2025年高考数学三轮复习冲刺卷：正弦定理（含解析）

高考数学三轮冲刺卷：正弦定理

一、选择题（共20小题；）

I.已知△48。中，a=2gb=2V2,B=-4,那么满足条件的△48。（）

A.有一个解B.有两个解C.不能确定D.无解

2.如图所示，在尸中，M在线段OF上，DE=3,DM=EM=2,sinF=则边£尸的长为

D号

C-7

3.△A8C’的内角力，8,C.的对边分别为a,b,C•若C=Vz,b=V6,”=120“，则a等于

()

A.V6B.2C.V3D.V2

4.在△ABC中，角4,8,C的对边分别为a,b,c.若a=V2>b=V3»A=-4,则角B=

()

A-R-C4或詈D5或当

,6匕

5.设△力8C的内角4,B,C所对边分别为a,b,c若a=3,b=V3»i4=p贝UB=()

A.7B.?C.J或当D.§

66663

6.在△/IBC中，Z/l=pBC=3,AB=y[6,则4。=()

B.丹gC.-D；或邳

444

7.在△48C中，已知匕=40,c=20,C=60。，则此三角形的解的情况是（）

A.有一解B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

8.已知A/18C的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,匕=5,A=45°,则满足条件

的三角形有（）

A.0个B.1个C.2个D.无法确定

9.在AABC中，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则在注警的值为

s\nzA

（）

A.--B.-C.1D.-

932

10.根据卜.列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()

A.Q=8,b=16,Z>4=30°,有两解

B.b=18,c=20,Z.B=60°,有唯一解

C.a=5,b=2,Z.A=90°,无解

D.Q=30,b=25,乙4=150°,有唯一解

11.在△4RC中.若急=焉=康’则△回。是（)

A.直角三角形B.等边三角形

C钝角三角形D.等腰直角三角形

12.在△ABC中，若a=2,匕=2百，A=30°,贝I」8=()

A.60°B.60°或120°C.30,D.30°或150°

在△/IBC中，已知Q=1,b=1,5cos(5+C)+3=0,则角9的大小为(

A.iB.：YD.

14.在△ABC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,若匕sin2A+&asin8=0,b=、Rc,则上

a

的值为（）

A.lBYC.匹D.亚

357

15.在△力8C中，Q=80,b=100,A=30。，则B的解的个数是（）

A.无解B.两个解C.一个解D.不确定

16.设锐角三角形48c的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,8=24,则匕的取值

范围为（）

A.（0,4）B.（2,2⑹C.（2区2遍）D.（2V2,4）

17.已知△48C中，a=5,b=3,C=120°,则sinA的值为（）

.5^35>/3厂3百八36

A.------Do.----------L・----------------

14141414

18.己知△ABC的三个内角力，B,。所对的边分别为a,b,c,若a=l,a+匕+c=3,且

csinAcosB+asinBcosC=y则Ai48c的面积为（）

A.立或剋？B.更C.2D.C

44334

19.海上A,8两个小岛相距10海里，从力岛望C岛和8岛成60。的视角，从8岛望C岛和｛岛

成75。的视角，则8,。间的距离是（）

A.10国海里B竽海里C.5企海里D.5n海里

20.在△ABC中，LABC=-,AB=y/2,BC=3,则sin/84C=（）

4

.Vio•噂

A.——BD

10T

二、填空题（共5小题；）

21.在中，若b=5,zB=->sin/1=->则。=.

43

22.判断正误.

在△力BC中，已知Q,b,4,则能求出唯一的角B.

23.如图所示，在一岸边选定两点4,B,望对岸标记物C,测得z&4B=30。，ACBA=75°,AB=

120m,则8C为m.

A30°75°B

24.我国南宋著名数学家秦几韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△A8C三个内

角A,B,C所对的边分别为Q,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=

RQ2c2_.若o^sinC=4sinA,(a4-c)2=124-b2,则用“三斜求积”公式求得△

ABC的面积为.

25.已知△/18C的三个内角4,B,。的对应边分别为a,5,c,且则使得siMB+

sin2c=msinBsinC成立的实数m的最大值是.

三、解答题(共5小题；)

26.半径R为1的圆内接三角形ABC的面积SMBC=1，角48,C的对边分别为a,b,c,求

abc的值.

27.已知a,b,c分别为三个内角4,B,。的对边，acosC+>/3asinC-b-c=0.

(1)求4

(2)若Q=2,的面积为V5,求8,c.

28.在锐角△48C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=Kb.

(I)求角力的大小；

(2)若Q=6,Z?+C=8,求△ABC的面积.

29.在△A8C'中，角力，B,C.所对的边分别为a,b,c,\3bs\nC=ccosB+c.

(1)求角心

(2)若〃=求需+高的值•

30.已知△力BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,bsinB-asinA=-asinC.

(1)求sinB的值:

(2)求sin(2B+9的值.

答案

1.B【解析】由题可知：a=2V3,b=2V2,F=7,

asinB=2遍,¥=瓜,由V6<b=2V5<a,

所以可知△71BC有两个解.

2.D【解析】先在△DEM中，求得cosO=?,sinD=―,

44

再在△DEF中，使用正弦定理得EF=乎.

