2026高考数学一轮复习讲义（新高考版）第九章 计数原理、概率

箫，章计数原理、概率、随机变埴及其分布

第1课时两个计数原理、排列与组合

［考试要求］1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.理解排列、组

合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.会用两个计数原

理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题.

［琏接教材-夯届固本］落实主干•激活技能

€＞梳理-必备知识

1.两个计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同

分类加法

的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法，那么完成这件

计数原理

事共有N=______种不同的方法

完成一件事需要两个步骤，做第1步有，〃种不同的方法，

分步乘法

做第2步有〃种不同的方法，那么完成这件事共有N=

计数原理

______种不同的方法

2.排列与组合的概念

名称定义

按照____________排成一

排列从n个不同元素中取出

列

个元素

组合作为一组

3.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数

从n个不同元素中取出m从〃个不同元素中取出

定义

个元素的所有_________的个数个元素的所有__________的个数

C7孝=，〃(〃—D・(〃—

A*=〃(〃—1)•(/?—2)........(〃—771

公式•

/??+!)=___2)........(〃-〃[+1)]=___

性质%=_____，咨=_，喘=_

［常用结论］

排列数、组合数常用公式

(l)A*(n-zn+l)AL

(2)A^=nA^.

(3)(/?+1)!~n!=〃・〃!.

(4)kCQnCChCL.

rmIrmrm+l

"+1'Lm=-'-n+1•

c＞激活-基本技能

一、易错易混辨析（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.

（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（）

⑶在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.（）

⑷两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.

二、教材经典衍生

1.（人教A版选择性必修第三册Pu习题6.IT2改编）如图，从甲地到乙地有3条

路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.则

从甲地到丁地的不同路线共有（）

A.12条B.15条C.18条D.72条

2.（人教A版选择性必修第三册Pi9例4改编）从0,I,2,3,4,5这六个数字

中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为（）

A.52B.56

C.48D.72

3.（人教A版选择性必修第三册P27习题6.2TI3改编）从2名女生，4名男生中选

3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有种（用数

字作答）.国人

4.（易错题）（人教A版选择性必修第三册Pi2习题（6.1"）改编）五名学生报名参加

四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为.五名学生

争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有种（用数字作

答）.

［典例精研・核心号点1空难解惑•直击高考

□考点一两个计数原理及综合应用

［典例1］（1）如图，小明从街道的£处出发，先到尸处与小红会合，再一起到位

于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条

数为（）

A.24B.18C.12D.9

（2）（2025•重庆模拟）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A,B,C,。，E,

尸涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（）

E

CD

F

A.120B.72

C.48D.24

⑶已知He表示一个三位数，如果满足。股且那么我们称该三位数为“凹

数”，则没有重复数字的三位“凹数”共个（用数字作答）.

［听课记录］_____________________________________________________________

［拓展变式］若本例(1)中8段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G

的最短路径有条.

［II不，「

|「ell沏I

名师点评利用两个基本计数原理解决问题的步骤

［第一步］一审清题意.弄滴要完成的事件是怎样的:

|分析完成这件事应采用分类、分步、先分：

［岐到一:类后分步、先分步后分类这四种方法中的;

，哪一种

|第1步I—异清箝存二类或每一步中的方源种数J

［\।］根据两个基本计数原理计算出完成这：

叵上一，.件事的方法种数...................

提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用

分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析.

［跟进训练］

1.(1)(2024•山东实验中学模拟)编号为A,B,C,D,E的5种蔬菜种在如图所

示的五块试验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1,2试验田里，

B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为

(2)(教材改编)3600有个正约数.

⑶如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面

对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的

“正交线面对”的个数是

□考点二排列、组合问题

［典例2］(1)(2025•4东济南模拟)由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六

位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（）

A.60B.108

C.132D.144

（2）（2023•新高考I卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学

生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1H,则不同的

选课方案共有种（用数字作答）.翅我）

［听课记录］___________________________________________________________

名师点评

求解排列、组合应用问题的六种常用方法

把符合条件的排列、组合数直接列式

计算

优先安排特殊元素或特殊位置

把相邻元素看作一个整体与其他元

素一起排列，同时注意捆绑元素的内

部排列

期不相邻问题，兔若虑不受限制的充

素的排列，再将不相邻的元素插在前

面元素排列的空档中

先全排，再除以定序元素的全排列

“至少，，“至多”问题王难则反，逆向

思维，间接求解

提醒：先选后排，先组合后排列，恰当的分类，合理的分步.分类标准要明确,

做到不重不漏；分步要步步独立，步躲完整.

