2026年高考数学二轮复习：考点巩固检测练（四）函数的极值与最值

［课下巩固检测练（四）］函数的极值与最值

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分）

一、单选题

1.已知函数y=/U）的导函数八x）的图象如图所示，那么对于函数y=/U）,下列说法正

确的是（）

A.在—1）上单调递增

B.在（1,+8）上单调递减

C.在x=l处取得最大值

D.在工=2处取得极大值

解析：选D.由导函数图象可知，当xV—l或x＞2时，八x）V（）,当一1VXV2时，

八x）20,所以於）在（一孙-1）,（2,+oo）上单调递减，在（一1,2）上单调递增，故

选项A,B错误；

在戈=2处取得极大值，且/（I）〈八2）,故C错误，D正确.

2.已知函数,"）=ex—ex,则府）（）

A.有最小值1,无最大值B.有最大值1,无最小值

C.有最小值0,无最大值D.有最大值0,无最小值

解析：选C.因为ex,所以八的二^—e.

当工0（一8,1）时，/（x）＜0,人幻单调递减，

当x£（L+8）时，八x）＞（）,/U）单调递增，

故力＞）的最小值为41）=（）,无最大值.

3.（2025•广东汕头一模）设。£R,若函数,火幻="一+2+l+2在（1,2）内存在极值

点，则。的取值范围是（）

A"1］B.（3,I）

C.（—co,3）D.g，+s）

解析：选B.依题意，［(x)=2x2—Qx+1在(1,2)内存在变号零点，即方程Zr2—QX+1

二0在(1,2)内有解，也就是Q=2X+L在(1,2)内有解.令g(x)=2x+L对g(x)求导得

XX

8。)=2—白>0在(1,2)内恒成立，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g⑴=3,g(2)=,

所以〃的取值范围是(3,

4.(2025・河北张家口二模)已知正三棱柱的表面积为6百，则当其体积取得最大值时，

该三棱柱的高为()

A.3B.2C.包D,2

334

解析：选B.设正三棱柱的底面边长为m高为h,

则其表面积S=2X在次+3#2=6百，得仁丝咨,又h>0,所以0<。<28，

42V3a

故正三棱柱的体积v=坦〃2〃=吆Q,

48

则vg-2,当0V〃V2时,V'(a)>0,V(a)单调递增,

28

当2VaV2百时，V(a)V0,V(a)单调递减,

所以当。=2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为壁.

3

5.(2025•陕西榆林二模)已知正实数mb满足〃-21nQ=21nh—4〃+4,则log/=

()

A.iB.—C.-ID.~-

222

解析：选C.由a—21na=21n/?—4h+4,得2+2/?—2=/a+lnb=ln(ab).

2

因为a,b均为正实数,所以B+2b22面(当且仅当］=2〃，即〃=4。时取等号)，

所以ln(ab)N2d五一2,即Inyfab^yfab—\.

令#x）=lnx~x+1,则

X

当0<xVl时，f（x）>0,/（万单调递增；

当x>l时，八x）V0,1工）单调递减，

故当X=1时,Xx）max=ln1-1+1=0,即兀0=1%—尢+1・0（当且仅当1=1时取等

号），

因此Iny/ab-Vab+］^0,即InVaF^Vab-1.

由In1和Inyfab^Vab—1可得Iny[ab=y[ab~1,

则有『二助解得a=2,i

b_1所以10gt//?=10g2-=-1.

二、多选题

6.(2025•浙江杭州二模)设函数次x)=(3-x)lnx,贝lj()

A./U)是偶函数

B.yu)与o

c./u)在区间(o,1)上单调递增

D.X=1为7U)的极小值点

解析：选BD.对于A,犬犬)的定义域为(0,+oo),故共此为非奇非偶函数，故A错

•口

沃；

对于B,由于«x)=(x3—%)的x=x(x+l)(x—Dinx,且x>(),故x+l>(),

当x>l时，lnx>(),此时大¥)>(),当OVxVl时，lnx<(),此时«x)>(),当x=l

时，./U)=o,因此<x)20,故B正确;

对于C,/a)=(3——l'lnx+x2—1,当日白，1)时，3^-1>0,lnx<0,x2-l<

0,此时F(x)V0,因此在(更，1)单调递减，故C错误.

