4.2认识一次函数（第3课时一次函数在计费问题中的应用）（导学案）（解析版）

4.2认识一次函数第3课时一次函数在计费问题中的应用1.能根据实际计费问题准确列出一次函数关系式，确定自变量的取值范围；会利用一次函数关系式解决具体的计费问题，如计算费用、比较方案等.2.经历从实际问题中抽象出一次函数模型的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学建模思维和逻辑推理能力.3.体会数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用数学的意识，培养学生严谨认真的学习态度.根据实际计费情境确定一次函数关系式及自变量取值范围；利用一次函数关系式解决简单的计费问题.第一环节自主学习温故知新：1.什么是一次函数？如果两个变量x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.即正比例函数可以表示为y=kx(k≠0）.2.想一想：在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？新知自研：自研课本P83-P84页的内容，思考：【学法指导】●探究一：租车问题某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）.（1）假设该单位用车里程为30km，你建议租用哪家公司的客车？【分析】甲公司：总费用=单价×数量乙公司：总费用=里程费+服务费我们需要将甲、乙两家出租车的费用分别计算出来进行比较，进而做出决定.【解答】解：甲公司的费用：15×30＝450（元），乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）.∵450＜500，∴建议租用甲公司的客车。（2）假设该单位用车里程为52km，你建议租用哪家公司的客车？【解答】甲公司的费用：15×52＝780（元），乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）.∵780＞720，∴建议租用乙公司的客车。（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？你能否将两家公司费用分别表示出来呢？【解答】设用车里程为x千米是两家收费相同，甲公司收费为15x元，乙公司收费为（10x+200)元，据题意列方程得，15x＝10x＋200，解得：x＝40∴用车里程为40千米时，两家出租车公司的收费相同。◆思考1：生活中还有哪些也是相关的计费问题？除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。●探究二：水费问题为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：（1）当220<x≤300时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；【分析】（根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式）【解答】当220＜x≤300时，用水量属于第二档.水费y＝3.45×220＋4.83×(x－220)，即y＝4.83x－303.6.（2）某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费；【解答】当x＝250时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元).（3）某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量.（1000.5元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？）【解答】∵第一档水费最大值：3.45×220＝759,第二档水费最大值：4.83×300－303.6＝1145.4，759＜1000.5＜1145.4，∴该户用水量属于第二档.设该用户用水量为xm3，则列方程得：1000.5＝4.83x－303.6解得：x＝270因此，该户去年一年的用水量为270m3.（4）当x＞300时，你能写出水费y(单位：元)与用水量x之间的关系式？（当x＞300时，总水费y等于三个档水费之和）【分析】此时水费y由三部分组成，第一档220m³水费、第二档(300-220)m³水费以及超出300m³部分的水费.所以y=3.45×220+4.83×(300-220)+5.83×(x-300)整理得：y=5.83x-603.6◆思考2：像应用一和应用二中，这样的计费有什么意义，设计计费规则时要注意什么？意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等；注意：数据的准确性、灵活性与适应性等；▲▲讨论k、b对一次函数y=kx+b的影响以及在实际问题（如出租车计费、水费计费）中的意义？例如在出租车计费中，k代表每千米的费用变化对总费用的影响，b代表固定的服务费等.第二环节合作探究小组群学A.探讨出租车计费问题，学会分析数量关系，建立一次函数模型；B.交流水费收费问题，探讨怎么确定费用是在哪一档，理清例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10m3，则按每立方米1.5元收费；若每月用水量超过10m3，则超过部分按每立方米3元收费。如果某居民在某月缴纳了45元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（C）A.10m3B.15m3C.20m3D.25m32.从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过1千克收费12元，超过1千克的部分每千克收费5元，设快递物品的重量为𝑥千克(𝑥>1)，那么从大连发快递到北京的快递费y（元）与物品重量x（千克）的函数表达式为y=5x+7．解：由题意得：y=12+5（x﹣1）x=5x+7．3.某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元．(1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（x≥3解：当x=3时，y=10，当x>3时，y=10+2(x−3)=2x+4，综上

