2025年高考数学三轮复习保温卷：直线综合（含解析）

高考数学三轮冲刺保温练卷：直线综合

一、选择题（共20小题；）

I.若a?+〃=2c2（ch0）,则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）

A.-B.1C.—D.V2

22

2.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x—3y-2=0垂直”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知过点4（-2,7n）和点B（m,4）的直线为0,直线2%+丫-1=0为12，直线4+九y+l=0为

l3.若匕〃%，%，％，则实数m+九的值为（）

A.-10B.-2C.0D.8

4.若直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直，则a的值为（）

A.-3B.-gC.2D.3

5.已知直线ax+4y-2=0与直线％：2%-5y+匕=0互相垂直，垂足为（l,c）,则a+b+c

的值为（）

A.20B.-4C.0D.24

6.直线［过点（2,2）,且点（5,1）到直线/的距离为内，则直线［的方程是（）

A.3%+y+4=0B.3%-y+4=0C.3%-y-4=0D.x-3y+4=0

7.过两点（0,-3），°，一等）的直线匕与过点「（2,3）且斜率为4的直线12平行，则m的值为

（）

A.；B.；C.D.

3333

8.直线匕:QX+2y-1=0与%：%+（Q—Dy+a?=0平行，则Q=（）

A.-1B.2C.-1或2D.0或1

9.已知直线，i：y=QX—2,%：3%一(Q+2)y+1=0互相平行，则Q=()

A.1或一3B.-1或3C.1或3D.-1或-3

10.点P(x,y)在直线4x4-3y=0±,且满足一14W%-yW7,则点P到坐标原点距离的取值范

围是()

A.[0,5]B.[0,10]C.[5,10]D.[5,15]

11.已知。1(4,4)与P2(。2/2)是直线y=k为+1(k为常数)上两个不同的点，则关于，i：%%+

瓦y-1=0和%：a2x+匕2y-1=0的交点情况是()

A.存在k,P[,P2使之无交点

B.存在匕Pi，P2使之有无穷多交点

C.无论匕匕，「2如何，总是无交点

D.无论鼠Pi，P2如何，总是唯一交点

12.设Fi，尸2分别为双曲线捺一，=13>0/>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满

足|PF2l=|F/2l，且NPF2FI=90。，则双曲线的离心率为()

A.V2-1B.V2C.V2+1D.2V24-1

13.等腰直角三角形ABC中，ZC=9O\若点4c的坐标分别为(0,4),(3,3),则点8的坐标可能

是()

A.(2,0)或(4,6)B.(2,0)或(6,4)

C.(4,6)D.(0,2)

14.已知长方形的四个顶点做0,0),8(2,0),。(2,1)和0(0,1).一质点从AB的中点P。沿与AB夹角

为J的方向射到8c上的点P】后，依次反射到CD、D力和48上的点P2，P3和「4(入射角等

于反射角).若已与与重合，则tan。=()

A.-B.-C.-D.1

352

15.设两圆G，Q都和两坐标轴相切，且都过点(4,1),则两圆心的距离IGQI=()

A.4B.4>/2C.8D.8>/2

16.设4、8是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|P8|,若直线PA的方程为x-y+

1=0,则直线PB的方程是()

A.2x+y-7=0B.x+y-5=0C.2y-x-4=0D.2x-y-1=0

17.若动点48分别在直线，i：x+y-7=0和12：4+丫-5=0上移动，则4B的中点M到原点

的距离的最小值为()

A.3V2B.2V2C.3V3D.4^2

18.设a>b>c>0,则2a2+=+—-10就+25。2|1勺最小值是()

aba(a-b)7；''

A.2B.4C.2VtD.5

19.过双曲线避_q=i的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于4.R两点.

\AB\=()

A.等B.2V3C.6D.4^/3

20.直线3x+y-3=0与直线6无+my+1=0平行，则它们之间的距离为()

A.4B.^V13C.^V13D.^VlO

二、填空题(共5小题；)

21.若直线(3a+2)%4-(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(Q+4)y-7=0垂直，则。=

22.已知直线y=/cx+2A+l与直线y=—：x+2的交点位于第一象限，则实数A的取值范围

是.

23.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.

24.已知数列｛即｝,对任意的kwN，,当〃=3k时，Q〃=QN；当riH3k时，Q4=日，那么该数列

3

中的第10个2是该数列的第项.

25.对正整数n定义一种新运算“*”，它满足①1*1=1,②(n+1)*1=2(九*1),则2*

1=：n♦1=.

三、解答题(共5小题；)

26.已知点力(1,1),8(2,2),点P在直线y=上，求IP川2+|尸引2取得最小值时p点的坐标

27.求证：三角形的中位线长度等于底边长的•半.

28.在△A8C中，顶点4(2,4),B(-4,2),一条内角平分线所在直线方程为2x-y=0,求AC边所

在的直线方程.

29.已知曲线C：I+4=1,直线上匕三+为参数).

49(y—Z—Zt

(1)写出曲线C的参数方程，宜线/的普通方程；

(2)过曲线C上任一点P作与1夹角为30。的直线，交I于点、A,求IP/I的最大值与最小值.

30.(1)求与直线3x+4y-7=0垂直，且与原点的距离为6的直线方程：

(2)求经过直线小2x+3y-5=0与I2：7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-

3=0的直线方程.

答案

1.D【解析】因为圆心(0,0)到直线a%+by+c=O的距离4=7+=寻；=¥，由勾股定理得，

Va'+匕」V21cl2

弦长的一半就等于J/一(4)2二今所以弦长为企.

2.B【解析】直线Qx+y+1=0与直线(tz+2)x-3y-2=0垂直的充要条件为Q(Q+2)+1x

(-3)=0,解得Q=1或一3,

故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)%-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.

