2026高考数学复习培优练：函数与导数（选填题）解析版

专题04函数与导数(选填题)

!目录

i

i第一部分题型解码微观解剖，精细教学

'包］典例剖析性］方法提炼名变式

j题型01抽象函数问题

j题型02分段函数问题

j题型()3构造函数问题

\题型04零点问题

I题型05不等式恒(能)成立问题

I题型06新定义问题

!第二部分强化实训I整合应用，模拟实战

►第一部分题型解码

题型01抽象函数问题

【例1・1】(2025•北京・高考真题：关于定义域为R的函数/(X),给出下列四个结论：

①存在在R上单调递增的函数/(幻使得/(幻+/(2幻=-工恒成立；

②存在在RI：单调递减的函数/⑴使得/(戈)-/(2工)=犷恒成立；

③使得/(x)+/(r)=cosx恒成立的函数/(x)存在且有无穷多个；

④使得/«-/(-X)=cosx恒成立的函数/(x)存在且有无穷多个.

其中正确结论的序号是.

【答案】②③

【详解】对于①，若存在在R上的增函数/‘(X)，满足/(X)+/(2X)=T,

WJ/(0)+/(2x0)=-0,即/(0)=0,

故x>0时，/(4x)>/(2x)>/(%)>0,故/(4x)+/(2x)>/(x)+/(2x),

故-2x>-x即x<0,矛盾，故①错误：

对于②，取/(x)=r,该函数为R上的减函数且〃x)-/(2x)=x,故该函数符合，故②正确;

对于③，取/(x)=；cosx+加x,机eR,

此时/(x)+/(-x)=cosx,由mwR可得/(X)有无穷多个，故③正确;

对「④，若存在/(力，使得fG)-/(-x)=cosx,

令x=0,则0=cos0,但cos0=l,矛盾，

故满足/(x)-/(r)=cosx的函数不存在，故④错误.故答案为:②③

【例1・2】(2025北京高考真题)已知函数/(x)的定义域为小则“/(X)的值域为R〃是“对任意A/eR.

存在与€。，使得|/(%)|>〃"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条彳匕D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若函数/(幻的值域为R：则对任意McR，一定存在占w。，使得〃xJ=|M|+l，

取％=百，则|/(%)|=同+1>屈，充分性成立；

取F3=2*,D=R,则对任意MwR,一定存在内匕。，使得/(8)=|"|十1，

取/=石，则|/(而)|=|〃|+1>”,但此时函数/(x)的值域为(0,+8),必要性不成立；

所以“/(刈的值域为R”是“对任意"cR，存在与c。，使得|/(%)>的充分不必要条件.故选：A.

方法提雉

1.抽象函数的定义域：

⑴若已知函数/(X)的定义域为限“，则更合函数/(g(x))的定义域由〃4g(x)V力求出.

(2)若已知函数/(g(x))的定义域为[。㈤，则/(x)的定义域为g(x)在XEL"时的值域.

2.对称轴：/(4一1)=/(々+工)或者/(24-6=/(%)n/'(X)关于X=a对称；

3.对称中心：/'(。一x)+/(a+x)=2/?或者/'(2a-x)+f(x)=lb=>/'(x)关于(。,6)对称;

4凋期：如果/(x)同时关于工=〃对称，又关于(b,c)对称，则/(x)的周期7=|。一"

【变式1-1](2025•陕西西安・模拟预测)已知函数/(力，对任意的x,ywR,恒有

/(x+y)+/(x—y)=2f(x〉/R)，且/(1)=；,则下列说法正确的是()

A./(0)=0B./'(X)为奇函数C./(x)>-lD./（2025）=1

【答案】C

【详解】对于A：令x=l,y=0,则/。)+/。)=2/⑴/(0),又/(1)=；,所以/(。)=1,故A错误;

对于B：因为/(0)W0,所以/(x)不为奇函数，故B错误：

对于C：令…,则〃2X)+/(O)=2/2(X"O,即/(2X)+1=2/2(X)NO,得/(2X)N-1.