3

对于D,/(工)=(3产-i)mx+%2—1,当x>l时，3x2—1>0,lnA：>0,x2—1>0,故

/(x)>0,当R£(/，1)时，3x2-l>0,lnx<0,x2-l<0,此时/(x)<0,因此凡r)在

(4，i)单调递减，在(i,+oo)单调递增，x=i为/U)的极小值点，故D正确.

7.(2025・山东济宁二模)已知函数人此=35%一411(850—1,则下列结论正确的是

()

A../U)的图象关于y轴对称

B.2兀是犬x)的一个周期

C.於)在［0,向上为增函数

D.y(x)<-f

解析：选ABD.对于A,函数凡¥)的定义域为R,关于原点对称，4一x)=cos(—x)一

sin^cos(一%))—1=cos%—sin(cosx)—1=7U),所以人工)是偶函数，其图象关于y轴对

称，故A正确；

对于B,j{x+2n)=cos(x+2n)—sin(cos(x+27c))—1=cosx—sin(cosx)-1=/(x),所

以'/U)的一个周期是2兀，故B正确；

对于D,因为一iWcosxWL令1=(：0§]，则)，=，一Sm/一1,求导得V=]—cos%由

于cos，e[—1,1],所以)」=1—cos/20,y=/—sinL1单调递增.当1=1时，y取得

最大值1—sin1—1=—sin1；当t=—\时，y取得最小值一1一sin(—1)—1=sin1—

2.因为sinl>siO=立，所以一sin1V—sinE=一立，即人处〈一立，故D正确；

4242J2

对于C,令，=cosx,当工可。，句时，f=cosx在[0,TT]上单调递减，又丁=Lsinf一

1单调递增，根据复合函数单调性，所以«v)=cosx-sin(cosx)—1在[0,可上单调递

减，故C错误.

三、填空题

8.(2025・陕西安康三模)函数代无)=]2(]11工一1)的最小值为.

解析：/(x)=2x(lnx—l)+x=x(21nx-1)»x>0,

令八元)一。，得x—8，

当0<xV粕时，八元)〈0,凡。单调递减，

当了>五时，八外>0,/)单调递增,

所以当工=五时，函数人工)取得最小值一*.

2

答案：一^

x

9.(2025•天津河东二模)设函数/(x)=x+lnx,g(x)=x+e9若存在了i,即使得g(»)=

/(尬)，则IXi~X2I的最小值为.

解析：因为g(x)=x+e*,所以且。)=1+=">0恒成立，

所以g(x)=x+e]在R上单调递增，

,nx

又因为J(x)=x+lnx=e+lnx=g(lnx),且存在x\9必使得g(xi)=/(x2)=g(lnx2)»

所以xi=lnxi,

=

所以卜-%2||ln%2一不|，

令h[x)=Inx—x+1(x>0),则//(%)=：—1=号，

当OVxVl时，"(x)>(),〃(x)单调递增；

当x>l时，/f(x)<0,〃(%)单调递减，

所以6(%)W/?(1)=O,所以InxWx-l,即x—lnx》l,当x=l时取等号.

—

所以昆—x2|=|lnx2x2|=|x2—也外尸及一lnx2》l(当xi=1时取等号,此时第=

0,^(%1)=AX2)=I满足题意)，所以IX\—X2I的最小值为1.

答案：1

四、解答题

1().(2025・甘肃白银二模)已知函数/0)=41工+/一轨(。>0),函数/U)的导函数为

八1).

(1)当。=1时、求曲线y=/U)的斜率为一1的切线方程；

(2)若函数g(x)=/U)+Fa)的极小值大于0,求。的取值范围.

