2025年高考数学三轮复习冲刺卷：离散型随机变量的分布列（含解析）

高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的分布列

一、选择题(共20小题；)

I.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X=

0)=()

117

A.0B.-C.-D.-

233

2.设X是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X的概率分布的是()

A.0,0,0,1,0

B.0,0.1,0.2,0.3,0.4

C.p,1-p(pGR)

3.设〃为一个离散型随机变量，则下列选项中可以作为〃的分布列中各项概率的是()

B.0.1,0.2,0.3,0.4

4.设随机变量，的概率分布列为=k)=aQ)>其中人•=0,1,2,那么Q的值为()

5.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=±,k=1,2,…，则P(2<XW4)等于()

6.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量《描述一次试验的成功次数，则P(f=0)等于

()

A.OB*C*D*

7.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“，y”代替)，其分布列如下：

X123456

P0.200.10O.x50.10O.ly0.20

则丢失的两个数据X,y依次为（)

A.2,5B.3,4C.4,5D.2,3

8.若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当P（X<a）=0.8时，实数a的取值范围是（）

A.(-co,2]B.[1,2]C.(1,2]D.(1,2)

9.设随机变量X的分布列为

则P(|X-3|=1)等于()

10.下列表中能成为随机变量X的分布列的是（)

A.B.

X-101

P0.30.40.4

X123

P0.40.7-0.1

C.D.

X-101

P0.30.40.3

X0.10.10.7

P0.30.40.5

11.己知随机变量X的分布列如表（其中Q为常数）：

X012345

P0.10.1A0.30.20.1

则P（1<X<3）等于（)

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

12.设随机变量X的概率分布列如下，则r（ix21=1）等于（）

X1234

111

p-—m-

643

A后B3D.-

126

13.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别刻有1到6个点数)的随机试验中，用X表示

骰子向上的一面的点数，那么P(XW3)等于()

A]B,D*

14.某射手射击所得环数X的分布列为

X45678910

P0.020.040.060.090.280.290.22

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()

A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51

15.某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则

PCX>2)=()

A*B噌*

16.已知离散型随机变量X的分布列为

X123

331

P---

5W

10

则X的均值E(X)等于()

5

C-3

2D.

17.已知某一离散型随机变量X的分布列如下，且E(X)=6.3,则Q的值为()

X4a9

P0.50.1b

A.5B.6C.7D.8

18.若随机变量X的分布列为

X012

111

P4

24

则X的数学期望E(X)是()

A..-1B„.-1C.1*

42

19.己知f的分布列为

1234

111

P

663小

设〃=2§—5,则£1(〃)=()

已知随机变量X的分布列为；则等于()

20.P(X=i)=2a(i=1,2,3,4),P(2VXW4)

9731

A.二B.二C.7Di

1010S2

二、填空题（共5小题；）

21.一个均匀的小正方体的六个面中，三个面上标有数0,两个面上标有数1,一个面上标有数

2.将这个小正方体抛掷2次，用X表示向上的数的积，则随机变量X的数学期望是

22.设随机变量X的分布列为

X71215222530

11k1

Pk———2k

63612

则k的值为.

23.已知随机变量的f的分布列如下图所示，则为+y=：若EQ）=1,则

0（f）=.

f012

1

p:y

24.设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3m

若随机变量y=IX-2I，则P（y=2）=.

25.已知盒中有10个灯泡，其中8个正品、2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取

出后不放回，直到取出2个正品为止，设下为取出的次数，则P（1=4）=.

三、解答题（共5小题：）

26.2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿.微信用户平均年龄只有

26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18〜36岁之间.为调查大学生这个微信

用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查,

结果如下：

微信群数量频数频率

0至5个00

6至10个300.3

11至15个300.3

16至20个aC

20个以上5b

合计1001

(1)求a,b,c的值；

(2)若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；

(3)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随

机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望

EX.

27.设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3m

求；

(I)2X+1的分布列；

(2)IX-II的分布列.

28.已知离散型随机变量X的分布列P(X=§=ak(k=123,4,5).

(1)求常数Q的值；

(2)求P(XN§；

⑶求P讳<x<|)

29.箱中装有4个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任

取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分之和.

(I)若P(X=6)=求m的值：

(2)当m=3时，求X的分布列.

30.2019年国庆期间，举国上下以各种不同的形式共庆新中国成立70周年，某商家计划以“我和我

的祖国”为主题举办一次有奖消费活动，此商家先把某品牌酒重新包装，包装时在每瓶酒的包装

盒底部随机印上“中”国‘X梦”三个字样中的一个，之后陨机装箱(1箱4瓶)，并规定：若顾客

购买的一箱酒中的四瓶酒底部所印的字为同一个字，则此顾客获得一等奖，此箱酒可优惠36元;

若顾客购买的•箱酒的四瓶酒底部集齐了“中”“国”二字且仅有此二字，则此顾客获得二等奖，此

箱酒可优惠27元：若顾客购买的一箱酒中的四瓶酒的底部集齐了“中”“国”“梦”三个字，则此顾

客获得三等奖，此箱酒可优惠18元（注：每箱单独兑奖，箱与箱之间的包装盒不能混）.