由工的任意性可知/(x)2-1,故C正确；

对于D：令，=1,则/(」+l)+/(x-)=2/(x)/(l)=/(x),〃x+2)+/(x)=/(x+l),则

/(x+2)+/(x-l)=0,所以/(工+3)=-/(江可得f(x+6)=-/(x+3)=/(x),

可知/(x)是周期为6的周期函数.所以/(2025)=/(6x337+3j=/(3)=-/(0)=-l,故D错误.

故选：C.

【变式1-2](2025•安徽合肥一模)已知函数歹=/(2%)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=；g；.]j的定义

域为()

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,2)U(2,4]D.(2,4)

【答案】C

【详解】由j=/(2切的定义域为卜1,2],得歹=/(可的定义域为卜2,4].

-2<2-x<4

所以，x-l>0=>l<x<2ug2<x<4,综上,g(x)的定义域为(1,2)52,4)故选:C.

Ig(x-l)关0

【变式1・3】(2025•江西南昌•模拟预测)(多选题)已知定义在R上的单调函数/(“，满足Hr,ycR

/(川)=/(4)/(力,则下列说法正确的是()

A./(1)=1B./(x)可能是单调递减函数

C./(力为奇函数D.若/(8)=2,则/(2")=2之

【答案】ACD

【详解】因为定义在R上的单调函数，则立，九/(X)。/()，).

对「A,令x=y=l,则/(1)=/'(1)=>/(1)=1或/(1)=0,若/(1)=0,

则对力，取x=l,都有/(月=0,不满足单调函数性质，故/0)工0=/⑴=1,故A正确;

对于B,令x=y=0,则/(O)=/2(o)n/(o)=o或/⑼=1(舍)，贝iJ/(0)=0,

因/⑴>/(0)，结合/(x)为定义在R上的单调函数，则/(x)只能是单调递增函数：

对于C,令x=y=-l,则/⑴=/2(_])=]n/(f=_]/(_])=](舍)，

则f(-1)=7,取y=lnVx,/(x)=/(x),取y=-l=WxJ(f)=-/(%),

则Vx,/a)+/(T)=0,乂/(“定义为R,则/(X)为奇函数，故C正确;

对于D,令y=2,x=2,则/(4)=/(2),令y=2,x=4,则«8)=/(4)〃2)=/3(2)=2n/(2)=2§，

则f(2")=f(2)/(2,,-I)=/2(2)/'(2n-2)=---=,"(2)=23，故D正确.故选：ACD

题型02分段函数问题

二:上单调递胤则。

【例2・1】(2024•新课标I卷高考真题)已知函数/*)=的取值

范围是()

A.(-co,0]B.[-1,0]c.[-U]D.[0,+co)

【答案】B

【详解】因为在R上单调递增，且xNO时，/(x)=e'+ln(x+l)单调递增,

-la

>0

则需满足2x(-1),解得-l《aK0,即〃的范围是[-1,0].故选：B.

-«<e°+lnl

1,x>0

【例2・2】(2025・上海・高考真题)已知/(x)=<0,x=0,大B、5是平面内三个不同的单位向量.若

-1,x<0

f(ab)+f(bc)+f(c-a)=0,则m+N+肉的取值范围是

【答案】。，石)

【详解】若/(")=/(“)=/伍司=0,则方石=。=0,

又三个向后均为平面内的单位向量，故向量a,B,c两两垂直，显然不成立;

/(叫=1

故{/伍矶/(黑斗/仅@}={-1,0，1}.不妨设./(几。=。，贝。小0,“=0,3八0.

f(c-a)=-\

不妨设5=(l,0),"=(0,1),a=(cossin0),0[0,2n),则“"一小,〉,,则。J1,27t,

ca=sin6<01Z/

则a+b+c=|(l+cos0,1+sin0)|=^1+cos02+(1+sin02=3+2cos6+2sinS=

,[3)a兀71(799、.71if_V242}

由。aw-7i,2n,0+-e\-n-7t,rll|illijsin(<9+-)e,2V2sin(6>+^)e(-2,2)

U)414y4,)4

故a+E+ce(l,V5).故答案为：(1.石).

方法提爆

“分段函数，分段解决''遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据日变量的范围选择合适的解析式.

