2026年高考数学二轮复习：排列组合与二项式定理（题型）（天津）解析版

专题20排列组合与二项式定理

•第一部分题型破译微观解剖，精细教学

।他］典例引领囱方法透视囱变式演练

!【选填题破译】

题型01特殊元素（位置）的应用及解题技巧

I

题型02定序倍缩法的应用及解题技巧

j题型03平均分组分配及部分平均分组分配的应用

j题型04三项展开式的应用及解题技巧

j题型05二项式乘积的应用及解题技巧

i第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

选填题破译

题型01特殊元素（位置）的应用及解题技巧

典例引

【例（2026•天津•联考）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、

小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工

作，其余三人均能从事这四项工信，则不同的选派方案共有（）种.

A.120B.60C.24D.36

【答案】D

【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.

【详解】根据题意可分为2种情况讨论：

（i）若小张或小赵只有一人入选，则有C；C；A；=24种不同的选派方案；

（ii）若小张，小赵都入选则有A：A；=12种不同的选派方案，

综上可得，共有24+12=36种不同的选派方案.

故选:D

【例1-2]（2025•天津•联考）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选

手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方

案有（）

A.8种B.10种C.12种D.14种

【答案】B

【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可.

【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，

所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有C：-1=5种，

然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，

所以，满足条件的参赛方案有5x2=10种.

故选：B

方依透规

首先，要明确题H中的特殊元素或位置，如某个特定数字、颜色、形状等，或者是某个特定的位置，如首

位、末位等。这些特殊元素或位置往往对排列组合的结果产生决定性影响。

其次，根据特殊元素或位置的性质，灵活运用排列组合的基本原理进行求解。例如，如果特殊元素不能相

邻，则可以采用插空法；如果特殊元素必须相邻，则可以将它们看作一个整体进行排列，然后再考虑整体

与其他元素的排列。

此外，还需要注意题目中的其他条件，如元素的总数、不同元素的数量等，这些条件也会对排列组合的结

果产生影响。在解题过程中，要综合考虑所有条件，灵活运用各种技巧进行求解。

通过大量练习和积累，可以逐渐掌握特殊元素（位置）的应用技巧，提高解题能力和效率。

安式假称

【变式1-1]（2025•天津西青•联考）据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽"这五音是中国古乐

的基本音阶，成语“五音不全〃就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵〃和“羽〃

之间恰好有一个音阶的排法种数为种.（用数字作答）

【答案】36

【分析】由插空法，捆绑法结合分步计数原理可得答案.

【详解】先从剩下3个音符中选一个插入“徵〃和“羽〃之间，有A；C；=6种情况.

再将这3个音符作为整体与剩下2个音符排成1列，有A；C；A；=36种情况.

故答案为：36

【变式1-2］（2025•天津滨海新•联考）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2

名女生必须站在一起，则不同的站法有（）

A.8种B.12种C.20种D.24种

【答案】D

【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得.

【详解】先选男生甲的位置，有2种；

再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有A；种；

由分步乘法原理可得共有2x2xA；=24种.

故选：D.

【变式1・3】（2025•天津和平•联考）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一、星期二两天，这两天每天

从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.100B.120C.200D.210

【答案】D

【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外安排的一人，即可求解.

【详解】先从7人中任选1人参加两天的服务，再从余下的6人中选2人参加两天的服务（每人各1天），

所以两天中恰有1人连续参加两大服务的选择种数为C；xA：=210.

故选:D.

题型02定序倍缩法的应用及解题技巧

典例引

【例2-1］（2026•天津东丽•开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛,

经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演

讲顺序，设事件力为“高一年级2人不相邻"，事件8为“高二年级3人相邻”，则尸（可力）=.

3

【答案】—/0.12

【分析】利用插空法求出事件4的排法，再使用捆绑法和插空法求出事件力C4的排法，利用条件概率公式

计算得到尸伊⑷.

【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有A；种排法，将高一年级2人进行插空，有A；种

排法,

所以事件A"高一年级2人不相邻〃的排法有〃（力）=A；xA：=3600种排法.

将高二年级3人进行全排列，有A：种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排

列,有A：种排法，

排好后，将高一年级的2人进行插空，有A：种排法，所以事件共有A；xA；xA；=432种排法.

/.、n（AB}4323

所以，pBj=-y-^=——=—,

V17n（A）360025

3

故答案为：—.

【例2・2】（2025•天津•月考）有2位老师和4名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的

排法有（）

A.144种B.96种C.72种D.48种

【答案】A

【分析】利用捆绑法、插空法结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】将4名学生随机排列，共有A：种排法，

再将2位老师捆绑，形成一个大元素，然后将这个大元素插入4名学生中间形成的3个空位中的1个，

由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A：A；A；=24x2x3=144种.

