2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷01【测试范围：上海专用必修第一册+三角】（全解全析）

高一数学上学期期末模拟卷01（上海专用）

全解全析

（考试时间：120分钟,分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版版必修第一册十三角

一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1Y题每题满分4分，第7T2题每题满分5分）考生应

在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1.函数/（x）的定义域为则》=/与的定义域为____________.

x+1

【提示】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解；

【答案】（T2]

-2<2%<4

【解析】由题意得；;，解得-1CW2且x-l.故定义域为（7,2],

x+100

故答案为：（7,2]

【说明】本题考查了抽象函数的定义域、具体函数的定义域

2.写出与色终边相同的角的集合是

4

【提示】根据终边相同角的表示方法即可得解;

71

【答案】\a\a=—+2kit、k€Z>：

【解析】终边相同角相差2兀的整数倍,

因此与?终边相同的角的集合是a,=g+2E，女EZ、

故答案为:a\a=—+2kii,kwZ>.

6

【说明】本题考查了任意角与终边相同角的表示；

3.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图,

假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OCO,再在该扇形内剪下一个同心小扇形04?（作为扇骨留

当扇子扇形的圆心角为等rad时，扇面看上去形状较为美观.已知

白），形成扇环形状的扇面/I8CD.

20几

AD=20cm,弧川？的长为cm,则此扇面的面积为

3

【提示】利用弧长公式求出04的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积;

800n

【答案】

3

20兀

【解析】设04s因为圆心角。=与，弧"的长为小cm,代入弧长公式卜可得

3

20z27r

r=Txr,解得r=IOcm.

由扇形面积公式5=5同尺2可得：=-a(r+AD)2=-x-^x(10+20)2=300^2,

127rs2100兀

S电形/3=9。卜■2=-x-xlO-=---cm,

233

=3。。兀-幽二幽cm2.

所以此扇面的面积为S=S出形g,-S由形

33

SOOn

故答案为:

3

【说明】本题考查了扇形弧长公式与面积公式的应用

4.函数y=。"2°25+2025（。＞0,。丰1）的图象恒过定点

【提示】由“°=1,将v=-2025代入函数表达式，计算即可求解.

【答案】（-2025,2026）

【解析】对于函数y=优”25+2025（。＞0,。H1）,

令x=-2025,得歹=2026,

所以函数图象恒过定点（-2025,2026）.

故答案为：（-2025,2026）

【说明】本题考查了指数型函数图象过定点问题;

5.函数/-m-1卜.+3是事函数，且在（0,+8）上单调递增，则实数〃?=

【提示】利用黑函数的定义，图象和性质求解.

【答案】2

【解析】="L1）/E+3是幕函数，一用一1=],.机=2或机=一1,

当初=2时，/（x）=xH,满足在（0,+8）上单调递增，

当阳二一1时，/（力=婷,不满足/（X）在（0,+8）上单调递增,

故阳=2.

故答案为：2

【说明】本题考查了由幕函数的单调性求参数、根据函数是幕函数求参数值

6.已知修若sin[a+£]=：,,则sin（a-4）的值为.

【提示】先利用同角的正余弦的平方关系可求得cosja+2}sinj/7-^j,再根据两角差的正弦公式求值

即可；

【答案】当

65

【解析】因为名般传罢],所以枭a+枭凡一枭尸一

V3672626

.（兀14（.5兀15

因为sina+工=-,cos,

I6J5I6J13

5)I\3)51365

故答案为：瞿

65

【说明】本题考查了用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦

sin2a

7.巳知tana=2,则的值为

sini23a+sinacosa-cos2a-1

【提示】利用二倍角公式，结合商数关系式弦化切，再代入tana=2可解得结果;

【答案】1

sin2a

【解析】

sin?«+sin«cosa-cosla-1

2sinacosa_2tana_2x2

sin，a+sinacosa-2cos'atan'a+tana—222+2-2

【说明】本题考查了二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算

8.函数/（x）=E在区间p上的值域为.

