2025-2026学年浙江省温州市高三（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年浙江省温州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（）A．112.5 B．115 C．142.5 D．1452．（5分）已知（2，m）是过A（0，2），B（1，0）两点的直线的一个方向向量，则实数m为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．43．（5分）已知f(x)=lnx+1x-1-aA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．14．（5分）已知x，y为实数，则“x与y都是无理数”是“x+y是无理数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），则f′（0）＝（）A．0 B．6 C．12 D．246．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且|PF1|A．24 B．12 C．33 7．（5分）若sinθ+sin2θ+sin3θ＝0且cosθ+cos2θ+cos3θ＝0，则cos2θ＝（）A．-32 B．-12 C．18．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1，AB＝2A1B1，且侧面ABB1A1与底面ABC的夹角的余弦值为13，则直线A1C与平面ABB1A1A．13 B．33 C．63 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1﹣12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：事件A：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）事件B：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）事件C：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的是（）A．P（AB）＝P（A）P（B） B．P(A|C)=1C．P(A|C)+P(A|CD．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）（多选）10．（6分）已知α，β，γ为三个不同的平面，l1，l2，l3为三条不同的直线，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，下列说法正确的是（）A．若l1∥l2，则l2∥l3 B．若l1⊥γ，则l2⊥l3 C．若l1∥γ，则l2∥l3 D．若l1⊥l2，则l2⊥l3（多选）11．（6分）已知函数f（x）图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则f（x）可以是（）A．f（x）＝tanx B．f（x）＝ex+1 C．f（x）＝x2+x D．f（x）＝lnx三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z1=cosπ6+i⋅sinπ6，z2=cosπ3+i⋅sinπ13．（5分）函数f(x)=|2x-1|-lnx的最小值为14．（5分）已知△ABC外接圆O的半径为1，∠A的角平分线交圆O于另一点D，AD=3，则∠CAD的取值范围是，AB→⋅AC四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。15．（13分）有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．（1）求张某猜对两道谜语的概率；（2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由．16．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，B＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（0，﹣1）是图象的一个最低点，M（1，3）是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知N也是图象的最低点，P是图象与x轴的交点，求cos∠MPN．17．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝4a2，S5＝40，数列{bn}满足b1（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）将数列{an}，{bn}的公共项从小到大排列组成新的数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn．18．（17分）已知平面直角坐标系xOy上一动点Q满足|QE|-|QF|=22（1）求点Q的轨迹曲线C的方程；（2）斜率为﹣1的直线与曲线C交于A，B两点，点P（2，1）．（i）求直线AP，BP的斜率之和；（ii）△PAB的外接圆圆心M是否在某定直线上？说明理由．19．（17分）已知四面体O﹣ABC，OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，N为BC的三等分点（靠近B），M为AN的中点，过点M的动平面α交射线OA，OB，OC于P，Q，R．（1）如图，当θ=π（i）求OM的长；（ii）空间中一动点T，定义d（T）＝TP2+TQ2+TR2．当四面体O﹣PQR的体积最小时，是否存在点T，使得d（T）＜d（M）？并说明理由；（2）当θ=π2时，记四面体OPQR内切球的半径为r，求

