【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项08 四边形）

【中考复习】年中考数学真题汇编（专项四边形）一．选择题（共小题）12025•成都）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．菱形的对角线互相垂直C．正方形的对角线相等且互相垂直D．平行四边形的对角线相等22025ABCD的对角线交点在原点．若（﹣12C）A2，﹣1）B2，1）C1，﹣2）D1，﹣2）32025ABCDE为边ADBEABE沿BEA′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（）A．A′D∥BEB．A'C'DC．△A′CD的面积＝△A′DE的面积D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积42025•山西）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（）第页（共页）A．OEADB．OEBCC．OEABD．OEAC52025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有ABC三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（）A．B．C．D．62025•湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（）A．B．2C．D．72025•深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为（）第页（共页）A．B．C．D．82025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CDAF＝CH，则下列为定值的是（）A．四边形EFGH的周长B．∠EFG的大小C．四边形EFGH的面积D．线段FH的长92025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°102025ABCD的边长为2E是BCDEDCE沿直线DE翻折到正方形ABCDDFEDF交AB于点GADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（）第页（共页）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）2025ABCD沿对角线ACB落在点BB′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝cm．122025AB是⊙OC在⊙OACAC为边作菱形ACDECD交⊙O于点FAB⊥CDGAD⊙O于点HEHAG＝12GF＝5DF的长度为，EH的长度为．132025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为34，一条对角线长为nnn的值可以为142025ABCD的对角线相交于点OEF过点O且与边ABCD分别相交于点EF．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为．152025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为．第页（共页）三．解答题（共小题）162025•河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．172025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD．（1）当BC经过圆心O时（如图1D的度数；（2）当AD与⊙O相切时（如图2⊙O的半径为6，求的长．182025CD是Rt△ABC斜边ABAC分别作AE∥DCCE∥ABAE与CE相交于点E．现有以下命题：命题1：若连接BE交CA于点F，则S＝2S．命题2：若连接ED，则ED⊥AC．命题3：若连接ED，则ED＝BC．任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．第页（共页）192025ABCDE分别为ABACDF⊥BCFG在DE的延长线上，DG＝FC．（1）求证：四边形DFCG是矩形；（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．202025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．212025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点CPAP为边作正方形APDED和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（sx＞0APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（1）AC的长为．（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．第页（共页）222025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．（1）若E是BC中点；①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S：S的值；（2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．232025•安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B．（1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；（2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．（i）求证：∠CA′F＝45°；（ii3AFBE相交于点GCGDGDACG＝CBA′DG说明理由．242025•山西）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．双关联线段第页（共页）【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段．【问题解决】问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝°．问题22ABCDE分别在边BCCAAE＝CDAD，BE．求证：线段AD是线段BE的双关联线段．证明：延长DA交BE于点F．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BAE＝∠ACD∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD．∴BE＝AD，∠E＝∠D．第页（共页）任务：（1）问题1中的∠ACB＝°，问题2中的依据是；（2）补全问题2的证明过程；（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留252025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．（1）如图1，求sin∠BAC的值．（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②求PA﹣PB的最小值．262025如图1ABCDB作直线l⊥CD于点ElBCE1和四边形ABED，如图2所示．【动手操作】第页（共页）现将三角形纸片BCE1和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现）①将三角形纸片BCE1置于四边形纸片ABED内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F，如图3所示；②连接CC，过点C作直线CN⊥CD交射线EE1于点N，如图4所示；③在边AB上取一点G，分别连接BD，DG，FG，如图5所示．【问题解决】请解决下列问题：（1）如图3，填空：∠A+∠ABF＝°；（2）如图4，求证：△CNM≌△CEM；（3）如图5，若，∠AGD＝60°，求证：FG∥BD．