(1)求函数值：在求分段函数值/(%)时，分清与所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即

可.

(2)求自变量的值：由/(/)的值求与，可通过图像得出与所在的范围，再选择相应的解析式列为程求解，

求参数值(范围)也是如此.

(3)技巧方法：

①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象(单调性)，根据图象直接解不等式.

②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集.

③借助单调性和奇偶性求解.

-x2+2ax+4,x<0

【变式2・1】(2025•河南•模拟预测)己知函数/(x)=<在R上单调递增，则实数。的取

ln(x+l)+a,x>0

值范围是()

A.B.[-4,0]C.[0,4]D.[4,+co)

【答案】D

【详解】因为函数/(/、)、=/-x++2ax+4,x<0'在R上单调递增,

4Wa_

所以O1”，即.所以实数。的取值范围是[4,+e).故选：D

X—r<1

【变式2・2】(2025•广东深圳•模拟预测)已知函数/(%)=।；।的值域为R,则。的取值范围是()

lnx-2,x>l

A.(-oo,e]B.[0,e]C.(-oo,e-1]D.(-oo,e-l]U[e,-H»)

【答案】A

【详解】当工之1时，函数/(x)=lnx-2在口,+8)上单调递增，函数值集合为[-2,y)，

由函数/a)的值域为R,得函数/(X)=x-aev在(-吗1)上的值域包含,

当彳<1时，函数/(x)=x-ae\求导得/(x)=l-ae、，而e、<e，

当时，/'(x)NO,函数/(x)在(-8,1)上单调递增，函数值集合为(-8,1-筋)，

e

而l-ae2-2恒成立，则awL

当。>一时,由得xv-Ina；由/'(x)<0,得一Inavxvl,

函数/(外在(---Ina)上单调递增，在(-lnq,l)上单调递减，/(x)</(-lna)=-ln«-l,

函数值集合为(-8,-Ina-1］,于是-lna-12-2,解得。Ke,则LoWe,

e

所以a的取值范围是(-°0,e］.故选：A

r*4-7YY>0

【变式2-3］(2025•四川成都模拟预测)(多选题)已知函数/(x)二,1z下列说法正确的有()

ax'I2x,x<0

A.存在实数3使得/(-l)=/+2a成立B.若/(幻为奇函数，则。=-1

C.若/(x)在［-1,+8)上单调递增，则。RD.若方程/(幻=1有两个不等实根，则。>0

【答案】BCD

【详解】对于A：f(-\)=a-2=a2+2a,即/+a+2=0,其判别式△=I-8=-7<0,

所以该方程无解，即不存在实数a,使得/(-1)=/+2。成立，故A错误：

对于B：若〃幻为奇函数，则/(-x)+/(x)=0,

当x>0时，-x<0,贝iJ/(r)+/(x)=a(—xf+2(r)+K2+2x=o,

(«+l)x2=0,其对心>0都成立，解得。=-1；

当x<0时同理可得a=-1；

当工=0时，/(0)=0也符合题意，故。=-1,B正确；

对于C：函数y=x2+2x=(x+l>-l在(0,+8)单调递增；

当a=0时，y=2x,(一8,0)单调递增，又0、2x0=2x0，即x=0处连续，

所以/'(x)在(—,+«))单调递增，符合题意；

当a>0时，y=ax2+2x=a［x+^\即在(-<»,—，］单调递减，「-L。］单调递增，又》=0处连续

\a)a\aLa.

T+”单调递增，所以i+8)q

因此，函数/(x)在,--<-1,得“41,贝iJOvaEl:

当a<0时，y=ad+2x=aQ+又》=()处连续，因为-J〉。，所以在(—8,0)单调递增,

因此，函数/(外在(-,+8)单调递增，符合题意,

综上可知，若“X)在［-1,+8)上单调递增，则。工1,故C正确.

