2025-2026学年下学期福建龙岩一中高一数学3月第一次周考试卷（含答案）

龙岩一中2028届高一下学期第一次周考数学试题(考试时间:80分钟总分:116分)一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四式不可以化简为PQ的是()A.AB+CQC+2.已知平面向量a=sinθ,1,b=cosA.-12B.-2C.23.已知非零向量a,b满足a=2b，且a-b⊥b，则A.π3B.π6C.54.在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,DE交AC于F,则DF=A.-13AB+235.已知三角形ABC满足BABA+BCBC⋅AC=0A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形6.在△ABC中，∠BAC=60∘,AB=3,AC=2.若BD=A.-311B.111C.7.设向量a,b满足a=b=a+bA.2B.12C.1D.38、已知等边△ABC的边长为4、P为△ABC边上的动点，且满足AP⋅AB≤12，则点A.7B3C.10D.11二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=2,-A.a-2b⊥bB.aC.a与b夹角的余弦值为6565D.a在b方向上的投影向量的坐标为10.已知P为△ABC内任意一点,若满足xPA+yPB+zPC=0x,y,z>0A.,若x=y=z=Γ,则点P为B.若x=1，y=2，z=3C.若PA⋅PB=PB⋅PC=PA:PC,D.若x=1,y=3,z=1且11.如图，在直角三角形ABC中，AB=BC=2,AO=OC，点P是以A.BO=1C.BP⋅BC的取值范围为0,1+2D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=1-2k,1,b=-3,k,若13.若三点A2,2，Ba,0，C014.已知非零平面向量a,b不共线，且满足a⋅b=a2=4，记c=34四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,(1)若c=32，且c//a(2)若b是单位向量，且a⊥a-2b，求a与b16.(本小题15分)在直角坐标系xOy中,已知点A-1,0,(I)求AC⋅BC(II)是否存在θ∈0,π2,使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ17.(本小题15分)如图,在△ABC中，D是BC的中点，O是AD的中点，过O点的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q(1)若AO≅xAB+yAC(2)求4m+(3)若△ABC是边长为1的等边三角形，求OP2温馨提示:以下两题(第18题和第19题)为选做题，不计入总分18.(本小题17分)已知向量ma=2sinx(I)求函数fx(II)若fα2-π24=3219.(本小题17分)定义非零向量OM=a,b的fx=asinx+bcosxx∈R,向量OM=a,b称为函数fx=asinx(1)设hx=3cosx+π6+3(2)记向量ON=1,3的相伴函数为fx，求当fx=85且x∈-π3,π6时，sinx的值；(3)已知点Ma,b满足:ba∈0龙岩一中2028届高一下学期第一次周考参考答案1.D2.A3.A4.D5.B6.C7.D8.B解:当点P在边AB上时,AP⋅AB=AP⋅AB=4AP≤12,当点P在边AC上时，AP⋅AB=AP⋅ABcosθ∘=2AP≤12，得当点P在边BC上时,AP⋅AB=AC+CP⋅AB=AC⋅AB+CP⋅AB =4×4×12+9.BC10.ABD11.ACD解:直角三角形ABC中,AB=BC=AC=2,因为AO=OC,故O为AC中点,故AO=OB=OC=1∠OBC=∠OCB-∠OAB-π4以O为坐标原点，BC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，故A-22,22,B-22,-22,C22,-22,设Pcosθ,sinθ,-π4≤θ≤3π4,故BC=2,0,BP=cosθ+22,sinθ+22,BP⋅BC=2cosθ+1,因为-π4≤θ≤3π4,所以12.-∞,-114.4.解:因为a⋅b=a2=4,设向量a,b夹角为α,则a=如图OC=c,则b,c的夹角为∠BOC所以tan∠BOC=tan∠AOB-∠AOC=m2-m15.解:(1)设c=x,y,由c=32,且所以x=-3y=3或x=3y=-3,故(2)因为b=1,a=2，且a即a2-2a⋅b=0，所以2-2因为夹角θ∈0,π,所以a与b的夹角16.解:(I)由题意得AC=所以AC⋅BC=因为θ∈0,π2所以当θ+π3=π3，即θ=0时，(II)因为AB=BC=又θ∈0,π2,所以sinθ若△ABC为钝角三角形，则角C是钝角，从而CA⋅CB<0由(I)得2cosθ+π3+所以θ+π3∈2π反之,当θ∈π3,π2时CA⋅CB<0,又A,B,C三点不共线,所以△ABC为钝角三角形,综上:17.解:(I)因为点D是BC中点,所以AD=因为点O是AD中点,所以AO=又AO=xAB+yAC,所以x(2)由(1)知AO=1又O,P,Q三点共线,所以所以4m当且仅当mn=n4m时取等号,可得m=3(3)OP=APOQ因为AB=AC=1,∠BAC所以OP2OQ则OP2+由(2)知14m+14n=1,即所以4mn≥2mn,解得mn≥14所以OP2因为14>532,所以当m=n=1最小值为1614-5322-164=118.解:(1)f由-π2所以函数fx的增区间是(2)f所以sin19.解:(1)因为h==所以,函数hx的相伴向量OM(2)向量ON=1,3的相伴函数令fx=sinx+3cos∴sinx∴sinx(3)OM