2026届高三数学二轮复习：提优点6 数列与其他知识的交汇问题

提优点6数列与其他知识的交汇问题

【知识拓展】

1.数列与三角的交汇主要有数列伍〃｝的通项中有三角函数，另一类是数列伍〃｝中的通项团作为三角

函数中的角出现等.

2.数列与集合的交汇主要体现在对数列与集合元素的关系的考查与应用等.

3.数列与圆锥曲线融合交汇的综合题是高考中的热点题型.这类试题体现了以能力立意的命题指导

思想，呈现出立意新、角度活、思维跨度大、综合性强等特点.

4.数列与导数的交汇主要考查利用导数研究函数的性质，再运用结论解决数列问题.

【类型突破】

类型一数列与三角的交汇

例1闩知«Y）二元+2sinx,等差数列（〃〃｝的前〃项和为S”,记力尸，耶々）.

⑴求证:函数尸危）的图象关于点（兀,兀）中心对称；

（2）若⑶,。2,。3是某三角形的三个内角，求n的取值范围；

⑶若SIOO=100TI,求证:7IOO=100兀反之是否成立?并请说明理由.

⑴证明y（x）=x+2sinx,

j[2兀-x）=（2兀-x）+2sin（2兀一式）=2兀-x-2sinx,

J（x）+j（2n-x）=x+2sinx+2加一x-2sinx=2兀，

故函数产7（x）的图象关于点（兀,兀）中心对称.

（2）解因为｛如｝为等差数列，

所以。|+〃2+。3=3。2,

又因〃1,42,〃3是某三角形的三个内角，

所以。1+。2+。3=兀，

zs7127r

付a2=-,a]+a3=­f

八二ai+2sin〃i+〃2+2sin〃2+a3+2sin。3

=n+2sinai+2s吗+2sin得—QJ,

化简得73=7t+V3+3sinai+V5cosai=7i+V3+2V3sin+，），

因为ai,s,⑷是某三角形的三个内角，

且42q,所以£（°菖），

即*£O耐%+#$1］，

可得不£(n+2V5,TI+3网.

(3)证明若Sioo=lOO7t,根据等差数列性质可得5()(如+00")=100兀(1W〃W5O,〃£N*),

由此可得。〃+。1015=2兀，aioi-,t=2Tt-a,h

sin0oi〃=sin(2兀一〃")二一sina”,

即sina«+sintzioiw=O,

100100100100

7i()u-2(a。-2(a,+2sina。一Ws+22sincz/-5i(x)+2X50(sina〃+sin«IOI-K),

•=1x=l/=1/=1

解得71oo=100兀,证毕.

反之，若Tioo=lOO7i,

100100

即7Y)O=Z/A・尸Sioo+R1sin。产100兀.

因为何〃｝为等差数列，所以5O(a〃+aKn-n)=Sioona〃+aioi-”=智(1W/W50,〃£N*),

OU

100

即Tino=Zj(。)

50

二Sioo+2sin/+sin(要一田)卜师

i=i

当且仅当sing^—aj=-sina•时,SIOO=100TC,

若sin(^^-Q,"sinCH、

则SiooW100K,

故反之不成立，证毕.

规律方法解答此类问题的关键是熟练掌握数列知识与三角知识的综合运用，重点关注z的结构

特征及在三角函数中的位置.

训练1(2025•汕头二模)已知数列｛〃〃｝,an=n2^cos2y-sin2y^,其前n项和为S〃.

(1)求。1+。2+43；

⑵求S3〃；

(3)若数列｛5｝的前n项和为Tn,且人产含p证明:T〃v22.

(1)角?因为a〃=，P(cos2Y-sin2^=/?2-cos等，

所以。1+。2+。3=cos—+4cos—+9cos2兀=」-2+9二二

3322

⑵解因为Q3匕2+。3匕|+。3衣

=(3A：-2)2-COS*+(3%TFeos?+(3A)%os2n

22

(3fc-2)(3/c-l)+(3Z)2=9b|,

22

所以S3,用（9-1）+（9『|）］.『一.

⑶证明因为“含干券=（9〃+4）/

所以刀产13W+22X蠢+31X才,•叶（9〃-5）•昔（9〃+4啧

从而尹二13Xa+22X4+・,叶⑼厂5$+（9〃+4＞高，

LL乙乙乙

两式相减得

翔=2+9(抖堂+专+…+表)-(9〃+4)亲

=2+9”/(9〃+4).盛

=2+(9-3黠

1胆+22

―2二+1，

故7；尸22-节詈＜22,得证.