2025-2026学年浙江省温州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BACDDBBA二．多选题（共3小题）题号91011答案ABDACACD一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（）A．112.5 B．115 C．142.5 D．145【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于10×0.25＝2.5，则该组数据的第25百分位数为115．故选：B．2．（5分）已知（2，m）是过A（0，2），B（1，0）两点的直线的一个方向向量，则实数m为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】求出直线的斜率，由此即可求解．【解答】解：因为（2，m）是过A（0，2），B（1，0）两点的直线的一个方向向量，所以m2=2-00-1=-2故选：A．3．（5分）已知f(x)=lnx+1x-1-aA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝lnx+1x-1+lnx-1x+1-2ax2＝﹣2ax2【解答】解：根据题意，若f(x)=lnx+1则f（﹣x）+f（x）＝lnx+1x-1+lnx-1x+1-2ax2＝﹣2ax必有a＝0．故选：C．4．（5分）已知x，y为实数，则“x与y都是无理数”是“x+y是无理数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】通过取特殊的x，y值，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解．【解答】解：取x=2+2，y=2-2，显然有x与y都是无理数，但x+y所以“x与y都是无理数”推不出“x+y是无理数”，取x＝2，y=2，则x+y＝2+2，显然有x+y是无理数，但不满足x与所以“x+y是无理数”推不出“x与y都是无理数”，所以“x与y都是无理数”是“x+y是无理数”的既不充分也不必要条件．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），则f′（0）＝（）A．0 B．6 C．12 D．24【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：由f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），得f′（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+x[（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）]′，则f′（0）＝1×2×3×4＝24．故选：D．6．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且|PF1|A．24 B．12 C．33 【分析】根据条件，利用椭圆的定义及基本不等式得到4c2≤a2，即可求解．【解答】解：设|PF1|＝m＞0，则|PF2|＝2a﹣m＞0，又|F1F2|＝2c，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则4c2=m(2a-m)≤(m+2a-m2)2=a2，得到c2a所以e=c故选：B．7．（5分）若sinθ+sin2θ+sin3θ＝0且cosθ+cos2θ+cos3θ＝0，则cos2θ＝（）A．-32 B．-12 C．1【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出cosθ的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出cos2θ的值．【解答】解：因为sinθ+sin2θ+sin3θ＝sin（2θ﹣θ）+sin2θ+sin（2θ+θ）＝sin2θcosθ﹣cos2θsinθ+sin2θ+sin2θcosθ+cos2θsinθ＝sin2θ（2cosθ+1）＝0，cosθ+cos2θ+cos3θ＝cos（2θ﹣θ）+cos2θ+cos（2θ+θ）＝cos2θcosθ+sin2θsinθ+cos2θ+cos2θcosθ﹣sin2θsinθ＝cos2θ（2cosθ+1）＝0，所以sin22θ（2cosθ+1）2+cos22θ（2cosθ+1）2＝0，即（2cosθ+1）2（sin22θ+cos22θ）＝（2cosθ+1）2＝0，解得cosθ=-故cos2θ=2cos故选：B．8．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1，AB＝2A1B1，且侧面ABB1A1与底面ABC的夹角的余弦值为13，则直线A1C与平面ABB1A1A．13 B．33 C．63 【分析】取正△ABC中心O，记AA1，BB1，CC1交点为P，求解PO的长度，记A1C与面ABB1A的夹角为θ＝∠CA1H，利用等面积法求|CH|，由PA＝PB＝PC＝AC求解|CA1|，解三角形求结论．【解答】解：如图，取正△ABC中心O，AB的中点为M，记AA1，BB1，CC1交于点P，作CH⊥MP于H，则PO⊥面ABC，CO∩AB＝M，PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMO为侧面ABB1A1与底面ABC的夹角，可知cos∠设MO＝1，OC＝2，PM＝3，则PO=22，PC＝23作CH⊥MP于H，因为PM⊥AB，CM⊥AB，PM，CM⊂平面PCM，PM∩CM＝M，所以AB⊥平面PCM，又因为CH⊂平面PCM，故AB⊥CH，又AB∩PM＝M，AB，PM平面ABP，所以CH⊥面PAB，记A1C与面ABB1A1的夹角为θ＝∠CA1H，如图，可得12|CH|×3=S因为PA=PB=PC=AC=23，A1C1=12所以|CA1|＝3，所以sinθ=2所以cosθ=1-si故选：A．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1﹣12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：事件A：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）事件B：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）事件C：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的是（）A．