第页（共页）272025•陕西）问题探究（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S＝9，△BPC周长的最小值；问题解决（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选ABCBCA为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分第页（共页）别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOCAB＝120mAC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出P与游客服务中心A之间的距离PA游客服务中心的大小均忽略不计）282025•河北）综合与实践[情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1[模型]已知矩形（数据如图2MNMN与BC所夹的锐角为45形ABCD分成周长相等的两部分．[操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．如图3，嘉嘉的思路如下：如图4，淇淇的方法如下：①连接AC，BD交于点O；①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；F；③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN．第页（共页）[探究]根据以上描述，解决下列问题．（1）图2中，矩形ABCD的周长为；（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求．[拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．（45PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边ADBC于点PQB作BH⊥PQ于点H，连接CH．①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；②当∠BCH最大时，直接写出CH的长．第页（共页）【中考复习】年中考数学真题汇编（专项四边形）一．选择题（共小题）题号12345678910答案DCDCABDCCA一．选择题（共小题）12025•成都）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．菱形的对角线互相垂直C．正方形的对角线相等且互相垂直D．平行四边形的对角线相等【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．故选：D．22025ABCD的对角线交点在原点．若（﹣12C）A2，﹣1）B2，1）C1，﹣2）D1，﹣2）【解答】解：由题意A，C关于原点对称，∵A（﹣1，2∴C（1，﹣2故选：C．32025ABCDE为边ADBEABE沿BEA′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（）第页（共页）A．A′D∥BEB．A'C'DC．△A′CD的面积＝△A′DE的面积D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积【解答】解：连接AA′交BE于点L，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵E为边AD的中点，∴AE＝DEADAB，∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，∴A′E＝AE＝DE，点A′与点A关于直线BE对称，∴BE垂直平分AA′，∴∠ALE＝90°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′，∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′180°＝90°，∴∠AA′D＝∠ALE，∴A′D∥BE，故A正确；作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，则∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°，∴A′H∥AD，∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，∴tan∠DA′H＝tan∠ADA′tan∠AEB2，第页（共页）∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE，∴A′Dm，ADA′D，∴AB＝CD＝ADm＝5m，∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m，∴A′Cm，∴，∴A′CA′D，故B正确；∵AA′＝2A′D＝2m，∴Sm×2m＝5m2，∴S＝SSm2，∵S5m2m2，∴S＝S，故C正确；∵AEADm，∴S＝S5mmm2，∴Sm2m2m2，∵S＝（5m）2＝25m2，∴S＝25m2﹣2m2﹣2m2m2，∴S≠S，故D不正确，故选：D．第页（共页）42025•山西）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（）A．OEADB．OEBCC．OEABD．OEAC【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC的中点，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵点E是边AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OECDAB，故A、B、D错误，不符合题意；C正确，符合题意；故选：C．52025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有ABC三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（）第页（共页）A．B．C．D．【解答】解：设直线FG的解析式为y＝kx+b，代入（﹣1，10，﹣1∴，解得，∴直线FG的解析式为y＝﹣2x﹣1，∵E（1，2A．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，∴直线FG平移后的解析式为，此时经过原点，对应的EH经过整点（2，1B．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，∴直线FG平移后的解析式为，此时原点在FG下方，对应的EH在整点（2，1）上方，不符合题意，C．当E为时，平移方式为向右平移个单位，∴直线FG平移后的解析式为，此时点E在正方形内部，不符合题意，D．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，∴直线FG平移后的解析式为此时点E21题意，故选：A．62025•湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图，过G作GH⊥BC于H，第页（共页）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝ADBCD＝∠ADC＝90DBC＝∠BDC＝45°，AC＝BDOA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，由对折可得：BC＝BF，CE＝EF，∠BFE＝∠BCE＝90°＝∠DFE，∠FBE＝∠CBE，∴∠DEF＝∠FDE＝45°，而，∴DF＝EF＝DE•sin45°＝2，∴，∴，∴，∵∠FBE＝∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，∴OG＝HG，∵BG＝BG，∴Rt△OBG≌Rt△HBG，∴，∴，同理可得：，∴，方法二：设AC与BD交于点O，∵∠FBE＝∠CBE＝22.5°，∠BOG＝90°，∴∠OGB＝67.5°＝∠CGE，∠CEG＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CEG＝∠CGE＝67.5°，∴CG＝CE＝EF＝2，第页（共页）故选：B．72025•深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，OA＝OC，由折叠可得，AO⊥EF，AG＝GO，∠EOA＝∠EAO＝45°，∠FOA＝∠FAO＝45°，AE＝OE，AF＝FO，∴AE∥OF，AF∥OE，∠EOF＝90°，∴四边形AEOF是正方形，∴EF＝AO，GO＝AGOA，∴CG＝CO+OG，∴，故选：D．82025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CDAF＝CH，则下列为定值的是（）A．四边形EFGH的周长B．∠EFG的大小第页（共页）C．四边形EFGH的面积D．线段FH的长【解答】解：如图，连接EG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E，G分别为边AD，BC的中点，∴AE＝DE＝BG＝CG，∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，∴SS，SS，∴四边形EFGH的面积S，∴四边形EFGH的面积是定值，故选：C．