4.1函数（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

4.1函数教学设计1.教学内容本节课是背师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章“一次函数”4.1函数，内容包括：函数的概念及一般表示方法；自主量的取值范围；函数值．2.内容解析《函数》是北师大版八年级上册第四章第一节的内容。在教材体系中，它承接七年级下册所学的“变量之间的关系”，学生在之前的学习中已经对变量、常量有了初步认识，也体会到现实世界中变量之间存在联系，这为学习函数奠定了基础。而本节课正式给出函数定义，是后续学习一次函数、反比例函数、二次函数等具体函数类型的基石，起到承上启下的关键作用。教材从多个实际问题出发，引导学生观察变量之间的关系，抽象出函数概念，符合学生从具体到抽象的认知规律，同时体现数学与生活的紧密联系。​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：函数概念的建立，理解“唯一对应”关系.教学目标（1）理解函数的概念，了解函数的三种表示方法（图象法、列表法、关系式法）.（2）通过函数概念的探索过程，体会归纳思想、数形结合和建模思想．（3）在探索函数概念的过程中，培养合作和团队精神，发展抽象能力，培养应用意识．2.目标解析（1）学生能准确理解变量、常量的概念，深入理解函数的概念，熟练判断两个变量之间的关系是否为函数关系；学会用含一个变量的代数式表示另一个变量，清晰了解函数的三种表示方法（图象法、列表法、关系式法、）。（2）通过对大量实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳、抽象的思维能力；经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，提升学生运用数学语言表达和交流的能力，初步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力。（3）通过丰富的生活实例，激发学生对数学的好奇心和求知欲，使学生积极主动参与数学活动；在小组合作探究中，培养学生的合作意识和团队精神，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。八年级学生已具备一定的数学基础和思维能力，在之前学习有理数运算、一元一次方程以及“变量之间的关系”时，积累了初步的代数知识和研究变量的经验，能够理解简单的数量关系和变化规律。但函数概念较为抽象，其动态变化和抽象的对应关系，与以往知识差异较大，学生理解两个变量间复杂的依赖关系可能存在困难，从实际问题中抽象出函数模型对部分学生来说挑战较大。此外，该阶段学生好奇心强，对贴近生活的实例兴趣浓厚，但注意力易分散，自主探究能力有待提升。1．具象化引入，突破概念抽象性。从学生熟悉的生活实例入手（如“打车费用与里程的关系”“电费与用电量的关系”），通过具体数据列表让学生观察“一个里程对应一个费用”的规律，直观感知“唯一性对应”。2．分步拆解，降低建模难度。针对复杂实际问题，采用“问题分层”策略：第一步，引导学生识别问题中的“变化量”（变量）和“不变量”（常量）；第二步，确定哪个变量“主动变化”（自变量），哪个变量“随之变化”（因变量）；第三步，用文字描述两者关系，再转化为代数式、列表或图象。3．任务驱动与互动设计，提升探究主动性与注意力。采用“小组合作探究”模式：将复杂问题拆解为小任务（如“观察实例→讨论变量关系→归纳函数特征”），明确小组分工（记录员、发言人、质疑者），通过同伴交流激发思维，降低个体探究压力。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实际问题中准确抽象出函数模型，深刻理解函数概念中“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应”这一核心要点。.1.情景引入生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头漏水量与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，行走的路程与所用的时间……你了解这些变量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界。(设计意图：从学生熟悉的生活场景入手，激发学生兴趣和好奇心，让学生感受生活中变量无处不在，为后续引出函数概念做铺垫。)2.温故知新（1）.早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明：气温随时间的变化而变化.（2）.高处不胜寒，说明：温度随海拔高度的变化而变化在一个变化过程中，如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化.我们就把x叫做自变量，y叫做因变量。（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫。）（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．变量有关概念，有利于学生在变量的基础上学习函数，同时也体现了学科融合特征。）探究点1函数的概念及表示方法情景一：想一想：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上某一点离地面的高度h(单位：m)与旋转时间t(单位：min)之间的关系。(1)根据图填表：t/min012345…h/m31037453711…(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？确定；唯一一个情景二：圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写下表：12345…1361015…（2）对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？对于给定的层数n,相应的物体总数y随之确定.