4.2认识一次函数（第2课时一次函数与正比例函数）（导学案）（原卷版）

4.2认识一次函数第2课时一次函数与正比例函数1．理解一次函数和正比例函数的概念，能识别并写出一次函数和正比例函数的解析式.2．能根据所给条件，确定简单实际问题中一次函数（特别是正比例函数）的表达式.3．经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，体会数学建模和分类讨论的思想.掌握一次函数和正比例函数的概念；根据所给条件写出简单的一次函数关系式.一次函数与正比例函数的区别与联系；从实际问题中抽象出函数模型.第一环节自主学习温故知新：1.函数的概念是什么？一般地，如果在一个变化过程中有x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有与它对应，那么我们称，其中x是自变量.2.函数的表示方法有哪些？新知自研：自研课本P81-P82页的内容，思考：【学法指导】情景引入在弹簧限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物品的质量x(单位：kg)的关系如下表所示:x/kg012345y/cm3.03.54.04.55.05.5随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是均匀的吗？（2）你能写出y与x之间的关系吗？并说明理由.【分析】因为所挂物品每增加1kg,弹簧长度都增长.又因为弹簧长度y=+单位质量增长的长度.所以y=，y是x的.●探究一：认识一次函数的现象(一)◆1.某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.(1)完成下表：汽车行使路程x/km050100150200300耗油量y/L(2)你能写出y与x的关系吗?【解答】：每行驶1km耗油，所以y与x的关系式为：.（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？【解答】：油箱剩余油量z(L)等于-.所以z与x之间的关系式为：.◆2.思考：在上面的情境中，我们得到：y=0.5x+3，y=450x，z=40－450共同特征：（1）都是含有变量的等式；（2）变量的次数都是；（3）自变量x的系数；◆3.总结归纳:▲1．一次函数的概念（知识归纳）：如果两个变量x、y之间的对应关系可以表示成(为常数，≠0）的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当时，称y是x的.即正比例函数可以表示为(≠0）.【注意】：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是“”的.▲2.确定一次函数关系式的步骤（知识归纳）：(1)确定变量，明确与因变量y；(2)寻找，可以直接将公式当做等量关系;(3)将等式变形，写成一次函数的一般形式.【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：典例分析例1：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;【解析】由路程=×时间，则,.（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.【解析】由圆的面积公式，得.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3.【解析】这个水池每时增加5m3水，xh增加水，例2:在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h.（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位km/h）与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义：【解析】刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1s其速度减少35km/h,于是经过ts汽车的速度减少km/h,所以y与t的关系式是,其中，k=表示，b=表示.（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间.【解析】汽车停止时速度y=,列方程得：,解得：.因此，该汽车从刹车到停止所需时间大约为.第二环节合作探究小组群学A.探讨一次函数与正比例函数的特征，总结一次函数和正比例函数的定义；B.交流例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.下列函数中，y是x的一次函数的是（）①y=x﹣6②y=2x③y=8x④y=7﹣A.①②③B.①④C.①③④D.②③④2.在函数y=(m﹣2)x+(m2-4)中，当时，y是x的一次函数；当m=时，y时x的正比例函数.3.某种大米单价是3.8元/kg,当购买xkg大米时，需要花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？【解答】4.如图，甲、乙两地相距500km，一列”复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶.设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离.写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；当x=0.5时，求y的值.题型一：一次函数的概念1．下列函数中，是一次函数的是（）A．|y|=1x B．y＝2 C．y＝x+x2 D．y＝3（2．下列是y关于x的函数，其中是一次函数的为（）A．y＝2x2+4 B．y=1x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝3．下列函数中是一次函数关系的是（）A．y=−2x B．y＝x2C．y＝（x﹣1）（x+2） D．y＝2x﹣14．下列函数不是一次函数的是（）A．y=6x B．y=x2 C．y＝﹣8x D．5．下列函数中，y是x的一次函数的有（）①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y=2x；④y=18x；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二：利用一次函数的定义求字母的值6．若函数y＝（k+2）x+5是一次函数，则k应满足的条件为（）A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k≠﹣2 D．k＝﹣27．A．±2 B．2 C．﹣2 D．18．已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是．9．已知函数y＝（k﹣2）xk2−3+b是关于x的一次函数，则k的值为10．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？题型三：正比例函数的概念11．在下列函数中是正比例函数的是（）A．y＝3x﹣4 B．y＝﹣2x+1 C．y＝3x D．y＝3x2+212．下列问题中，两个变量成正比例的是（）A．圆的面积和它的半径 B．长方形的面积一定时，它的长和宽 C．正方形的周长与边长 D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高13．下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝4x﹣1 B．y＝5x2 C．y=20x D．y14．下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（）A．y＝﹣0.1x B．y=2x C．y＝2x2 D．y215．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）A．y=−x2 B．y=−2x C．y=−题型四：利用正比例函数的概念求字母的值16．（2024春•沧县期末）如果y＝x+2a﹣1是正比例函数，则a的值是（）A．12 B．0 C．−117．若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（）A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4且b＝0 D．a≠4且b＝018．若函数y＝x|m|+（m+1）是正比例函数，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．019．已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（）A．2 B．1 C．0或2 D．020．已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？题型五：由实际问题确定一次函数的表达式21．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（）A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30）22．如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+1023．一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是，自变量的取值范围是，且y是x的函数．24．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y．（1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当x＝5时，求出函数值．25．一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为cm；②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？▲1．一次函数的概念（