【提示】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果.

【答案】[4-{

【解析】/（.r）=—=+=,因为所以g«x+lW3,

''1+xx+\x+\22

ii74^?

所以;4—4：,所以一一七《一：，

3x+133x+13

所以一;,即

所以〃x）的值域为-1,1.

故答案为：一；，；■

JJ

【说明】本题考查了复杂分式型函数的值域

9.设xeR,方程|x-l|+|2x-1|=艮.2］的解集为

【提示】由绝对值三角不等式取等的条件可得出关于x的不等式，解之即可.

【答案】（ymU[i,+8）

【解析】因为卜-1|+"忖x-l）+（2x-l）|=|3x-2|,

当且仅当（X-1）（2X-1）20,解得xK；或xNl,

故方程卜-1|+|2.・1|二段-2|的解集为‘00』141收）.

故答案为：gU[l,+oo).

【说明】本题考查了绝对值三角不等式

2

10.已知函数/(司=^^+〃?(耐力0)是奇函数，贝卜〃=.

【提示】解法一：由/(X)在X=O处有定义的奇函数，利用/(0)=0即可求解;

解法二：利用奇函数的定义得/(.¥)=/(X),进而求解.

【答案】-4

【解析】解法一：•••/⑴在x=0处有定义，

•••/(0)=0是J=/(X)为奇函数的必要不充分条件,

由"0)=0解得机=-4(加=0舍去)，

经检验，m=-4时，y=/(x)为奇函数.

故答案为：-4.

解法二：由尸/(x)为奇函数得f(~x)=-f(x),

口n〃广2'•加2(A

即---：---+m=------+w=-——：---+m.

2-向+22+2川r(2*”+2)

解得w=-4(m=0舍去).

故答案为：-4.

【说明】本题考查了函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数

2

11.已知定义在R上的函数/⑺满足/(2r)+/(x)=0,且当时，/W=log.(x-2x+2)f则

不等式/(—-3x)+〃2x)N0的解集为

【提示】根据给定条件，可得函数的图象关于(L0)对称，再利用复合函数单调性求出函数在R上的单调性,

再借助性质解不等式.

【答案】{止14x42}

【解析】因为/(2r)+/(x)=0,所以/(x)的图象关于(1,0)对称，

当了21时，“=x2—2x+2=(x-lf+121,且单调递增，又尸四「在[1,+8)上单调递减.

由复合函数单调性知在［1，帝)上单调递减，

又因为/(X)的图象关于点(1,0)对称，所以/(X)在R上单调递减.

又〃x)=-/(2r),则/(2x)=-/(2-2x),

所以由/1一3“+/(2力之0,可得/卜2一3”—/(2-2x)N0,

gp/(x2-3x)>/(2-2x),所以丁―3x42—2%,即/一.”2«0,

解得-1KXK2,所以该不等式的解集为k|-1V}.

故答案为:{4I=。}

【说明】本题考查了根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、函数对称性的应用

12.如果函数/(x)满足对任意s、止(0,+8),有f(s+f)</(s)+/(f),则称f(x)为优函数.给出下列四个

结论：

①8")=皿1+月(%>0)为优函数；

②若/(x)为优函数,则/(2025)<2025/⑴;

③若/(X)为优函数，则/(x)在(0,+")上单调递增：

④若尸(x)=在(0,十“)上单调递减，则/(x)为优困数.

X

其中所有正确结论的序号是.

【提示】利用优函数的定义可判断①；利用赋值法推导出2/(1)>/(2)、3/(1)>/(3),逐项递推可判断

②；取/(1)=-丁，x>0,结合优函数的定义可判断③；利用减函数的性质、不等式的基本性质结合优函

数的定义可判断④.