唯一一个情景三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？解：当t=-43时，T=-43+273=230（K）当t=-27时，T=-27+273=246（K）当t=0时，T=0+273=273（K）当t=18时，T=18+273=291（K）（2）给定任一个大于-273℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？确定唯一一个T值上面三个情景中都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点?三个情景相同点不同点情景一都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。图象法情景二表格法情景三T＝t＋273.15,T≥0关系式法函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。函数的一般表示方法：图象法、表格法、关系式法。（设计意图：引入函数的概念）（教学建议：教师引导学生通过三个情景的具体实例抽象出函数概念，同时也让学生知道函数的三种表示方法。培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识）探究点2自变量的取值范围上述的三个情景中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？情景一：下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.自变量t的取值范围:t≥0.情景二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？自变量n的取值范围：n取正整数.情景三:一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.自变量t的取值范围：t≥-273.（设计意图：通过三个情景中的实际应用，引导学生认识自变量的取值范围.）（教学建议：立足生活情境，强化“现实合理性”认知．在每一个情景中，引导学生关注具体限制条件的来源，在教学中始终渗透研究函数先考虑自变量取值范围的理念，让学生认识到脱离实际情境的函数表达式是不完整的，取值范围是函数概念的重要组成部分，为函数后续学习奠定严谨的思维基础。）探究点3函数的值思考上述问题中，自变量能取哪些值?在摩天轮问题中：（2）在圆柱形物体的堆放问题中:（3）在气体与压强的问题中：当t＝－43时，T＝－43＋273.15＝230.15（K）。在上述三个问题中，你有什么发现？函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。即：如果y是x的函数，当x＝a时，y＝b，那么b叫做当x＝a时的函数值。注意：函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值。典例分析例1下列关系式中哪些是y关于x的函数，哪些不是?(1)y=x；(2)y=x2+2；(3)y2=x；(4)y=±x解析：对于(1)、(2)、（3）x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则y是x的函数；（4）中当x=1时，y=±1对于x的每一个确定的值，y不唯一，则y不是x的函数。例2汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶里程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。(1)写出表示y与x的函数关系的式子。(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？解：（1）函数关系式为：y=50－0.1x（2）由x≥0及50－0.1x≥0得0≤x≤500，∴自变量的取值范围是:0≤x≤500.(3)当x＝200时，函数y的值为:y＝50－0.1×200＝30。因此，当汽车行驶200km时，油箱中还有油30L（设计意图：通过不同类型例题，让学生运用函数概念进地判断和计算，加深对函数概念的理解和应用能力.）（教学建议：教学过程中紧扣概念核心，强化“函数定义”的精准理解；例1中引导出两个变量间存在确定的依赖关系，x每取一值，y唯一确定，帮助学生从具体实例中提炼函数概念的本质属性，避免死记硬背定义；例2中强化计算类问题的规范训练，通过生活实例与例题的联动，理解判断函数关系和计算函数值是解决实际问题的基础工具。）1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（D）ABCD2．下列四个选项中，说法不正确的是（

C

）A．在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量.B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么β是α的函数.C．在圆的周长公式中，2是常量，∏，r，C均为变量.D．一种金属，其质量是体积的函数.3.函数𝐲=√𝐱/(𝐱−𝟏)的自变量𝐱的取值范围是x≥0且x≠1.4.已知y＝𝑥^2＋2x－1，当x＝1时，函数值y＝2.5.地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型．测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系：(1)在上述变化过程中，自变量是岩层的深度h，因变量是岩层的温度t，表格中m的值为160；(2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式；t=55+35(h-1)=35h+20(3)当岩层的温度为335时求岩层的深度．当t=335时，35h+20=335,解得h=9即岩层的深度为9km.设计意图：基础巩固本节课所学内容，培养学生运用知识解决实际问题的能力和创新思维。设计意图：帮助学生梳理知识，构建知识体系，加深对本节课内容的理解和记忆，同时了解学生学习情况，以便后续教学调整.1.必做题：