羔+3、1rH（8分）

（2）由题意得，根据所给数据，得到2x2列联表:

GRPE蛋白干预非GRPE蛋白干预合计

体征状况严重257

体征状况不严重639

合计8816

零假设〃0：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系.

利用列联表中的数据得，2/6!2X3-5x6）-之2.286<2.7D6=%，（14分）

8x8x7x97

根据小概率值。=0.1的独立性检验，没有充分证据推断〃。不成立，因此可认为〃。成立，即认为实验鼠体

征状况与GRPE蛋白干预无关.（15分）

18.（17分）

【解析】（I）设X表示在一局比赛中甲得分，则“X=10”表示中答对且乙答错的情况，

根据独立事件概率乘法公式，可得P（X=10）=:x!=L；（3分）

236

（2）X=0包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，

121

甲、乙都答对的概率为7x7=：;，

233

（1W2^1111

甲、乙都答错的概率为>7x1--=-x-=-,

k2八3；236

根据互斥事件的概率加法公式，可得p（x=o）=[+，=!，

362

因为每局比赛甲得0分的概率为:，且每次答题的结果互不影响，所以y〜（6分）

则叩=。）=%©（用

1

叩:3・小=—,

4

1_3

p(y=2)=cy=6x《=-9

8

p(y=3)=C]

叩=4）=C*）'/,

则y的分布列为：

Y01234

131

P

16484正

贝jy的数学期望七(Y)=4X]=2；(10分)

(3)甲最终获胜有以下四种情况：

①三局都得1()分，其概率为仕丫=」_,

\6)216

②两局得10分，一局得0分，其概率为XL=3XLXL=L,

3⑻236224

③两局得10分，一局得-10分，其概率为c；dxL=3xLxL=L,

3\6)336336

④一局得10分，两局得0分，其概率为C；,xd=3xLxL=L,

6\2)648

甲最终获胜的概率为—J—+—+—+=1+9+6+2743

综上可得,市•⑴分)

21624368216

19.(17分)

方法1：令A/(土&----7=7=——^-,且a=2c,解得c?=l,

【解析】(1)

-\/2|a+x/2

.〃2=4力2=/—,2=3,椭圆C的方程为三+匚=1.(4分)

43

方法2：设M(xj),由题意黑二=2(常数),

IMyj(x-a)2+y2

整理得一…+若x+若皿

2c-2。储八

----；-----=V

故,,,一1,,又£=!，解得：”=2,C=1.

A-a--c-ra2

^r=-2

.」-2=3,椭圆C的方程为三+汇=1.

43

方法3：设M(xj),则-+J,2=2.

由irt聿网目="1一0)2+/=近一。)2+2一9="2+2-2cx

过J(x-a)2+V^(x-a)2+2-x2>Ja2+2-2ax

••・明为常数，.•.4=£,又£=:，解得：/=4,/=1,故〃=a2—c2=3,

a-+2aa2

•••椭圆。的方程为匕+匕=1.

43

（2）①由角平分线定理知：朗二阁，以下求情的值，

令宜线BO的方程为：x=my+\（m＜0）,

x=my+1

■A2y2=（3〃/+4）/+6〃少-9=°（该方程的△＞（）恒成立）,

--F--=1

43

6m

设4（不必）,。&,以卜（玉＜Z）.则M+为=-3机2+4,必必-3〃/+4

再令萨=4而，即y=-2乃，代入韦达定理得

6m（T