2026届高三数学二轮复习讲义：思想方法 第5讲 客观题解法技巧

第5讲客观题解法技巧

【题型概述】数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须

按规则进行切实地计算或者合乎逻辑地推演和判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，

尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在

，，准”，，巧，，“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.

方法一直接法

直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础

知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的

方法.

例1(1)已知等差数列｛。"的前〃项和为&，若S9=l，则。3+〃7等于()

72

A.-2B.-C.lD.-

39

思路分析条件与问题涉及量之间，可运用等差数列的前〃项和S〃与通项公式4“，转化为基本量.，4

整体求解.

答案D

解析方法一(利用等差数列的基本量)

由59=9«)+等仁1，得9。1+364=1,

贝Uciy^ai=a\+2d+a1+6d=2ai+Sd=^(9ai+36t/)=1.

方法二(利用等差数列的性质)

根据等差数列的性质，a\+的=的+田，

由S9=l,根据等差数列的求和公式，

9(ct+a9)_9(a3-ba7)_

、9-2一2一，

故〃3+。7得

(2)已知tana+tan0=3,sin(a+/?)=2sin«sin/?,贝!Jtan(a+/?)等于()

3

A.4B.6C.--2D.-6

思路分析由正弦和正切的和、差角公式代入即可求值.

答案D

解析由sin(a+^)=2sinasin夕，得

sinacos“+cos“sin/?=2sinasin0

sinacos/?+cosasin/5_o1t1

sinasin/ytanatan/?

tana+tan/?今..03

FE=2=tanatan际，

所以tan(a+0=tana+ta叱凸

't'1-tanatan/?

［规律方法］直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理,

多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准

确地求解选择题、填空题的关键.

方法二特例法

从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特

殊位置，进行判断.特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能

是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.

例2(1)若a>b>c>1且ac<tr，贝()

A.logaZ?>log/,c>logt«

B.log<Z»Iog^>log«c

C.10gpC>10gM/2>10gt/7

D.log'^>logcZ?>logwc

思路分析利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.

答案B

解析取a=5,Z>=4,c=3代入验证可知选项B正确.

22

(2)已知双曲线C标%=15>0,力>0)的左、右焦点分别为R,6.点A在C上，点8在y轴上，F\A±

用,片1=］用，则。的离心率为.

思路分析取特殊情况，设出局=3,则|A/21=2,|8川=3,故|48|=5,利用勾股定理、双曲线的定义、余弦

定理进行求解.

答案皑

O

解析设|BBI=3,

则HE|=2,|BFi|=3,故H8|=5,

因为耳耳，所以|AQ|=4,

由双由线的定义，得依川44&|=2。=2=。=1,

在△5F］F2中,cosNQB8=4c；；：冶,

在△4QR中，cosZF\F^=4C2+4~16=—,

8c2c

因为cosZF\BA=-cosZFiF?B,

所以。白片喳故金喳

2c35a5

［规律方法］特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题,

但用特例法解选择题时，要注意以下两点：

(I)取特例尽可能简单，有利于计算和推理.

(2)若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检脸，或改用其他方法求

解.

方法三排除法

排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推

理、计算、判断，排除不符合要求的选项.

例3⑴函数危尸备-%的图象大致为（）

思路分析利用排除法，先根据奇偶性排除部分选项，再取特值排除.

答案A

解析函数次x）:备-%的定义域为R,

斤”尸言中^^幻,

函数7U）为奇函数，排除C,D；又批1尸0,排除B.

（2）若函数/U）=xqsin2x+〃sinx为增函数，则a的取值范围是（）

A.[-L1]B.[-l,|]

c_

lbilD[-LT

思路分析根据选项取特佐排除.

答案C

解析方法一（排除法）不妨取,

则7（^）=x-^sin2,r-sinx,

J

/（x）=l-|cos2x-cosx,但八0）=1争=[<0,不符合题意，排除A,B,D.

方法二（综合法）\•函数/A）=x-|sin2x+«sinx为增函数，

2

1-^cos2x+acosx

-1--（2COS2X-1）+acosx

二二cos^x+ocosx+220,

33

即acosx230s2吟叵成立.

当cos.v=0时，恒有（）2t，得

当0<cos1时，得心:cosX-—^―,

令GCOSX,g⑺在（0,1]上单调递增，

•5*5v

得心g(l)=1;

J

当-1Wcosx<0时，得aW%osx--一，

33COSX

令z=cosx,g(/)=1q在［-1,0)上单调递增，

ooc

得aWg(-l)q.

J

综上，可得〃的取值范围是［-j,3

［规律方法］排除法使用要点

(I)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其他选项.

(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些

条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.

方法四构造法

用构造法解客观题的关键是利用J知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和

基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问

题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.

例4⑴已知三棱锥P-A8C的四个顶点在球。的球面上，PA=PI3=PC,△/WC是边长为2的正三角形,

E,尸分别是24,48的中点，E5_L平面PAC,则球O的体积为()

A叵B.回C.®D.V5兀

842

思路分析根据条件，得到月4,PB,PC两两垂直，将三棱锥P-A8C放入正方体中，计算外接球半径即

可求解.