y=2x+4(x≥3)(2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程；∵22>10，∴2x+4=22，解得x=9；∴行驶的路程为9km4.某市居民生活用电阶梯收费标准如表：根据收费标准，解答下列问题：（1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费；解：∵150<170,∴150ⅹ0.525=78.75(元)所以这个月应缴的电费为78.75元.（2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费（0.575x﹣8.5）元（用含x的代数式表示）；解析：据题意，设用电量为x度，则这个月应缴电费：0.525×170+(x-170)ⅹ0.575=0.575x-8.5(元)（3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量．解：当用电量为260度，即x=260时，电费为：0.575x-8.5=0.575×260-8.5=141,157.5>141,即用电量超过260度.1．从A地向B地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若通话t分钟（t≥3），则需付电话费y（元）与t（分钟）之间的函数关系式是．【答案】y＝t﹣0.6（t≥3）．【分析】需付电话费＝3分内收费+3分以外的收费，把相关数值代入即可求解．【解答】解：3分钟内收费2.4元，3分以外的收费为（t﹣3）×1＝t﹣3，∴y＝2.4+t﹣3＝t﹣0.6（t≥3）．2．某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元。当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系式：_____________________.【分析】当x>25时,根据“应收门票费用=10×25+5x(购票人数﹣25)”解答即可.【解答】解：当x>25时，得y=10x25+5x(x-25)=5x+125.故答案为:y=5x+125(x>25).【点评】本题考查一次函数的应用,理解题意并写出函数关系式是解题的关键.3．某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人50元；超过20人的，超过的部分，每人40元．（1）写出门票收费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；（2）701班班主任带领45名学生去该风景区游览，购买门票共需要多少元？【分析】（1）根据题意，分两种情况：当0≤x≤20时或当x＞20时求解析式即可；（2）当x＝46时，x＞20，所以代入第二个解析式求得y的值即是所求．【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y＝50x；当x＞20时，y＝40x+200（其中x是整数），综上所述，y与x的关系式为y=50x(0≤x≤20)（2）老师和学生的总人数为：45+1＝46（人），当x＝46时，y＝40x+200＝40×46+200＝2040（元）．答：购买门票共需要2040元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，理解题意求出一次函数解析式是解题的关键．4．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算用户的电费，每月用电量不超过210

kW⋅h时，按0.55元/(kW⋅h)计费；每月用电量超过210

kW⋅h时，其中的210

kW⋅h仍按0.55元/(kW⋅h)计费，超过的部分按0.6元/(kW⋅h)计费，设用户每月用电量为x

kW⋅h，应交电费y元.（1）求当x>210时，y与x的函数关系式.（2）小林家12月份交纳电费145.5元，小林家这个月的用电量为多少？【解答】解：（1）当x>210时，y与x的函数关系式是y=0.55×210+(x−210)×0.6=0.6x−10.5，即当x>210时，y与x的函数关系式是y=0.6x−10.5.（2）当x=210时，应交电费210×0.55=115.5（元），因为115.5<145.5，所以小林家12月份用电量超过210