【答案】①②④

【解析】对于①，因为八，e(0,+oo),

则g(s)+g(f)-g(s+，)=ln(l+s)+ln(l+f)-ln(l+s+f)

1+s+Z+sf.(st、i［八

=In----------=In---------=ln1+------>Ini=0,

1+S+Z1+5+Z\1+5+/)

所以，g(s)+g(，)>g(s+f),则g(x)=ln(l+x)是优函数,故①正确；

对于②，因为Q(x)是优函数,«!|/(1)+/(1)>/(1+1),gp2/(l)>/(2),

/(2)+/(1)>/(2+1)=/(3),即3/⑴>/(3),

同理可得"⑴>/(4)、…、2025/(1)>/(2025),故②正确；

对于③，例如/'(》)=一/，x>0,

满足/($+/)-/($)-/(/)=-(s+f『+?+『=-2sf<0,

所以，/(s+0<〃s)+/(/),则f(x)为优函数,

但"、)=*在(0,+。)上单调递减，故③错误；

对于④，若尸(x)=3在(0,+巧上单调递减，

X

任取s、tG(0,+CO),$+/>$,.$+/>/,则尸(5+，)<尸($),F(.S'+/)<F(t)t

所以，空乜但

S+tSS+/t

变形为V(s+/)<(s+/)/(s),tf[s+t)<(s+t)f(t)9

两式相加得：(5+r)/(5+/)<(5+r)[/(s)+/(r)],

因为s+/>(),所以，/(s+0</(s)+/«),所以，/(X)为优函数，故④正确.

故答案为：①②④.

【说明】本题考查了比较函数值的大小关系、函数新定义、对数函数单调性的应用；

归纳：函数新定义问题的方法和技巧：

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分)

每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否

则一律得零分.

13.若命题甲：x-l=O,命题乙：lgh-lgx=(),则命题甲是命题乙的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分也非必要条件

【提示】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.

【答案】A

【解析】当x-l=O,即x=1时，lg2x-lgx=lg2l-lg1=0,故命题甲可推出命题乙；

当lg"-lgx=0,可得x=l或x=l(),故命题乙不可以推出命题甲，

故命题甲是命题乙的充分非必要条件，

故选：A.

【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件、简单的对数方程

14.英国数学家哈利奥特最先使用和"A'符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.对于任意实数4、b、c、d,下列命题是真命题的是()

A.若/〈b"则avbB.若avb,则ac<比

C.若a<b,c<d,Ijlljac<bdD.若a<b,c<df则a+c</)+d

【提示】借助不等式的性质判断即可；

【答案】D；

【解析】对A：因为/<从，可能〃<"0,故错误；

对B：当c<0时，若a<b,则ac>6c,故错误；

对C：当a</><(),c<d<()时，则故错误；

对D：若a<b,c<(I,则a+c<6+”,故正确.

故选:D;

【说明】本题考查了由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小

15.已知a,夕均为锐角，sina=2sin/ycos(a+力)，则tana取得最大值时，tan(a+/?)的值为()

A.石B.72C.2D.1

【提示】由sina=2sin/cos(a+/?)=2sin"cos/ycosa-2sinasin，p,两边同时除以cosa得

tan<7=2sin/?cos/?-2tanasin2p,再将tana用tan/表示，再结合基本不等式求出tana的最大值及此时

tan6的值，再根据两角和的正切公式即可得解.

【答案】A

【解析】由sina=2sin£cos(a+夕)=2sin/?cos夕cosa-2sinasin?P,

两边同时除以ssa得tana=2sinpcos/?-2tanasin2[i,

2sincos/72sin/?cos/?2tan/72

tana

222

所以l+Zsin?/?cos/7+3sin/?1+3tanft3tan/j_

tanp

因为。，/均为锐角，所以tana>0,tan4>0,

2

tana=-------------：—=B

则3tan/?+------~T,

tanp

当且仅当3tan〃=*^^,即tan/?=理时取等号,

B且

所以tana取得最大值时，tan(a+/?)=%%='.