解：⑴当a=\时，/(x)=：+2x—4,

令人力=一1，

化简得2/一31+1=0,解得了=1或x=±

2

当切点为(1,f(l))时，所求切线方程为)，一八1)=一(》一1),即x+y+2=0；

当切点为《，时，所求切线方程为y-/Q)=一(%—3，即x+y+：+in2=o.

(2)/Xx)=?+2x—4,^(x)=J[x}+/(x)=tzlnx+x2—2x+?—4,

/(%)=巴+21_2_《=(”-1)(，+。),

°XX2xz

因为a>(),所以2/+〃>0,当OVxVl时，g'(%)<(),g(x)单调递减；

当%>1时,g'(%)>0,g(x)单调递增.因此,当x=l时，gCO有极小值.

由题意，式1)=-1+。-4>0=。>5,则。>5.

11.(2025•云南红河三模)已知函数府尸生竺+1.

X

(1)求曲线y=/U)在x=l处的切线方程；

(2)求函数次幻的极值；

⑶设〉(),求函数#处在区间[32t]上的最大值.

解：(1)函数«¥)的定义域为(0,+co),

由ra)=W丝，则切线的斜率％=/'(1)=2,

X

又穴1)=1,故切点为(1,1),

所以切线的方程为y—1=2(x—1)，即2x~y—1=0.

(2)因为八1)=名竺，则f(x)>0,得0<xVe；八万<0,得x>e,

人

所以ZU)在(0,e)上单调递增，在(C,+8)上单调递减，

故当x=e时，有极大值j(e)=|+1,无极小值.

(3)由(2)得：当2/We且1>0,即0V/W2时，人］)>0在［t,2t］上恒成立，函数;(x)在

2

(32。上单调递增，

所以/U)max=/(2t)=竽+1；

当lVeV2f,即£«e时，x£(3e)时,/(x)>0,%e(,2。时，/(x)<0,

2e

所以函教於)在(3e)上单调递增，在(e,2t)上单调递减，所以>U)max=/(e)=|+l；

当.2e时，八x)W0在［32H上恒成立，函数式处在(32t)上单调递减，

所以/U)max=穴。=平T1.

综上所得：当0<1三时，凡0许=竽+1;

当;VfVe时，«Y)max=|+l；

当时，氏*^=罕+1.

［创新题］

12.(2025.江西南昌一模)我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到

右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知

於尸e」如2+(%—1)；则下列给出的函数其图象与尸危)的图象“相似”的是

()

A.)，=%2

B.y=%2

C.y=x^—3x

D.y=­xi+3x

解析：选CJ'（x）=e、-ex+2x—2,则，（l）=0,令/'（幻=0,则e'=（e—2卜+2,

如图，作出函数了=?\y=（e—2卜+2的图象，

由图可知函数y=e,y=（e—2）x+2的图象有两个交点，

即函数），=/"）有两个零点1,沏，且尤oVO,

令/（尢）>0,则x>l或xVxo，令八x）〈O,则xoVxVl,

所以成R）在（一8,%0）>（1，+8）上单调递增，在（%0，1）上单调递减，所以火幻的极

大值点为40，极小值点为1.

对于A,函数yn%2在（一8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，所以函数有极

小值点，无极大值点，故A选项不符；

对于B,函数y=一%2在（一8,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，所以函数有

极大值点，无极小值点，故B选项不符；

对于C,了=3/—3,当工〈一1或x>l时，歹=3/一3>0,当一1<XV1时，歹=3/

-3<（）,所以函数），=9一3）的极大值点为一1,极小值点为1,故C选项符合题意；

对于D,y=—x3+3x=—（x3—3%）,则函数y=一始+3］的极小值点为一1,极大值点

为1,故D选项不符.

13.在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆

G、Q、C3在点。处的弯曲程度依次增大，而直线在点。处的弯曲程度最小，曲率

越大，表示曲线的弯曲程度越大.曲线的曲率定义如下：若/（x）是./U）的导函数，/'（X）