4.2认识一次函数（第2课时一次函数与正比例函数）（导学案）（解析版）

4.2认识一次函数第2课时一次函数与正比例函数1．理解一次函数和正比例函数的概念，能识别并写出一次函数和正比例函数的解析式.2．能根据所给条件，确定简单实际问题中一次函数（特别是正比例函数）的表达式.3．经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，体会数学建模和分类讨论的思想.掌握一次函数和正比例函数的概念；根据所给条件写出简单的一次函数关系式.一次函数与正比例函数的区别与联系；从实际问题中抽象出函数模型.第一环节自主学习温故知新：1.函数的概念是什么？一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.2.函数的表示方法有哪些？图象法、列表法、关系式法.新知自研：自研课本P81-P82页的内容，思考：【学法指导】情景引入在弹簧限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物品的质量x(单位：kg)的关系如下表所示:x/kg012345y/cm3.03.54.04.55.05.5随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是均匀的吗？随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是均匀.（2）你能写出y与x之间的关系吗？并说明理由.【分析】因为所挂物品每增加1kg,弹簧长度都增长0.5cm.又因为弹簧长度y=初始长度+单位质量增长的长度.所以y=0.5x+3，y是x的函数.●探究一：认识一次函数的现象(一)◆1.某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.(1)完成下表：汽车行使路程x/km050100150200300耗油量y/L048121624(2)你能写出y与x的关系吗?【解答】：每行驶1km耗油450L，所以y与x的关系式为：y=450（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？【解答】：油箱剩余油量z(L)等于原有油量-行驶xkm耗油量y.所以z与x之间的关系式为：z=40－450x◆2.思考：在上面的情境中，我们得到：y=0.5x+3，y=450x，z=40－450共同特征：（1）都是含有两个变量的等式；（2）变量的次数都是一次；（3）自变量x的系数都不为0；◆3.总结归纳:▲1．一次函数的概念（知识归纳）：如果两个变量x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.即正比例函数可以表示为y=kx(k≠0）.【注意】：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是“均匀”的.▲2.确定一次函数关系式的步骤（知识归纳）：(1)确定变量，明确自变量x与因变量y；(2)寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系;(3)将等式变形，写成一次函数的一般形式.【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：典例分析例1：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;【解析】由路程=速度×时间，则y=60x,则y是x的一次函数,也是x的正比例函数.（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.【解析】由圆的面积公式，得y=πx²则y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3.【解析】这个水池每时增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=5x+15,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.例2:在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h.（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位km/h）与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义：【解析】刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1s其速度减少35km/h,于是经过ts汽车的速度减少35tkm/h,所以y与t的关系式是y=-35t+120,其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度.（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间.【解析】汽车停止时速度y=0,列方程得：0=-35t+120,解得：t=247≈3.43s因此，该汽车从刹车到停止所需时间大约为3.43s.第二环节合作探究小组群学A.探讨一次函数与正比例函数的特征，总结一次函数和正比例函数的定义；B.交流例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.下列函数中，y是x的一次函数的是（B）①y=x﹣6②y=2x③y=8x④y=7﹣A.①②③B.①④C.①③④D.②③④2.在函数y=(m﹣2)x+(m2-4)中，当m≠2时，y是x的一次函数；当m=﹣2时，y时x的正比例函数.3.某种大米单价是3.8元/kg,当购买xkg大米时，需要花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？【解答】解：由总价=单价×数量，得出y=2.2x；那么y是x的一次函数，y也是x的正比例函数.4.如图，甲、乙两地相距500km，一列”复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶.设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离.写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；【解答】：解：根据题意得y=350x+500，则y是x的一次函数．(2)当x=0.5时，求y的值.当x=0.5时，y=350×0.5+500=675（km/h).题型一：一次函数的概念1．下列函数中，是一次函数的是（）A．|y|=1x B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（【分析】利用一次函数的定义“一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数”，逐一分析四个选项的函数，即可得出结论．【解答】解：A．|y|=1x，不是一次函数，选项B．y＝2，不是一次函数，选项B不符合题意；C．y＝x+x2，不是一次函数，选项C不符合题意；D．y＝3（x﹣2），是一次函数，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．2．下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（）A．y＝2x2+4 B．y=1x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝【分析】根据一次函数的定义及表达式逐一判定即可求解．【解答】解：A选项，y＝2x2+4是y关于x的二次函数，不符合题意；B选项，y=1x+2，yC选项，y＝﹣2x+1是y关于x的一次函数，符合题意；D选项，y＝kx+b中k的值不确定，不能判定，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义及表达式是解题的关键．3．下列函数中是一次函数关系的是（）A．y=−2x B．y＝x2C．y＝（x﹣1）（x+2） D．y＝2x﹣1【分析】根据一次函数的定义对每个选项进行分析即可．【解答】解：A．函数y=−2B．函数y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数，不符合题意；C．函数y＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，不是一次函数，不符合题意；D．函数y＝2x﹣1是一次函数，符合题意，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的概念，熟记“形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.4．下列函数不是一次函数的是（）A．y=6x B．y=x2 C．y＝﹣8x D．【分析】根据一次函数的一般形式：y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），逐一判断即可解答．【解答】解：A、y=6x，是反比例函数，故B、y=x2，是正比例函数，也是一次函数，故C、y＝﹣8x，是正比例函数，也是一次函数，故C不符合题意；D、y＝﹣0.5x﹣1，是一次函数，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．5．下列函数中，y是x的一次函数的有（）①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【解答】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④y=18故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．题型二：利用一次函数的定义求字母的值6．若函数y＝（k+2）x+5是一次函数，则k应满足的条件为（）A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k≠﹣2 D．k＝﹣2【分析】根据一次函数定义可得k+2≠0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：k+2≠0，解得：k≠﹣2，故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．