［跟进训练］

2.（1）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻,

乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）

A.60B.120

C.240D.360

⑵学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四

辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，要求所选4人

中既有男生又有女生，且男生甲与女生乙至少有I人入选，那么不同的组队方法

种数为（）

A.696B.736

C.894D.930

⑶若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8,则称M是一个“叔同数”，例

如“125,710”都是“叔同数”，那么“叔同数"共有个.

□考点三分组、分配问题

［典例3］（1）把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为

（）

A.41B.56C.156D.252

（2）（2024•河北衡水中学模拟）将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体

育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体

育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）

A.78B.92

C.100D.122

［听课记录］_____________________________________________________________

名师点评分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种:

⑴相同元素的分配问题，常用“挡板法”；

（2）不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；

（3）有限制条件的分配问题，采用分类求解.

提醒：对于部分均分问题，若有机组元素个数相等，则分组时应除以A案.

［跟进训练］

3.⑴（2024•浙江杭州二模）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个

志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（）

A.300B.240

C.150D.50

（2）（2024•江苏南京期中）20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子

中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有（）

A.120种B.240种

C.360种D.720种

⑶将座位号为1,2,3,4的四张电影票全部分给甲、乙两个人，每人至少一张,

若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（）

A.4B.6

C.7D.12

第2课时二项式定理

f考试要求］能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理

解决与二项展开式有关的简单问题.

［链接教材•介基固本］落实主干•激活技能

€＞梳理-必备知识

1.二项式定理

（1）二项式定理：（a+by=^（/7eN*）；

（2）通项公式：71+i=C^~W=0,1,2,…，〃，〃£N*）,表示展开式的第

项：

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数为喘，&,・・・,C＞

提醒：（。十份〃的展开式与仙+公〃的展开式的项完全相同，但对应的项不相同,

而且两个展开式的通项不同.

2.二项式系数的性质

⑴对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数,即（：7=邛-叫

（2）增减性与最大值：当〃是偶数时，中间的一项d取得最大值；当〃是奇数时，

n-1n+1

中间的两项c］与c］相等，且同时取得最大值.

（3）各二项式系数的和：m+力”的展开式的各二项式系数的和为禺+禺+鬣+…

+邛=一

［常用结论］

1.Cg+鬃+C升…=c：+c*+c升-z””.

ncm=r*m-l_|_r?n

乙.^n+l-,

©激活・基本技能

一、易错易混辨析（正确的打“J”，错误的打“）＜”）

（1）%〃厂%”是m+公〃的展开式中的第攵项.（）

（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（）

（3）（〃+份”的展开式中某一项的二项式系数与〃，b无关.（）

⑷通项7；+i=CM〃"护中的。和〃不能互换.（）

二、教材经典衍生

1.（人教A版选择性必修第三册P30例2改编）（1一公）4展开式中第3项的二项式

系数为（）

A.6B.-6C.24D.—24

2.（人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5⑶改编乂2%一点）6的展开式的中

间项为（）

A.-40B.-40A-2

C.40D.40『

3.（人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编）已知（1+4的展开式中第4

项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为（）

A.252?B.210A4

C.252?D.210A6

4.（人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编）。+1"我一2）的展开式中f

的系数为.

