2025年高考数学三轮复习冲刺卷：解三角形的实际应用问题（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：解三角形的实际应用问题

一、选择题（共20小题；）

I.如图，在河岸4C测量河宽8c时，测量下列四组数据较适宜的是（）

A.c和aB.c和bC.c和夕D.b和a

2.在地面上一点4测得-•电视塔塔尖的仰角为45°,再向塔底方向前进100m,又测得塔尖的仰角

为60。，则此电视塔高约为（）

A.237mB.227mC.247mD.257m

3.美国为了加强对伊拉克的控制，进行了战略部署，在位丁科威特和沙特的两个距离的军事基

地C和。，测得伊拉克两支精锐部队分别在4处和8处，且乙/。8=30°,Z-BDC=30°,

40c4=60。，471cB=45。，如图所示，则伊军这两支精锐部队间的距离是（）

A.-ciB.—CLD.—a

422

4.有一拦水坝的横断面是等接梯形，它的上底长为6m,下底长为10m,高为25/5m,那么此拦水

坝斜坡的坡度和坡角分别为（）

A.y,60°B.V3,60°C.V3,30°D.圣30°

3.如图所示，长为3.5m的木棒AB斜鼎在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，

另一端B在离堤足。处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为明则坡度值tana等于（）

.V231「V231

A--C-DT

6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15。，与货轮相距20nmile,随后货轮沿

北偏西30。的方向航行30min后.干N处测得灯塔.S在货轮的东北方向.则货轮的速度为

()

A.20（V2+x/6）nmile/hB.20（乃-V2）nmile/h

C.20（V64-V3）nmile/hD.20（布-V3）nmile/h

7.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在同一直线上，继续航行半

小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。，另一灯塔在船的南偏西75。，则这艘船的速度是每小时

()

A.5海里B.56海里C.10海里D.10V5海里

8.如图，海平面上的甲船位于中心0的南偏西30。，与。相距15海里的C处.现甲船以

35nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心0正东方向25nmile的B处的乙船，则甲船到达

8处需要的时间为()

C（hD.2h

9.甲船在8岛的正南力处，AB=10km,甲船以4km/h的速度向8岛航行，同时，乙船自B岛

出发以6km/h的速度向北偏东60。的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是

（）

A.一minB.yhC.21.5minD.2.15h

10.某人在C点测得某塔在南偏西80。，塔顶仰角为45。，此人沿南偏东400方向前进10m到D,

测得塔顶力的仰角为30）,则塔高为（）

A.15mB.5mC.10mD.12m

11.在A/BC中，Q=/1,6=V3A（A>0）,4=45。，则满足此条件的三角形的个数是（）

A.0B.1C.2D.无数

12.如图所示，在地面上共线的三点力，B,。处测得一建筑物的仰角分别为30。，45°,60。，且

AB=BC=60m,则建筑物的高度为（）

A.15amB.20-\/6mC.2S'/6mD.3076m

13.已知0,C,8三点在地血同一直线上,DC=a,从C,0两点测得力的点仰角分别为a,

则力点离地面的高A8等于（）

asinasinSasinasir>6acosacos^acosacos0

A.sin(a-^)B.cos(a-^)c.sin(a-/?)D.cos(a一夕)

14.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21。方向，且塔顶的

仰角为18。，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39。

方向，则该塔的高度约为（）

A.265米B.279米C.292米D.306米

15.如图，塔48的底部为点8,若C,。两点相距100m并且与点8在同一水平线上，现从C,D

两点测得塔顶A的仰角分别为45。和30。，则塔AB的高约为（)(精确到0.1m,1.73,

\[2工1.41）

A.36.5B.115.6C.120.5D.136.5

16.在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30。和60。，则塔高为（)

4004004c20073

AmB.mC.——mDm

-v33v

17.海上有4B两个小岛相距10nmile,从4岛望C岛和B岛成60。的视角，从B岛望。岛和4

岛成75。的视角，则从C间的距离为（）

A.10\/3nmileB.nmileC.5x/2nmileD.5A/6nmile

3

18.海上.71,8两个小岛相距10海里，从A岛室C岛和B岛成60。的视角,从B岛理C岛和A岛

成75。的视角，则B,C间的距离是（）

A.10V5海里B.竽海里C.5企海里D.5遍海里

19.如图所示，要测量河对岸48两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C,0两点，测得

乙4cB=60°,/.BCD=45°,^ADB=60°,^ADC=30°,则4B间的距离是()

A.20V2米B.20\/3米C.20A/6米D.40V2米

20.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为e,由此点向塔底沿直线行走30米，测得塔顶的仰角

为26,再向塔前进10点米，又测得塔顶的仰角为48,则塔高为（）

A.13米B.14米C.15米D.16米

二、填空题（共5小题；）

21.如图，是竖立在地面上的一根杆子，高为10m,D为4B的中点，在地面。处测得点8的

仰角为45。，则在C处测点D的仰角应是多少（精确到0.1。）?