7．A．±2 B．2 C．﹣2 D．1【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k≠0），进行列式计算，即可作答．【解答】解：∵y关于x的函数y=(m−2)x∴m﹣2≠0，m2﹣3＝1，∴m≠2，m＝±2，即m＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．8．已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是．【分析】根据一次函数的定义知自变量的次数为1且其系数不为0，据此求解可得．【解答】解：y＝（m+1）x2﹣|m|+4是关于x的一次函数，∴m+1≠02−|m|=1解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0）（k、b是常数）的函数，叫做一次函数．9．已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为【分析】根据一次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的值即可．【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）xk2−3+∴k−2≠0k∴k＝﹣2．故答案为：k＝﹣2．【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．10．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得3−|m|=1m−2≠0解得m＝﹣2．故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；（2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x=1故当x=12时，【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．题型三：正比例函数的概念11．在下列函数中是正比例函数的是（）A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝3x2+2【分析】利用正比例函数的定义对各选项进行判断．【解答】解：A．y＝3x﹣4为一次函数，但不是正比例函数，所以A选项不符合题意；B．y＝﹣2x+1为一次函数，但不是正比例函数，所以B选项不符合题意；C．y＝3x是正比例函数，所以C选项符合题意；D．y＝3x2+2为二次函数，所以D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．12．下列问题中，两个变量成正比例的是（）A．圆的面积和它的半径 B．长方形的面积一定时，它的长和宽 C．正方形的周长与边长 D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高【分析】根据正比例函数的定义解决此题．【解答】解：A．设圆的半径为r，面积为S，则S＝πr2，那么S与r不是正比例关系，故A不符合题意．B．设长方形的面积为a，长为x，宽为y，则a＝xy，那么x与y成反比例函数关系，故B不符合题意．C．设正方形的边长为x，周长为C，那么C＝4r，那么C与r成正比例关系，故C符合题意．D．设三角形的面积为S，它的一条边长与这条边上的高分别为x与y，则S=12xy，那么x与y故选：C．【点评】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．13．下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝4x﹣1 B．y＝5x2 C．y=20x D．y【分析】根据正比例函数的定义解答即可．【解答】解：A．y是x的一次函数，所以A选项不符合题意；B．y是x的二次函数，所以B选项不符合题意；C．y是x的反比例函数，所以C选项不符合题意；D．y是x的正比例函数，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握“一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数”是解题的关键．14．下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（）A．y＝﹣0.1x B．y=2x C．y＝2x2 D．y2【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx，其中k≠0，k为常数）解决此题．【解答】解：A．根据正比例函数的定义，y＝﹣0.1x是正比例函数，故A符合题意．B．根据正比例函数的定义，y=2x是反比例函数，不是正比例函数，故C．根据正比例函数的定义，y＝2x2是二次函数，不是正比例函数，故C不符合题意．D．根据正比例函数的定义，y2＝4x不是正比例函数，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．15．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）A．y=−x2 B．y=−2x C．y=−【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【解答】解；A、是正比例函数，故A不合题意；B、是反比例函数，故B不合题意；C、是一次函数，故C符合题意；D、是二次例函数，故D不合题意；故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．题型四：利用正比例函数的概念求字母的值16．（2024春•沧县期末）如果y＝x+2a﹣1是正比例函数，则a的值是（）A．12 B．0 C．−1【分析】根据正比例函数的定义可知2a﹣1＝0，从而可求得a的值．【解答】解：∵y＝x+2a﹣1是正比例函数，∴2a﹣1＝0．解得：a=1故选：A．【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，由正比例函数的定义得到2a﹣1＝0是解题的关键．17．若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（）A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4且b＝0 D．a≠4且b＝0【分析】根据正比例函数的定义，即可得出关于a的一元一次不等式及b＝0，解之即可得出结论．【解答】解：∵y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，∴a−4≠0b=0解得：a≠4且b＝0．故选：D．【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义是解题的关键．18．若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【分析】根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．【解答】解：∵函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，∴|m|=1m+1=0解得m＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查的是正比例函数的定义，根据题意得出关于m的方程组是解题的关键．19．已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（）A．2 B．1 C．0或2 D．0【分析】根据x的次数为1，系数不等于0，计算即可．【解答】解：根据题意得：|m−1|=1m−2≠0∴m＝0，故选：D．【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意x的系数不等于0这个条件．20．已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，解得：m≠2；（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．题型五：由实际问题确定一次函数的表达式21．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（）A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）【分析】根据油箱内汽油的总价＝（原有汽油+加的汽油）×单价．【解答】解：依题意有y＝（10+x）×7.6＝7.6x+76，10≤汽油总量≤30，则0≤x≤20．故选：B．【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意加的汽油的取值范围．22．如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10【分析】直接表示出长方形的长与宽进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y＝2（5﹣x）＝10﹣2x．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一次函数关系式，正确表示出长方形的长与宽是解题关键．23．一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是，自变量的取值范围是，且y是x的函数．【分析】正方形的边长相等，所以等量关系为：原长+x＝原宽+y．【解答】解：依题意有120+x＝100+y，则y＝x+20，x不能是负数，∴x≥0，符合一次函数的一般形式．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．一次函数的一般形式为y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）．24．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当x＝5