2026高考数学复习高效培优：解析几何（选填题）原卷版

专题08解析几何（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

臼典例剖析臼方法提炼臼变式

题型01直线与圆的相关向题

题型02圆锥曲线的方程与性质

题型03直线与圆锥曲线的位置关系

题型04离心率的取值与范围问题

题型05圆锥曲线中范围、最值问题

题型06新定义问题

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

＞第一部分题型解码

题型01直线与圆的相关问题

典例剖析

【例1-1]（2025•全国一卷•高考真题）已知圆x2+（y+2）2=r\r＞0）上到直线y=小+2的距离为1的点有

且仅有2个，则r的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,3）C.（3,+co）D.（0,+oo）

【例1-2】（2025•四川凉山一模）已知曲线。:。-4尸+），2=/（「＞0）上存在点与尸（-1,3）关于直线

/:（3/〃+2）x+（加一3）），-3〃?+9=0对称，则r的取值范围为（）

A.[3,6]B.[3,5]C.[4,6]D.[4,5]

方法提煤

I.直线与圆的位置关系

\Aa+Bh+C\

①几何法:圆心3㈤到直线Ar+Bv+C=（）的距离,则4=

+B?

②代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由]…Ax+2+By（-+C=（）’消元得到一元二次方程灰…,=。’……。判别式为△，财

相离相切相交

图形

方程观点△<0A=0△>0

量化

几何观点cl>rd=rd<r

二、圆与圆的位置关系

设两圆Q，Q的半径分别是火/，（不妨设R〉r），且两圆的圆心距为d,则:

位置关系相离外切相交内切内含

/~1

（小

图形S.4

\/

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

变式训练

【变式1-1J（2025.广东.模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（）

A.42B.49C.56D.64

【变式1・2】（2025.浙江•一模）已知点AB在直线x+），+2=0上，且|43|=2,点C在圆

M:。-2）2+（y+2）2=l上，则VA8C面积的取值范围是（）

A.[2>/2-2,2>/2+2]B.[V2-l,V2+i]

C.[2,6]D.[1,3]

【变式1・3】（2025•四川达州一模）已知圆。:/+丁=4,若过点P（L/〃）有且仅有两条直线被圆。所截得

的弦长为JR，则机的取值范围是（）

A.（一2二）B.y,一:）u（（，g）

2222

C.（-U）D.S,T）U（l，y）

题型02圆锥曲线的方程与性质

典例剖析

【例2・1】（2025・云南•模拟预测）己知双曲线。:工-[=1,则点（40）到C的渐近线的距离为（）

A口12辨r8V13n12G

551313

【例2・2】（2025・上海奉贤•一模）曲线C的方程为AP-约，2=尸（4、不同时为0）,则下列说法正确

的是（）

A.曲线C不可能是直线

B.当A>0,8<0时，曲线是椭圆

C.若曲线。是双曲线，则双白线的渐近线与见无关

D.曲线C是抛物线

方法提煤

1.椭圆的定义

平面内与两个定点人的距离之和等于常数2〃（2a〉|£61）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,

定义用集合语言表示为：｛PIIP用+1空1=2a（2a>\F｝F2\=2c>0）｝

注意：①当2〃=2。时，点的筑迹是线段；②当2〃<2c•时，点的轨迹不存在.

A](-a,0)、A2(d,0)A](0,-〃)、A2(O,6Z)

顶点

B|(0,-b)、B2(O,/7)BI(-A0)、B/AO)

轴长长轴长=2。,短轴长=2〃长轴长=2〃，短轴长=2〃

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

隹J、、、，占、、、片(一c,0)、/%(c,0)£(0，-c)、6(0©

222

焦距\FtF2\=2c(c=a-b)

22

离心率cp-la-b[~

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2欧（最短的过焦点的弦）

通径

3.双曲线的定义

平面内与两个定点T5的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于怩周）的点的轨迹叫做双曲线（这两

个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为卜”|||M£|-|MK||二2“（0v2av忻用）｝.

注意：①若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.②当2。=|耳巴|时，点的轨迹是以匕和工

为端点的两条射线；当2〃=0时，点的轨迹是线段G8的垂直平分线.③2。＞|£&|时，点的轨迹不存在.

4.双曲线的方程、图形及性质

220*)

标准方程=-==1(。>08>0)i标…>。)

crb~

4历,

图形

“aJ

焦点坐标£(-c,0),月(c,0)K(O,-c),F2(0,C)

对称性关于x,丁轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4（一〃,0）,&（〃,0）A（o,。），4（o,一〃）

范围\y\^a

实轴、虚轴实轴长）内2a,虚轴长为2〃

C1~丁/八

离心率^=—=J1+—(^>1)

a\a*

人9V

A<y2ba

渐近线方程令r-K=oA=y=±-x，令——=0=,'=±7工，

a~b~aa~7Tb-b

焦点到渐近线的距离为〃焦点到渐近线的距离为〃

通径（过焦点且垂直于匕鸟的弦）是同支中的最短弦，其长为江

通径

a

5.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线4尸《0的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点厂叫抛物线的焦点，定

直线/叫做抛物线的准线.注意：若在定义中有尸£/,则动点的轨迹为/的垂线，垂足为点尸.