1-TXT

故选：A.

【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小

2sin/7cos/?_2tanp

值；解答本题的关键是：将已知变形成tana=

l+2sin?4-1+3tan?6

16.设/(x)、g")、〃")是定义域为R的三个函数，对于命题：①/(x)一定可以写成一个奇函数和一个

偶函数之差;②若/(x)+g(x)、/(力+)(工)、g(x)+M")均是定义域上的奇函数，则/卜)、g(力、A(x)

均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题

B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

【提示】对于①：根据题意结合奇偶性的定义分析判断即可；对于②：根据奇偶性的性质分析判断即可.

【答案】A

【解析】对于①：设〃MX)、”(X)是定义域为R的函数，m(x)为奇函数，〃(“为偶函数，

且/(x)=〃(x)7〃(x),可得/(T)="(-X)-〃[(-X)=〃(》)+加(工)，

r田/\/(-X)-/(X)、/(X)+/(-X)

可得〃?(')二一^—；''，二・'，；'-J

因为加(r)=/3]/(r):一〃一'：/")〜/”'),可知〃?⑴为奇函数，

〃(一力=止竽⑻=〃(X),可知“(X)为偶函数，故①为真命题；

对于②：设户(x)=g(x)+M%),G(x)=f(x)+h(x),H(x)=f(x)+g(x),

可知/(x)、G(x)、"(x)均是定义域上的奇函数，

且「""〃(司+团”—/"),g")「(工)+〃3-63,力㈤二二(”+G(x)—H(x)

所以/(')、g(4)、力(可均是定义域上的奇函数，故②是真命题；

故选：A.

【说明】本题综合考查了函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的定义与判断

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

步骤.

17.(本题满分14分)

设全集U=R,集合力={小>小},8=何一3Vx<5}.

(1)当〃?二一2时，求力e8：

(2)若“x"”是"xC的必要条件，求，〃的取值范闱(最终答案用集合的形式表示).

【提示】(1)利用补集的运算求出力，利用交集的运算求出力n^；

(2)由是的必要条件，得到利用子集的定义求解即可.

【答案】(1)AnB={x\-3<x<-2}；(2){〃?何4一3}.

【解析】(1)当〃?=-2时，集合N={x|x>—2},

又因为全集U=R,所以「二卜屋一2},

因为集合8=k卜3Vx<5},所以Nn8={M-3<x<-2}.【6分】

(2)因为“工仁力”是“xe4”的必要条件，所以

又因为集合力={x|x>""，8={H-3<X<5},所以加4-3.

即用的取值范围为{川加工-3}.114分]

【提示】本题考查了包含关系求参数、交并补混合运算、必要条件

18.（本题满分14分）

已知第二象限角a满足sina,cosa是关于x的方程25/-5工-12=0的两个实根.

（1）求tana+—!—的值；

tana

2sina+cosa

（2）求.？3------：—；的值.

sina（2cosa-sina）

【提示】（1）由韦达定理及。为第二象限角，解出sina,cosa,进而求得tana,代入求值即可;

2sina+cosa.（sin,a+cos2a）（2sina+cosa）

力监——；------------铁〃4'八____________L

sin'a（2cosa-sincr）sin2（2（2coscr-sintz）

(tan2«+l)(2tan«+l)

分子分母同除cos2acosa得到,代入求值即可.

tan'a(2-tana)

2525

【答案】(1)(2)-

1.12

【解析】（1）由题意知：sina+cosa=-^f■=—.sinacosa=-----,

4J525

4田

又a为第二象限角，解得sina=1,cosa=-3故tana=-§4,

所以tana+,=_g_]=_q；【6分】

tan<73412

4

(2)由(1)知tana=-1,

2

又2sina+cosasin2a+cosa)(2sina+coscr)(tan2a+l)(2tana+1)

sin%(2cosa-sina)sin%(2cosa-sinatan%(2-tana)