类型二数列与集合的交汇

例2（2025•湖北八市联考）有穷等差数列｛m｝共有m项（心2）,公差为1,前〃项和为

S,ha\-（ryam=b\a,b为正整数）.7为集合4=｛词4★为完全平方数,k=\y2,…,〃”中所有元素之和.

（1）当a=2,b=6时，求

（2）从数列｛m｝中任取一项劭若的概率为击,试求出所有的数对m,份；

（3）设X为正整数,将X?从正中间分割为两个数（若X2的位数是奇数,在数的前面补上0再分割）,若

这两个数的和恰好等于X则称X2为“漂亮数”.例如§2=81,8+1=9,所以81是一个“漂亮

数”,2972=88209,88+209=297,所以88209是一个“漂亮数”.当用32,6=99时，从集合A中任取

一个元素，求该元素为“漂亮数”的概率.

角圣（1）当。=2,b=6时，。尸4,〃〃尸36,"?=33,S〃尸X33=660,

A=｛4,9,16,25,36｝,

・・.7M+9+16+25+36=90,

故工=21=2.

Sm66022

⑵・・•公差仁立乌n,

771—1

即X=l,

m-l

fn=hr-er+1.

又4中元素的个数为b-a+\,

由题意会就

整理得庐-4+1=1OOS-0+100,

得b2~a2-100(/?­a)=99,

/.(b~a)(b+a-100)=99.

*/a,b均为正整数，且b>a,

.(b-a=lf或仅—a=3,

•・lb+a-100=993+a-100=33

成仅一a=9,.(b-a=ll,

lb+a-100=11lb+a-100=9

或(b-a=33,0-Q=99,

入lb+a-100=3"U+a-100=1,

解得｛广需或｛广=或忆度或｛广Jo或｛广或｛广:篙

'-b=1003=68lb=603=603=683=100.

故满足条件的数对有(1,100),(35,68),(49,60),(51,60),(65,68),(99,100).

(3)由题意，“漂亮数”一定是完全平方数，

2

又322=1024,99=9801,

故此时数列｛〃〃｝中的数全部是四位数.

可设｛〃〃｝中的“漂亮数”为p2=100x+y且p=x+y,

其中32WpW99,x为两位数,y为两位数或一位数.

(%+y)2=100x+y,

・・・(x+y)2-(x+)，)=99x,

即(x+)，)(x+)T)=99x,

・,.99整除(x+y)a+y-l).

注意到99=1X99=3X33=9X11,

又32Wx+)W99,

①若x+)=99,则x+)T=x,

此时尸98,尸1,

・・・9801是一个“漂亮数”;

②若x+)<99,注意到(x+y)(x+)T)为相邻整数，不可能同时为3的倍数，

必有9整除x+yt11整除工+厂1,或者11整除x+yt9整除x+y-1.

下列分两种情况进行讨论：

(i)x+｝,=9A,x+y-1=11/z,4W2W1()",〃£N:

两式相减可得9A-11//=1,

口H9A-1

即〃二

・・・〃EN:.・・/1只能取5,此时〃=4,

・・・X+『=45,・・・452二2025是一个“漂亮数”.

(ii)x+y=HA,x+y-1=9//,3W2W8：C"WN”,

两式相减可得112-9〃=1,即产岩.

,・NeN*,所以2只能取5,此时.6,

・・・龙+]=55,1.552=3025是一个“漂亮数”.

综上所述，当斫32,%=99时，数列伍〃}中的“漂亮数”有2025,3()25,9801,共3个，

且都属于集合A;

而集合A中元素的个数为68;

故从A中任取一个元素，且该元素为“漂亮数”的概率为

68

规律方法求解此类问题，关键在丁•理解数列与集合之间的关系，才能运用有关知识解答.

训练2用符号囿表示集合A中元素的个数.对于实数集合A利B,且|川22,闻22,定义两个集合:

①和集A+8={〃+〃〃£A,/?£8};

②邻差集£>(A)={*-㈤41,2,…，汝果1),

其中671,Q…,如।为集合A中元素按照从小到大排列.

(1)已知集合A={1,3,5},B={2,4),求|O(A+砌,|D(A)UD(B)|的值;

⑵己知集合A={2*『1,2,…，1()0}，展{4〃|〃=1,2,…，100},求|4+用的值；

⑶若4与3都是由皿〃zN3,6EN*)个实数构成的集合，证明:|4+用=2〃厂1的充要条件是|D(A)U

Q(B)|二L

⑴解因为A={1,3,5},8={2,4},

所以A+B={3,5,7,9},

所以D(A+8)={2},D(A)={2},D(B)={2},

所以|O(A+3)|=1,|O(4)U0(8)1=1.