kW⋅h，解方程145.5=0.6x−10.5，得x=260，所以小林家12月份的用电量为260

kW⋅h.5．一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠．（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式．【分析】（1）依题意计算求解即可；（2）依题意可知y与x的函数关系式为分段函数，列出一次函数即可．【解答】解：（1）180×9＝1620（元），180×10+180×60%×（30﹣10）＝3960（元）答：若旅游团人数为9人，门票费用是1620元；若人数为30人，门票费用是3960元；（2）设旅游团人数为x人，该旅游团门票费用y元，则y=180x(x≤10)即函数关系式为：y=180x(x≤10)【点评】本题重点考查了一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．6．为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过7立方米，每立方米收取1元外加0.4元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.3元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）该市一户某月若用水x＝10立方米时，求应缴水费；（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出各段对应的函数解析式；（2）将x＝10代入（1）中的函数解析式，求出相应的函数值即可；（3）用26.6与（2）中的结果比较大小，即可判断x的取值范围，然后代入（1）中相应的函数解析式，求出x的值即可．【解答】解：（1）由题意可得，当0≤x≤7时，y＝（1+0.4）x＝1.4x，当x＞7时，y＝（1+0.4）×7+（x﹣7）×（1.5+1.3）＝2.8x﹣9.8，由上可得，y关于x的函数解析式为y=1.4x（2）当x＝10时，y＝2.8×10﹣9.8＝18.2，即该市一户某月若用水x＝10立方米时，应缴水费18.2元；（3）∵26.6＞18.2，∴该用户的用水量超过10立方米，令2.8x﹣9.8＝26.6，解得x＝13，答：该户这月用水量为13立方米．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．7.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20m3时，按2.5元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中20m3仍按2.5元/m3收费，超过部分按（1）分别写出0≤x≤20和x>20时，y与x的函数表达式．（2）小明家第二季度缴纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额40元45元56.4元小明家第二季度共用水多少立方米？【答案】（1）当0≤x≤20时y1=2.5x，当x＞20时【分析】（1）根据题意写出收费和用水量的函数关系式；（2）根据每月用水量20m³时收费50元，然后根据四、五月份收费小于50元和六月份大于50元分别代入y=2.5x和y=3.2x-14中求出x，再相加即可．【解答】（1）当0≤x≤20时，y1当x>20时，y22当x=20时，y∵40<50,45<50,56.4>50∴四、五月份的月用水量比20m3少，六月份的月用水量比令y1=40令y1=45令y2=56.416+18+22=56（立方米）∴第二季度共用水56立方米【点评】本题考查一次函数的应用，关键是根据题意题意写出y与x的函数关系式．8．本市城镇居民年度生活天然气收费标准如下表所示：阶段使用量（立方米）单价（元/立方米）第一阶段0−310（含）3.00第二阶段310−520（含）3.30第三阶段超过5204.20根据表格信息回答问题：(1)一同学家2021年度截止到4月已使用328立方米天然气，求至2021年4月，此同学家中使用燃气总共花费多少钱？(2)试写出缴纳燃气总费用y（元）关于燃气使用量x（立方米）(310<x≤520)的函数解析式．(3)如果该同学家2020年度天然气总缴费1665元，求该同学家2020年度天然气使用总量．【答案】(1)此同学家中使用燃气总共花费989.4元(2)y=3.3x−93(3)该同学家2020年度天然气使用总量为530立方米【分析】（1）根据表格中的收费标准直接列式计算即可；（2）根据第一阶段和第二阶段的收费标准列函数关系式即可；（3）首先求出天然气使用量是520立方米时的费用，可得该同学家2020年度天然气总使用量超过了520立方米，然后求出第三阶段天然气使用量再加上520即可得到答案．【解答】（1）解：由题意得：310×3+328−310答：此同学家中使用燃气总共花费989.4元；（2）解：由题意得：y=310×3+x−310（3）解：由（2）知，y=3.3x−93310<x≤520当x=520时，y=3.3x−93=1623，∵1665>1623，∴该同学家2020年度天然气总使用量超过了520立方米，1665−1623÷4.2+520=530答：该同学家2020年度天然气使用总量为530立方米．【点评】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解收费标准，列出函数关系式是解题的关键．9.某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类。甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按0.2元/min计。乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按0.3元/min计。（1）甲类收费标准每月应缴费用y_1（元）与通话时间x(min)之间的关系式为_______________；乙类收费标准每月应缴费用y_2（元）与通话时间x(min)之间的关系式为___________.（2）若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为300

min，则该手机用户应选择哪类收费标准比较划算？（3）当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？【答案】1(2)该手机用户应选择甲类收费标准比较划算；(3)当每月平均通话时间为190min时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等.【分析】(1)根据题意，可以写出甲类收费标准每月应缴费用y₁(元)与通话时间x(min)之间的关系式和乙类收费标准每月应缴费用y₂(元)与通话时间x(min)之间的关系式；(2)将x=300分别代入y₁和y₂中，求出相应的函数值，然后比较大小，即可解答本题；(3)根据(1)中的函数关系式，令y₁和y₂的函数值相等，即可得到每月通话多长时间，按甲、乙两类收费标准缴费，所缴话费相等.【解答】解：(1)甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按0.2元/min计：y1乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按0.3元/min，则y故答案为：y(2)当x=300时,y∵∴该手