当山.如8

93

(14分】

幺2+士4JJ

93

【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦）、由条件等式求正、余弦

19.（本题满分14分）

随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成

为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，4-8-C-4为某区的一条健康步道，AB.NC为线段，数是

以BC为直径的半圆，AB=2密km,AC=4km,ABAC=y

6

cB

石

74

（1）求：8c的长度：

（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道4-D-C（氏D

在4C两侧），其中力。，CQ为线段.若乙4。。二^，求新建的健康步道/-O-C的路程最多可比原有健康

步道彳-8-C的路程增加多少长度？（精确到0.01km）

【提示】（1）利用余弦定理求得8C；

（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度.

【答案】（1）2km；（2）1.39km

【解析】（1）联结8C,在△44c中，由余弦定理可得，

BC=^AC-+AB2-2ACAB-cosZBAC=J16+12-2x4*26x曰=2，

所以8C的长度为2（km）；【6分】

（2）记/W=a.CD="则在中，由余弦定理可得：

片+〃一2abeosg=16,a2+h2-ah=\6»

从而+=16+34力416+3二

所以:（。+勾匕16,则“+S8,当且仅当”=b=4时，等号成立;

新建健康步道的最长路程为8（km）,

故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加8-兀-26。1.39（km）；

【14分】

【说明】本题考查了基本不等式求和的最小值、几何图形中的计算、余弦定理解三角形

20.(本题满分18分)

已知函数/(x)=log2(x+〃)(a>0)，当点"(x,y)在函数gG)的图象上运动时，对应的点M'(3x,2y)

在/(x)的图象上运动，则称gG)是/(x)的相关函数.

(1)解关于x的不等式/(吊<1;

(2)若对任意的xe(0,l),/(x)的图象总在其相关函数图象的下方，求〃的取值范围；

(3)设函数尸(x)=/(x)-g(x),当。=1时，求/(x)|的最大值.

【提示】⑴由廉(…)<1求解；

(2)由题意得/(x)的相关函数为g(x)=gbg2(3x+〃)，

根据题意得到X€(0，l)时，/(X)—g(X)=log2(X+4)—glog2(3x+4)vO恒成立求解；

(3)易得尸(刈=83一/("二;|。区产土,设"芒《("O)，利用复合函数的单调性求解.

L(x+l)(X+I)

3

【答案】(1){A-a<x<2—a]\(2)(0,1|；(3)log23——

x+"0fx+a>0

【解析】(1)依题意得《(。、,[，则{今，所以-a<xv2-a,

log2(x+(?)<l[x+a<2

所以原不等式的解集为{M-4<x<2-0}.【4分】

(2)由题意得2y=log2(3x+a),

所以y=glog2(3x+。)，

所以/(x)的相关函数为g(x)=，og2(3x+a).

依题意，对任意的xe(0,1),/(.V)的图象总在其相关函数图象的下方，

即当xw(OJ)时，/(x)—g(x)=log2(x+。)—'。氐。^^^〈。恒成立①.

由,:+“>:，对任意的xe(OJ)总成立，«>(),结合题设条件有。>0,

3x+a>0

在此条件下，①等价于当xe（OJ）时，Iog2（x+4〈log2（3x+a）恒成立,

即（x+a）2<3x+a,即x2+（2a-3）x+a2-a<0.

设力(工)=./+(2Q-3)X+Q?,

要使当xc(OJ)时，”x)<0恒成立，

r，(O)KOa2-a<0一

只需01八，即Bn12一八成立，

解得OWaVl,即〃的取值范围是(0,1].【10分】

(3)由(2)可得当〃=1时，在区间(0,1)上，/(x)<g(x),

即网加""5幅舄.

制”则卜察・

令3x+l=〃（1V”<4）,贝!|x=^--,

（〃+2丫

所以1=[丁）

4

因为〃+之之4(当且仅当〃=2时，等号成立),

u

8

得

可