6.抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y=2px,）3=-2px,x2=2py,x2=-2py（p>0）,其中一次项与对称轴

一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形丰

标准

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2/?\'(/?>0)x2=-2py(p>0)

方程

顶点0(0,0)

范围x>0,yeRx<0,ywRy>0,XERy<0,x&R

对称轴x轴y轴

隹占尸HO,学尸(0,g)

g，0），0）

离心率e=\

准线方程x=_E“Jy=yJ

22-2'2

焦半径

AF=x,+"AF=-x,+KAF=-\\+—

11

A（%，y）222

【变式2-1]（2025.云南.模拟预测）已知抛物线C：9=4x的焦点为八点M在C上，且r|=10,若A（&0）

满足则4=（）

3127

A.16B.—C.-D.9

22

【变式2・2】（2025•贵州六盘水•模拟预测）已知椭圆]+丁=1的焦点为人，尸2,点”在椭圆上且

ZF}MF2=90°,则点M到无轴的距离是.

【变式2・3】（2025•江西宜春•模拟预测）（多选题）己知月，工是双曲线力〉0）和椭圆

的左、右焦点,〜为。与E在第一象限内的一个交点，若则

6

。的渐近线方程为J5x±y=0

E的短轴长是C的虚轴长的26倍

E的离心率和C的离心率的积为1

户”6的面积为2氐2

题型03直线与圆锥曲线的位置关系

【例3・1】（2025・云南楚雄•模拟预测）设抛物线。：丁=2月1（〃＞0）的焦点为尸，过户的直线交C于

41,30）,3包,-75）两点,过A8分别作抛物线。的准线的垂线,垂足分别为MN,则|WFf+|NF|2=

（）

【例3・2】（2025•江西景德镇•模拟预测）双曲线C:/-X=l,过点尸（2.3）作C的两条渐近线的平行线，分

3

别与渐近线相交于A,8两点，则平行四边形。4P3的面积是（）

C.G

1.直线与椭圆的位置关系

将直线的方程），=履+人与椭圆的方程［+与=1联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元

CTb2

二次方程，其判别式为A.

①八＞0=直线和椭圆相交O直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）：

②A=00直线和椭圆相切O直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；

③AVOO直线和椭圆相离O直线和椭圆无公共点.

2.直线与椭圆的相交弦

设直线＞=区+〃交椭圆5+4=13＞方＞0）于点耳（对凹），鸟（和泗），两点，则

222

I1=\l^-x2)+(yi-y2)=^(X,-X2)[1+(*步"/1=J1+公|^-x2|

同理可得I枕1=Jl+*Iy-必I(D

3.直线与双曲线的位置关系

r22

将直线的方程产质+，〃与双曲线的方程「-与v=1(。>0,〃>0)联立成方程组，消元转化为关于x或y

a~h~

的一元二次方程，其判别式为△.

(b2-crk2)x2-Icrmkx-a~nv-crb1=0

若从-/公=0,即&=±2,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点：

a

若b2-a2k2H0,即攵工士2,

a

①A>00直线和双曲线相交O直线和双曲线相交，有两个交点；

②A=00直线和双曲线相切O直线和双曲线相切，有•个公共点；

③AVOO直线和双曲线相离=直线和双曲线相离，无公共点.

4.直线与双曲线的相交弦

设直线广质+〃，交双曲线\一、=13>0,〃>0)于点4(不凹)，6*2，>2)，两点，则

a~b~

I

I[61=也+々)2+(乂-)，2)2=4区+工2尸[1+]=V1TFIXj-Xj

5.直线与抛物线的位置关系

将直线的方程丫=依+〃7与抛物线的方程y2=2px(p>0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二

次方程，其判别式为△.

ky2-2py+2pm=0

若k=(),直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若壮0

①八>()=直线和抛物线相交，有两个交点；

②八=00直线和抛物线相切，有一个公共点；

③AVOO直线和抛物线相离，无公共点.