对kD：由单调性可知，当°40时/(x)在(re,+oo)单调递增，则方程/(力=1有一个实根;

-L+e］单调递增,

当〃>0时，/(力在单调递减，/(“在

aJ

则=/O=一；<°，所以方程/J)=1有两个不等实根;

综上可知，方程/(幻=1有两个不等实根，则。>0.故选：BCD

题型03构造函数问题

【例3-1](2025•四川成都三模〕若b>l,aeR,且+21nb=1―a,则()

b

A.a2<bB.a2>bC.ea>b-D.ea>b-2

【答案】D

【详解】己知e"+21nb=!-。，将等式进行移项可得e“+〃=：-21nb.

bb

根据对数运算法则21nA=ln/,进一步变形为c'a二?十ln±.

bb-

因为b>l,Klji+lnl>l+21nl=l+ln±>±+ln/,所以g+ln：>e"+a>}+ln5,

令/(x)=e'+x,对/(x)求导可得八x)=e、+l>0,所以/(外在R上单调递增.

因为e“+a=/X。)，+In=e''+In=/(In>-+ln-=c'n/,+ln-=/(In,

b~b~b~'b~bbbb

所以〃h4)>/S)>/(lng),根据/(x)的单调性可知ln2>a>ln±,UPIn-J->lnea>ln,

bbbb~bb~

再根据对数函数的性质，所以c错，D对;

Zrb=c,此时e"+q='-2,11.-1>t/>-2,

h,T7\/小111111123e-8A

而(e4—)-(——2)=-j=--F—>---------F—=--------*=----->0,

4ee昭e43ee443e12e

所以-J-了7i/二小人则―“7此时八4正9"排除A，

7「/>=e",此时e"+a=e,J—2n»\\.-n>a>—2n,

时，必有/<4/<e"=b，排除B：故选：D.

【例3.2](2。25・湖北・模拟预那己知。[叫，“sin；4

,c=In—,则()

3

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

【答案】C

【详解】令/(x)=tanx-/()<x<外则&taMx>0,

\2Jcos-xcos-x

\/(x)在(0马上单调递增，扑"0)=0,即⑶

1

-11

4>

一-

1，

-44sin->-cos—,BPa<；

4444

令g(x)=sinx+ln(l-x)(O<x<l),则g'(x)=cosx-------,

\—x

令人(x)=g'(x)，则"(x)=­sin."彳t<。，在(0,1)上单调递减,

••・g'(x)<g'(0)=0，，g(x)在(0,1)上单调递减,

g(-<g(0)=0,即5而」<-111'二卜土,：.b<C\

443

综上所述：a<Z/<c.故选：C.

方法41炼

1.与ev和Inx相关的常见同构模型

①@e“《blnbQerne04blnb，构造函数/(1)=xlnx或g(x)=xe'：

②工■，构造函数/(刈=；或8(X)=^；

aln/>lncaln/>Inxx

@eu±6Z>/)±ln/)<z>cu±lnca>b±lnb，构造函数/(x)=x±lnx或g(x)=e，土x.

2.添项同构

乘法同构：Inq./E。Alnxoxlna./na,对变形要求低，找亲戚函数xe*与xInx易实现，但构

造的函数X，与Wnx均不是单调函数

xv

加法同构：a>log^x<=>^'+x>logax+x=a^-+logux,要求不等式两边互为反函数，构迨后的函数为

单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.

3.常见结构

[nx-*

①a'>log”x=>exln<,>--=>xIna-exlna>xInx=Inx-elnx=>xln〃>lnxna>e"：

Ina

②J">=AeAv>Inx=>Ax-elx>xInx=>>Inx-elnx=>>Inx=>x>-：

Ae

@eax+av>ln(x+l)+x+l=+ln(x+1)=>ax>In(x+1)

④xev=er+lnr>x+lnx+l；x+lnx=ln(xe')<xeA-1

5.常见函数的变形

(1)对于不等式/'(X)>g'>)，构造函数〃(x)=/(x)-g(x)

(2)对于不等式等'a)ga)+/a)g'a)>o,构造函数/?(%)=/a)g(x)

⑶对于不等式/'(x)g(x)-/(x)g'(x)>0,构造函数〃(X)二华^

g(x)

(4)对于不等式/'(x)+“'(》)>0,构造函数g(x)=*/(x)