［典例精研・核心考点］我解也直击高考

□考点一二项展开式的通项公式的应用

「考向1形如m+与〃的展开式问题

r,0pl「2「3「4p5「6

［典例11(1)(2024•辽宁大连一模)*一*+*—||+*一*+*=()

64「64

AA.——B.—

729729

C.--D.—

729729

(2)(多选)已知(/一2)n的展开式中第3项与第5项的系数之比为3：14,则下

列结论成立的是()

A.77=10

B.展开式中的常数项为45

C.含V的项的系数为210

D.展开式中的有理项有5项

1听课记录］_____________________________________________________________

卜考向2形如(a+3%c+c〃〃的展开式问题

［典例2］(1)在(x+l)a—2)a+3)(x—4)(x+5)的展开式中，含X3的项的系数是

()

A.-23B.-3

C.3D.15

(2)(2022・新高考I卷)(1一》。十四8的展开式中的系数为.(用数字

作答)

［听课记录］_____________________________________________________________

►者向3形如(。+匕+c)〃的展开式问题

［典例3］(2025•河北沧州模拟)在(X-2)，+3Z)6的展开式中，x/z3项*的系数为

()

A.6480B.2160

C.60D.-2160

I听课记录］___________________________________________________________

名师点评几种求展开式特定项的解法

(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常

数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数代回通项即

可.

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规

律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项.

［跟进训练］

1.(1)(2024•山东烟台一模)若(1—2丫)5=40+〃戊+Q2X*12+…+〃5总贝IJ。2+44=

()

A.100B.110

C.120D.13()

(2)已知(2-£)・(1—2x)4的展开式中V的系数是一70,则实数。的值为()

A.-2B.2

C.-4D.4

(3)(1+2x—3f》的展开式中x5的系数为

□考点二二项式系数与项的系数问题

考向1二项式系数和与系数和

［典例4］（1）（多选）已知（1—2x）*2024=40+4ix+----024.T2024,下列命题正

确的是（）

A.展开式中所有项的二项式系数和为22。24

o20241

B.展开式中所有偶数项系数的和为一_^1

C.展开式中所有奇数项系数的和为汇产

D.詈+整+黑+…+薯黑=一1

22223*822024

（2）若。+2+机）9=g+4|。+1）+他。+1）2+―+49。+1）9,且（即+。2+…+制）2

一（s+a3H---1-«9）2=39,则实数m的值为.

［听课记录I_____________________________________________________________

＞考向2二项式系数的性质

［典例5］（1）已知（％+京）”的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开

式中二项式系数最大的项是（）

351Z

A.—%2B.7%2

8

C.—X2D.7A2

8

（2）（2024•全国甲卷虫+k）i°的展开式中，各项系数中的最大值为.

I听课记录］_____________________________________________________________

名师点评1.赋值法的应用

（1）在二项式定理中，令〃=1,b=x,得（l+x）”=C?+C晨+C"2+…+c\f+・・・

+用炉.

（2）若f（x）=ao-\-a\x-^a2X2-i----贝I

①的+。1+。2H-----1-an=f（\）.

②奇数项系数之和为◎+〃？+如+-=/⑴1（T）.

③偶数项系数之和为的+。3+。5+…=小子3.

2.求展开式中系数最大项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为.41,

4,…，4用，且第Z项系数最大，贝解出幺

C4k24〃+1,

提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次赛与

偶次赛.

［跟进训练］

2.⑴（2024•安徽皖江名校联考）已知的展开式二项式系数和为256,则

展开式中系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

（2）（2024•湖南长沙模拟）若（1—2x）5=oo+m（x—1）+G（工一1）2+〃3（X—1）3+〃4（X

—1）4+〃5（X—1）5,则下列结论中正确的是（）

A.ao=1

B.44=8（）

a

C.|aol+lil+C2I+侬1+C/+Csl=35

1_31°

D.3）+。2++。3+。5）=—J-

（3）（多选）已知（1+（2%-O'的展开式中各项系数的和为2,则下列结论正确的

有（）

A.a=1

B.展开式中常数项为160

C.展开式系数的绝对值的和为1458

D.展开式中含x2项的系数为24()

D考点三二项式定理的应用

［典例6］(1)设a£Z,且0W〃W13,若512023+。能被13整除，则。等于（）

A.0B.1

C.11D.12

⑵1.026的近似值(精确到().()］)为(）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.20

［听课记录］

名师点评二项式定理应用的题型及解法

(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每

一项都含有除式的因式.

(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当〃不很大，因比较小时，(1+

X)"-1+/1T.

