人教版初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案

人教版初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案

一、教学设计依据与总体思路

1.课程标准与核心素养依据

本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域中的“图形的相似”主题。课标明确指出，学生应“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小”。本课的设计严格对标以下核心素养的培养：

1.抽象能力与空间观念：从具体的相似图形中抽象出位似这一特殊关系的本质特征，理解位似中心与对应点连线的关系，建立位似变换的几何模型，发展空间想象与几何直观。

2.推理能力：经历“观察猜想—操作验证—归纳概括”的完整过程，进行合情推理与演绎推理，用严谨的数学语言表述位似的定义与性质。

3.应用意识：将位似原理应用于实际的放缩作图，理解其在测量、绘图、信息技术（如图像处理）等领域的基础作用，体会数学的实用价值。

2.教材内容与学情分析

1.教材地位分析：本节内容是人教版九年级下册第二十七章“相似”中的第七单元，是在学生系统学习了图形的相似、相似三角形的判定与性质、利用相似测量高度或距离之后，对相似关系的深化与特化研究。位似是特殊的相似，其定义、性质及画法是相似知识体系的重要闭环，同时为后续学习“反比例函数图象”的几何变换特性（某些反比例函数图象可看作位似图形）埋下伏笔，起着承上启下的桥梁作用。

2.学情诊断分析：九年级下学期的学生已经具备了较强的图形观察能力、类比归纳能力和初步的几何推理能力。他们对“相似”的概念、性质及基本应用已较为熟悉，但容易将位似与一般相似混淆。学生的动手操作（尺规作图）能力存在差异，对“变换”这一现代几何思想的理解尚处于初级阶段。他们可能对“为何要专门研究位似”感到困惑，缺乏将数学原理与实际生活、科技应用相联系的经验与视野。

3.设计理念与创新特色

本设计秉持“以学生发展为中心，以核心素养为导向”的理念，突破传统“定义-性质-画法”的线性教学模式，构建“情境驱动-探究建构-迁移应用-评价反思”的螺旋上升式学习路径。创新特色在于：

1.跨学科情境导入：巧妙融合物理学（小孔成像）、艺术学（透视绘画）、地理学（地图比例尺）中的真实案例，揭示位似的普遍存在性，激发跨学科思维。

2.深度探究导向：将位似的定义与核心性质（对应点连线共点且成比例）的发现权交给学生，通过系列化的探究活动，引导学生从“形”的直观感知到“数”的精确刻画，完成数学概念的自主建构。

3.技术深度融合：将动态几何软件（如Geogebra）作为认知工具贯穿始终，实现图形的实时、连续、精准变换，化解“位似中心位置变化”、“位似比正负”等教学难点，使抽象思维可视化。

4.逆向思维训练：不仅教授“已知图形和位似中心作位似图形”的正向画法，更设计“根据位似图形反推位似中心和位似比”的逆向任务，培养学生可逆的数学思维和综合分析能力。

二、教学目标

1.知识与技能

1.理解位似图形的概念，能准确阐述位似与相似的联系与区别。

2.掌握位似图形的两个核心性质：对应点的连线相交于一点（位似中心）；对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.能够熟练利用位似原理，利用尺规或网格，按给定位似中心和位似比（放大或缩小）将一个图形放大或缩小。

4.能识别现实生活和跨学科情境中的位似现象。

2.过程与方法

1.经历从生活实例中抽象数学概念的过程，提升数学抽象能力。

2.通过观察、操作、测量、猜想、验证等活动，探索并归纳位似图形的性质，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在利用不同工具（尺规、网格、软件）进行位似作图的实践中，体会解决问题方法的多样性，优化作图策略，培养几何直观和动手操作能力。

4.通过小组合作探究与交流，提升数学语言表达与协作学习能力。

3.情感、态度与价值观

1.通过感受位似在摄影、绘图、地图、影像技术等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和科学美感，激发学习兴趣。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.形成严谨、细致、实事求是的科学态度和理性精神。

三、教学重难点

1.教学重点：位似图形的概念；位似图形的性质；利用位似原理将图形放大或缩小的画法。

2.教学难点：位似概念中“对应点连线交于一点”这一核心要素的理解与抽象；对“位似比”正负号（决定图形同侧或异侧）意义的理解；复杂图形或多边形位似作图的方法归纳与精准操作。

