2026届高三数学二轮复习：与平面向量有关的最值、范围问题

微专题6与平面向量有关的最值、范围问题

高考定位1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现,多以小题形式考查，难度中档;2.主要

考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围.

【真题体验】

1.（2025•北京卷）已知平面直角坐标系xOy中，|而|二|砺仁正|而|=2,设C（3,4）,则|2而十布|的取值范

围是（）

A.[6,14]B.[6,12JC.[8,14]D.[8,12J

答案D

解析因为|布|二|赤|二夜,|荏|二2,

由而=丽-瓦5平方，可得65•砺二0,

所以〈码,OB>=^.

2CA+AB=2（OA-OC）+OB-OA

=OAWB-2OC,|OC|=x/32+42=5,

所以|23+前|2

=OA2+OB2+4OC2-4（OA+OB）^OC

=2+2+4X25-4（OA+OB\OC

=\04-4（OA+OB）.OC,

又|（6f+而）•觉|W|U7+砺||瓦|

=5xJ2■短=10,

即TO《（65+砺）祝〈10,

所以|2刀+砒£[64,144],

即|2三?+屈]£[8,⑵.

2.（2017・全国0卷）在矩形A3C。中,AB=ifAD=2,动点尸在以点。为圆心且与BD相切的圆上.若

ZP=；A8+//AD,贝I」入+〃的最大值为（）

A.3B.2V2C.V5D.2

答案A

解析如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则8（1,0）,。（0,2）,。（1,2）,直线3。的方程为

y=~2x+2,

。。方程为(厂1)2+52)2二月

又而二(1,0),而=(0,2),

贝U万二/C5S+〃而二(九2"),

又圆与直线BD相切,则半径『意

因为尸点坐标可表示为尸1+rcos0=入,

y=2+rsin^=2//,

贝IA+//=2+^sin夕+rcos8=2+字sin(9+夕)，

22

当sin(>9)=1时,有最大值为2，X寻3.

3.(2024.天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE=^DE,BE=WA+/[BCf

则二尸为线段8E上的动点,G为A/的中点，则而•丽的最小值为.

答案5得

解析以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系:

则4(0,0),B(l,0),C(l,1),0((),1),E(|,l),

所以的=(一：,1),0=(-1,()),就=((),1),

因为万二通配，

所以(一/l)=〃T，0)+4(0,1)，

所以/=：,〃=1,所以％+"=*

由8(1,0),陪,1)可得直线BE的方程为尸一3(尸1),

设F(a,3-3幻GWQ41)，则G6,言)，

所以需二3,3-34/),DG=(^,詈)，

所以方•而*+(3-3〃).詈

"5A6"|=5(Q—1)2磊

所以当时，丽•而取得最小值，为二.

318

4.(2022・浙江卷)设点尸在单位圆的内接正八边形4A2…A8的边4A2上，贝步南+互递+…+岗前勺取值

范围是.

答案[12+2应，16]

解析以圆心为原点,A7A3所在直线为X轴,A54所在直线为)，轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则Ai(O,1),A2仔，¥),

A3(l,0)M4(f,-f),A5(0,-l),

今一¥).Eo)，MV《),

设P(x,))

于是西什同畀••叶万卷=8(r+),2)+8,

因为cos22.5VIOPIW1,

所以土等^〈r+vwi,

故对介同介…+可的勺取值范围是[12+2&,16].

【热点突破】

热点一向量模的最值、范围

例1(1)已知单位向量。,力满足例+264"=0,则|汝+臼*R)的最小值为()

A?B.亘C龙D港

3232

⑵己知△ABC是边长为4遍的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点,且满足|万+而+而|=3,

则I而I的取值范围是.

答案(1)B⑵[3,5]

解析⑴由|所“+2岳仍=0,

得|a-加二-2百〃也

两边平方，得a2-2ab-^-b2=12(«b)2,

即6(ab)2+ab-\=0,

解得。6=彳或ab=g.

