2026高考数学复习培优练：极化恒等式、三角形“四心”和奔驰定理（原卷版）

专题05极化恒等式、三角形“四心”和奔驰定理

目录

高频考情深点解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

*核心考点京统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

，聚焦题型幡用解密（5大题型精讲+变式拔高训练）

题型一三角形“四心”向量识别（Xf）

题型二极化恒等式求数量积（f）

题型三奔驰定理与面积比例（♦♦♦）

题型四“四心”与轨迹问题（♦—）

题型五综合应用（“四心”+奔驰定理+极化恒等式）（★★★）

.实战演练为致提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

高考平面向量的核心考查模块，分值占比5-12分，题型以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中作为

综合考点出现。

基础知识必备：需熟练掌握三类核心知识的基础内容：三角形“四心”（重心、内心、外心、垂心）

的专属向量特征，如重心的①f+用+沆=6、外心的|函|=|而|=|沆|等；极化恒等式的两种核心模式

（三角形模式而♦冠=|宿产_|丽|2、平行四边形模式五不=/伍+及2-0—&2］）:奔驰定理的基本

形式SAPBC・瓦？+SAPAC•而+SAP"•无=6及与“四心”的面积比关联（如内心对应面积比Q：5：c）。

2026高考预测：2026年考向将聚焦三大方向：一是“四心”向量识别的基础送分题，侧重向量表达式

与“四心”特征的直接匹配；二是极化恒等式的灵活应用，常结合三角形、圆、正六边形等几何图形，考查

数量积的快速计算；三是奔驰定理与面积比例的综合题，可能与三角函数、余弦定理结合，提升题H综合

性；此外，跨模块融合（如与解析几何、三角函数的结合）和新情境应用（如结合几何图形性质的创新设

问）将成为重要趋势，对知识迁移能力要求提升。

核心考点♦梳理

重难知识汇总：三角形“四心”的向量本质：

①重心是中线交点，核心向量关系为而=X瓦？+而+瓦）：

②内心是角平分线交点，对应边长加权向量和为零（aOA-^bOB+cOC=0）;

③外心是中乖线交点，关键特征是到顶点距离相等；

④垂心是高线交点，满足•而=0百・瓦=瓦・6?°

极化恒等式的适用场景：三角形中需紧扣“中点”条件，圆中可结合圆心与直径构造应用，平行四边形

中直接套用原始公式，核心是通过“和差对角线”或“中点线段”转化数量积。奔驰定理的核心关联：

向量系数比与对应三角形面积比完全等价，且可直接关联“四心”（如垂心对应面积比UmAtGibSTiC、

外心对应sm2Asin28:sE2C）,是解决面积比例问题的“万能工具”。

常用技巧方法：“四心”快速判断法：优先匹配向量核心特征（如看到6？+而+沅=6直接判定重心），

垂心可通过“点乘为零”验证垂直，内心关注“单位向量和”或“边长加权”。极化恒等式速用法:

遇数量积计算，先找线段中点，若无中点则构造中点，优先套用三角形模式，圆中可利用“圆心为直径中

点”简化运算。奔驰定理应用法：向量系数直接对应面积比，无需更杂推导，综合题中先通过奔驰定理转

化面积比，再结合余弦定理、三角函数求解角度或边长。数形结合辅助法：复杂问题可建立平面直角坐标

系，将向量关系转化为坐标运算，降低抽象性（如“四心”轨迹问题、极化恒等式与圆结合问题）。

易错避坑提效：

①混淆“四心”向量特征：外心的核心是“距离相等”，切勿与垂心的“数量积相等”混淆；内

心的向量表达式系数是边长，而非角度或其他比例。

②极化恒等式误用：忽略“中点”前提，直接套用公式；圆中应用时未注意“圆心为直径中点”的

隐含条件，导致计算错误。

③奔驰定理适用范闱：仅适用于点在三角形内部的情况，若点在外部，需注意面积比的符号变化，避

免直接套用系数比。

综合题逻辑断层：解决“四心+奔驰定理+极化恒等式”综合题时，未理清知识关联，如未利用

奔驰定理将向量系数转化为面积匕，导致后续计算无法推进，建议按“向量关系一面积比/四心判定一数

量积/角度计算”的逻辑推进。

聚焦题型，解密

VI

题型一三角形“四心”向量识别

方法点拨：重心核心特征：/t+话+配=6或而=：（万？+而+无），直接匹配即可；外心核

心特征：到顶点距离相等（\0A\=\0B\=|0C|）,与向量数量积无关；垂心核心特征：^AOB=OBOC=

OCOAf体现高线垂直性质；内心核心特征：边长加权向量和为零（Q"J+6而+c五,牢记“边

长对应系数”。

【典例01］（2025•四川遂宁•二模）若点。为VABC的外心,且满足23万以+的-48=0,贝"sinC的最大

值为（）

A.yB.变C.@D.1

222

【典例（）2】（2（）25•河北张家口.一模）在平面直角坐标系中，-4（-1,0）,8（1,0）,。（如兄），点E”分别是

V4?C的外心和垂心，若"则〃i的取值范围是（）

2-2m

A.（-℃,0）B.（-1,0）C.D.（0,+oo）

【变式01】（2025高三.全国•专题练习）已知点。是非等边VABC的外心，尸是平面A5C内的一点且

UUULUlllUUUUU„.„一

OA+OB+OC=OP则尸是VA6c的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

【变式02］（2025•全国•二模）点0,P是所在平面内两个不同的点，满足加=函+南+灵，则直线

OP经过△48。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【变式03】（2025・四川南充・三模）已知点?在△48。所在平面内，若西•（篇一儡）=丽•（翡-卷）=。，

则点P是△ABC的（）

A.夕卜心B.垂心C.重心D.内心

题型二极化恒等式求数量积

方法点拨：三角形模式（核心用法）：AB-AC=\AM\2-\BM\2,直接代入中点相关线段长度；平

22

行四边形模式：ab=^［（a+b）-（a-b）］t适用于平行四边形或可补成平行四边形的图形；圆中模式:

若P在圆上，C为圆心，可设PQ,y）,用坐标表示后结合极化恒等式，简化计算。

【典例01】（2025.天津和平•三模）若正方形A4c。的边长为1,中心为。，过。作直线/与边AO,BC分

别交于P，Q两点，点M满足OM=（oH+・o8（/leR）.（i）当4时，|。“卜；（ii）PMQM

的最小值为一.

【典例02］（24-25高三下•湖南•月考）已知4c为圆"的直径且AC=2,8为圆M上的动点且与A,。均

不重合，等边三角形BCD与VABC共面且点A,。位于8C的异侧，则的最大值为（）

A.yB.1C.2D.3

【变式01］（2025高三•全国•专题练习）已知正六边形从灰7）砂的边长为4,圆。的圆心为该正六边形的

中心，圆。的半径为2,圆。的直径MN〃C。，点尸在正六边形的边上运动，则，M./W的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

3

【变式02］（2024•天津河西•模拟预测）在梯形ABCO中，AB//CD,4Z）=1,A8=3,CD=1,ACAB=-,

点W满足AM=；A8,则NB4/）=；若4。与CM相交于点P,N为线段AC延长线上的动点，则

NP-NB的最小值为.

【变式03］（24-25高三上•上海浦东新•期中）在VABC中，A=90。，AB=4,4c=46，P,。是平面

上的动点，AP=AQ=PQ=2,M是边6c上的一点，则.丽的最小值为.

题型三奔驰定理与面积比例

方法点拨：

1.奔驰定理核心：S^PBC-P4+ShPAC-PB+PC=O,向量系数比=对应面积比；四心与奔

驰定理关联：

2.重心：面积比1:1:1,向量和为零；内心：面积比a:b:c,对应边长加权向量和为零；外心：面积

比sin2A:sin2B:sin2C；

3.垂心：面积比tanA:tanB:tanC；快速计算：直接提取向量系数作为面积比，总面积=各部分面积

之和，简化比例运算。

【典例01］（2025高三•全国•专题练习）己知点。是VA8C内一点，204+308+400=0，则

q・q・q

口*。八OBC—_______•

【典例02］（24-25高三上•黑龙江齐齐哈尔•月考）“奔驰定理”国其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面