3.突破策略：

1.4.针对概念难点：采用“正反例辨析”法。呈现大量图形（包括一般相似图形、旋转相似图形、位似图形），让学生在对比、分类、辩论中，自己发现“对应点连线是否共点”是区分一般相似与位似的关键判据。

2.5.针对位似比正负：利用动态几何软件，通过连续拖动点，展示位似比从正数逐渐变化为负数的过程，让学生直观观察图形如何从位似中心同侧平滑过渡到异侧，理解位似比的符号是描述图形与位似中心相对位置的特征量。

3.6.针对作图难点：采用“分步递进”策略。从简单的点、线段开始，再到三角形、多边形。强调“抓关键点（顶点）”的作图策略。提供“尺规作图法”和“网格作图法”两种路径，适应不同学生认知水平，并鼓励学生总结作图步骤口诀。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含丰富的图片、视频、Geogebra交互页面）；实物投影仪；三角板、圆规等教具；设计并打印《课堂探究活动任务单》。

2.学生准备：复习相似图形的定义与性质；准备直尺、三角板、圆规、量角器、铅笔；预习教材相关内容。

3.环境准备：学生分组（4-6人一组，异质分组），便于开展合作探究。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，跨学科激趣（预计时间：8分钟）

1.情境导入：

1.2.【物理世界】播放一段简短的“小孔成像”实验视频。提问：“屏幕上的火焰倒像与真实的火焰，在形状和大小上有何关系？它们的对应点（如火焰顶端与像的顶端）的连线有什么特点？”引导学生初步感知“形状相同、大小不同、连线交于小孔”。

2.3.【艺术视角】展示达芬奇《最后的晚餐》或一幅具有强烈透视感的建筑绘画图片。提问：“画家如何在一张平面的画布上表现空间的纵深？画中平行线（如天花板线条）在现实中真的相交于一点吗？这体现了怎样的图形变换关系？”引出“透视”本质上是一种特殊的投影变换，与位似紧密相关。

3.4.【地理应用】呈现同一地区的两张不同比例尺的地图（如1:10000和1:50000）。提问：“两张地图上的相同地物（如一个湖泊）是什么关系？你能在地图上找到一个‘中心点’，使两个湖泊的对应点连线汇聚于此吗？”说明地图制作中的数学原理。

5.提出问题：

教师总结：“小孔成像、透视绘画、地图缩放，这些看似不同的现象背后，隐藏着同一种图形变换。它比我们学过的‘相似’关系更加特殊、更具规律。今天，我们就一起来揭开这种奇妙变换的面纱。”

（设计意图：从学生已有经验或感到新奇的科学艺术领域出发，设置真实、跨学科的问题情境。旨在引发认知冲突，激发探究欲望，让学生体会数学是刻画现实世界普遍规律的语言，明确本课学习的现实意义。）

第二环节：操作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

1.活动一：初步感知——网格中的“放大”

1.2.任务：在《活动单》上，给出一个放置在坐标网格中的简单多边形ABC（如三角形）。给定点O（位似中心）和比例k=2。

2.3.要求：①画出射线OA、OB、OC；②分别在射线上取点A‘，B’,C‘，使得OA’/OA=OB‘/OB=OC’/OC=2；③连接A‘B’C‘，观察新图形与原图形的关系。

3.4.学生活动：独立或两人合作完成作图。

4.5.教师巡视：关注学生取点的准确性，引导发现新图形与原图形形状相同。

6.活动二：对比辨析——发现本质特征

1.7.教师利用Geogebra同步展示：

1.2.8.页面1：展示学生刚才完成的图形，测量A‘B’/AB，B‘C’/BC等，验证其比值也为2，说明两个图形相似。

2.3.9.页面2：展示另一组仅满足对应边成比例（即一般相似）但不满足“对应点连线共点”的三角形。

3.4.10.页面3：动态展示一个图形绕某点旋转并缩放后得到的图形（旋转相似），其对应点连线并不共点。

5.11.核心追问：

1.6.12.“活动一作出的图形与原始图形是相似图形吗？为什么？”

2.7.13.“活动一作出的图形，与页面2、页面3中的相似图形，最显著的不同是什么？”（引导学生聚焦到“对应点(A与A‘)的连线OA、OA’是否经过同一个固定点O”）