因为|a-例=-28。•力20,

所以abWO,所以ab=-：,

所以9+6|+J|ta+bp

=Vt2+1+2ta-b=yjt2—t4-1

当/三时，表达式取得最小值.

（2）以4c所在直线,为x轴，以AC的垂直平分线为），轴建立平面直角坐标系,

则>4(-273,0),仅0,6),

C(2V3,0),设P(x,y),

则而=(X+2>/5,y),丽=(x,)-6),

CP=(x-2y/3,y),

・.・|而+而+函=3,

即J(3x+2V3-2V3)2+(3y-6)2=3,

化简得f+()L2)2=l,

・••点P的轨迹方程为f+(厂2)2二1,

设圆心为G则G(0,2),

又|AG|=j22+（2百）2=4,

故\AP\的最小值为\AG\~\=4-1=3,

I而I的最大值为|AG|+1=4+1=5,

故|而|的取值范围是[3,5].

规律方法求向量模的范围或最值常见方法：

⑴通过⑷2=/转化为实数问题;（2）数形结合;⑶坐标法.

训练1⑴（2025・广州调研）已知向量"c满足⑷=1,|臼=低。力=-|,c,b-c>=30°,则|c|的最大值

为（）

A.2V7B.由C.2D.V2

⑵已知向量a,b,单位向量e,若ae=l,bc=2,a仍=3,则|Q+目的最小值为.

答案（I）A⑵vn

解析（1）设瓦彳=a,OB=b,OC=c,

贝a-c=CA,b-c=CB,

由题意cos<a,Z»=品=-*

而180。，则<〃，Z»>=150°.

又因为。-c>=30°,

所以0,A,C,8四点共圆，如图所示.

要使|c|取得最大值，则。。必过圆心G,

此时在△OA8中,A82=OA2+OB2—2O4O3COSZAOB

=l+3-2V3cos150°=7,

即AB—H,

由正弦定理可得0C=2R=」^二2夕.

sinZ.A0B

⑵设e=(l,0),a=(xi,yi),b-(x2tyi)f

由ae=\得xi=l,

由be=2得X2=2,

由ab=x\X2+y\y2=3,得)”?二1,

贝Ji|a+6|=J(a+b)2

=，(匕+不)2+Oi+丫2)2

=J11+资+y)Sy/11+2^^2=713,

当且仅当)『)，2=1时，取等号.

故M+目的最小值为41

热点二向量数量积的最值、范围

例2（1）如图，已知正方形A3CO的边长为4,若动点尸在以48为直径的半圆上（含边界）,则丽•丽

的取道范围为（）

A.(0,16]B.[(),16]C.(0,4)D.[(),4]

(2)(2025•哈尔滨调研)已知平面向量瓦。满足同=|例=1,且cos<a,\c-a+b\=\,则阳所c)的最

小值为.

答案(1)B(2)0

解析(1)取C。的中点E,连接PE,如图所示，

所以尸石的取值范围是愕,44即[2,2通],

又由正.丽=(而+硝•质+前尸而2_丝二战2—4,

4

所以玩.而£[0,16].

⑵不妨设。=(消),6&一苧)c=3y),

则|c-a+阳(x,y)_&?)+&—日)卜1,

则x2+(j-V3)2=1.

r、r(X=COS0,八

可设仄工./何。，2兀)，

ly=V3+sin6,

贝ZHQ-C尸G，—弓｝(g-cosa?一遍一sin6)

=l+^ysin0—1cos0^=l+sin(B-,)20.

规律方法向量数量积最值(范围)问题的解题策略

⑴形化:利用平面向量的儿何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形

的特征直接进行判断.

(2)数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程

有解等问题,然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.

训练2⑴(2025•北京延庆区模拟)在△43。中,A=90。,AB=AC=4,点M为边AB的中点，点P在边BC

上，则而•丽的最小值为.