(5)对于不等式/'(x)-"(X)〉。，构造函数g(x)=4^

(6)对于不等式球(x)+"(x)〉O,构造函数g(x)=x"(x)

(7)对于不等式/(x)―/(x)>0,构造函数g(x)二1学

T

【变式3-1］⑵-26高三上,湖北•期中)已知/(•*)=c-sirrv+co&r,cz=/(Iog23),/^=/(log34),c=/(log45),

则()

A.b>c>aB.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】C

［详解］/r(x)=ev-cosx-sinx=ev,

当r>l时，e'>e>£j5sin(x+1=/<x)>0,

故函数/(x)在(L+8)单调递增.

ln.v_ln(x+l)

构造函数/心)二蛇±。(》>1)=%，1)=x±l——小_,

3后I)3(叫2

Inx_ln(x+l)

*/0<11U<111(A+1),0<——<—=>4(*--------X<(•

x+lx(lm)~

故函数力(工)=也口=噪,1+1)在(1,+8)单调递减，

则log?3>log34>log45>1=>/(log23)>f(logj4)>f(loggS户>c.故选：C.

【变式3・2】(2025・四川眉山•模拟预测)已知可导函数/(x)的导函数为若对任意xcR,都有

f'(x)-f(x)<\,且/(0)=2025,则不等式/&)+1>2026廿的解集为(),

A.(T>,0)B.C.(-co,-)D.(-8,1)

c

【答案】A

【详解】设函数g(》)=里里，求导得g'(x)J。)..一?(x)+4e'J(x)-〃x)-1,

ee-tex

由，(x)-/(幻<1，得g'(x)<0,函数g(x)=3|里在R上单调递减，

e

/(x)+1>2026ev=ZU)+1>2026，即g(x)>2026,

c*

由/(0)=2025,得g(0)=粤上1=2026,因此g(x)>g(0),解得x<0,

e

所以原不等式的解集为(3,0).故选：A

【变式3・3】(2025•四川•模拟预测)若实数。>0,且1恒+8=1,则。、力的关系不可能是()

A.a<bB.ab<\C.ah=\D.a+e2b<0

【答案】D

【详解】因为实数。>0,且lM+6=ln(ae")=l,所以M=e，则。=产，

对于A选项，则。一/,=篦"一八令/(x)=ef-x,其中xeR,

则/W=-e1-1<0,故函数/(x)在R上单调递减，

当xvl时,/(x)>/(l)=0；当x>l时，/(%)</(1)=0,

ihb

故当〃<1H寸，a-b=e~-b>0,此时。>人当6>1时，a-b=e'~-b<0t此时avb,

lb

当［=1时,a-b=e--b=Ot此时a=b=l,则〃b=l.A选项不合乎要求;

对「B选项，ab=bc'b=—,令g(x)=F，其中xeR,

ee

则g'(x)==，当X<1时，g'(x)>。，即函数g(x)在(7,1)上为增函数，

e

当x>l时,g'(x)<0,即函数g(x)在(L+8)上为减函数,

故函数g(x)在X=1处取得最大值，即g(xLx=g(9=H

综上所述，当人工1时，ab<\,B选项不合乎要求；

对干C选项，由A选项可知，当小=1时，a-b=e"b-b=0,

此时。=6=1,则,力=1(选项不合乎要求：

对「D选项，a+•=令力(力二屋+62彳，其中xcR,则以刀卜©?-』、

由力'(力>0得e2-ei>0,可得l—x<2,解得x>—1,

由力。)<0得e2-ei<0,可得l—x>2,解得xc-L

故函数”x)的减区间为增区间为(T+8),

所以函数“X)在X=-l处取得最小值，即/?(X%M=MT)=C2—C2=0,故〃(X)N0,

故a+c%20,D选项合乎题意.故选：D.

题型04零点问题

【例4-1](2025•四川南充一模)已知函数/(x)=e'7,g(x)=x-lnx,若直线N=。与两条曲线y=/(x)

和了=8(X)共有四个不同的交点(国,必)、(/，%)、(43，%)、(王，居)，且用<x2<43<5，则的值为

X2+工3

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】由函数/a)=e'-x,可得/'(x)=ex-l.