⑵解考虑24g2s+秋*),

不妨设j<l,则i>s,

①当fW51时此时(*)式不成立；

②当②50②若i>2tf则2r2s+4峪2心2-廿二0,此时(*)式不成立；

若i<2t,则4，-⑷+2，)24，-4门-2，=34门-2。3・22厂2-22cq2?c-22c>0,此时(*)式也不成立;

若i=2t,则取5=2/,此时(*)式成立.

由上分析知和集中重复的元素个数共年t二1225个.

所以|A+B|=100X100-1225=8775.

(3)证明充分性的证明：

当|O(4)U£>(B)|=1时,不妨设D(A)=D(B)={J},

设集合A={m,〃2,—,am},

B={h\tbiy•••,hm],

其中a\<a2<-<am,

b\<b2<^<bllh

{an],{bn](n=\,2,…,是公差为d的等差数列.

因此A+8={的+。1,4i+hi+d,…,ai+0i+2(〃Ll)d},4+8里面的元素也是公差为(/的等差数列，所以

\A+B\=2m~\.

必要性的证明：

设集合A={ai,02,…，a”},岳，…，5〃}，其中a\<ai<••<£(/»,b\<bi<,•</>«,

贝Ia\^b\<ai+bi<••〈cim+b\<am+b?<•,•<a〃H"力”.

这里共2〃厂1个不同元素，

又H+5|=2加T,

所以上面为和集A+8中的所有元素.

又ai+bi<ai+b2<••ym+bm<a2+b”】<••ya〃>bm,这里共2m-l个不同元素，也为和集A+8的所有元素，

所以有。2+力=41+历，

即a2-a\=b2-h\.

一般地，由

〈…<而+册,

a\+h\<a\+b2<…<ai+bkG+bk<**<am+bk<am+bk+1<

a\+b\<ai+b2<***<ai+bk<ai+bk+1<a2+bk+1<…va〃i+bk+i<八*<即十%,

可得a2+bk=ai+bk+it

即ai~aI=/?A+i一从(1W%Wm-1).

同理可得历-4=at+i-〃人(1WZW/n-l),得证.

类型三数列与圆锥曲线、导数的交汇

例3」知双曲线C:x2-y2=/z?(/??>0),Pi(5,4)在。上，4为常数,按照如下方式依次构造点

Png3,…),过点Pn-l作斜率为女的直线与C的左支交于点Qn1,令P〃为Q”J关于丁轴的对称点,

记P”的坐标为时如).

(1)若号,求必”;

(2)证明:数歹是公比为言的等比数列；

⑶设S“为△尸〃尸〃+山什2的面积,证明:对于任意的正整数小S产£+1.

⑴解•・•Pl在C上，・•・"『52-42=9,

E一比=9,

故时,有

”-4=沁-5),

攵或

解得2=3,

、2=°:2,

/.X2=3,J2=O.

⑵证明设Pn(Xn,Jn),Qn(~Xn+\fJM+1),

直线P〃QA斜率为k.

设Zn=Xn-ylh

・•一羽=9,

•&+1-媪I=9,

jjil](必1+1-%1)(必1+1+如)=I

(Xn4-1-xn)(xn+i+xn)'

结合=左

~xn+i~xn

%+1一%=一代今+1+&)，

得

A+1一=一软%1+1+%)，

两式相减，得Zn+\-Zn=k(Z,t+1+Zn),

・ZR-I+I

2月1-fc

・•・数列｛用「如｝是公比为言的等比数夕U.

(3)证明要证S“+i二S〃，

即证SMnPn+lPn+2=S^pn+lpn+2pn+3f

这等价于Pn+lPn+2〃PuPn+3.

xn-yn=q"T,

由(2)知

L+%=9七)，

「

・・・加1.k+啕/i\n-1'],

竹加(茨、叫

••K_yn+2~yn+l

・Pr.+lPn+2xn+2-Xn+1

=(％+2-产】)一(Xn+I-q")

xn+2~xn+i

_i_________2qn(q_l)_________

巧+9(济1卜胃+乂消

_卜2qRqT)

-q，qT)+声

2n+1

=]_2q

Tq2n+i_9'

卜=yn+3-W=(Xn+3-qn+2)_(孙-qn-1)

pp

nn+3xn+3-xnxn+3-xn

=1___________2qfq3_i)__________

收2+9(3n"卜卜时】+9(3nl

二]2qX(q3-i)

Qn-i(q3_1)+9lZ^

f一位+】

q2n+i_9，

故kp「+]Pn+2=kPnPn+3,n+i^9?"尸〃z,+3»

••Sn=Sn+].