(2)(2025•江西五市九校联考)如图，已知圆。的半径为2,弦长。为圆。上一动点，则尼・丽的

取值范围为

答案⑴彳(2)[6-4A/3,6+4V3]

解析(1)以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知8(4,0),C(0,4),M(2,0),

设P(x,4-R),(XW4,

所以MP=(.L2,4~X),CP=(x,~x),

2

所IJZiWP-CP=X2-2A-4X+X2=2Y2-6J=2—|)-p0«4,

由二次函数的性质知，当.□，时，祈了•斤取最小值

⑵取AB的中点D,连接CD,OD,

则而配二(而+沆)•(而+瓦)

.•一・・・・-).♦・・・・・・・，»♦—♦r

=ADBD+(AD+BD)-DC+DC2

=DC2-i,

又|。年，22-12m

所以|CO|min=2S理[=2+祗

即2-V3^|CD|^2+>/3,

所以(前•前)min=6-4g,

(i4c♦8C)niax=6+4V^.

故彳乙前的取值范围为[6-4V5,6+4V3],

热点三向量夹角的最值、范围

例3（2025♦太原调研）已知点P（l,O）,C（0,遮）,。是坐标原点，点B满足|正|=1,则而与而夹角的最

大值为（）

A.—B.—C.-D.-

6323

答案A

解析设点B（x,y）,可M-y）,

因为前1=1,

可得『+（厂6）2=1,

即点8的轨迹是以C（0,遥）为圆心，半径r=\的圆.

如图圻示，当直线8尸与圆C相切且切线在圆心下方时，直线8尸的倾斜角最大，即而与方的夹角

最大.

设过点P与圆。相切的直线P3的方程为产依L1）,即^r-r^O（RO）,

则圆心到直线的距离等于圆的半径，

可得喑皆1,解得仁咚

设切线的倾斜角为a（0^a<7t）,

则tan可得«=-,

36

即而与而夹角的最大值为等.

规律方法1.解答本题的关键是确定动点8的轨迹后,数形结合求解,把两向量夹角的最值问题转

化为宜线与圆的位置关系问题.

2.求向量夹角的最值、范围,往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示,转化为求函数的

最值问题,要注意变量之间的关系.

训练3（2025.合肥段考）在平行四边形ABCD中,2口也2],则cos/BAD的取值范围

是

3_1-

答案

4’4.

解析设与前同方向的单位向量篇二口,

与而同方向的单位向量儡二62,

与前同方向的单位向量篇:

「e3,

由题意ei+2e2=Q3,

所以®+2e2)2=Z避，

即“+4e।e+4%可,

所以1+4X1X1XcosZBAD+4=z2,

所以cosZBAD=^—^,

4

因为;IU[您,2],所以MU[2,4],

所以丫仁3_1

44,4,

即COSNBAD的取值范围是［一二

44J

热点四向量系数的最值、范围

例4⑵）25•铜川模拟）在△A3C中，。是48边上的点,满足AD=2DB,E在线段CD上（不含端点）,且

AE=xAB+y^C（xyy£R）,则等的最小值为.

答案4+2北

解析•・•AE=xAB+y^AC（xf）eR）,AD=2DB,

♦Rx一一.・・・・.

：.AE=^-AD+yACt

又E在线段CD上（不含端点），

~~+y=1,且尤>0,y>0,

・・・工印+4”）

xyyx\yxj\2，）

=4+三+盯24+2打

2yx

当且仅当三二N

2yx

即户1-当卢亨时，等号成立，

・•・'的最小值为4+2V3.

xy

规律方法解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论

（1）。〃boa=Zb（b关0）.

（2）耐力丽+〃面（九〃为实数）,用A,B,。三点共线=在〃=1,进行转化,列不等式或等式得到关于系

数的关系式,从而求系数的取值范围.

训练4（2025•南京模拟）已知点尸是△相€?所在平面内的一点，且而二；而+充（f£R）,若点。在

△ABC的内部（不包含边界）,则实数t的取值范围是.