P（AB）＝P（A）P（B） B．P(A|C)=1C．P(A|C)+P(A|CD．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）【分析】利用古典概型概率计算公式分别求出P（A），P（B），P（AB），判断A；利用条件概率判断B和C；利用古典概型概率计算公式分别求出P（A），P（B），P（C），P（ABC），判断D．【解答】解：由题可得总样本数为12（编号为1﹣12），事件A为“选中奇数编号目标”：{1，3，5，7，9，11}，共6个，则P（A）=1事件B为“选中编号小于7的目标”：{1，2，4，5，6}，共6个，则P（B）=1事件C为“选中1，2，4，8号目标”，：{1，2，4，8}，共4个，则P（C）=1事件AB为“奇数且编号小于7”，即{1，3，5}，共3个，P（AB）=1P（A）P（B）=1∴P（AB）＝P（A）P（B），故A正确；事件AC为“编号为1”，共1个，∴P（C）=1P（A|C）=P(AC)P(C)=事件AC为“编号3，5，7，9，11”，共5∴P（AC）=∴P（A|C）=P(A∴P（A|C）+P（A|C）+14+事件ABC“编号为1”，共1个，∴P（ABC）=1P（A）P（B）P（C）=1∴P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），故D正确．故选：ABD．（多选）10．（6分）已知α，β，γ为三个不同的平面，l1，l2，l3为三条不同的直线，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，下列说法正确的是（）A．若l1∥l2，则l2∥l3 B．若l1⊥γ，则l2⊥l3 C．若l1∥γ，则l2∥l3 D．若l1⊥l2，则l2⊥l3【分析】对于AC，利用线面平行的判定定理和性质即可证明，对于BD作图即可观察判断．【解答】解：如下图，因为l1∥l2，l1⊄γ，l2⊂γ，所以l1∥γ，故l2∥l3，故A、C正确；若l1⊥γ，则l2与l3可以成（0，π2]的任意角，故B若l1⊥l2，则l2与l3可以成（0，π2]的任意角，故D故选：AC．（多选）11．（6分）已知函数f（x）图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则f（x）可以是（）A．f（x）＝tanx B．f（x）＝ex+1 C．f（x）＝x2+x D．f（x）＝lnx【分析】根据等差数列、等比数列的性质结合函数的性质判断即可．【解答】解：设函数f（x）图象上的三个不同点为A（x﹣d，y1），B（x，y2），C（x+d，y3）（d≠0），因为纵坐标依次成等比数列，所以y2选项A：y1＝tan（x﹣d），y2＝tanx，y3＝tan（x+d），tan(x-当tand＝0，即d＝kπ（k∈Z且k≠0）时，tan（x﹣d）tan（x+d）＝tan2x，满足y22=选项B：y1y2y1又ex﹣d+ex+d≥2当且仅当ex﹣d＝ex+d，即d＝0时等号成立，因为d≠0，所以e2x+2ex+1≠e2x+ex﹣d+ex+d+1，所以y22≠选项C：y1y1＝[（x2+x+d2）﹣（2dx+d）][（x2+x+d2）+（2dx+d）]＝（x2+x+d2）2﹣（2dx+d）2，y22=(x2+x)2，令y22=y1y3'则（x2+x+d2）2即（x2+x+d2）2﹣（x2+x）2＝（2dx+d）2，整理得d2（2x2+2x+d2）＝d2（4x2+4x+1），又d≠0，所以2x2+2x+d2＝4x2+4x+1，即d2所以对任意实数x，均能取到d=2x2+2x+1≠0选项D：定义域为（0，+∞）．y1＝ln（x﹣d），y2＝lnx，y3＝ln（x+d），y1令g（t）＝ln（t+d）ln（t﹣d）﹣（lnt）2，只需证∃d＞0，t＞d，函数g（t）存在零点即可，取0＜当t＝1时，g（1）＝ln（1+d）ln（1﹣d）﹣（ln1）2＝ln（1+d）ln（1﹣d）＜0，当t→d+时，ln（t+d）→ln（2d）＜0，ln（t﹣d）→﹣∞，（lnt）2→（lnd）2，故ln（t+d）ln（t﹣d）→+∞，所以当t→d+时，g（t）＝ln（t+d）ln（t﹣d）﹣（lnt）2＞0，由零点存在定理可知，函数g（t）在区间（d，1）上存在零点，即存在不同的三点满足条件，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z1=cosπ6+i⋅sinπ6，z2=cosπ3【分析】化复数的三角形式为代数形式，再由复数的乘法运算求解．【解答】解：由z1得z1=3则z1•z2＝（32+12i）（故答案为：i．13．（5分）函数f(x)=|2x-1|-lnx的最小值为1【分析】考虑绝对值函数的分段处理，再分区间讨论，利用导数研究单调性即可求解．【解答】解：由题意函数f(x)=|2x令2x-1=0，解得当0＜x＜14求导得f'(x)=-1x-1x，显然f故f（x）在(0，14)上单调递减，此时f（x）＞f（1当x≥14时，2求导得f'(x)=1x-1x，令f'（x当14≤x＜1时，取x=12，则当x＞1时，取x＝4，则f'(4)=12-因此，x＝1是f（x）在[1可得f(1)=21即在区间(0，14)内f（x）＞ln在区间[14，+∞)内最小值为f（1）＝1此外，当x→0+时，f（x）→+∞；当x→+∞时，2x增长快于lnx，故f（x）→+因此，函数f（x）的最小值为1．故答案为：1．14．