4.2、正比例和反比例（重难点讲解+知识总结+同步练习+答案解析）（解析版）-2024-2025学年六年级数学下册（人教版）

2/2【新课同步学与练】2024-2025学年人教版六年级数学下册第四单元、比例4.2、正比例和反比例（重难点讲解+知识点总结+同步练习+答案解析）一、正比例1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。2、如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为xy3、正比例的图象如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。二、反比例1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。2、如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。3、反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。知识点1：正比例【典型例题1】下列各题中的两种量，成正比例的是（

）。A．小东的身高和体重B．圆的半径和面积C．圆的半径和周长【答案】C【分析】两个相关联的量，如果它们的比值一定，则成正比例关系。据此判断即可。【详解】A．小东的身高和体重没有必然联系，所以不成比例；B．根据圆的面积公式：S＝πr2，所以S÷r2＝π，圆的半径和面积的比值不确定；C．根据圆的周长公式：C＝2πr，所以C÷r＝2π（定值），所以圆的半径和周长成正比例。故答案为：C【典型例题2】如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成（）比例。照这样计算，该汽车6.6时行驶（）km。【答案】正660【分析】从图像上看，成正比例关系的图像是一条经过原点的直线；根据速度×时间＝速度，计算即可。【详解】6.6×100＝660（千米）这辆汽车行驶的时间与路程成正比例。照这样计算，该汽车6.6时行驶660km。【变式训练1】下面图（

）表示的是成正比例关系的图像。A．B．C．【答案】B【分析】首先要知道成正比例关系的图象特点是一条递增的直线，再者相关联的两个量应是比值或商一定，而不是和或差一定。【详解】A．如图虽然是直线，但是它是两个量的和一定，即：售出个数＋剩下个数＝总个数（一定），不是比值或商一定，所以不正确；B．工作总量÷工作人员＝每人的工作量（一定），是成正比例关系的图像；C．成正比例关系的图象特点是一条递增的直线，所以不正确。故答案为：B【变式训练2】小明2小时步行8km，他步行的速度是每小时（）km；如果小明步行的速度一定，他行走的路程和时间成（）比例。【答案】4正【分析】根据“路程÷时间＝速度”解答即可；根据题意可知，＝速度（一定），比值一定，成正比例关系，据此解答即可。【详解】8÷2＝4（千米）；如果小明步行的速度一定，他行走的路程和时间成正比例。【变式训练3】已知和（均不为零）能满足，那么和能满足（）比例，（）∶（）。【答案】正45【分析】已知x和y（均不为零）能满足x＝y，由比例的基本性质，可将乘积式转化为比例式，x∶y＝∶，经过化简得到x∶y＝4∶5，即x和y成正比例。【详解】结合比例的基本性质以及题目里具体数值可得：x∶y＝∶x∶y＝（20×）∶（20×）x∶y＝4∶5知识点2：反比例【典型例题1】下列式子中，x和y成反比例关系的是（

）。A．xy＝4 B．x＋y＝7 C．＝【答案】A【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。【详解】A．xy＝4，是乘积一定，所以x和y成反比例；B．x＋y＝7，是和一定，所以x和y不成比例；C．＝，＝，即∶＝6÷4＝1.5，是比值一定，所以和成正比例。故答案为：A。【典型例题2】给一间房子铺地砖，选用3分米×3分米的方砖，需要960块；若选用4分米×4分米的方砖，需多少块？（用比例解）【答案】540块【分析】根据题意可知，一块方砖的面积×方砖的块数＝房子底面的总面积，已知房子底面的总面积一定，则方砖的面积和方砖的块数成反比例，设选用4分米×4分米的方砖需x块，列方程为：4×4×x＝3×3×960，然后解出方程即可。【详解】解：选用4分米×4分米的方砖需x块。4×4×x＝3×3×96016x＝8640x＝8640÷16x＝540答：选用4分米×4分米的方砖需540块。【变式训练1】下列各数量关系中，成反比例关系的是（）。A．圆的面积一定，它的半径和圆周率。B．《小学生作文》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。C．运送一批货物，每天运的吨数和需要的天数。D．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数。【答案】C【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。据此逐一分析各项即可。【详解】A.因为圆周率是一个定值，根据圆的面积公式：S=nr²可知：圆的面积一定，它的半径平方也是定值，所以圆的面积一定，它的半径与圆周率不成比例；B.因为总价+数量=单价（一定），则订阅的费用与订阅的数量成正比例关系；C.因为每天运的吨数×需要的天数=这批货物的重量（一定），则每天运的吨数和需要的天数成反比例关系；D.因为出勤人数+缺勤人数=全班的人数（一定），则出勤人数和缺勤人数不成比例关系。故答案为：C【变式训练2】x和y两个量成反比例。当时，；当时，则（）；当时，则（）。【答案】9.640【分析】两个相关联的量，若它们成反比例关系，则这两个相关联的量的乘积一定，据此解答即可。【详解】当时100×4.8÷50＝480÷50＝9.6100×4.8÷12＝480÷12＝40则当时，则9.6；当时，则40。一、选择题1．下列说法不正确的是（