22.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶

角为120。，若光源恰好照亮整个广场，则其高度应为.（精确到0.1m）

23.我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知某小区的住宅楼

的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52

米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶

的仰角与楼底的俯角之和为45。，则该小区的住宅楼楼间距实际为米.

24.某海域中有一个小岛8（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），

一大型渔船从该海域4处出发由西向东直线航行，在4处望见小岛B位于北偏东75。，渔船继

续航行8海里到达C处，此时望见小岛8位于北偏东60。，若渔船不改变航向继续前进，试问

渔船有没有触礁的危险?答：（填写“有”、"无”、“无法判断”三者之一）.

22

25.已知4（%i，yi）,B（x2,y2）为圆M：%+y=4上的两点，且xrx2+y^y2=一右设P（x（）,yo）为

弦48上一点，目而=2万，则|3几+4y。-101的最小值为.

三、解答题（共5小题；）

26.某人从某处出发向正东方向走x千米后，向右转150。，如图所示，然后向前行走3千米，结果

他与出发点相距1732米，求工.（结果精确到1米）

27.某学校的平面示意图为如图五边形区域48CDE,其中三角形区域48E为生活区，四边形区域

BCOE为教学区，AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.乙BCD=

乙CDE=—,^BAE=-,DE=3BC=3CD=—km.

3310

D

（1）求道路BE的长度；

（2）求生活区△ABE面积的最大值.

28.如图，某广场有一块边长为l（hm）的正方形区域48CD,在点4处装有一个可以转动的摄像头,

其能够捕捉到的图象的角NP4Q始终为45。（其中点P,Q分别在边BC,CO上），设4P/8=

0,记tan®=t.

（I）用t表示PQ的长度，并研究△CPQ的周长I是否为定值？

（2）问摄像头能捕捉到正方形48CD内部区域的面积S至多为多少hm??

29.如图，滚珠轴承的内外圆半径分别为厂和R.如果在这个滚珠轴承里恰好能放入12颗滚珠，求

3的值(结果用sinl5°表示).

30.图如所示，游客从某旅游景区的景点4处下山至B处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,

另一种是先从4沿索道乘缆车到8,然后从8沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从小处下

山，甲沿匀速步行，速度为50m/min,在甲出发2min后，乙从｛乘缆车到B,在B处停

留1min后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路力。长为

1260m,经测量cos/l=―,cosC=

135

(1)求索道48的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应该控制在什么范围内？

答案

1.D

2.A【解析】设电视塔塔尖为B,塔底为C,在地面上一点力向塔底方向前进100m到点。，作图

如图所示，则4=45。，NBDC=60°.

在Rt/kABC中，设8c=xm,贝U=xm在Rt△BCD中，DC=(x-100)m,=tan600=

V3=1.73,解得工%237.

3.A【解析】因为"WC=4"。=60°,所以△4)C是等边三角形.所以AC=*.

在△6DC中，由正弦定理，得一^7=一与外，所以6。=军=乎a.

smzBDCsinz.DBC出4

2

22厂

所以在△ABC中，由余弦定理，得482=俘(1)+件0)一24a•彳acos45°=所以力8=

瓜

—a.

4

4.B【解析】如图所示，

横断面是等腰梯形/BCD，

AB=10m»CD=6m,高OE=2\/5m,

则力E="三=2m,

tanz.DAE=^=誓=V3»

•••KDAE=60°.

5.A

【解析】由题意可得，在A/IBC中，AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且a+乙4c8=TT.

由余弦定理，AB2=AC2+BC2-2xACxBCxcos/.ACB,即3.5?=1.42+2.8?—2x1.4x

2.8xcos(n—a)»解得cosa二月，所以sina="2,所以tana="土二盘

1616cosa5

6.B【解析】设货轮的速度为unmile/h,由题意，得NNMS=45。，zM/VS=105°,则乙MSN=

V

30°,又MS=20nmile,NM=nmile,则.；=.,解得.=.之，。，而sinl05°=

2sin30esinl05°sml050

sin(60°4-45°)=故u==20(V6-V2)(nmile/h).

7.C

8.B【解析】由题意，得CB2=CO2+OB2-2CO-08cos120。=152+252+15x25=352,

因此CB=35(nmile),35+35=1(h),因此甲船到达B处需要的时间为1h.

9.A【解析】如图，设经过％h时甲船行至P处，乙船行至Q处，且距离为skm.

在△8PQ中，由余弦定理，知

PQ2=BP2+BQ?-2BP•BQ-cosl200,

即

s2=(10—4x)2+(6x)2-2(10—4x)x6xx(-

=28x2-20x+100,

当％=-5=5时，s?最小，又亮h=^min.

1().C

【解析】如图，设塔高为九，在Rta/l。。中，乙4co=45。，则=

在Rt△AOD中，LAD0=30°,则0D=百九，

在△OCD中，乙OCD=120°,CD=10.

由余弦定理得0D2=OC2+CD-20C•CDcosWCD,

即(V5九)2=M+i02-2/ix10xcos120°,所以九2一5九一50=0.