答案（词

解析在A8上取一点使得而三通，

过点。作DP〃A。交BC于点P,过点尸作尸石〃A。交AC于点E,

由平面几何知识易知荏W而，

由向量加法的平行四边形法则，

得而上就泰.

33

若点、P落在△ABC的内部，则0</<|.

【精准强化练】

一、单选题

I.已知非零向量a,b的夹角为三,|。|=2,/l£R,则|。+幼|的最小值为（）

O

A.2B.V5C.lD.1

答案C

解析因为a,5的夹角为|0|二2,

所以〃彷二百|可，

\a+Xb\2=\b\2X2+2y/3\b\X+4

=（W+V3）2+1>1.

故|〃+2加的最小侑为1.

2.（2025・南通质检）如图所示,单位圆上有动点A,B,则|万正福|的最大值为（）

A.OB-1

C.lD.2

答案D

解析因为|布-砺|二|游|,

A,B是单位圆上的动点，

所以|初-砺|的最大值为2,

此时瓦?与赤反向.

3.(2025・齐齐哈尔模拟)已知向量a,b不共线,AB=；xi+b,AC=a+/ib,其中义>0,〃>0.若A,B,。三点共线,

则2+4〃的最小值为()

A.5B.4C.3D.2

答案B

解析因为A,8,C三点共线，所以存在实数太使而二沅，

即Xa+b=k(a+iib).

又向量不共线，

所以仁鼠得”=L

由2>0,//>0,得2+4〃22A/44〃=4,

当且仅当z=4/z,即2=2,〃=1时，取“二”.

4.设向量瓦5=(1,-2),砺=(〃,-1),瓦二(-"()),其中O为坐标原点,67>(),">(),若A,B,C三点共线，则

工芸的最小值为()

ab

A.4B.6C.8D.9

答案C

解析由题意得，而=丽-布1),

AC=0C-0A=(-b~^2),

VA,B,A三点共线,

・,•丽二2而且i£R,

则｛尸:一+D可得2-

[24=1,

•■-H=G+l)(2a+/,)=4+^+v

24+2£.黑8,

当且仅当/?二2々=!时，等号成立，

・・・爱的最小值为8.

ab

5.(2025・广州三校联考)已知正方形ABCD的边长为1,设点MN满足宿=2荏,询=〃而.若

CM-OV=1,则乃+2炉的最小值为()

23

A.2B.1C.-D.-

34

答案C

解析如图所示，以A为原点，建立平面直角坐标系，

D----------iC

N

~A\MBx

则4(0,0),B(l,0),C(l,1),D(0,1),

*：AM=/JB,而二"福

W0),MO,//),

则CM=(2T,-1),CN=(7,〃T),

・,•丽丽=1-2+1-〃=1,

故A+〃=1,

A2+2/z2=(1-/^)2+2/Z2=3/Z2-2/Z+1,

故时，

产+2妙=3"2-2〃+l取得最小值之

3

6.已知〃,h是互相垂直的两个单位向量，若向量。满足|L"-川=2,则的最大值为()

A.2-V2B.2+V2

C.V2D.2V2

答案B

解析依题意，设力分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,

则。二(1,0),。二(0,1),a+b=(1,1),

设c=(x,y),

贝ijc-a-b=(x-1,y-1),

因为\c-a-b\=y](x-I)2+(y-1)2=2,

所以(kl)2+(y-1)2=4,

故。=沆，点。的轨迹是以(1,1)为圆心,2为半径的圆，圆心M(l,1)到原点的距离为

\OM\=V12+12=V2,

|c|max=|OAf]+r=V2+2.