向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是VA4c内一点，4BMC,AMC,一的面积

分别为S“S’,，Sc,且S/MA+S/MB+SiMCnO.若M为VA8C的垂心，3M4+4M8+5Md=0，则

x/6

rD

6f

【变式01】（2025高三下•全国•专题练习）如图，已知。是VABC的垂心，且。4+204+30（7=0，则

lanNBAUianZ/WClanZACB等于（）

B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

【变式02］（2025高三•全国•专题练习）设点。在V48C内部，且Q4+2O8+3OC=0，则V4BC与

的面积之比是.

【变式03］（23-24高三下•广东广州•二调）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平

面问量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它

的具体内容是：已知M是VA3c内一点，ABMC,_AWC,,.AA/8的面积分别为果，,1.，且

SAMA+SBMb+Sc-MC=0.以下命题正确的有（）

A.若S/S8：Sc=l:l:l,则M为-AMC的重心

B.若M为VA8C的内心，则8cM4+ACM8+A8MC=0

C.若N8AC=45。，NA8C=60。，M为VA8C的外心，则臬：S^,：S,.=#:2:1

D.若何为VA4c的垂心，3MA+4M8+5MC=0，cosZAMB=~—

6

题型四“四心”与轨迹问题

方法点拨:先化简向量式:提取彳户=”向量表达式），聚焦丽的方向特征;垂心轨迹判断:若希•BC=

0（即AP团BC）,则轨迹过垂心，可通过点乘前验证;重心轨迹判断:若正与中线共线（如而=A（AB+衣））,

则轨迹过重心；内心轨迹判断：若丽与角平分线共线（如雨="瑞+翡）），则轨迹过内心

【典例01］（2025•河南•模拟预测）（多选）在△QA8中，若。4=（1-石,1+6）,08=（1,1），点。在边。4上,

点D在边A8上，且8c04=0，OD=A生+0,/IeR,则（）

1|O4||J

D.|。。|二平

A.\AB\=>/6B.ZAOB=-C.\BC\=\

6

【典例（）2X2025高三•全国・专题练习）已知点。尸均在VA8c所在平面内，以下所有正确说法的序号是

①若动点。满足OP=OA+PB+PC，则点P为VABC的重心；

ABAC

②若动点P满足。？=。4+2向j（/IcR）,则动点P的轨迹一定经过VA4C的内心;

ARAr

③若动点尸满足0。=。4+21—j—+i-j—（2GR）,则动点〃的轨迹一定经过VA3C的重心;

（,8卜也8|AC|sinCJ

④若动点P满足。。=。4+4।相+|八"（2GR）,则动点P的轨迹一定经过V4BC的垂心.

A8cos8ACcosC

【变式01】（2025高三•全国•专题练习）。为VA8c平面内一定点，该平面内一动点?满足

M={P\OP=OA+^\AB\s\nBAB+\AC\sinCAC）,A>0},则VAAC的（）一定属于集合

A.重心B.垂心C.外心D.内心

【变式02】（24-25高三下•甘肃兰州・月考）已知三角形ABC满足［给+熬-AC=0,则三角形A8C

118Al\BC\）

的形状一定是（）

A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【变式03】（2025高三•全国・专题练习）已知VABC所在的平面上的动点P满足AP=|AqAC+%qAB,

