4.2认识一次函数（第1课时）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

4．2．1认识一次函数教学设计1.教学内容本节课是背师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章“一次函数”4.2.1认识一次函数，内容包括：认识一次函数变化的现象：均匀递增的现象和均匀递减的现象.2.内容解析函数是刻画变量间对应关系的核心工具，一次函数是函数家族中基础且典型的代表.本节课依托滴漏水龙头漏水量、驱蚊线香燃烧等生活实验，让学生直观感知“均匀变化”的变量关系，为后续抽象出一次函数概念、探究图象性质及应用筑牢根基，是从生活实际走向函数模型的关键衔接.​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：识别生活中的“均匀变化”现象.1.教学目标（1）.

经历滴漏水龙头、线香燃烧实验，精准识别变量“均匀变化”现象，能结合实验数据推导函数关系式，初步构建一次函数的直观认知.（2）.

通过实验探究、数据分析、合作交流，提升抽象概括、逻辑推理能力，深度体会数学建模思想.（3）.

感受数学与生活的紧密关联，增强用数学眼光观察、分析生活问题的意识，激发学习兴趣与探究热情.2.目标解析（1）.

对于“识别‘均匀变化’，推导关系式”：学生能在实验中清晰察觉漏水量随时间、线香长度随燃烧时间的“均匀变化”（如漏水量每分钟增5.5mL、线香长度每分钟减0.5cm），并依据数据，通过设表达式、代入求解，得出V=5.5t、l=-0.5t+22.9等关系式，理解“均匀变化”对应函数关系式的线性特征，为认知一次函数打基础.（2）.

关于“提升能力，体会思想”：学生全程参与实验，从操作中收集数据，分析时归纳“均匀变化”规律，推导时将实际问题转化为函数模型，完整经历数学建模流程，切实掌握建模方法，锻炼抽象、推理能力，深刻领会建模思想的价值.（3）.

就“感受关联，激发兴趣”：学生借助生活实验探究，直观看到数学规律在生活中的体现，明白数学能解决实际问题，从而主动关注生活里的数学现象，积极探索数学应用，提升学习内驱力.学生此前学过变量、常量及变量间关系的三种表示（表格、图象、关系式），具备初步数据分析和简单代数运算能力.但面对真实生活实验（如控制水龙头滴漏、准确测量线香长度），操作规范性、数据精准性把控不足；从复杂实验数据中抽象数学规律（如“均匀变化”）、建立函数模型，仍需系统引导，知识应用的深度和广度有待拓展.但学生学习时可以会出现一些困难：1.实验操作困境：调节水龙头实现稳定滴漏难度大，量杯读数易有误差，线香燃烧长度测量不精准，导致数据偏差，干扰“均匀变化”规律的发现.2.