［跟进训练］

3.(1)(2025•山东济南模拟*2024被9除的余数为()

A.2B.4

C.6D.8

(2)组合数C%+c14+禺4+…+c舞被9除的余数是.

第3课时随机事件与概率

［考试要求］i.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义

以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计

算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.

［链接教材-介层固本］落实主干•激活技能

€＞梳理-必备知识

1.样本空间与样本点

⑴样本点：随机试验£的每个可能的称为样本点，常用g表示.

⑵样本空间：的集合称为试验E的样本空间，常用。表示样本空

间.如果一个随机试验有n个可能结果①2,…，助”则称样本空间。={①I,

①2,…，①“}为有限样本空间.

2.随机事件、必然事件与不可能事件

（1）随机事件：称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大

写字母A,B,C,…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称

为事件A发生.

（2）随机事件的特殊情形：必然事件。（含有全部样本点）、不可能事件（不含任何

样本点）、基本事件（只包含一个样本点）.

3.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系A发生导致B发生—

相等关系BA且4B—

并事件

A与3至少一个发生—

（和事件）

交事件

A与8同时发生

(积事件)—

互斥(互

A与8不能同时发生

不相容)—

互为对立A与B有且仅有一个发生__________________________9_______________________

4.古典概型的特征

⑴有限性：样本空间的样本点只有

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性____

5.古典概型的概率公式

一般地，设试验£是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中

的攵个样本点，则定义事件A的概率P(A)='=噌.

nn(n)

其中，〃(A)和〃(。)分别表示事件4和样本空间。包含的样本点个数.

6.概率的基本性质

性质1：对任意的事件A,都有P(A)2O.

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(0)=1,P()=0.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=.

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1—P(A),P(A)=

性质5：如果AB,那么P(A)WP(。)，由该性质可得，对于任意事件A,因为

AQ,所以0这P(4)W1.

性质6：(一般概率加法公式)设4,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)

.

7.频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的

频率4A)会逐渐事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频

率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用频率加A)估计概率P(A).

（3）频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

€＞激活-基本技能

一、易错易混辨析（正确的打“，错误的打“x”）

（1）事件发生的频率与概率是相同的.（）

（2）若A是必然事件，则A与8是对立事件.（）

（3）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.（）

⑷掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果

是等可能事件.（）

二、教材经典衍生

1.（人教A版必修第二册P235练习Ti改编）一个人打靶时连续射击两次，事件

“至多有一次中靶”的对立事件是（）

A.至少有一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都不中靶

2.（人教A版必修第二册P238例9改编）袋中装有大小、形状完全相同的6个白

球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为（）

A.-2B.3-C.1-1D.-

5546

3.（人教A版必修第二册P247习题10.1TI3改编）某射手在一次射击中，射中10

环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中不够8环的

概率为（）

A.0.9B.0.3

C.0.6D.0.4

4.（人教A版必修第二册P245练习T1改编）已知P（A）=0.4,P（B）=0.2.

（1）如果5A,则P（AU3）=,P（AB）=；

（2）如果A,B互斥,则尸（AUB）=,

P（AB）=.

［典例精研-核心考点］重难解惑•宜击高考

□考点一随机事件与样本空间

［典例1］（1）同时投掷两枚完全相同的骰子，用8y）表示结果，记事件A为“所

得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

⑵从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立

的两个事件的是（）

A.至少有一个红球；至少有一个白球

B.恰有一个红球；都是白球

C.至少有一个红球；都是白球

D.至多有一个红球；都是红球

［听课记录］_____________________________________________________________

名师点评1.求样本空间中样本点个数的方法：

（1）列举法；（2）树状图法；（3）排列组合法.

2.互斥事件与对立事件的关系

对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.

3.判断事件关系时，一可以紧扣定义，二可以将所有试验结果列出，三可以借

助Venn图.