则直线A尸一定经过VA3c的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

题型五综合应用（“四心”+奔驰定理+极化恒等式）

方法点拨：第一步：关联垂心与奔驰定理，垂心对应的面积比=tanA:tanB:tanC；第二步：由奔驰定

理，向量系数比=面积比，直接提取正5、HB.前的系数作为tanA>tanB^tanC的比；第三步：复杂

场景可结合极化怛等式求数量积，或建立坐标系辅助计算，优先利用“四心”与奔驰定理的关联结论简

化推导。

【典例01］（24-25高三上•河北保定•期中）（多选）已知点。是VA3C内的一点，则以下说法正确的有（）

A.若20A+08+30C=0，S诋，580c分别表示V/WC,4BOC的面积，则乙八K：=3：1

/X

B.若AO=2।优+|（AGR）,则动点。的轨迹一定通过VA3C的重心

J4fi|sin«|AC|sinC

c•若叫时同=叫网洞产■扁血肛则点。是"的垂心

D.若E,F,G分别为AB，BC,AC的中点，且4C=BG=2,PAPC=O^则尸EPF的最大值

为%了15

【典例02］（24-25高三•四川成都•期末）（多选）设点D是VA4c所在平面内一点，O是平面上一个定点，

则下列说法正确的有（）

A.若=+则。是边上靠近B的三等分点

/\

ARAr

B.若AO=2p-j——+------------,则直线A。经过VA4C的垂心

J/\^|cosA?ACcosC^

C.若人Q=xA"+），AC,且■jeR,x+y=｝，则是面积的一半

/X

AUAQ

D.若平面内一动点尸满足。户=04+4〔网।—1+卜|~印।,（/leR且％工0）,则动点P的轨迹一定通过VA3C

的外心

【变式01】（2024.天津和平•一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷

器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为

4,圆0的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点M在正六边形的边.匕运动，动点A3在恻。上运动且

关千圆心。对称.（i）请用MA.MB表不M0=;（ii）请写出MA-MB的取值范围

【变式02】⑵-24高三上•湖北荆州•月考）（多选）点。在V4AC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.ySciOA+bOB+cOC=0^则点。是VA8C的重心

ACABBCBA

若。0B-则点。是的内心

B.V、而一商,[\BC\\BA\)=0,VA8C

C.若(OA+O8)A8=(O8+OC).8C=0,则点。是VA8C的外心

D.若OAOB=OBOC=OCOA，则点。是VA3c的垂心

【变式03】（2025・安徽•三模）平面上有△A8C及其内一点。，构成如图所示图形，若将•△。力8,^OBC,△OCA

的面积分别记作N，Sa，Sb，则有关系式1s°•雨+Sb•砺+Sc•觉=6.因图形和奔驰车的/og。很相似，

常把上述结论称为“奔驰定理已知△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a•瓦5+b•南+

cOC=O,则。为△48C的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

实战演练提分

▼II▼

（限时训练：15分钟）

1.（2025•安徽滁州•二模）已知。为V/1BC的重心，Q为A4的中点，则OD=（）

A.-AB--ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

23633423

2.（25-26高三上•重庆•月考）已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点不共线.若8。=BCBD

则直线3。一定经过三角形46c的（）

A.垂心B.内心

C.重心D.外心

3.（2025高三•全国,专题练习）设点。是面积为4的VA8C内部一点，且有。4+304+400=0,则BOC

的面积为（）

4.（2025高三•全国•专题练习）已知45为双曲线1=1上经过原点的一动弦，P为圆。:丁+（），-3）2=1

上一动点，则P/VPB的最大值为（）

A.4B.6C.8D.12

5.（2025•江西•一模）如图，正六边形的边长为2&，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M

在正六边形的边上运动，动点A,B在圆。上运动且关于圆心。对称，则的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

6.（2025高三•全国・专题练习）已知A,A,C是平面上不共线的三点，。为坐标原点，动点尸满足

OP=1[（1-A）OA+（1-A）OB+（1+22）OC],^eR,则点P的轨迹一定经过（）

A.VABC的内心B.VABC的垂心

C.VA8C的重心D.V48C的外心

7.（24-25高三上•江西新余•期末）（多选）“奔驰定理''因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一

个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容

是：已知M是VA3C内一点，△BMC,"MC,一的面积分别为枭，S「且

S.MA+SBMB+S<MC=（）.以下命题正确的有（）

A.若S/S8：Sc=l：l：l,则M为VA8C的重心

B.若M为VA8C的内心，则8c++=0

C.若M为VABC的垂心，3M4+4M8+5MC=0，则tan"AC:tan/ABC:tanN8c4=3:4:5

D.若N84C=45。，N4BC=6O0,A