（5分）已知△ABC外接圆O的半径为1，∠A的角平分线交圆O于另一点D，AD=3，则∠CAD的取值范围是（0，π3），AB→⋅【分析】根据题意，利用正弦定理可得∠ACD=π3，∠ABD=2π3，根据三角形内角和即可确定∠CAD【解答】解：如图，不妨取C在优弧上，D在劣弧上，△ABC外接圆O的半径R＝1，所以ADsin∠ACD=AD解得sin∠所以∠ACD=因为AD为∠A的角平分线，所以∠CAD＝∠BAD，因为∠BAD=π所以∠BAD∈(0设∠CAD=则∠ADC=因为ABsin∠ADB所以AB=2sin∠AC=2sin∠AB→＝（3cos2α﹣sin2α）cos2α＝（4cos2α﹣1）（2cos2α﹣1）=8cos因为α∈(0，故当cos2α=38，即cosα=故答案为：(0，四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。15．（13分）有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．（1）求张某猜对两道谜语的概率；（2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由．【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率求法分析可得答案；（2）根据题意，分别计算两种不同顺序下的期望值，比较可得答案．【解答】解：（1）根据题意，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对B谜语的概率为0.5，则张某猜对两道谜语的概率P＝0.8×0.5＝0.4；（2）根据题意，若先猜A，设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，①X的可能取值为：0，10，30，P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝10）＝0.8×0.5＝0.4，P（X＝30）＝0.8×0.5＝0.4，故X的分布列为：X01030P0.20.40.4则E（X）＝10×0.4+30×0.4＝16；若先猜A，设选择先猜B谜语得到的奖金为Y元，Y的可能取值为：0，20，30，P（Y＝0）＝0.5，P（Y＝20）＝.05×（1﹣0.8）＝0.1，P（Y＝30）＝0.5×0.8＝0.4，则Y的分布列分别为：Y02030P0.50.10.4E（Y）＝0×0.5+20×0.1+30×0.4＝14，E（X）＞E（Y），故张某该选择先猜A．16．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，B＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（0，﹣1）是图象的一个最低点，M（1，3）是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知N也是图象的最低点，P是图象与x轴的交点，求cos∠MPN．【分析】（1）由图可得周期T，进而可得ω＝π，由最值可得A，B，将M（1，3）代入f（x）解析式可得φ，进而可得f（x）解析式；（2）令f（x）＝0，计算得到P(13，0)，由最低点（0，﹣1）和T＝2得N（2，﹣1），所以【解答】解：（1）由最低点（0，﹣1）和最高点M（1，3）可知T2=1，所以ω=因为A=3-(-1)所以f（x）＝2sin（πx+φ）+1，将M（1，3）代入上式得2sin（π+φ）+1＝3，即sinφ＝﹣1，又|φ|＜π，所以φ=-所以f（x）＝2sin（πx-π2）+1＝﹣2cos（πx）（2）令f（x）＝﹣2cos（πx）+1＝0，可得xP=1由最低点（0，﹣1）和T＝2得N（2，﹣1），PM→=(23，3)，故cos∠17．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝4a2，S5＝40，数列{bn}满足b1（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）将数列{an}，{bn}的公共项从小到大排列组成新的数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据已知条件可得关于a1，d的方程组，解出这两个量的值，即可得数列{an}的通项公式；当n≥2时，由b12+b222+⋯+bn-12n-1+bn2n=（2）分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简{bn}的表达式，可得出数列{cn}的通项公式，再利用分组求和法可求得Tn的表达式．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a7=4a2S5=40，得a1+6d=4(a所以an＝a1+（n﹣1）d＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，当n≥2时，由b1得b1①﹣②得bn所以bn当n＝1时，b12=22+1-2=3所以bn（2）因为4n＝（3+1）n=Cn0•3n+Cn1•3n﹣2n＝（3﹣1）n=Cn0•3n+Cn1•3n﹣1（﹣1）+⋯+Cnn-1当n为偶数时，bn=4n+2n=2Cn0⋅3n+2C当n为奇数时，bn此时bn被3整除，bn不为数列{an}中的项，所以c=16(1-118．（17分）已知平面直角坐标系xOy上一动点Q满足|QE|-|QF|=22（1）求点Q的轨迹曲线C的方程；（2）斜率为﹣1的直线与曲线C交于A，B两点，点P（2，1）．（i）求直线AP，BP的斜率之和；（ii）△PAB的外接圆圆心M是否在某定直线上？说明理由．【分析】（1）设Q（x，y），由题意列方程，化简即可求出答案；（2）①直线AB的方程为y＝﹣x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与双曲线方程联立得到x1+x2，x1x2，用斜率公式列出直线AP，BP的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直线AP，BP的中垂线，联立求出点M的坐标(32(m+1)【解答】解：（1）由题意知，|QE|-所以动点Q的轨迹为双曲线的右支，2a=22，2c=2即a=2，c=3，所以所以点Q的轨迹曲线C的方程为x2（2）①设直线AB的方程为y＝﹣x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线AP和BP的斜率