）A．订阅《小学生学习报》的份数与总价钱成正比例关系B．一个人的年龄和身高不成比例关系C．长方形的周长一定，长和宽成反比例关系【答案】C【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】A．《小学生学习报》的单价是一定的，根据总价÷数量＝单价，比值一定，份数与总价钱成正比例关系。原题说法正确。B．一个人的年龄和身高不是相关联的量，两种量不成比例关系。原题说法正确。C．长方形的周长÷2＝长＋宽，和一定，两种量不成比例。原题说法错误。故答案为：C2．如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用（

）的式子表示。A．xy＝k B．x＋y＝k C．＝k【答案】A【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】A．xy＝k，x和y的乘积一定，则x和y成反比例；B．x＋y＝k，x和y的和一定，则x和y不成比例；C．＝k，x和y的比值一定，则x和y成正比例。故答案为：A3．汽车在行驶过程中，速度一定，行驶的路程与时间所形成的比例关系是（

）。A．正比例关系 B．反比例关系 C．不成比例【答案】A【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值（商）不一定，就不成比例，据此解答。【详解】由“路程＝速度×时间”可知，路程÷时间＝速度（一定），所以汽车在行驶过程中，速度一定，行驶的路程与时间成正比例关系。故答案为：A4．圆的面积与（

）成正比例关系。A．半径 B．圆周率 C．半径的平方【答案】C【分析】根据成正比例的两个量的比值一定，结合圆的面积公式：S＝r2计算即可。【详解】圆的面积×半径的平方＝π（一定），圆的面积与半径的平方成正比例关系。故答案为：C二、填空题5．判断下面每题中的两种量是否成比例？成什么比例？填一填。（1）三角形的底一定，三角形的面积和高。（）（2）运一堆沙，已经运的吨数和未运的吨数。（）（3）圆的半径和周长。（）（4）圆锥的体积一定，它的底面积和高。（）【答案】（1）正比例（2）不成比例（3）正比例（4）反比例【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】（1）根据三角形的面积公式，可得三角形的面积÷高＝底÷2，底一定，则三角形的面积和高的比值一定，它们成正比例。（2）因为已经运的吨数＋未运的吨数＝沙的总吨数，和一定，已经运的吨数和未运的吨数不成比例。（3）根据圆周长公式，可得2π＝C÷r，2π一定，则圆周长和半径的比值一定，它们成正比例。（4）根据圆锥的体积公式，可得3V＝Sh，体积一定，则底面积和高的乘积一定，它们成反比例。6．一本故事书的单价是a元，买8本一共用了b元，a和b成（）比例。【答案】正【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。【详解】由“数量＝总价÷单价”可知，b÷a＝8（一定），则a和b成正比例。7．先判断x和y成什么比例，再填表。x和y成（）比例x129（）1830y8（）1.512（）【答案】正2.25620【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例。然后根据正反比例的关系进行计算即可。【详解】因为12∶8＝1.5，18∶12＝1.5，则x和y的比值一定，所以x和y成正比例；9÷1.5＝6，1.5×1.5＝2.25，30÷1.5＝20表格如下：x和y成正比例8．下图中，如果A与B成正比例，则＝（）；如果A与B成反比例，则＝（）。【答案】416【分析】如果A与B成正比例，则A与B的比值一定，据此写出比例式：10∶8＝5∶x，根据比例的基本性质，先写成10x＝8×5的形式，根据等式的性质2，两边同时÷10，即可求出x的值。如果A与B成反比例，则A与B的乘积一定，据此可以写出反比例算式：5x＝10×8，根据等式的性质2，两边同时÷5，即可求出x的值。【详解】如果A与B成正比例，则：10∶8＝5∶x解：10x＝8×510x＝4010x÷10＝40÷10x＝4如果A与B成反比例，则：5x＝10×8解：5x＝805x÷5＝80÷5x＝16如果A与B成正比例，则＝4；如果A与B成反比例，则＝16。9．已知5x＝4y，则x∶y＝（）∶（），x和y成（）比例。【答案】45正【分析】比例的基本性质：在比例中，比例的两个外项之积等于两个内项之积。两个量相除，商一定则这两个量成正比例。【详解】因为5x＝4y，所以x∶y＝4∶5，x和y成正比例。