规律抽象障碍：从“漏水量每分钟增5.5mL”“线香长度每分钟减0.5cm”的具体现象，抽象出“y随x均匀变化的一般规律，学生难以突破“具体—抽象”的思维跨度.实验应对：教师课前调试实验器材（确保水龙头可稳定滴漏），课堂上详细示范操作（如量杯平视读数、线香长度测量方法）；分组时，强弱搭配，互助协作，若数据偏差大，参考教材示例数据或重新实验，保障规律探究的科学性.抽象突破：通过“问题串”引导，如“漏水量从第1分钟到第2分钟增了多少？第2到第3分钟呢？变化量一样吗？”“线香长度减少量有何规律？”，让学生聚焦“均匀变化”本质；对比“均匀变化”与“非均匀变化”（如手机电量随机消耗），强化认知.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：抽象“均匀变化”的数学本质.2.情景引入2020年，我国人均生活用水量：1.城镇（含公共用水）207L/d；2.农村100L/d.一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗?先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流.(设计意图：以熟悉的生活场景为切入点，激活学生生活经验，激发探究欲，让学生明确本节课要从生活现象中找数学规律.)探究点1认识一次函数的现象(一)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯.每隔1min,记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表.请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少?(2)下表是小明通过实验得到的数据.做一做：请根据小明的得到的数据，在坐标纸上描出（t,V）对应的点.算一算：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗?解：一天漏水量：一天有24×60=1440分钟.由数据可知每分钟漏水量为5.5mL，则一天漏水量为5.5×1440=7920mL=7.92L.一年漏水量：一年按365天算，一年漏水量为7.92×365＝2890.8L.即不够一个人一年使用.(3)分析小明的数据，你能写出漏水量V与时间t之间的关系吗？解：根据小明得到的数据，在平面直角坐标系中描出(v,t)对应的点；故据图和数据得出结论：V=5.5t思考·交流分享各组的实验结果，并交流下列问题：（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？共同之处：体现了随着时间的增加，漏水量也呈现增加的趋势.不同之处：由于实验条件、操作手法等差异，导致测量出的具体数据有差别.（2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？因素：有仪器精度、环境条件、操作规范性等.影响：表格中相同时间漏水量数值不同；图象倾斜程度和与坐标轴交点有别；表达式一次项系数和常数项可能会改变.(3)假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化?为什么?表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大.图象：更陡,斜率增大.表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）.（设计意图：让学生亲历“操作—分析—建模—应用”全流程，在真实实验中感知“均匀变化”，学会从数据中找规律、建模型，掌握一次函数建模的基本方法，体会数学的实用性.）（教学建议：实验前，教师现场示范“调节水龙头滴漏速度（用手轻捏水龙头，控制滴水频率）”“量杯读数（视线与液面凹底平齐）”，确保操作规范；分组时，指定“操作手”“记录员”等角色，分工明确.）探究点2认识一次函数的现象(二)为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：(1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t,l)对应的点.(2)估计燃烧10min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由.燃烧10min后这根香可燃烧部分的长度为:22.4－0.5×(10－1)＝17.9(cm).22.90.5=(3)22.9香初始长22.9cm，燃尽需45.8min.(4)试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的关系式.l与t的关系式为l=22.9-0.5t思考：在小颖的实验中，燃烧时间每增加1min,香可燃烧部分的长度就减少0.5cm.也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少.为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢?解析：因为香的原材料分布均匀，结构较为一致，在燃烧过程中，其与氧气接触的条件相对稳定，外界环境因素在实验设定范围内相对固定时，就会出现这种随着时间等量变化的情况.所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的.生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例.如：烧水升温，恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升.汽车匀速行驶中汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加.（设计意图：延续“均匀变化”探究，对比漏水量的“增加型均匀变化”与线香长度的“减少型均匀变化”，完善学生对“均匀变化”的认知；深化对函数关系式中系数意义的理解，为一次函数概念的全面构建积累素材.）（教学建议：实验时，提醒学生“线香燃烧远离易燃物，测量长度时，直尺紧贴线香未燃烧端”，保障安全与数据准确；若线香燃烧速度不均，及时更换或参考教材数据.）典例分析例“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象.下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度h与温度t测量得到的表格.请回答下列问题：上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?t与h之间的关系式是.(3)你能估计温度为－19℃时，距离地面的高度是多少吗?解：（1）上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量.（2）根据表格数据知当高度每上升1km时，温度下降6℃，∴t＝－6h＋20；（3）将t＝－19代入t＝－6h＋20，可得：－6h＋20＝－19，解得h＝6.5，答：温度为－19℃时，距离地面的高度是6.5km.（设计意图：巩固变量关系概念,强化一次函数模型构建,培养数学应用与计算能力,渗透跨学科知识融合.）（教学建议：引导自主观察与思考：在呈现题目后，先让学生自主观察表格数据，思考并尝试回答问题（1），然后请学生分享自己的判断依据，教师给予肯定或引导修正，强化学生对变量、自变量和因变量概念的理解,组织小组合作探究,强调数学方法与步骤：在解决问题（3）时，教师要强调根据函数关系式求解未知量的方法和步骤.先引导学生明确已知条件和所求问题，然后将温度值代入关系式得到方程，详细讲解解方程的过程，包括每一步的依据和目的，培养学生严谨的数学思维和规范的解题习惯.）1．如图，是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子．随着放入骰子数量的增加,水杯中的水面会升高，这样的升高不是（填“是”或“不是”）“均匀”变化的．2．变量x，y的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当x=-5时，y的值是(A)A.-29 B.-7 C.41 D.753.水龙头关闭不严会造成滴水，从而造成资源浪费.为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明进行以下试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，并填写了下表.(1)建立平面直角坐标系，以横轴表示时间x，纵轴表示水量y，画出函数图象；(2)试写出漏水量y与漏水时间x的关系式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量.解：(1)利用描点法画出函数图象,如图所示.(2)由题意，得关系式y＝6x,一天:24×60min＝1440min，即x＝1440min，则y＝6×1440＝8640mL＝8.64(L),故这种漏水状态下一天的漏水量为8.64L.设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助