3.A【解析】因为，〃I,

所以上=-2(m*-2),

m+2

解得租=-8(经检验，。与12不重合).

W'为，2，，3，

所以2xl+lxn=0,即九二一2.

所以m+n=-10.

4.D【解析】直线ax+2y-l=0的斜率幻二一§,直线2x-3y-l=0的斜率上2=：因为两

直线垂直，所以一Txg=—1,即Q=3.

5.B

【解析】直线。的斜率为一%直线。的斜率为|，由两直线垂直，可知一:|二一1,得a=10.将

垂足(l,c)的坐标代入直线I1的方程，得c=-2,将垂足(1,-2)的坐标代入直线。的方程，得万二

-12,所以a+h+c=10-12-2=-4.

6.C【解析】由已知，设直线［的方程为y-2=k(x-2),

n\\kx-y+2-2k=0,所以与二,2-3=国,

7k+(—1)

解得k=3,所以直线/的方程为3x—y—4=0.

m-53

7.D【解析】如=三六=4=%解得血=一1

8.B【解析】由于两条直线平行，所以a(a-1)-2=0,即。2一。-2=0,解得Q=2或a=

-1.当Q=—l时，两条直线方程都为x—2y+l=0,即两直线重合，不符合题意，故Q=2.

9.A【解析】因为，］：a入一y—2=0,l2'.3x—(u+2)y+1=0>

所以。〃也

所以—a(a+2)=—3»

所以a2+2a-3=0,(a+3)(a-1)=0,

所以Q=-3或Q=1,

：

当。=-3时，If.-3x-y-2=0,Z23x4-y+1=0,

满足

：

当Q=1时，，i：x—y—2=0,Z23x—3y4-1=0,

满足L〃，2，

所以a=-3或1.

10.B

【解析】y=-^x,于是有一14<^x<7=>-6<%<3,于是PO=y/x2+y2=||x|e[0,10].

11.D【解析】8(如,瓦)与马(az"2)是直线y=kx+l(k为常数)上两个不同的点,直线y=

履+1的斜率存在，

所以k=,即小。a2，并且bi=kai+1,b2=ka2+1»

a-a

所以。2打-axb2=kaxa2-kaxa2+a2~i=«2i

(^x+bxy=1,

la2x+b2y=1,

解得：(Qib2—。2瓦)x=b2—bi，

即3i—a2)x=。2—瓦，

所以方程组有唯一解.

故选D.

12.C【解析】因为\PF2\=\F,F2\=2c,且^PF2F.=90°,

所以|PF1|=2V2c,

由双曲线的定义，得2&c-2c=2a,

所以£=或+1.

a

13.A【解析】设根据题怠可得恪%,温方；/即

UtfL|—I/1CI

3-4y—3_]

*I_________________，解得匕或匕二?所以8(2,0)或8(4,6).

Ja-3)2+(y-3)2=7(0-3)2+(4-3)2⑶-卬一6

14.C

15.C

【解析】因为两圆G，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，故圆在第一象限内，

设圆心的坐标为(a,a)，则有\o.\=V(a-4)2+(a-l)2,

所以。=5+2&或0=5-2①，故圆心为(5+2企,5+2&)和(5-2鱼,5-2式)，故两圆圆心

2

的距离\CXC2\=J(4可+(4V2)=8.

16.B【解析】由题意知：点P在线段AB的垂直平分线上，则直线PA与直线PB关于直线4=2

对称.设直线PB上任一■点M(x,y),其关于x=2的对称点扭(4一x,y)在直线PA±.,则4-x-y+

1=0,即x+y-5=0.故直线P8的方程为x+y-5=0.

17.A【解析】依题意知动线段AB的中点M的轨迹为与直线Z1：x+y-7=0和/2：%+丫-5=0

等距的直线，

则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，

设点M的轨迹方程为％+y+m=0,根据平行线间的距离公式得等=甯n|m+7|=+51n

m=-6

即点M的轨迹方程为x+y-6=0,

根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为詈=3或.

18.B【解析】因为Q>ZJ>C>0,所以

原式=a2+-7+1-10ac+25c2+a2

aba(a-b)

=a2—ab+,1+a力+±+(a-5c)2

a(a-b)ab'

|葭。->)+缶］+(血+±)4-(a-5c产

>2+2+0

二4,

当且仅当a(a-b)=Lab=l,。-5c=0时取等号，

即当。=伍仁曰，c=暂时，所求代数式的最小值为4.

19.D

20.D

21.0或1

【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3a+2)(5Q-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.

H)

【解析】如图,

已知直线y=-;％+2与％轴、y轴分别交于点71(4,0),8(0,2).

直线y=k%+2/c+l可变形为y-l=k(x+2),表示这是一条过定点P(-2,l)，斜率为k的动直线.

因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段八5上(不包括端点)，所以动直线的斜

率k需满足kPA<k<kPB.

因为kpA=_gkpB=，所以

OZOZ

23.x2+(y-I)2=1

【解析】因为点(1,0)关于直线y=》对称的点的坐标为(0,1),所以所求圆的圆心为(0,1),半径为1,

于是圆C的标准方程为一+。-1)2=1.

24.39366(2.39)

25.2,2n一1

【解析】因为1*1=1,(n4-1)*1=2(n*1),

所以2*1=(1+1)*1=2(1*1)=2,

所以九*1=(九-1+1)*1=2・[(九-1)*1]=•••=2n-1-(1*!)=2n-1.

26.设P(2t,t),则IP川2+\PB\2=(2t-I)2+Q—l)2+(22—2尸+(t-2)2=10t2-18t+10.

当“卷时，IP川2+|PB|2取得最小值,即pg]

如图所示，D,E分别为边AC和BC