当xe(-oo,0)时，可得/'(x)<0,/(x)单调递减;当xw(0,+oo)时，可得/(x)>0,/(x)单调递增;

1X_]

又由g(x)=xTnx,x>0,可得/(x)=l_；=丁-,

当xe(0,l)时，可得g'(x)V0,g⑶单调递减；当xw(l,+oo)时,可得g'(x)>0，g(x)单调递增,

画出函数y=/(x),y=g(x)和J=。的图象，如图所示，

v,

可得e"—$=e”-x2=x3-Inx3=x4-Inx4或e"-玉=e"-=x,-Inx2=x4-Inx4,可得xi+x4=e+Inx4,

lnX1lnx,ln

又由x?-Inx2=e-lnx2,x3-In=e-lnx3,xA-Inx4=e^-Inx4,

A,2

①当e-=e*-x2=x3-InA:3=x4-Inx4时,

lnv,l,1X4x,

即e*-玉=即-x2=e-In;^=e-lnx4,可得耳=Inxifx2=Inx4,即e=x3,

J|

所以$+儿=e+Inx4=x3+x2,所以、=1

X3+X2

v,VjlnX24v,

②乂由e-xt=e-x3=e-lnx2=e^-lnx4,可得$=Inx2.x3=Inx4,即e=x2

1

所以$+%=e*+\nx4=x3+x2,所以'+"=1,

X3+X2

综上可得：亲=1.故选：A

【例4-2](2025•陕西西安・模拟预测)定义域为R的函数/(x)满足/(戈)=6"-2b，xe[2Ll,2Z+l),

AeZ,且函数g(x)=a/+x+c满足对任意王/wR,都有g&+々)=g(M)+g(x?)+2,则方程

/(x)=g(x)解的个数为<)

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【详解】g(Xi+%2)=g(xJ+g(X2)+2中取玉=0，、2=。，得g(O)=-2,即°二一2,

取*=x,&=_x,得g(x)+g(-x)=-4,即20r2_4=-4，所以q=0,

得g(x)=x-2,

/⑺是周期为2的周期函数，/(力«0,6],作出函数/(力的图象及直线y=x-2,

方法提雉

1.零点存在定理：连续函数/(x)在(。力)满足/(。)/①)<0,则/(x)在1㈤一定存在零点

2.判断函数零点个数问题一般化为两个函数，判断两个函数的交点个数

3.根据函数零点的存在情况求参数

①若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解

②若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决

【变式4-1](25-26高三上•四川绵阳•开学考试)已知函数/("=,-3|,若关于x的方程

[/(.r)]2-2〃〃x)+3=0有4个不同的实数根，则用的取值范围是

【答案】便,2)

【详解】作出/(x)=|2"-3|的图象，

尸3

-3-2-1(9112x

令G/(x)=|2；3],则方程[/(疥-2<a)+3=0,即为?_2加+3=0,

[/(x)T-2M(x)+3=0行4个不同的实数根，则/_2〃”+3=0在(。,3)内有两个不等实根,

A=(2W)2-4X3>0

所以0<m<3,解得后<相<2,所以实数m的取值范围为(行,2).故答案为：(后21

9-6m+3>0

【变式4-2](2025•江苏常州模拟预测)已知正实数对马应满足

再2+$+1=再2”%；+2占+1=々3",七+3工3+1=当4",则不户2,&的大小关系是()