92025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝°，∵，∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°．故选：C．102025ABCD的边长为2E是BCDEDCE沿直线DE翻折到正方形ABCDDFEDF交AB于点GADG和∠DAG的平分线DH，第页（共页）AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接GE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1，∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE，∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2，∴∠GFE＝∠GBE＝90°，∵GE＝GE，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL∴GF＝GB，设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x，根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2，即（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得，∴，，∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，∴点H到AD，AG，GD的距离相等，第页（共页）∴，故选：A．二．填空题（共5小题）2025ABCD沿对角线ACB落在点BB′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝12cm．【解答】解：∵△CDE为等边三角形，∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝6cm，∴∠EAC＝∠BCA，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠CED＝∠EAC+∠ECA，∴∠EAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝2CD＝12cm，故答案为：12．122025AB是⊙OC在⊙OACAC为边作菱形ACDECD交⊙O于点FAB⊥CDGAD⊙O于点HEHAG＝12GF＝5DF的长度为3，EH的长度为．第页（共页）【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5，∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10，∴，∵四边形ACDE是菱形，∵CD＝AC＝13，∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3，∴，如图，连接BC，BH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°，∴，即，解得：，∴，即，解得：，∵四边形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE＝∠CDA，第页（共页）如图，过H作HM⊥AE于M，∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA，∴，，∴，∴，，∴，∴，故答案为：3，．132025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为34，一条对角线长为nnn的值可以为2或3或4或5或6【解答】解：如图，∵平行四边形两个邻边长分别为3和4，∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3，即它的一条对角线长L的取值范围是：1＜n＜7．∴n＝2或3或4或5或6．故答案为：2或3或4或5或6．142025ABCD的对角线相交于点OEF过点O且与边ABCD分别相交于点EF．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为1．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，第页（共页）∴△DOF≌△BOE（AAS∴△DOF的面积＝△BOE的面积，∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积2×1＝1，故答案为：1．152025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为．【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，∴，AC⊥BD，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，如图，取OE中点H，连接GH，∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，∴GH是三角形EBO的中位线，∴，GH∥OB，∴∠GHE＝∠BOA＝90°，∵OF＝1，∴，第页（共页）在直角三角形GFH中，由勾股定理得：，故答案为：．三．解答题（共小题）162025•河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．【解答】（1）解：如图，点O即为所求；（2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是AD的中点，O是BC的中点，∵AE＝DE＝OC＝OB，∵AE∥OC，∴四边形AOCE是平行四边形．172025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD．（1）当BC经过圆心O时（如图1D的度数；（2）当AD与⊙O相切时（如图2⊙O的半径为6，求的长．第页（共页）【解答】1）∵BC经过圆心O，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°，∴∠D的度数是55°．（2）连接OA、OC，∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6，∴AD⊥OA，OA＝OC＝6，∴∠OAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝35°，∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°，∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝70°，∴，∴的长为．182025CD是Rt△ABC斜边ABAC分别作AE∥DCCE∥ABAE与CE相交于点E．现有以下命题：命题1：若连接BE交CA于点F，则S＝2S．命题2：若连接ED，则ED⊥AC．第页（共页）命题3：若连接ED，则ED＝BC．任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．【解答】解：命题1：若连接BE交CA于点F，则S＝2S命题1是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O，如图所示：，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴，∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵DA＝DC，∴四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，且OA＝OC，OE＝OD，∵O为AC的中点，D为AB中点，∴DO是△ABC的中位线，则，∴，SCF•OE，则S＝22S；命题2：若连接ED，则ED⊥AC．命题2是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O，第页（共页）如图所示：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴，∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵DA＝DC，∴四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE；命题3：若连接ED，则ED＝BC．