2026届高三数学二轮复习讲义：思想方法之转化与化归思想

第4讲转化与化归思想

【思想概述】转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种情

形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时

也是获取成功的思维方式.

方法一特殊与一般的转化

一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路：特殊

问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于■某

些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.

例1⑴已知函数於)满足对)，£R,有,/U+y)=/U)t/U)+2x_y,且川)=1,则代3)等于()

A.2B.3C.6D.9

思路分析方法一取特值求42),式3)如嗔3)与代3)的关系一求上3).

方法二令一求长3).

答案D

解析方法一令行尸0,得人0)=0,

令尸产1,得道2)=4,

令户2,y=l,得.人3)=9,

令x=3,产-3,得<0)=八3)+4-3)-18,

解得4-3尸9.

方法二取;(x)r2,满足y(x+)，)=/a)t/()，)+2x)，及丸1尸】，

所以］・3)=(-3)2=9.

批注此类题目一般都是采用方法一，赋值法求解，比较烦琐，所以可以直接取满足条件的函数求解.

(2)在△48C中，点、M,N满足宿二2祝，BN=NC,^MN=xAB+yAC,x,>eR,则无=,

尸•

思路分析假设4C_LA&A8=4,AC=3,建系一写出坐标一利用向量的坐标运算求解.

答案；

解析特殊化，不妨设AC_LA8,A8=4,AC=3,如图，以A为坐标原点，AB所在直线为工地，AC所在直

线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),M(0,2),C(0,3),8(4,0),N(2,|),

*：~MN=xAB+yAC,即(2,-1)=M4,0)+)«0,3),

，4x=2,3y=-1,.*.x=1,y，

［规律方法］一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律,

使我们达到成批处理问题的效果.交于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一

个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案.

方法二命题的等价转化

将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包

括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.

例2(1)已知命题p：3xe(0,3),f_a_21nxW0.若〃为假命题，则a的取值范围为.

思路分析p为假命题弟〃为真命题-*f-a-21nx>0恒成立->x恒成立一利用导数研究最值求解.

答案(-8,1)

解析TP为假命题，

，^p：Vx£(0,3),f-a-21nx>0为真命题，

故对Vx£(0,3),aVr2-21nx恒成立，

令人x)=f-21nx,x£(0,3),

贝x£(0,3),

令人力>0,解得l<r<3;

令/“)<0,解得Oavl,

工段)在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增，

*1)=1，••a<1.

(2)某司学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面A8CO是边长为2的

正方形，4EAB,AFBC,△GCD,AHDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面A8CZ)垂直，

则该包装盒的容积为()

A1073

A—B.号C.I0V3D.20

«3

思路分析补成长方体一求补的部分的体积f长方体的体积减云补的部分的体积即可.

答案A

解析将几何体补全为长方体，如图所示，

A\E=A\H=^\\B\=\,

22

AAi=y/AE-ArE

=V22-12=V3,

所以该包装盒的容积为

“氏方体48。£>一/1181。1。1-4/三楂锥4一41后”

=2X2xV3-4x［|xQx1x1)x司

二4后平=芋.

［规律方法］根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见的思路；对复杂问题可采用正难则反策

略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.

方法三函数、方程、不等式之间的转化

函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数)，=/«的图象性质可以确定方程41)=0、不等式凡1)>0和

府)<0的解集.

例3(1)已知e为自然对数的底数，若对任意的1］,总存在唯一的1］,使得hir

x+l+〃=)%',成立，则实数。的取值范围是()

A.卜e］B.(,e］

C.&+8)D.(/e+J

思路分析,/(x)=lnx-x+1+a,v.1］的值域A/fg(y)=)?e"的单调性、图象f结合g(y)的图象，找到唯一的

V对应的g(y)的值的取值集合2利用MQN求解.

答案B

解析设/W=ln『x+l+m当式£}1］时，八#二号>0,府)单调递增，

所以当工七［，1］时，凡目£,一；,a］.

设gG)=»2ev,则j?,(.v)=ev.v(.v+2),

则式0在［-1,0)上单调递减，在［0,1］上单调递增，g(0)=0,且g(-l)W<g(l)=e,

因为对任意的“£七，1］,

总存在唯一的1］,

使得JU尸gU)成立，所以［a-(，a］G(5，e］，

所以矢a<e.

(2)已知加，〃£(2,e),且贝")

A..m>nB.〃?v〃

C.m>2+-〃〃的大小关系不确定

nD.7,

思路分析由*+ln〃<*+ln"L构造函数府尸妥+ln.l利用函数性质解不等式.