A.x3<x2<xtB.x,<x2<x3C.x(<x,<x2D.x2<x]<x3

【答案】A

y+[1

【详解】已知王,》2，X3为正实数，且X；+R+I=x2"，化简得到:—=2X'-1,进一步变形为国+一=28-

演再

V2+11

同理，由*+2々+1=工23”，可得到二一二3与一2,即％+—=3"-2；

/X2

由*+3占+1=匕4%，可得到胃=4”-3,即“3+：=犷-3；

令，(x)=x+Lxe(0,+oo),对/(x)求导得八口=1一4，

Xx~

当r(x)<0时，1—9<0,即5>1，因为x>0,所以0vx<l,此时函数/(用在(0,1)上单调递减：

当「(外>0时，|-±>0,即[<1，因为戈>0,所以x>l，此时函数/(幻在(1,+8)上单调递增；

XX，

当工=1时，/(1)=1+1=2：

满足玉+'=2"-1的为即为函数y=/(x)与y=2、-1交点的横坐标；

X|

满足S+,二3±-2的工2即为函数y=/(x)与y=3,-2交点的横坐标；

X2

满足X3+'=4"-3的不即为函数^=/(X)与》=4、一3交点的横坐标；

X3

在同一平面直角坐标系中画出V=/(x)，y=2、-l,y=3x-2,y=4、-3的图象，如图所示:

从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为七<々<%•故选：A.

【变式4・3】(25-26高三上•四川绵阳月考)已知函数/。)=后、24(1")》-仁-1)1门-1恰有4个零点,

则实数。的取值范围为()

【答案】C

［详解］/(x)=xe2a'+2«(1-e)x-(e-1)lnx-1=e2ar-^-1)%x+lnx>1,

令，=2av+lnx,则/(x)=g(/)=l-(e-I”I,

:,g(t)=c'-(c-\),令g()=0,得z=ln(e—1),且ln(c-l)e(O,l),

当，c(YO,ln(e-l))时，g'(f)<0,即g")单调递减，

当”(ln(eT)，y)时,g'(Z)>。，即g(f)单调递增,

又g(O)=O,g⑴=0,所以函数g⑺仅有两个零点0,1,

所以/(x)恰有4个零点，即方程2or+lnx=0和2ax+lnx=l共有4个根,

令力(x)=2or+lnx,则/(x)=2a+，(x>0),

当aNO时,/f(x)>0,即〃(x)在(0,+e)上单调递增，

故力(x)=0和4(x)=l至多各一个根，不合题意；

当“<0时，=2ax+1,令〃(x)-0,得x=-g,

当xe(0,—时，/r(x)>0,即力。)单调递增，

当xw(W，+8)时，〃‘(x)<0,即〃(x)单调递减，

,且K->0时，-8,Xf+oo时，/?(x)->-00,

要使方程2aY+lnx=0和2al+lnx=l共有4个根，则〃（一工＞1,

gp2ax^--+ln>1,解得0>4>—

综上，实数。的取值范围为.故选：C.

题型05不等式恒（能）成立问题

【例5・1】（2025•河南•模拟预测）若不等式〃?-=（〃?-坐|＜0对任意xw（0.+8）恒成立，则实数加的

取值范围是.

■［景）

【详解】设函数/（X）（0,+8）,可得/卜）=£1『1,

XX

当0＜x＜2时，可得r（x）＜0,/（X）在（0⑵上单调递减：

当了＞2时，可得/'（力＞0,/（何在（2,+oo）上单调递增，

所以当x=2时，函数/（x）取得极小值，也是最小值，所以/（x）N/（2）=：,

再设函数g（x）=与/e（0,+功，可得g\x）=匕芈，

XX

令g［x）＞0,BP2lnx-l＜0,解得OvxvA；

令g'（x）＜。，BP21nx-l＞0,解得x＞V^，

所以函数g（x）在（0,闷上单调递增，在（五,+句单调递减，

所以当x=八时，函数双刀取得极大值，也是最大值，所以g（x）Kw（五）=二,

2e

要使得不等式（〃?-今）（〃?-竽）＜0对任意工«0,+8）恒成立，

即不等式（〃一/a））（〃?-ga））＜o对任意xt（o,+e）恒成立，所以上＜，〃＜；,

2e4

所以实数用的取值范围为［;怖］.故答案为：I;，;。

VZe47\2e4/

【例5-2］（2025•湖南益阳三模）设实数f（x）=2xlnx,g（x）=ax-4t口『（0,+8）使/（幻4月（幻成立,则

实数。的取值范围________.