命题3是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O，如图所示：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴，∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CE＝AD，∴CE＝DB，∵CE∥AB，∴四边形BCED是平行四边形，第页（共页）∴ED＝BC．192025ABCDE分别为ABACDF⊥BCFG在DE的延长线上，DG＝FC．（1）求证：四边形DFCG是矩形；（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形，又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴平行四边形DFCG是矩形；（2）解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝3，∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF+FC＝3+5＝8，由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，∴DEBC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°，∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1，∴CE，第页（共页）∵E为AC的中点，∴AC＝2CE＝2．202025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴四边形EBCH是矩形，∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，∵BE＝DF＝5，∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF．第页（共页）212025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点CPAP为边作正方形APDED和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（sx＞0APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（1）AC的长为7．（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．【解答】1）当B，D重合时，如下图：∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，解得：AP＝3∵BC＝5，∠DPC＝90°，∴，∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，故答案为：7；（2）当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，第页（共页）∵FP′BP，∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，∴△CFP∽△CBP，∴，∴，解得：，∴y＝S+Sx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.53＜x≤7）′∴；（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，∴，∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，即2AP2＝72，解得：AP＝6，第页（共页）∴x＝6．222025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．（1）若E是BC中点；①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S：S的值；（2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．【解答】（1）①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC，∵E是边BC中点，∴BE＝CE，∴△BEH≌△CEF（AAS∴EH＝EF，∠H＝∠CFE，∵AE＝EF，∴AE＝EH，∴∠H＝∠BAE，∴∠BAE＝∠CFE；方法2：过点E作EI∥AB交AF于点I，第页（共页）∵EI∥BA，AB∥CD，∴BAE＝∠AEI，∠EFC＝∠IEF，∵E为BC的中点，∴I为AF的中点，∵AE＝AF，∴∠AEI＝∠IEF，∴∠BAE＝∠EFC；②解：如图所示，延长BF，AD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，∴，，∴BF＝MF，BC＝DM，∵E是边BC中点，∴BC＝2CE＝2BE，设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m，∴AM＝AD+DM＝4m，∴，1，∴，∴，，第页（共页）设S＝4n，则S＝n，S＝6n，∴，∴；（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝3，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，∴∠EFA＝∠EAD，又∵∠AEF＝∠MEA，∴△AEF∽△MEA，∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝∠EFC+∠FCE+∠FEC＝180°，∠AEB＝∠EFC，∴∠AEF＝∠FCE，∴△AEF∽△ECF，∵AD∥BC，∴△ECF∽△MDF，∴，∵CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝2，设CE＝s，FE＝t，∵△AEF∽△ECF，∴，即，∴AE＝st，AF＝t2，第页（共页）∵，即，∴DM＝2s，FM＝2t，∴AM＝AD+DM＝5+2s，∵△AEF∽△MEA，∴，即，∴，解得或∴．232025•安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B．（1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；（2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．（i）求证：∠CA′F＝45°；（ii3AFBE相交于点GCGDGDACG＝CBA′DG说明理由．【解答】（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线，∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA，∴BE＝BE，∴△ABE≌△A'BE（SSS∴∠BAE＝∠BA'E＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，第页（共页）∴△A'DE是等腰直角三角形，∴A'D＝A'E＝1，∴DE，∴AD＝AE+DE1，∴AB＝AD＝A'B1；（2i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC，∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C，∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°，∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°；（ii）解：△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N，∵CN⊥BG，CG＝CB，∴M为BG的中点，∵AA′⊥BE，∴CN∥AF，∴MN是△ABG的中位线，∴，∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCN（ASA∴，∵E为AD的中点，AG＝GA′，∴EG∥A′D，第页（共页）∴∠DA′G＝∠EGA＝90°，同理可证△ADA′≌△BAG（ASA∴A′D＝AG＝A′G，∴△A′DG是等腰直角三角形．242025•山西）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段．【问题解决】问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝30°．