答案D

解析E,E分别是PA,的中点，则即〃P8,因为E凡L平面2AC,则平面PAC,

PA,PCu平面PAC,故PBLPA,PBLPC,根据条件可知，△P48出△PAC,

故PA工PC,所以PA,PB,PC两两垂直，将三棱锥P-A8C放入正方体中，如图所示，

因为AABC是边长为2的正三角形，所以正方体的棱长为鱼,

故外接球半径R”等迄争

所以球O的体积J甚兀.

⑵若对于任意心>0,不等式以dMnx+ln。2。恒成立，则实数。的最小值为.

思路分析设府TZae^lnx+lna,.")20恒成立，即危)mineO,因此可以通过研究函数的单调性确定其最

小值.进一步观察式子结构，可以变形为ZaeM+lna+Zthlnx+M,ln(«elv)+2«elv>lnx+Zv,不筝式两边结构

相同，可以构造函数，利用函数的单调性求解.

答案H

解析方法一在不等式Zae缄-ln4+ln的两边同时加2x,

变形得2讹2'+1]1〃+2K21nx+2x,

即111(祀2')+2讹2,2111x+2v.

构造函数g(x)=lnx+2x,可得gSe)少g(x).

因为其幻在(0,+8)上单调递增，因此。及对于任意.》()恒成立，

即会对于任意Q0恒成立.

构造函数”(x尸念，x>0,则〃。尸黄，

所以??(X)在(0,上单调递增，在G，+8)上单调递减，/[(班廿万付三，

因此故。的最小值为;.

2e2e

方法二24e2'-lnx+lna0<=>2«elr^ln-<=>Zvelv^ln--<=>2xe11ln--elna,

aaaa

构造函数G(x)=xe\则G(2Y)2G0W)对任意x>0恒成立.以下略.

方法三Zae'lnr+ln〃2()=2〃，'力In'oZxe*Zln三'olne2'-e2'^ln---,

aaaaa

构造函数H(x)=x\nx,则〃(e2r对任意x>0恒成立.以下略.

[规律方法]构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定

构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.

方法五估算法

因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答

案，这样往往可以减少运算星，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和友杂的计算，节省

了时间，从而显得更加快捷.

例5(1)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是亨(亨*

0.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与

咽喉至肚脐的长度之比也是苧.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下

端的长度为26cm,则其身高可能是()

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

思路分析估计身高一人体各部分长度大致范围一题中长度关系估算.

答案B

解析头顶至脖子下端的长度为26cm,可得咽喉至肚脐的长度小于42cm,肚脐至足底的长度小于110

cm,则该人的身高小于178cm,又由肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于65cm,

则该人的身高大于170cm,所以该人的身高在170cm~178cm之间.

(2)设A,B,C,。是半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且其面积为98，则三棱锥Q-

A4C体积的最大值为()

A.12V3B.18V3

C.24\"D.54V3

思路分析丫三枝88c最大值一三枝锥高的最大值一依据三棱锥和球的关系估算.

答案B

解析等边三角形A8C的面积为9次，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥

的高)应满足〃£(4,8),

所以：X98X4W三位把人对4乂9迎乂8,

JO

即12\/3<V三收银D-/\8C<24X/3.

［规律方法］估算法使用要点

(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.

(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进

行分割、拼凑、位置估算.

专题强化练

【分值:73分］

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1已.知〃=sin22,Z>=2sin2,c=logi(sin2),贝女)

2

A..b>a>cti.b>c>a

C.a>b>cD.c>b>a

答案A

解析V^<2<y,.\y<sin2<l,

2

/./?>!,!>«>(y)$0<c<logiy=1,

b>a>c.

2函.数段)=02x)cosx在［-2,2］上的图象大致为()

yy

NJ

-2/-IO\J/2x-2/-101\2x

AB

yV

11/

\.O■/1,

-2A\\.y/oA\-\2-v

D

答案A

解析因为J(x)+J(-x)

=(2X-2V)COSX+(2'-2')COS(-A)

=(2v-2v)cos.¥-(2'A-2')COS.V=0,

所以函数人幻为奇函数，故B,D错误；

又因为1£(0,斗，所以cos1>0,

则川)=(2"-2)cosl=-|cos1<0,故C错误.

3.在△A8C中，内角A,3C所对的边分别为。，3c向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p〃q,则角C的

大小为()

A.-B.-C.-D.-

6323

答案B

解析因为向量p=(〃+c,b),q=(b-a,c-a),

p〃q,所以(a+c)(c-〃尸仇b/),

即ab^r+lr-c2,

由余弦定理可得COSC=a-cq

lab2

因为C£(0,兀)，所以C=*

4.已知三楂锥S-48C的所有顶点都在球。的球面上，△A8C是边长为1的正三角形，SC为球。的直径，

且SC=2,则此棱锥的体积是()

A.fB.它C."D.f

6632

答案B

解析容易得到△ABC的面积为停，

4

而三棱锥的高一定小于球的直径2.

所以飞义袅2邛，

排除A,C,D,故选B.