【答案】［21n2+2,+<»)

【详解】由/(x)Kg(x),得2—”-4,

即不等式心21nx+?4在(0,”)上能成立.

x

4.242r—4

设h(x)=2\nx+—(x>0),则l(x)=----=—；—,

XXX?X

令h'(x)<0=0<x<2,h'(x)>0=x>2,

所以人⑴在(0,2)上单调递减,在(2,+0。)上单调递增,

则g篇=〃(2)=2+21n2,所以口Z2+21n2,

即实数a的取值范围为［2+2ln2,+8).故答案为：［2+21n2,+oo)

方法提嫌

1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最直，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利

用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2.单变量不等式：一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeZ),m<f(x)<^m<f(x\n.n

(2)VxeZ),/n>/(x)<=>zn>/(x)max

(3)3xeD,/w</(x)<=>m<f(x)max

(4)3xeD,w>/(x)<=>w>/(x)mm

3.双变量不等式：一般地，已知函数y=/(x),xe[d。],j，=g(x),x«c,d]

⑴若he[a,b],网4cM，总有/a)<g(%2)成立,故/"Lx<g(x)min；

(2)若依式。,句,Bx^e[c,d]f有/(x)<g(x?)成立，故/⑴,皿<g(x)g*;

⑶若肛中,可，双士"/],有/㈤冷仁)成立,故/(1)/<g(x)mM；

(4)若马平,句,电十同，有/(xJvgG)成立,故f(x)min<g(x)a•

【变式5-1](2025湖南长沙•三模)已知函数g(x)=x+h](J/+l+x)+3,若g(ax—2e"+2)<3在xe(0,+8)

上恒成立，则实数。的取值范围为.

【答案】«<2

【详解】设函数/(x)=ln(J、+l+x),则/(-x)+/(x)=ln(G+1-x)+h】(J>+1+x)=lnl=O

所以/(x)是奇函数，且x>0时，+单调递博，

则g(x)=x+ln(77i+x)+3单调递增，且g(O)=3,

所以g(ar-2e，+2)<3og(ax-2cr+2)<g(0),

即ax-2e'+2<0,x>0,则不等式a<至~乙恒成V,x>0.

x

匕/、2ev-2…、2e'(x-l)+2

设力(x)=------，〃(x)=-J"2—，

Xx

®m(x)=2er(x-l)+2,x>0,w,(x)=2er-x>0,

所以m(x)在(0,+e)上单调递增,m(0)=0,

所以m(x)>0,x>0恒成仁则〃(x)>0,x>0恒成工

则人(力在(0,+8)上单调递增,

lim丝—=lim竺=2,根据洛必达法则可知，aW2.故答案为：«<2

x-»0*X10'1

【变式5-2](2025高三・全国・专题练习)已知函数/3)=(--〃加尸，若/(力00恒成立,则“=

【答案】4

【详解】显然a=0时，皇无意义，

当”0时，由二>0可得。<工<0,即函数定义域为(。,0),

X

此时/-a>0,若/(力<0,则lnO«0,W—^1,解得

xx2

故，(x)<0在定义域上不恒成立，不合题意；

当4>00寸，由二>0可得0<x<a,即函数定义域为(0M),

X

由一一a=o,解得x=〃，当时，x2~a<0由/(x)40,

需In---->0=>---->1=>x<—,

xx2

"i、石<X<Q时，x2-«>0,由/(x)与0,\t,：:In---<0=>^—^-<1=>x>^-,

xx2

由于xw(0,a),上述两种情况都需成立，所以只需石=],即。=4,

此时，对于xe（0,4）,都有/（x）MO恒成£故答案为：4

【变式5-3］（2025•江西•二模）已知对任意的x<0,不等式（口”4乂/+力"0（9"）恒成立，则不一人的

取值集合为.

【答案】{8,17}

【详解】当此。时，由（女一4乂f+6）20,可得曲-420对任意的x〈0恒成立,

4

即。二一对任意的工<0恒成立，此时a不存在；

x

当/><0时，由（ax-4）（x2+b”0对任意的x<0恒成立,

作出》=0¥-4）=.1+6的大致图象，如图所示：

a<0

由题意可知<3=_石，又db是整数,

a

a--\a=-2一:二.故答案为：{8,17}.

所以nV4nVv

6=-16b=-4

题型06新定义问题

【例