上海市浦东新区2026届高三上学期学习能力诊断数学试题（原卷版）

2025学年度第一学期高三年级学习能力诊断卷数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.1.已知是虚数单位，则__________.2.已知集合，，则____________________.3.抛物线的准线方程是_______4.已知，则__________.5.已知的最大值为___．6.在的二项展开式中，常数项的值为__________7.的二项展开式中常数项为_______．8.设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________．9.李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：566777899，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________．10.若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为________．11.设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________．12.设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是________．二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.已知向量，，若，则的值为（

）A. B. C. D.14.3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（）种.A.6 B.24 C.64 D.8115.研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.变量与变量的相关性变强 B.相关系数的绝对值变小C.线性回归方程不变 D.拟合误差Q变大16.给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（）A. B. C. D.三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知函数，（且）（1）若，求方程解；（2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.18.座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.19.某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.6474.84.95.05.1525.3人数22211（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.20.已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；（3）设椭圆焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．21.设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界．（1）设，，判断函数，是否具有性