解得九=10或九二一5(舍).

北

11.A【解析】由正弦定理知sinB=b-生上=芋＞1,所以不存在这样的三角形.

a2

12.D【解析】设建筑物的高度为九，由题图知，PA=2h,PB=V2/i,PC=蹩h,

所以在△P8A和APBC中，分别由余弦定理，

602+2Az-4h2三602+2h2-J/l2C

得cos£PBA=.①cos乙PBC=，（2）

：2XM60X£®J…2x60xV屋2h

因为zPB/l+2P8C=180°,所以cos4PB4+COS4PBe=0.（3）

由①②③，解得/1=30论或力=-30伤（舍去），即建筑物的高度为3（h/Sm.

13.A

14.C

15.D

【解析】设=因为乙4cB=45°,所以BC=x,又因为=30°,所以tan30°=箓=

解得x=50（6+1）%136.5.

100+X'J

16.A【解析】如图所示，在RtaAOC中，A0=200,Z.ACO=Z.HAC=60°,所以4。二’^二

sin60*

鬻=丝0，CO=-^―=^=—V3,在中，XH=CO=出g,Z.HAB=300,所以

v33tan60*v333

22

BH=AH-tan30°=—x^3x-=—,所以BC=C”-BH=0力-8H=200—出二"m.

，《5，，《5

17,D【解析】如图，C=180°-60°-75°=45°.

c

由正弦定理可得券=喘^,8。=5限

18.D【解析】根据题意，画出示意图.

c

所以C=45°.

由正弦定理可得意=刍,

sinCsin4

即nn逅I。=逅BC'

所以8。=5n（海里）.

19.C【解析】在△BCD中，可得DB=DC=40（米），

在△4CZ）中，由正弦定理得4D=20（75+1）（米）

5L/-ADB=60°,

所以在△力08中，由余弦定理得48=20遍（米）

20.C

【解析】由余弦定理求得26=30。.

21.26.6°

22.17.3m

23.54

【解析】如图,

D

E

设该小区的住宅楼楼间距为CF=C米，

则DF=18米，EF=27米，LDCE=45°,

1827

所以tanzDCE=tan(zDCF4-zFCE)==1，

即t2-45a-18x27=0,

解得t=54.

24.无

【解析】如图.过/?作4C的延长线的垂线,垂足为。.

在△ABC中，乙ACB=900+60°=150°,Z.BAC=90°-75°=15°,

则乙ABC=180°-150°-15°=15°,

所以△A8c为等腰三角形.AC=BC=8,又/8CO=9（r-6（T=3（r,

所以8O=BCsin300=4,4>3.8,所以渔船没有触礁的危险.

25.10-5V2

【解析】由题设可得：AP=（x0-Xi，y0PB=（x2-xQty2-y0）»

因为万万=2PB,

而“产0一与=2（x-x），

'Go-yi=2。2-y0。），

H|j（3x=4+2X>

'13yo0=+2y2，

2

所以9（瑞+yo）=Ui+2X2）+（yi+2y2/=（x?+光）+4（后+yf）+4（x^2+%力）-

因为4（%1，%）,8（%2，，2）为圆♦：炉+y2=4上的两点,

且％1%2+为，2=

所以9（瑞4-yg）=44-4x4-2=18,即就+犬=2,

所以点P的轨迹为圆x2+y2=2,

又|3%。+4%-10|二5'制铲,

其几何意义为圆x2+y2=2上一点到直线3x4-4y-10=0的距离的5倍，

又因为圆x2+y2=2的圆心（0,0）到直线3x+4y-10=0的距离

d=-^==2,

V32+42

所以圆/+y2=2上一点到直线3%+4y-10=0的距离的最小值d-r=2-V2,

所以|3%0+仇-10|=5x1"广产。；。1>5（2-V2）=10-5>/2.

V34+4/'

26.1732米或3464米.

27.(1)如图,连接BD,

在△8C0中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos^BCD=

所以8。=需，

因为8c=CD,

2

…n—二nir

所以乙CDB=乙CBD=仔=j

Z6

又因为“0£二拳

所以Z.BDE=p

所以在Rt△BDE中，BE=>/BD2+DE2=J(器J+得了="

(2)设乙48E=a,

因为/BAE”，

3

所以乙AE8=?-a.

在△ABE中，由正弦定理，得一^=，^=—^=%

sinz.4EBSin471Z?EsmzB/lESsin-5

所以AB='sin偿一a),AE=1sina,

所以

S—=^\AB\\AE\sin^

=27y/3

100

因为0<a<g,

所以2<a+2<史.

666

所以当2a—5=1,即a=g忆SMBE取得最大值为誓，

OZ51UU

即生活区△ABE面积的最大值为鬻km2.

28.(1)BP=t,CP=l-t,0<t<1,Z.DAQ=45°-0,DQ=tan(45o

l-t2t

1+t-l+t*

2

所以PQ=Jcp2+CQ2=J(1