5.已知定义在R上的奇函数次©满足yu)=y*-6),且当o<rW3时，yu)=°++1)，°"x-g

,x(x—2),1<%<3

为常数)，则;(2023)tA2026)的值为()

A.-lB.OC.lD.2

答案A

解析由函数/u)=[Q+"g04"+i)‘°-x-1,

,x(x-2),1<x<3,

因为7U)在R上为奇函数，

可得/0)=«+logo.51=0,解得4=0,

所以函数应加呼.5。+1)‘℃与1’

又因为JU)习U-6),所以函数/U)的一个周期为6,

所以42023)+/(2026)^6X337+1)4/6X338-2)$1)*2月(1)V(2)=logo.52-2X(2-2)=-1.

6.已知椭圆总%=13〃>0)的左、右焦点分别是Q,B，若椭圆上存在一点P,使得NQP4=60。，则椭圆

的离心率的取值范围是()

A.(0,1]B.[”)

C.(。，?]D停1)

答案B

解析当点P位于短轴端点Po处时，NQPoB最大，离心率最小为―尖又0<e<l,所以离心率的取值范

围为卜1).

7.设函数7U)的定义域为R,其导函数为人%)，且满足、/U)»V)+l,犬())=2()26,则不等式8%外>底+2

025(其中e为自然对数的底数)的解集是()

A.(2024,+8)B.(-8,2025)

C.(0,2024)D.(-8,o)

答案D

解析设g。尸呼

・・7U)»V)+1,即八x)二/W+1<0,

,我为)/(幻一声)+】<0,

/.g(x)在R上是减函数，又40)=2026,

・•・不等式e-7U)>e-q20250&F>2025

》0)一1二"工

即J?U)>^(0),.*.A-<0,

，原不等式的解集为(-8,0).

8.如图，在三棱锥A-8C。中，A81平面AC。，BCA.CD,KAB=BC=CD,P为线段A。上的动点(含端点).

设直线8P与平面49c所成的角为。，二面角P-8CQ的平面角为小二面角R8C-A的平面角为力则

sin2a+sin2y?+sin2y()

A.有最小值弓B.有最大值,

C.有最小值:D.有最大值:

44

答案B

解析因为P为线段4。上的动点(含端点)，把点P取在点4处，则a=0。，夕=90。，7=0°,所以

sin2a+sin2/?+sin2y=l,排除A,C；

把点P取在点。处，则直线8P与平面A8C所成的角a即为/DAC=45。，后0。，7=90°,此时

sin2«+sin2/?+sin2y=j,排除D.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.下列关于复数Z,，Z2的结论正确的是()

A.瓦+52|二瓦|+瓦1

B.Z1-Z2=Z1+Z2

C.zf二%|n(〃£N")

D.ziZ=|ziH刃

答案BD

解析对于A,取zi=l-i,Z2=l+i,

贝力西|+回2仁2或，lzt+z2l=2t

故历-1为|。|町|+区2I，A错误;

对于B,设z尸a+bi,Z2=c+di(afb,c,d£R),

贝ijZi+z2=(a+c)+S+d)i,Zi+Z2=(o+c)-S+d)i,z^a-bi,z2=c-di,

则5i+52=(〃+c)-S+4i,

所以Z1+Z2=51+z2»B正确；

对于C,不妨取z1=l+i,〃=2,

则z：=(l+i尸=2i,|zi|=J2,|z『二2,

所以若工也|2,故宏二|zi|"(〃£N*)不恒成立，C错误；

对于D,设zi=a+bi(a,〃£R),则，广。■一,所以％|=瓦|=\/滔+5,

所以小叵J,D正确.

10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，57=(5,-3),0^=(2,3),点尸在直线48上，且由勺而则

点P的坐标可能为()

A.(8,-9)B.(4,-1)

C.(p-1)D.(5,-6)

答案AB

解析设P(x,)，)，由题意得45,-3),BQ,3),

且点P在直线A8上，由|荏|二3而|可得以下两种情况，

①丽二2而，

此时有(x-2,y-3)=2(5-x,-3-y),

可得2=2(5-力解得卜：4.

y-3=2(-3-y),(y=-1.

②前二-2而，

此时有(心2,y-3)=-2(5-x,-3-y),

可得2=-2(5-%),解得卜=8,

(y—3=-2(—3—y),(y=-9.

综上所述，点P的坐标为(4,-1)或(8,-9).

11I)5=ao+t/|X+«2.r2+，，，+6/lOXl0,且如+〃|+生+…+410=1，则()

A.w=-l

B.ao+2a1+46+…+2"%io=243

C.a\+。3+的+,•,+a<)=121

D.。()+。2+。4+…+。1o=122

答案ABD

解析令ml,则(〃z+2)'=ao+ai+〃2-…+00=1,即"，+2=1n〃?=-1,A正确；

所以(F-X+1)>=。0+01+。*+…+0»/),

令k2,则。o+2s+4〃2+…+2%0=(4-2+1)5=35=243,B正确；

令x=-1,则a()-a।+〃2io=(1+1+1旷=243,①

而。()+。1+12+・・・+。10=1,②

②-①，得2(。|+田+。、+…+的)=-242,

则a1+43+05+•,,+。)=-121