答案A

解析由不等式可得*-《<ln〃7-ln〃，

即专Mn〃<*+ln〃?，

设段)=—lnx,x£(2,e),

则的尸事*宁

因为上£(2,e),所以/(x)>0,

故函数/U)在(2,e)上单调递增.

因为贝〃)4"。，

所以n<m.

［规律方法］借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最

值(值域)问题，从而求出含参变量的范围.

专题强化练

［分值：80分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.已知函数八r)=f+o?+以-8,且火-2)=10,那么人2)等于()

A.-26B.-18C.-10D.10

答案A

解析；/(x)=x5+ar3+Z?x-8,

・7/WtA-x)=-16,

令户2,则。2)t/(-2)=-16,

又见2)=10,.V(2)=-16-10=-26.

2.已知人>0,y>0,x+2y+Zyy=8,则x+2y的最小值是()

A.3B.4C.-D.—

22

答案B

解析由2x)W(等)得，

2

8r+2y+2ryWx+2)，+(罢)(当且仅当x=2y时取等号)，解得x+2y24或x+2)W-8,

由条件知x+2)>0,所以x+2)，24,

当且仅当户2,y=\时等号成立.

所以x+2y的最小值为4.

3.在平行四边形A8C。中，|说|二12,|AD|=8,若点M,N满足丽?=3就，DN=2NCf则加•丽等于()

A.20B.15C.36D.6

答案C

解析假设平行四边形A8C。为矩形，以A为坐标原点，A8,AO所在直线分别为x轴、y轴建立如图所

示的平面直角坐标系，

则A(0,0),M(12,6),N(8,8),

・••丽=(12,6),而?=(4,-2),

.•・AM•丽=12X4+6X(-2)=36.

4.已知向量aWe,同=1,对任意1£R,恒有|0-闿，|4阉,则()

A.a_LeB.a-L(o-e)

C.e_L(a-e)D.(a+e)_L(Q-e)

答案C

解析不等式等价于(a“e)22m.e洛

整理得己20/e+2ael》O对任意恒成立，所以/WO,

又d=4(a-e)2-4(2a-e-1)=4(a-e-1)2^O,

所以』=0,即(ael)2=0,

所以ae=\,所以e\a-e)=ae-e2=0,

即el(a-e).

5.己知在正四棱柱A8CZ)-48C。中，AB=2,CG=2或，E为CG的中点，则直线AG到平面BE。的距离

为()

A.2B.A/3C.A/2D.1

答案D

解析如图所示，连接AC交8。于点。，连接。石，易知。为AC的中点，因为七为CG的中点，所以

OE〃AG,

又0£u平面BED,AGQ平面BED,

所以4c〃平面BED,所以直线AG到平面8EO的距离等于点G到平面BED的距离.

又E为CG的中点，所以点G到口面BED的距离等于点C到平面8EO的距离.

由题意得BD=2丘,则。£>2,

设点C到平面BED的距离为d,

由V三梭沿三次生£8。。，

得,心£力力二券"(:五(7,

即工X^X2或X2Xd=Zx1X2X2X或,

3232

解得d=l,即直线AG到平面BE。的距离为1.

6.已知不等式/々arH2sinx对任意工£［-兀，兀］及1］恒成立，则实数I的取值范围是()

A—2或后2B.W2

C./N-2D.W-2或分2或D

答案D

解析由--2〃/+12sinX对任意工£［-兀，川恒成立，得及-2〃什121,即2af-0W0,

令必必〃-/2,

则人〃)40对任意1］恒成立，

所以/5二一2一户淮

解得W-2或，力2或/=().

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知定义在R上的偶函数/U)满足,仰+4)=/3+/(2),且在区间［0,2］上单调递增，则下列说法正确的是

()

A.函数人处的一个周期为4

B.直线x=-4是函数人处图象的一条对称轴

C.函数/U)在［-6,-5)上单调递增，在［-5,J)上单调递减

D.函数7U)在［0,100］内有25个零点

答案ABD

解析yu+4)=/u)t/(2),①

在①式中，令x=2得况2)4-2)欧2),即#-2)=0,

由于函数7U)为偶函数，故42)可(-2)=0,

所以Kv+4)=/")，②

函数式幻是以4为周期的周期函数，故A正确；

因为jV)为偶函数，则/u)y-%),③

在③式中，用X-4代替工得，火x-4)=y(4-x),

由周期性可得7U-4)=/(4-x-8),即/X-4)=/(-A-4),

所以直线.『-4是函数火工)图象的一条对称轴，故B正确；

因为及t)在区间［0,2］上单调递增，且九0为偶函数，所以人幻在［-2,0］上单调递减，又代。的一个周期为4,

所以函数7U)在［-6,-4］上单调递减，故C错误；

根据42)=0,府)的一个周期为4可知，八2)=/(6)寸10)=…》98)=0,

故犬幻在［0,100］内共有25个零点,故D正确.