7.已知菱形A3c。的边长为1,cos为菱形的中心,E是线段相上的动点，则尻•丽的最

小值为()

答案A

解析由题意知点。为8。的中点,

设倡i福0W2WL

故瓦质=(旃-而)•(冲-|AD)

=-XAB2+-AD2-(-X+i)AB-AD

22\22/

=-；+--!A+-)

223\22/

当2=0时,屁・丽取得最小值为，

8.(2025・开封调研)在平面直角坐标系入g中，设A(2,4),5(-2,-4),动点P满足词•而=7,

则tan/P8。的最大值为()

A2后W29「2网C无

A.-------DD.-------Lz・-------U.—

2129412

答案C

解析设P(x,)),则而二(-x,TA=(2~X,4-y),

贝IPOPA=-x(2-x)-y(4-y)=-1,

即『-2丫+)?-4y+1=0,

化为(厂1)2+0，-2)2=4,则点尸的轨迹为以0(1,2)为圆心，半径为2的圆，

又koB=》=koD,所以B,0,0三点共线，显然当直线尸8与此圆相切时,tanNP5O的值最大.

又BDZ32+62=3遮,PD=2,

贝|JPB3BD2一。。2=145—4r五

PD_2_2\/41

则tanZPBO=

PB~>/4i~41

二、多选题

9.（2025・杭州质检）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3,4）,长度为2的线段AB的端点分别落在龙

轴和y轴上,则P4Pg的取值可以为（

A.10B.15D.35

答案BCD

解析如图所示，建立直角坐标系.

由题意设A3,0),仇0,b),

其中0W|a|〈2,0Wg|W2,

|AB|=2,即/+从=4,

令tz=2cos令2sin9,

所以A(2cosOy0),8(0,2sin。),

所以巨?=(2cos0-3,-4),

PB=(-3,2sin。-4),

所以瓦?•丽=(-3)X(2cos(9-3)+(-4)X(2sin<9-4)=-6cos^+9-8sin。+16

二T0sin（8+9）+25,

3

tan（/）=-,

所以（万?•而）max=35,（同而）min=15,

所以瓦5•丽的取值范围是[15,35],结合选项可得选BCD.

10.（2025・泉州调研）平面向量皿〃满足问=|川=1,对任意的实数r,\m一他+/川恒成立，则（）

AJ〃与〃的夹角为6（）。

B.Q〃+/〃）2+（〃厂〃2）2为定值

C.|〃-〃川的最小值为g

D.1〃在上的投影向量为#"+〃）

答案AD

解析设平面向量相与〃的夹角为仇

因为对任意的实数i,m—川恒成立，即62m〃尸+2〃〃-〃+/2〃2恒成立，又|〃z|=|〃|二i,

所以/2+2/COS9+cos。二20对任意的实数/恒成立，

4

所以d=4cos2^-4cos%l=(2cos^-1)2^0,

则cos7所以叙60。，故A正确.

对于B,（m+tn）2+（m-tn）2=\+2tcose^+P+l+p-ltcos60。=2+2户，随，的变化而变化，故B错误.

对于C,因为\n-tm\=yj\n-tm|2=Vl+t2-2tcos60°=Vt2-t+1,结合二次函数的性质可知当

时，|〃-九|取最小值］，故C错误.

对于D,向量机+〃的一个单位向量-产二岁，由向量夹角公式可得cos

|m+n|V3

<m,加+〃>=，（：吗=揖=£则m在m+n上的投影向量为|〃“・cos<m,m+n>e=1X”X罕口（〃?+〃），

|m||m+n|V322732

故D正确.

11.（2025・荷泽模拟）如图，己知△ABC中,3号,AB=BC=2,M是AC的中点，动点P在以4c为直径的

半圆弧上.则（）

A.2BM=BA+BC

B.丽•就的最小值为-2

C.而在丽上的投影向量为彳丽

D.若丽三厢+），前,则x+y的最大值为1+V3

答案ABD

解析以何为原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图）,

设NCMP=。，贝夕£[0,K],

在△A5C中，ZABC=—AB=BC=2

3ft

M是AC的中点，

所以BM=1,AC=2A/3,MPS,

则A(一8,0),C(V3,0),8(0,T),P(V3cos仇V3sin。)，

所以丽二(HcosV3sin。+1),fiC=(V3,1),函