3.8.14.“如果改变点O的位置，或者改变k的数值（如k=0.5,k=-1），按照刚才的方法还能作出图形吗？它们还满足‘对应点连线交于一点’吗？”

15.归纳定义：

1.16.小组讨论：基于以上观察与对比，尝试用自己的语言描述这种“特殊的相似图形”应满足的条件。

2.17.师生共议：在学生发言基础上，教师引导学生用精准的数学语言进行提炼和修正。

3.18.呈现定义：如果两个相似图形的对应顶点的连线都相交于一点，并且对应边平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。此时，相似比也称为位似比。

4.19.概念辨析（即时巩固）：

1.5.20.判断：“所有的位似图形都是相似图形。”（真）

2.6.21.判断：“所有的相似图形都是位似图形。”（假，举出反例）

3.7.22.“位似图形的核心判定条件是什么？”（强调“对应点连线共点”是必要不充分条件，结合“对应边平行”可强化理解，但本质是“变换由中心点和比例因子唯一确定”。）

（设计意图：摒弃直接告知定义的方式。让学生在具体、可操作的作图任务中先行体验，再通过精心设计的正反例对比，在思维冲突中自主发现位似的本质特征。Geogebra的动态演示将抽象的“关系”可视化，有效支持了学生的归纳与概括。）

第三环节：深化探究，归纳性质（预计时间：12分钟）

1.活动三：定量探索——发现“位似比”的秘密

1.2.任务：在活动一已作好的位似图形上，进行测量与计算。

2.3.探究问题：

1.3.4.测量OA‘，OA的长度，计算OA’/OA。同样计算OB‘/OB，OC’/OC。你发现了什么？

2.4.5.这个比值与你在作图时设定的k值有什么关系？

3.5.6.这个比值（位似比）的大小，决定了什么？（图形放大或缩小）

4.6.7.（进阶探究）如果作图时，让k=-2，即取点A‘在射线OA的反向延长线上，且OA’=2OA。此时作出的图形与原图形还位似吗？位似中心是什么？图形的位置关系有什么特点？（通过Geogebra动态演示k从正到负连续变化的过程，观察图形位置从同侧到异侧的“翻转”）

8.归纳性质：

1.9.性质1（核心性质）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（|k|）。

2.10.性质2（位置特性）：当位似比k>0时，位似图形位于位似中心的同侧；当k<0时，位似图形位于位似中心的异侧（或说“在位似中心两侧”）。

3.11.性质3（推论）：位似图形的对应边平行或共线。

4.12.教师引导学生理解：性质1是位似变换的“数”的定量描述；性质2和3是其“形”的直观体现。三者统一于位似变换的定义。

（设计意图：从定性观察上升到定量分析，用数据支撑猜想，培养学生的实证精神。引入位似比正负的探究，是对教材内容的适度深化，借助技术工具化解难点，让学生对位似的理解更加完整和深刻。）

第四环节：应用迁移，掌握画法（预计时间：12分钟）

1.范例精讲：已知四边形ABCD和位似中心O，求作四边形ABCD的位似图形A‘B’C‘D’，使新图形与原图形的位似比为3:2（放大）。

1.2.教师引导学生分析：关键在于确定每个顶点的对应点。根据性质1，只需连接OA、OB、OC、OD，并在线段（或其延长线）上按比例截取。

2.3.板演尺规作图步骤：

1.3.4.连接OA、OB、OC、OD。

2.4.5.以O为端点，分别在射线OA、OB、OC、OD上（因k>0，故取同侧）。

3.5.6.截取OA‘=(3/2)OA，OB’=(3/2)OB，OC‘=(3/2)OC，OD’=(3/2)OD。（具体截取方法：可利用平行线等分线段原理或度量后截取）

4.6.7.顺次连接A‘，B’，C‘，D’。

7.8.强调要点：“抓顶点，连中心，按比截，顺次连”。作图后验证A‘B’∥AB等。

9.变式训练：

1.10.变式1（缩放）：位似比改为2:3（缩小），如何作图？（强调截取方向不变，比例变化）

2.11.变式2（异侧）：位似比改为-1:1（成中心对称），如何作图？（强调取反向延长线）

3.12.变式3（网格作图）：在方格纸中，给定△ABC和点O，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍。引导学生利用网格的天然比例，通过“数格子”确定对应点坐标，体会方法的灵活性。