6.直线与抛物线的相交弦

设直线)，二丘+〃，交抛物线巳7-、=1(。>0,匕>0)于点,A(x,,y,),两点，则

crb~

1利|二在大一小)2+(),「%)2

=Ja-占）2[1+（77T）2]=Jl+公I%-为I

V八一七

同理可得I利|=+淳Iy-％I（&，0）

【变式3・1】（2025•广东佛山•模拟预测）已知抛物线C：），2=4%的焦点为尸，过焦点厂的直线与抛物线C交

于点4B.若BO=BF（。为坐标原点），则△048的面积为（）

A.当B.半C.y/2D.2VI

【变式3・2】（2025•浙江绍兴・二模）已知椭圆C：［+），2=l,双曲线G：q・1=l.A,B分别为C1的左,

乙乙*T

右顶点.过A作直线，与C1及G的右支分别交于点P,Q.若P8_LQ8,则Q点的横坐标为（）

A.2&B.2+2〃C.5D.3叵

【变式3・3】（2025•全国•模拟预测）写出与椭圆［+（=1和抛物线丁=与1都相切的一条直线的方程

为.

题型04离心率的取值与范围问题

典例剖析

【例川（2。25•广东广州•模拟预测）设椭圆舟营22

=1（4>力>0）与双曲线；■-齐=1的离心率分别为马，色,

双曲线的渐近线的斜率小于侦，则％+6的取值范围为（）

竽考a（小营）

【例4・2】（2025•河南・一模）已知匕，工为椭圆C:/+，=l（a>〃>0）的左、右焦点，A为椭圆C的上顶

点，M为椭圆C的右顶点，连接AF?交椭圆C于另一点8,若AFJ/BM,则椭圆。的离心率为（）

A.—B.V2-1C.巫D.V3-1

22

方法提嫌

1.柄圆的离心率

⑴离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比二称为椭圆的离心率.用。表示，即6=—.

⑵离心率的范围：0<evl.

2.双曲线的离心率

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比?，叫作双曲线的离心率.

（2）双曲线离心率的范围：e>l.

3.求离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于a.6c的关系式（等式或不等式），转化为o的关系式.

【变式4・1］（24-25高三下•甘肃开学考试）如图，已知双曲线C：4-7T=l（«>0.b>0）的左、右焦点

a'b~

分别为A，尸2，过F2作渐近线/：bx-ay=（）的垂线交,于点M,连接M5交。于点N,若

3

CQ^FXNF2=--,则C的离心率为（）

【变式4・2］（24-25高三上•甘肃庆阳・月考）已知双曲线的上、下焦点分别为巴、

6,P是C的上支上的一点（不在y轴上），p6与X轴交于点4，的内切圆在边A片上的切点为A,

若H耳>»,则。的离心率的取值范围是（）

【变式4・3】（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）离心率为4的椭圆£:，+与=1（6>瓦>0）和离心率为的

h\

22

双曲线E2：1-与=1（4>0也>0）的交点构成四边形ABC。，E2的渐近线与用的交点构成四边形4AG。,

a?"2

若四边形A8C。与四边形全等，则《；+•=（）.

A.1B.2C.3D.4

题型05圆锥曲线中范围、最值问题

典例剖析

【例5・1]（24-25高三下•江苏泰州•开学考试）在平面直角坐标系中，直线/与抛物线V=2〃.v（〃>0）,

单位圆O分别相切于A，B两点,当卜却最小时，〃=（）

A.2GB.2x/2C.>/3D.72

【例5・2】（2025•上海普陀•一模）设点M是抛物线V=8百），的焦点，点/是双曲线「：/一二=1的左焦

4

点，点。是「上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（）

A.|。「|-|。例|的最大值是5B.|QF|+|QM|的最小值是5

C.|QF|-|QM|的最大值是7D.|QE|+|QM|的最小值是7

方法提煤

I.史理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值,

2.圆锥曲线中的最值问题的解题思路

①建立函数模型，求解函数的值域或最值（切莫忘记定义域的考杳）；

②构建不等关系.

【变式5・1】（2025•山西•二模）已知抛物线。：丁=43，的焦点为产，准线为/.点。在。上，过产作抛物线的

切线交准线/于点。.当外接圆面积最小时，点P的坐标可以是（）

B.（心

A.C.D.（2,1）

（2025・安徽•三模）设A为椭圆七:兰+±=1上一点，3m则当1必最小时，点A的横

【变式5-2]

43U）

坐标为（）

A.-1B.0C.1D.2

（2025.四川成都•一模）（多选题）已知点尸为双曲线。:/一]=1右支上一点，0八分别为

【变式5-3]

其左、右焦点，心A为双曲线C的两条渐近线，过点尸分别作P4,4，PB",垂足依次为44,过点产

作PM〃/2交4于点M,过点"作PM4交乙于点MO为坐标原点，则下列结论正确的是（）

局的最大值为

A.3B.△七尸八的内心/到y轴的距离为i

C.\PM\.\PN\=-D.\MN\＞y［3

题型06新定义问题

■典例剖析

【例6・1］（24-25高三下•山西•开学考试）画法几何学的创始人一一法国数学家加斯帕尔•蒙口发现：与椭圆

相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半

径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A,8为椭圆E：/+21=［伍＞］）上的两个动点，动点p在直线

a

3x+4y-10=0上，若乙”呵0身恒成立，则E的离心率的取值范围为（）

C.