8.已知函数y(x)满足：①Vx,y£R,次y)+2;②若工会丁，则/W差/(.v).则下列结论正确的

有()

A./0)=2

C若/1)=3,则42)=5

D.若43)=9,则a)二11

答案ABC

解析对于A,危⑴心)+2,令产尸0,

得34))=伏0升+2,解得式0)=1或次))=2,

当J(0)=1时，令人0,得"W+1如)+2,解得fix)=1,

此时也有心)=1,与若xWy,则矛盾，故排除，

所以40)=2,故A正确；

对于B,令产-1,结合负0)=2,

得2+fix)+fi-x)=J(x)J(-x)+21

化简得ywtA-)=/⑴A-x),

由重要不等式得段次-x)W四普士,

当且仅当火幻寸㈤时取等号，

故外)+外用〈1£誓如，

解得Kv)4-x)24或

而4)尸2,故兀6"㈤<0不成立，

所以JU)t/(㈤24成立，故B正确；

对于C,若11)=3,令产1,得凡计1)七/(幻+3::y(x)+2,

故於+1)=2/W-1,则/2)=加1)-1=6・1=5,故C正确；

对于D,令危)=221,满足式3)=9,

由指数函数性质，得段)在R上单调递增,满足当xWy时，/(力壬心),

而/U+y)t/Wt/ly)=2f+1+2、+1+2y+\=2"「+2'+2「+3,

/W})+2=(2A+1)(2V+l)+2=2^'+2A+2y+1+2=2t<v+2'+2v+3,

故/U)满足/U+y)t/U)tA.v)=yUMy)+2,

则旭)=24+l=17,故D错误.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知函数、/U)=lnx-at-2在区间(1,2)上不单调，则实数。的取值范围为.

答案G，1)

解析/(#=、=手.

①若函数人力在区间(1,2)上单调递增,则八用20在(1,2)上恒成立，

即当上£(1,2)时，手20恒成立,

则aW(9,所以

vx/min/

②若函数火工)在区间a,2)上单调递减，则/a)wo在(1,2)上恒成立，

即当工£(1,2)时，手W0恒成立，

则心G),所以

vx/max

综上，若函数7U)在区间(1,2)上单调，则实数4的取值范围为aWg或“21.

所以若函数人丫)在区间(1,2)上不单调，则实数。的取值范围为G，1).

10.已知。为正实数，若不等式喘对一切非负实数X恒成立，则。的最大值为______.

22a

答案4

解析原不等式可化为¥21+9门行对％力。恒成立，(*)

2a2

令71+x=i,1,则1,

所以(*)式可化为小『二号对后1恒成立，

而(川)2,0,当且仅当Q1时等号成立，

所以业21对121恒成立，又。为正实数,

a

所以。勺(注1)2猛产4,故a的最大值是4.

四、解答题(共28分)

11.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,已知c=2,(b+c)(sinC-sin8)=a(sinA-sinB).

(1)求角C的值；(3分)

(2)求。+28的最大值；(5分)

(3)若AB边上的中线CD的长为2,求△回(7的面积.(5分)

解(I)因为S+c)(sinC-sinB)=t?(sinA-sinB),

由正弦定理得(。+c)(c-b尸a(a-b),

即a2-^b2-c2=ab,

uui、］ca2+b2-c2ab1

^UcosC=__=_=_

又因为C£(o,兀)，所以of

A

⑵由⑴知cq且c=2,设△ABC的外接圆半径为凡可得止肃;春

又由正弦定理，得。=2RsinA=^sin4,

〃=2RsinB=-^sinB,且A+B=—,

v33

贝U«+2Z?=-7=sin/4+-7=sinB=-y=sinA+-^=sin

近6W瓜得叫

二券inA+'售cosi4+|sin4)

8..,.A4721•/4,、

=^=sinA+4cosA二三一sm(A+s),

其中(ans=£,且9为锐角，

因为0<A<?,所以当4+sW时，。+2匕取得最大值，最大值为苧.

(3)因为C。为A8边上的中线，且CD=2,

贝U加二(CA+CS),

所1^|CD|2=-(|CX|2+|CB|2+2|CX||CS|COSC)=-(a2+b2+ab^

44

即a