［跟进训练］

1.（1）（多选）口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中

取出两个球，事件A=”取出的两个球同色”，B="取出的两个球中至少有一

个黄球"，C="取出的两个球至少有一个白球”，。=”取出的两个球不同色”，

E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是（）

A.A与。为对立事件

B.8与。是互斥事件

C.。与E是对立事件

D.P（CUE）=1

（2）（多选）下列说法正确的是（）

A.对立事件一定是互斥事件

B.若A,B为两个互斥事件,则尸(AU8)=尸(A)+P(8)

C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(3)+P(O=1

D.若事件A,3满足P(A)+P(B)=1,则A,8互为对立事件

□考点二随机事件的频率与概率

［典例2］如图，4地到火车站共有两条路径L和a,现随机抽取100位从4地

到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时10〜20〜30〜40〜50〜

间(分钟)2030405060

选择L的

612181212

人数

选择力的

0416164

人数

⑴试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

⑵分别求通过路径“和心所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可

能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

［听课记录］_____________________________________________________________

名师点评计算简单随机事件的频率或概率的步骤

提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件.重视利用对

立事件的概率和等于1,用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法

求，，至少，，“至多”型事件的概率.

［跟进训练］

2.（1）（多选）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和

面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品（每人只选一种），结果如表所

示：

总人数食用大米套餐人数食用面食人数

1000550260

假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M,“吃面食”为事件N,

“吃米线、汉堡等其他食品”为事件从若用频率估计事件发生的概率，则下列

结论正确的是（）

A.P(M)=0.55B.P(/V)=0.26

C.尸(H)=0.19D.P(NUH)=0.65

(2)设A,8是随机事件，且PQ4)=J,P(B)=，PQ4U月)=；,则PC4n月)=

842

□考点三古典概型

［典例3］（1）（2025•江苏常州模拟）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中

无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为

（）

（2）（2024•全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排

尾的概率是（）

（3）（2025•福建泉州模拟）如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数

字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字,

则这三个数恰好构成等差数列的概率为

［听课记录］_____________________________________________________________

名师点评利用公式法求解古典概型问题的步骤

提醒：若样本点个数不多，要列出样本空间，若样本点个数多，用排列组合方法

求.

［跟进训练］

3.（1）（2023•全国乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中

随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（）

⑵（2022•新高考I卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数

互质的概率为（）

（3）（2025•八省联考）有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从

这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上

的数字之和相等的概率为

第4课时事件的相互独立性、条件概率

与全概率公式

［考试要求］1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条

件概率的关系，会利足全概率公式计算概率.

［链接教材-介M固本］落实主干•激活技能

€>梳理-必备知识

1.事件的相互独立性

对任意两个事件A与8,如果尸(48)=________________成立，则称

概念

事件A与事件B相互独立，简称为独立

若事件A与事件8相互独立，则A与月，十与3,♦与月

性质

也都相互独立，区阴4)=________,P(A\B)=________

2.条件概率

(1)概念：一般地，设A,N为两个随机事件，且P(A)>0,我们称”(稣4)=需为

在事件A发生的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型：P(8|A)=喏；

n(4)

②概率的乘法公式：P(AB)=.

3.全概率公式

一般地，设4*2,…,4是一组两两互斥的事件,4UA2U…LM〃=。,且尸(4)>0,

i=l,2,…，〃，则对任意的事件8。，有尸(8)=,我们

称该公式为全概率公式.

［常用结论］

1.事件的关系与运算

(1M,8都发生的事件为A8:A,8都不发生的事件为才月.

(2)A,8恰有一个发生的事件为4月+48:4B至多有一个发生的事件为+

AB+AB.

2.’贝叶斯公式：设Ai,4,…，4是一组两两互斥的事件，A1UA2U…UA〃=

0,且P(A)>0,/=!,2,…，明则对任意的事件8Q,P(B)>0,有P(A,|8)

P(A,)P(B|A,)_P(A,)P(3|A,)

P(B)/=1,

SP(At)P(B|At)2，…，〃•

11

3.P(A8)求法：

(1)古典概型；(2)相互独立：P(AB)=P(A)P(B);(3)概率的乘法公式P(AB)=

P(A)P(8|A).