10．下图表示彩带的总价和购买长度之间的对应关系。彩带总价和长度成（）比例关系，购买8米彩带需（）元，48元可以购买（）米彩带。【答案】正25.615【分析】从图像上看，成正比例关系的图像就是一条经过原点的直线；观察可知，单价是3.2元，用单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量。【详解】3.2×8＝25.6（元）48÷3.2＝15（米）彩带总价和长度成正比例关系，购买8米彩带需25.6元，48元可以购买15米彩带。11．《新教育》书籍的单价一定，购买的总钱数和本数成（）比例。【答案】正【分析】正比例是指两种相关联的量这两种变量的比值一定，这两种变量的关系是正比列关系，总钱数＝单价×本数，据此可得出答案。【详解】书本单价一定，则，单价是总钱数和本数的比值，且单价一定，故总钱数和本数成正比例关系。12．填表格。已知和成正比例。1518（）1.4（）0.8（）（）93（）60（）16【答案】6120327.50.70.4【分析】根据和成正比例求出和的比值，再根据除法算式各部分之间的关系即可求得。【详解】∶＝9∶18＝9÷18＝当＝15时，15×＝7.5；当＝3时，3÷＝6；当＝1.4时，1.4×＝0.7；当＝60时，60÷＝120；当＝0.8时，0.8×＝0.4；当＝16时，16÷＝32。13．8x＝3y（x、y均不为0），则x∶y＝（），x与y成（）比例。【答案】3∶8正【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，x和8同为比例的外项，3和y同为比例的内项；判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定；如果是比值一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】分析可知，x∶y＝3∶8＝（一定），则x与y成正比例。14．汽车行驶的路程和时间是相关联的量，这两个量的比值表示的意义是（）；如果某辆汽车匀速行驶，那么汽车行驶的路程和时间成（）比例关系。【答案】速度正【分析】要求行驶的路程与时间的比是多少，可以根据路程、速度、时间的关系直接得出答案；然后依据比值一定，根据正、反比例的意义进行解答即可。【详解】路程÷时间＝速度，所以求出的比值所表示的是速度；如果某辆汽车匀速行驶则速度不变即路程和时间的比值一定，所以汽车行驶的路程和时间成正比例关系。15．如果y＝8x（x、y均不为0），那么x和y成（）比例，x∶y＝（）。【答案】正【分析】如果字母x、y表示的两种相关联的量，则它们的比值一定时，则x、y成正比例关系。其中两个相关联的量x、y可以写成分数形式，也可以写成比的形式。据此可得出答案。【详解】如果y＝8x（x、y均不为0），可化简为，即y与x的比值一定，成正比例。写成比的形式为：，则。三、判断题16．如果，那么与成反比例。（）【答案】×【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值（商）不一定，就不成比例，据此解答。【详解】如果，那么（一定），所以与成正比例。故答案为：×17．购买同一版本《新华字典》的数量和总价成反比例。（）【答案】×【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例。【详解】因为总价÷数量＝单价（一定），则《新华字典》的数量和总价的比值一定，所以购买同一版本《新华字典》的数量和总价成正比例。原题干说法错误。故答案为：×18．一个圆的半径和它的面积成正比例。（）【答案】×【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例，如果比值和乘积都不一定，则不成比例；据此判断。【详解】根据圆的面积＝πr2得：圆的面积÷r2＝π（一定），所以一个圆的半径的平方和它的面积成正比例，一个圆的半径和它的面积不成比例，因此原题干的说法是错误的。故答案为：×19．路程一定，已行的千米数和余下的千米数成反比例。（）【答案】×【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答即可。【详解】已行的千米数＋余下的千米数＝路程，所以已行的千米数和余下的千米数不成比例，本题说法错误。故答案为：×20．李老师从家到学校已经走了的路程和剩下的路程成反比例关系。（）【答案】×【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是