【例6・2】（2025•上海浦东新•二模）已知圆锥曲线「的对称中心为原点。，若对于「上的任意一点A,均

存在「上两点8,C,使得原点。到直线AB,AC和8c的距离都相等，则称曲线「为"完美曲线〃.现有如

下两个命题：

①任意椭圆都是"完美曲线〃；②存在双曲线是“完美曲线〃.

下列判断正确的是（）

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①②都是真命题D.①②都是假命题

方法提嫌

常见圆锥曲线新定义问题处理思路

1.将新定义问题转化为常规问题.例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定.

2.反客为主；若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率.

3.新定义曲线建立方程一分类讨论一验证性质

4.新定义交汇题联立方程一参数法一几何性质转化

5.匚何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）一＞应用性质（如中线平行、面积最小值）

【变式6・1】（2025.海南•模拟预测）（多选题）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于

1694年，雅各布・伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的纨迹，

而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，

轨迹便为伯努利双纽线.已知曲线C（如图所示）过坐标原点。，且c上的点尸（工,月满足到两个定点£（-40）,

巴（40）3>0）的距离之积为4,则下列结论正确的是（）

B.点M（x,l）（x>0）在C上，则|MR=2及

C.点N在椭圆二十二=1上，若RNiF?N,则NeC

62

D.过区作了轴的垂线交C于A，B两点、,则1481V2

【变式6・2】（2025•江苏徐州•模拟预测）（多选题）己知。〉0/（-。,。）,630）,若平面内动点P«y）满

足|P£||P引=",则称点尸的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（）

A.双纽线是轴对称图形B.〜尸耳鸟的面积的最大值为G

4

C.\PF{\+\PF2\=2aD.直线产0.9x与双纽线有三个交点

【变式6・3】（2025•河北沧州•一模）（多选题）在平面直角坐标系中，若Mx”?），则称

“4二国-回+|）1-必|"为"，N两点的"曼哈顿距离〃，若动点E到两定点冗（0,-。），q0,c）（c>0）的“曼哈顿

距离”之和为定值为（〃>C,则称点E的轨迹为"曼哈顿椭|员I",若点尸为该“曼哈顿椭圆”上一-点，则（）

A.0尸片鸟的周长为2。+2cB.，尸£尸2面积的最大值为c（〃-。）

C.该“曼哈顿椭圆”的面积为2s2_/）D.该“曼哈顿椭町的周长为外上a+（l-夜）c]

A第二部分强化实训_________________________________

1.12025•陕西西安•二模）已知双曲线5-5=1（"0,"0）的左、右焦点分别为£，&点尸在双曲线右支

上，若PGK的内切圆的圆心为。（qM），且满足P。与3OQ的纵坐标互为相反数，则双曲线。的渐近线的

方程为.

2.12025•上海虹口•一模）已知双曲线。的焦点分别为双TO）和6（1,0）,若点P为C上的点，且满足

3

PFJFAsinZP/^=j,则点K到。的一条渐近线的距离为一.

3.（25-26高三上•广东佛山・月考）已知G（—c,0）,鸟（c,0）分别为椭圆加：£+/=1（。”>0）的左、右焦点，

从点A（-2c,0）射出的一条光线经直线反射后经过点招，且反射后的光线与M在第四象限交于点

P.若|「用一|尸闾=4,则M的离心率为（）

A."B.巫C.也D.正

2323

4.12025•湖南湘潭•一模）己知双曲线。:宗―/=1（"0力＞0）的右焦点为22,0）,若圆

股:（X+2）2+（3，-6）2=4上存在点/，使得。6的中点在。的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（）

A.[2,+oo）B.[3,+o））C.（1,21D.（1,3]

5.（2025•广西•模拟预测）（多选题）已知以小鸟为左右焦点的椭圆C:二+匚=1（。＞力＞0）的短轴长为2百，

a'b~

点P是椭圆C上的一个动点，且点P到工的最大距离是点〜到F：的最小距离的3倍，连接PF?,并延长P八

与椭圆C相交于点。，其中说法正确的是（）

A.椭圆的方程为工十上=1B.三角形P耳鸟的面积的最大值为

43

»=2

三角形尸的周长为

C.QZ8D.俨用|。闻

已知椭圆C:[+[=l,右焦点为人直线）=如伏工0）与椭圆。交

6.12025•云南•模拟预测）（多选题）

于P，Q两点,。为C上不同于忆0的一点，记直线QRQQ的斜率分别为4,右，则下列结论正确的是（）