4

3.D【解析】由正弦定理得一2=工，

sinl200sinC

所以sinC=

又因为角。为锐角，则C=3（F,

所以4=30。，△力BC为等腰三角形，a=c=近.

4.D【解析】由正弦定理可得号=号，

sin/lsinB

即$访8=竺世=孽=3，

aV22

因为aVb,

所以A<B,

因为0V8<TT,

所以8=5或零

5.A

【解析】因为a=3,b—V3,A=%

所以由正弦定理可得：SinB=4=苧=；,

a32

因为a>b,B为锐角，

所以8=j

6

6.C【解析】由正弦定理刍=学，即二=上，

sin/lsinCsin-sinC

所以sinC=y.

所以C=；（C=斗时，三角形内角和大于m不合题意舍去）.

7.C【解析】由正弦定理得白=告，

sinBsinC

所以sinB—=4°X2=%/3>1.

C20

所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在.

因为5•sinA=5-sin45°<4<5,所以△ABC有两解.

22

9.D【解析】因为3Q=28,所以由正弦定理得？=吗=a所以%=1,2sinB-sin71_7

bs\nB3sin2B9sin2/l2

10.D

【解析】对于A,由号二一上得sinB=1,所以NB=90。，有唯一解.

sinAsinB

对于B,由正弦定理，点“？=半=空警=乎<1,所以乙C有解.

D189

又由于c=20>18=b,且Z8二60。，所以/C有两解.，其中一解为锐角且大于60。，另一解为钝角.

对于C,△48。为直角三角形，乙1二90。，且Q>b,可知有唯一解.

对于D,AABC为钝角三角形，44=150°,且a>b,可知有唯一解.

11.B【解析】由正弦定理及即意得

2RsinA_2Rs\nB_2/?sinC

COSACOSBCOSC'

B|Jtan/1=tan/?=tanC.

所以力=B=C.

12.B【解析】由，一二，一，得sinB=—=2回访3。。二更.

s\nAslnBa22

因为b>a,

所以B>A,

所以8=60。或8=120°.

13.A【解析】由5cos(B+C)+3=0，得cosA=

s

所以sin/l=

5

由正弦定理，得sinB=4=¥=j

a42

又因为b<a,

所以8=2.

14.C

15.B

16.C【解析】由锐角三角形ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=2A,

所以0V24<%力+8=34

所以<3/1<IT.

所以0<?!<-.

634

所以¥VcosA<4.

22

因为Q=2,8=24

由正弦定理得2=2/?=2cos/l,即b=4cos/l,

a2

所以2企<4cos4<26.

则h的取值范围为(2V2,2A/3).

17.A

18.D【解析】因为csinAcosB+asinBcosC=3。，

2

所以sinCsin/lcosSIsinAsinBcosC=：sin/L

因为sinA工0,

所以sinCcosB+sinBcosC=y,即sin(B4-C)=sin4=y,

所以4=2或4=2.

33

若力=手则Q>b,a>c,故2a>b+c,与Q=Lb+c=2矛盾.

所以4

由余弦定理得a?=人2+c2—2bccosA=(b+c)2-3bc=1,

所以be=1,

所以S=^besinA=；x1x4f.

2224

19.D【解析】根据题意，画出示意图.

在△48。工口，4=60°,8=75°,AB=10,

所以C=45。.

BC

由正弦定理可得多二T--，

sinA

an10_

即逅一逅BC，

22

所以BC=5遍（海里）.

20.C

［解析］由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos乙48c=(⑨？4-32-2-V2•3-cos?=5,

AC=V5.

又由正弦定理可得：二二,,即‘一=v'5=A.sinz^C=-V10.

sin/BACsinz/lBCsinzBXCsin£ABCsin-10

4

21.也

3

【解析】根据正弦定理目=々，得。=驾=苧=

sin/!sines】nBv23

22.x

23.60(76-V2)

【解析】由题意知,^ACB=180°-30°-75°=75°,

由正弦定理,

BC二号sin".

_120

-sin75°•sin30°

120

一7+遥4

=60(V6—V2).

24.V3

【解析】据正弦定理：由MsinC=4sinA,可得：ac=4,

由于(a+c)2=12+/?2,可得：Q2+C2-/J2=4,

可得：S=EQ2c2_("“2/)=J；X(16-4)=V5.

25.4

【解析】因为sin2F+sin2c=msinBsinf,

所以。2+c?=bcm,

KUl、lb2+C2

所以m=k'

因为SUBC==^bcsinA,

所以“2=竺警，

所以8sA=^^=r-M=?-gsin4

ZDC22DC2

所以m=2cos/l+2百sinA=4sin(7!+'),

所以当sin(A+9=l即力=；时，m取得最大值4.

26.由扩充的正弦定理及三角形面积公式，得;。人？=1.所以。%=4.

27.(1)由acosC+\/5asinC-匕-c=0,及正弦定理得

sin/lcosC+x^3sin?lsinC-sinF-sinC=0,

因为8=n—4一C,所以

V3sin^sinC-cos/lsinC-sinC=0.

由于sinC00,所以

sin(/l-5=i.

又0v4<n,故4=g.

(2)A48C的面积

1

S=-besinA=v3,

故be=4.而