13.逆向思维挑战：

1.14.给出两个位似的五边形，但不标明位似中心。提问：“如何确定它们的位似中心和位似比？”（引导学生连接任意两对对应点，其延长线的交点即为位似中心，再测量距离计算比。）

（设计意图：画法是概念与性质的应用。通过教师规范板演，学生掌握基本操作程序。变式训练覆盖了不同情况（放大/缩小、同侧/异侧、不同工具），培养学生思维的灵活性与迁移能力。逆向挑战题则锻炼学生的综合分析能力，加深对位似概念的整体理解。）

第五环节：巩固内化，分层练习（预计时间：10分钟）

1.【基础巩固层】（全体必做）

1.2.判断题，辨析位似与相似。

2.3.选择题，识别位似图形，判断位似中心及位似比。

3.4.简单作图题：在网格或给定条件下，按指定位似中心和比例作简单图形的位似图形。

5.【能力提升层】（学有余力选做）

1.6.综合题：在一个复杂图形（如含有三角形的组合图形）中，找出其中存在的位似关系。

2.7.应用题：解释并模仿小孔成像原理，利用位似知识，在纸上模拟“制作”一个简单图案的倒立放大像（给定光源、小孔、屏幕位置）。

3.8.探究题：若两个图形关于某点成位似，且位似比为k。那么这两个图形的面积比是多少？周长比呢？（链接已学相似形性质）

9.教师巡视指导：重点关注基础薄弱学生的作图规范，对提升层学生进行思路点拨。利用实物投影展示典型作品（正确和错误），组织学生互评。

（设计意图：分层练习满足不同层次学生的发展需求。基础题确保全体达标，提升题拓展思维深度和广度，并与物理学科进行简单综合。展示与互评环节，将评价主体多元化，促进相互学习。）

第六环节：课堂小结，反思升华（预计时间：3分钟）

引导学生从以下维度进行总结反思，教师补充并结构化：

1.知识树：我们今天学习了什么？（位似的定义、性质、画法）它在“相似”这棵知识树上处于什么位置？（特殊的相似）

2.思想法：我们是如何学习这一概念的？（从生活到数学，从具体到抽象，从猜想到验证）运用了哪些数学思想方法？（变换思想、类比思想、数形结合、分类讨论）

3.应用链：位似在生活和其他学科中还有哪些应用？（摄影镜头、电影放映、幻灯片投影、CT扫描图像重建、分形几何等）鼓励学生课后继续搜集资料。

4.疑惑点：你还有哪些不明白的地方？或者产生了什么新的好奇？（例如：三个或更多图形能否共用一个位似中心？位似在计算机图形学中如何实现？）

（设计意图：引导学生进行系统性、反思性的总结，不仅回顾知识，更提炼学习方法、感悟数学思想、展望应用前景，实现认知、能力、情感的多维升华。）

第七环节：布置作业，拓展延伸

1.【必做作业】

1.2.教材课后练习题（夯实基础）。

2.3.设计一个创意图案，并选取一个位似中心，分别画出它放大1.5倍和缩小0.5倍的位似图形（k取正、负各一），涂色制作成小卡片。

4.【选做/实践作业】

1.5.（跨学科）查阅资料，了解“透视画法”中的“消失点”与数学中的“位似中心”有何联系与区别，写一篇200字左右的小说明。

2.6.（信息技术）尝试使用一款简单的绘图软件（如Windows画图、Geogebra），找一张图片，利用软件的缩放/拉伸功能进行操作，观察并思考其背后的数学原理是否是位似变换？有没有局限？

3.7.（小组探究）以“生活中的位似”为主题，小组合作制作一份微型海报或PPT，准备在下节课进行3分钟展示。

六、板书设计

（左侧主板书区——逻辑结构）

27.3位似图形（第一课时）

一、定义

两个相似图形，若对应点连线相交于一点，则这两个图形叫做位似图形。

这个交点叫做位似中心。

相似比叫做位似比(k)。

二、性质

1.对应点到位似中心的距离比=|k|。

2.k>0→