问题22ABCDE分别在边BCCAAE＝CDAD，BE．求证：线段AD是线段BE的双关联线段．证明：延长DA交BE于点F．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BAE＝∠ACD∵AE＝CD，第页（共页）∴△ABE≌△CAD．∴BE＝AD，∠E＝∠D．任务：（1）问题1中的∠ACB＝30°，问题2中的依据是等角的补角相等；（2）补全问题2的证明过程；（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留【解答】（1）解：设AC，BD的交点为O，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，∵对角线AC与BD互为双关联线段，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴∠ACB＝90°﹣∠OAB＝30°，故答案为：30；问题2中的依据是：等角的补角相等；故答案为：等角的补角相等；第页（共页）（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，∴∠AFB＝∠EAF+∠E，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠D，∵∠EAF＝∠CAD，∠E＝∠D，∴∠AFB＝∠ACB＝60°，即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°，∵AD＝BE，∴线段AD与线段BE是双关联线段；（3）解：答案不唯一，如图，线段CD即为所求．252025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．（1）如图1，求sin∠BAC的值．（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②求PA﹣PB的最小值．【解答】1）如图，设AC，BD交于点O，第页（共页）∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，∴AC⊥BC，，∴，∴；（2）①如图，设AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BC，，BD＝2OB，AD＝AB＝5，∴，∴BD＝6；∵EF⊥AC，AC⊥BC，∴EF∥BD，∴∠DBE＝∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB＝6，∴AE＝AD+DE＝；②在Rt△BOP中，由勾股定理得，∵PA＝OA+OP＝4+OP，第页（共页）∴PA﹣PB＝4+OP，∵，∴要使PA﹣PB的值最小，则要最大，∴要有最小值，又∵的值随着OP的值增大而增大，∴的值随着OP的值增大而增大，∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值，∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，∵，∴，∴由轴对称的性质可得，在Rt△POB中，由勾股定理得，∴当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短可知，第页（共页）∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为，∴，∴．262025如图1ABCDB作直线l⊥CD于点ElBCE1和四边形ABED，如图2所示．【动手操作】现将三角形纸片BCE1和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现）①将三角形纸片BCE1置于四边形纸片ABED内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F，如图3所示；②连接CC，过点C作直线CN⊥CD交射线EE1于点N，如图4所示；③在边AB上取一点G，分别连接BD，DG，FG，如图5所示．【问题解决】请解决下列问题：（1）如图3，填空：∠A+∠ABF＝90°；（2）如图4，求证：△CNM≌△CEM；（3）如图5，若，∠AGD＝60°，求证：FG∥BD．第页（共页）【解答】（1）解：由题可知∠ABF＝∠CBE，∵BE⊥CD，∴∠CEB＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°，在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∴∠A+∠ABF＝90°，故答案为：90；（2）证明：∵CN⊥CD，第页（共页）∴∠CND＝90°，由题可知∠CEC＝∠CEB＝90°，BE＝BE，CE＝CE，∵AB∥CD，∴∠EBE＝∠CBE＝90°，∴△EBE1为等腰直角三角形，∴∠BEB＝∠BEE＝45°，∴∠CEN＝∠CNE＝∠CEM＝45°，∴CN＝CE＝CE，在△CNM和△CEM；，∴△CNM≌△CEM（AAS（3）证明：如图，过点D作DP⊥AB垂足为点P，由题，设AF＝1，∴，AB，∴，在Rt△ADP中，，∴DP，∵∠AGD＝60°，∴在Rt△GDP中，PG，第页（共页）∴AG＝AP+PG＝2，∴，即，∵∠A＝∠A，∴△AFG∽△ADB，∴∠AFG＝∠ADB，∴FG∥BD．272025•陕西）问题探究（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S＝9，△BPC周长的最小值；问题解决（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选ABCBCA为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOCAB＝120mAC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出P与游客服务中心A之间的距离PA游客服务中心的大小均忽略不计）第页（共页）【解答】1）依题意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF，再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F，连接EF，则DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BDEF是平行四边形，即▱BDEF如图所示：（2）如图，过P点作PH⊥BC于点H，第页（共页）∵S＝9，BC＝6，∴，解得PH＝3，过点P作MN∥BC且分别与AB，CD交于M，N，即P在线段MN上运动的，则C＝BP+CP+BC＝BP+CP+6，当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值，作B点关于MN的对称点B'，∴BM＝BM＝3，B'P＝BP，∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C，当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，即△BPC的周长有最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△BBC中，B'B＝6，BC＝6，∴，此时△BPC得周长；（3）如图，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN，第页（共页）∴MN是△ABC的中位线，过点P作PD∥AC，∴∠BAC＝∠BPD，又∵∠ABD＝∠PBD，∴△PBD∽△ABC，∴，即，∵，∴AQ＝PD，∵PD∥AC，∴四边形APDQ是平行四边形，连接AD，∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形，∴AO＝OD，∴O是AD的中点，过A点作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E，∴∠AHD＝∠OED＝90°，∵∠ADH＝∠ODE，∴△ADH∽△ODE，∴，第页（共页）∵AB＝120m，AC＝BC＝180m，∴AH为定值，∴OE为定值，则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆⊙T，当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC的值最大，∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC+∠OBF，故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC，如图，连接CM，作MK⊥BC于点K，O'L⊥BC于点L，连接O'T，LT，∵⊙T与MN相切于点O'，∴∠MO'T＝90°，∵O'L⊥B