©激活-基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)相互独立事件就是互斥事件.()

(2)对于任意两个事件，公式P(/W)=P(A)P(8)都成立.()

(3)P(3|4)表示在事件4发生的条件下，事件3发生的概率，P(4B)表示事件4,

3同时发生的概率.()

⑷若事件A，5相互独立，则P(用A)=P⑻.()

二、教材经典衍生

1.(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题lOTi改编)袋内有3个白球和2

个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到

白球”记为B,其对立事件记为C,那么事件A与&A与C的关系是()

A.A与B相互独立B.4与。相互独立

C.A与。互斥D.A与8互斥

2.(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道

几何题.如果不放I口I地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件卜，第2

次抽到代数题的概率为()

3.(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报：元旦假期甲地的降雨概率

是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影

响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（）

A.0.2B.（）.3

C.0.38D.0.56

4.（人教A版选择性必修第三册P50例4改编）某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑

假期间，该同学下午去打篮球的概率为"若该同学下午去打篮球，则晚上一定

去跑步：若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为|.己知该同学在某天晚上

去跑步，则下午打过篮球的概率为.

［典例精研・核心考点］更难解惑•直击高考

□考点一事件的相互独立性

［典例1］（1）（2024・广东湛江一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其

中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题

目，只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M="甲、乙两人所选选项

恰有一个相同"，事件N=”甲、乙两人所选选项完全不同"，事件X="甲、

乙两人所选选项完全相同"，事件丫="甲、乙两人均未选择B选项”，则（）

A.事件M与事件N相互独立

B.事件X与事件丫相互独立

c.事件M与事件y相互独立

D.事件N与事件y相互独立

（2）（2024•山东临沂模拟）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计

负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜

者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘

汰后，剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已

知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为）乙胜丙的概率为j各场比赛的

结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.

①求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；

②求只需四场比赛就决出冠军的概率.

［听课记录］_____________________________________________________________

名师点评

1.两个事件是否相互独立的判断

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

(2)公式法：若户(A8)=2(A)&8),则事件A,8为相互独立事件.

2.求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.

(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

［跟进训练］

1.(1)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是j从乙袋中摸出一个红球的概率是

现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是()

A.两个球都是红球的概率为:

B.两个球中恰有1个红球的概率为:

C.两个球不都是红球的概率为彳

D.至少有1个红球的概率为:

(2)设样本空间。=他，b,c,d}含有等可能的样本点，且4={小/?),B={a,

c},C={a,d},则A,B,C三个事件(填“是”或“不是")两两独立，

□P(ABC)_

HpG4)P(8)P(C)------------------■

□考点二条件概率

［典例2］(1)(2023・全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的

同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一

位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()台

II

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

(2)(多选)甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲

罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，再从乙

罐中随机取出一球，以3表示事件”从乙罐取出狗球是红球"，则()

32

A.P(A)=-B.P(B\A)=-

55

c.P(B)=1|3|D.P(A|B)=59

l听课记录J_____________________________________________________________

名师点评求条件概率的两种方法

(1)利用定义，分别求P(A)和尸(AB),得尸(阴外=黑,这是求条件概率的通法.

⑵缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数〃(A),

再求事件A与事件3的积事件包含的样本点数n(AB)f得汽5|/1)=陪.

［跟进训练］

2.(1)如图，用K,Ai,小三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且4,

42至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K,Ai,A2正常工作的概率依次

是］|,|,已知在系统正常工作的前提下，只有K和4正常工作的概率是()

(2)(2022•天津高考)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，

则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A

的概率为.

□考点三全概率公式的应用

［典例3］(2024•山西大同模拟)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个

白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相

同.

(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求

取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；

(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个

盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.

［听课记录1_____________________________________________________________

名师点评“化整为零”求多事件的全概率问题

(1)如图,P(B)=

3

WP(4)P(B|4).

(2)已知事件3的发生有各种可能的情形4(i=l,2,…，〃)，事件8发生的可能

性，就是各种可能情形4,发生的可能性与已知在4•发生的条件下事件8发生的

可能性的乘积之和.

［跟进训练］

3.(1)(2024•河北保定一模)已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动

员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若

一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9,0.6,0.2,则这20名运动

员中任选一名运动员能够晋级的概率为()

A.0.62B.0.58

C.0.46D.0.42

(2)(2025•河北沧州模拟)中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明

的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格

的瓷熔，由甲、乙、丙三家瓷厂生