规律方法本题分层设问，环环相扣,三问都可以通过基本方法简化计算过程;第(2)问利用固定斜率

的直线与双曲线交点的性质可以迅速得出结论;第(3)问证明面积相等时，可以将问题转化为证明两

条直线平行.试题充分体现了“多想少算”的设计理念.

训练3已知正项数列｛〃“),m=l,〃〃+|二例(如+1),“WN.求证:

⑶京,忘六，

证明⑴先证明ln(x+l)<x对x£(0,+8)恒成立,

记危)=ln(x+l)-x,

则=二三<0,

J\'X+lX+1

所以/(X)在(0,+8)上单调递减，

所以Q0时,凡丫)勺(0)=0,

所以x£(0,+8)时，In(x+l)<x.

又〃“>(),所以a〃+i=an(4〃+l)<为”

即Cln¥\<an,得证.

(2)要证an-2an+\<an-an+\成立，

只需证an-\n(an+1)。。〃力1(4〃+1)成立,

即证ln(a〃+l)>义包;成立.

«n+2

记^(x)=ln(x+l)--,(0,+8),

贝”炉⑴磊一

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以第＞0时,g(x)＞g(0)=0,

所以x£(0,+8)时，1n(x+1)日，

人I/

又4“＞0,所以访(4〃+1)＞卫正,得证.

cin+2

(3)由(2)知。〃—2〃“+|,

即」一＜』

an+ian

贝1」'+1＜巳+2=2(工+1),即^^＜2,

a

Qyi+1n\即/丁an+1

又工+1=2,所以L1W2,2〃T=2”,

QIan

所以白是1＞表；

由⑴知an＞2an+i,所以又。1=1,

On2

则3(y©T

综上，奈

【精准强化练】

1.（2025•北京东城区模拟）对于一个递增正整数数列｛〃〃｝,如果它的奇数项为奇数，偶数顼为偶数,则

称它是一个交错数列.规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集合

｛1,2,…,〃｝的所有交错数列的个数记为4.例如，当〃=1时，取自集合｛1｝的交错数列只有1一种情

况,则Ai=l;当n=2时，取自集合11,2｝的交错数列有1和1,2两种情况,则42=2.

⑴求小和4的值；

⑵证明:取自集合（1,2,…,〃｝伽》3）的首项不为1的交错数列的个数为42；

⑶记数列｛4｝的前〃项和为S”,求使得S〃>2025成立的n的最小值.

⑴解当椁3时，取自集合｛1,2,3｝的交错数列有1;3;1,2;1,2,3四种情况，因此小=4;

当〃二4时，取自集合｛1,2,3,4｝的交错数列有1;3;1,2;1,4;3,4;1,2,3;1,2,3,4七种情况，因此4=7.

（2）证明设数列…,“”是取自集合｛1,2,…的交错数列，

因为的工1且是奇数，所以山23,

构造数列〃尸2,i=l,2,…,〃?，

则b£｛1,2,…,〃-2｝,

此时数列阮历，…，品的个数是取自集合｛1,2,…，〃-2｝的步有交错数列的个数A”2,

因为数列初〃2,…，而是递增数列，所以对于每一个历仁｛1,2,…，〃-2)都有且仅有一个

｛3,4,…,〃｝与之对应，

所以取自集合(1,2,…,〃｝(〃23)的首项不为1的交错数列的个数为An2.

⑶解设数列G,42,…,而是取自集合｛1,2,…的交错数列,

由⑵得,当的23时,所有交错数列的个数为4.2,

当41=1时，若71=1,则仅有一个交错数列；

若时，构造数列比.尸aj~\(2WjWn),

则力」£｛1,2,…,〃-1｝,

此时数列bl,岳，…,bm-\的个数是取自集合｛1,2,…,n-\｝的所有交错数列的个数An-],

因为数列41,42,…是递增数列，

所以数列〃I,岳，…，。什1与数列。2,43,…,S”之间---对应.

又因为4/1=1,

所以数列41,。2,…,。“(小》2)的所有交错数列的个数为An-1.

综上所述,4尸4一1+42+1(〃N3).

(力3=42+人1+1，

当栏3时，由14='3+"2+1'

Un=^n-1+4n-2+1，

累加得Sn-AirA1=5n-i-Ai+S〃-2+〃-2,

因为4=1,A2=2,

所以S〃-2=AL〃(〃23),

由A,t=An\+An-2+]及⑴得4=12：…，

A13=609,414=986,A15=1596,A\6=2583,

显然｛&｝单调递增,

因为Si3=Ai5-15=1581,

5i4=/416-16=2567,

所以S13<2025Vsi磊

所以使得S〃>2025成立的〃的最小值为14.

2.(2025•郑州质检)已知一列椭