（1）①设f为顾客购买一箱酒所优惠的钱数，求f的分布列；

②若不计其他损耗，商家重新包装后每箱酒提价Q元，试问Q取什么范围时才能使活动后的

利润不会小于搞活动之前？

（2）若顾客一次性购买3箱酒，并都中奖，可再加赠一张《我和我的祖国》电影票，顾客小张

一次性购买3箱酒，共优惠了72元，求小张能得到电影票的概率？

答案

I.C【解析】设失败率为p,则成功率为2p,

所以X的分布列为

X01

pP2P

由p+2P=1,得p=：,即P[X=0)=；.

2.C【解析】选项A、B显然合适；

对于选项D,+++-=1-1++-+^---+-=1

1x22x3(n-l)nn223n-1nn

又工(71£0,1),-e(0,l),所以D合适；

nn

选项C中，由于p是实数，不妨取p=3,则l-p=-2<0,不符合非负性，故选C.

利用离散型随机变量分布列的两个性质进行判断.

3.B【解析】选项A,因为数列-51,措中含有负数，所以不能作为分布列的概率.选项B,0.1,

0.2,0.3.0.4均为正数且其和为1,可以作为分布列的概率.选项C,伏]为+•…土乙+…〉1.

234n

所以不能作为分布列的概率.选项D,因为：+卜"卜5+卜得+…+如5二£机吊=9

所以不能作为分布列的概率•

4.D

5.A

6.B【解析】设P(f=1)=p，则P(f=0)=1—p.

依题意知，p=2(1—p),

解得p=1.

故P(f=0)=1-P=1.

7.A

8.C【解析】由随机变量X的分布列知，P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,

P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,

则当P(X<a)=0.8时，实数Q的取值范围是(1,2].

9.B【解析】根据分布列的性质得出;+m+；+；=l,

346

则m=；,随机变量X的分布列为

4

X1234

1111

p————

3446

所以P(|X—3|=1)=P(X=4)4-P(X=2)=4-

14

10.c

11.C【解析】由概率之和等于1可知4=0.2,

所以P(1<X<3)=0.1+0.24-0.3=0.6.

故选：C.

12.C【解析】m=P(|X-2|=1)

44612

13.D

P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)4-P(X=10)

14.C【解析】=0.28+0.29+0.22

=0.79.

15.C

16.A

17.C

18.C

19.C【解析】由分布列的性质可得：l+l+1+m=1,解得m=j

o633

所以F«)=lxi+2xi4-3xi+4x1=^,

因为〃=2”5,所以E(TJ)=2E⑻-5=2x^-5=^.

b3

20.B

【解析】由分布列的性质知，

±±±±,

2a+2a+2a+2a=1

则a=5,

所以P(2<XW4)=P(X=3)+P(X=4)=卷+得=3

【解析】当两数中有一个0时，X=0；

当两数都为1时，%=1：

当两数中有一个1，一个2时，X=2；

当两数都为2时，X=4,则X可取0,1,2,4.

易知P(X=O)=2x?xm+2x3x：+3x；=：,

2326224

P(X=1)=洛.

P(X三2)=2x：x*=a

P(X=4)=ixl=±,

故X的分布列为

X012

311

499

所以以=0+抖升合g

【解析】由题意可知：x+y+：=l,lx；+2xy=l,

，*5

解得y=5x=1,

所以x+y=j

»5

0(。=*0—1)2+：x(1-1)2+[X(2-1)2=1.

24.0.5

【解析】由分布列的性质，知0.2+0.1+0.1+0.3+m=l,

所以m=0.3.

由丫=2,即IX-2|=2,得X=4或X=0,

所以

P(Y=2)=P(X=4或丫=0)

=P(X=4)+P(X=0)

=0.3+0.2

=0.5.

26.(1)由已知得：0+30+30+a+S=100,

解得a=35,

35_7

100-20

（2）记”2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,

则?⑷=等k=盘

5oo

所以2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为葭.

C）依题意可知,微信群个数超过1S个的概率为P=g.

X的所有可能取值0,1,2,3.

则P（x=o）=洸急，

P（X=D=洸）】（「»羡,

P(X=2)=C延)2(—-=急

P(X=3)=洸)3(1用=展,

其分布列如下：

X0123

2754363

P____________

125125125125

所以,FX=Ox—+lx—+2x瑞+3'壶=

125125

27.(1)由分布列的性质知：0.24-0.1+0.1+0.3+m=l,

所以m=0.3.

首先列表为:

X01234

2X+113579

IX-II10123

从而由上表得两个分布列为:

2X+1的分布列：

2X+113579

P0.20.10.10.30.3

(2)IX-1|的分布列:

IX-II0123

P0.10.30.30.3

28.(1)由题意得随机变量X的分布列如表所示.

234

x1

5555

P2a3a4a5a

由分布列的性质得，Q+2a+3Q+4a+5Q=1,解得Q=白

JLO

(2)解法一：

p(x>I)=p(x=g+p(x=§+p(x=1)

3,4,5

=—H---+—

151515

——4

"5'

解法二：

二-百

4

一5,

(3)因为上VXV三，

105

所以x=；或x=；.

所以

呜VX令P(X=3+P(D

1.2

=