故选:A.

方武通观

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

对于某些顺序一定的元素（m个）的排列问题，可先把这此元素与其他元素一起（共n个）进行排列，然后用总

排列数A夕除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A第即得到不同排法种A'=A/m.

m

Am

变式演依

【变式2-1]（2025•天津•联考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（）

①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

③甲乙不相邻的排法种数为72种

④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种

A.0个B.I个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】结合分类与分步计数原理，根据特殊元素特殊位置有限原则、捆绑法、插空法以及部分定序法分

别判断各个命题.

【详解】甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，则将甲与乙看成•个整体，则那么不同的排法有A：=24种，①

正确；

若最左端排甲，则有A：=24种排法，若最左端排乙，最右端不能排甲，则杓3xA；=18种，所以不同的排法

共有24+18=42种,②正确：

甲乙不相邻，先排其余三人，共有A；=6种排法，再将甲乙插入到三人所成的4个空位，有A：=12种排法，

所有不同的排法共有6x12=72种，③正确；

甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有冬=20种，④错误；

A3

故选:D.

【变式2-2]（2025•天津滨海新•联考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境

下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的〃松骨峰战

斗”.现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.（列

出算式，并计算出结果）

⑴女生必须坐在一起的坐法有多少种？

⑵男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？

⑶中不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？

⑷男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？

【答案】（1）576

⑵240

（3）3720

（4）2880

【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可；

（2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可；

（3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可；

（4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可.

【详解】（1）先将4名女生排在一起，有A：种排法，

将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有A：种排法，

由分步乘法计数原理，共有A：xA：=24x24=576种排法；

（2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法，

因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有A；种排法，

由分步乘法计数原理，共有2KA；-2K]20-240种排法；

（3）7个人全排列，有A；种排法，

甲坐第一个有A：种排法，乙坐第三个有A：种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有A；种排法，

所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有A；-2A：+A：=5040-1440+120=3720种排法；

（4）先排4名女生，有A：种排法，

从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有A；种选法，

4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有A；种插法，

根据分步乘法计数原理，共有A：xA；xA；=24x6x20=2880种坐法.

【变式2・3】（2025•天津滨海新•联考）中国古代儒家提出的“六艺〃指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学

社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如卜要求："礼"与"乐”

不能相邻，“射〃和”御〃要相邻，则针对“六艺〃课程讲座活动的不同排课顺序共有种.

【答案】144

【分析】本题需要分步处理排列条件，首先将“射”与"御"捆绑为一个整体，然后结合插空法求解可得.

【详解】由题意知："乐"与"书〃不能相邻，"射"与"御"要相邻,

可将“射”与"御"进行捆绑看成一个整体，共有A；种.

然后与“礼”、"数"进行排序，共有A；种.

最后将“乐〃与“书〃插入4个空即可，共有A：种.

由于是分步进行，所以共有A；・A：A；=144种.

故答案为:144.

题型03平均分组分配及部分平均分组分配的应用

共例引41

【例3・1】（2026•天津滨海新•月考）下列说法正确的有（）

①数据2,3,5,7,11,13的第75百分位数为11,中位数为6；

②一组数据的标准差为0,则这组数据中的数值均相等；

③若随机变量久"满足，7=3。-2,则E（〃）=3E⑶-2,。（力=9。⑷-2；

④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医

院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由白.分位数的定义即可得出①正确，由标准差定义判断②正确，由随机变量的数学期望及方差性

质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确.

【详解】①：由6x75%=4.5,得第75百分位数为第5个数，即11,中位数为手=6,故①正确.

②：根据标准差定义，一组数据卬W，…,X”的标准差

5=5［（占一亍）+（4—''）2+~+（、一寸/］二0时，

显然有X|=x2=—=%=X，故②正确.

③：若随机变量十满足〃=3^-2,则E（〃）=E（34-2）=3E（4）-2,

。⑺=。3-2）=9。偌），故③错误;

④：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队,

男医生5柒驾=3人,24

女医生5x=2人,

24+36

现将这5人分配去三个医院指导工作，

每个医牛.去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院,

三个医院人数可以为3,1,1,共有C；C；A；=18种分配方式；

三个医院人数可以为2,2,1,共有C；C；A；=18种分配方式；

综上，共有36种分配方式，故④正确：

故选：C

【例3・2】（2026•天津东丽•开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生“、6、。、d、外/参加全国高中

数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（）种分配方案

A.90B.120C.150D.240

【答案】B

【分析】先选3名学生分配给甲，再将剩余3人分成两组分配给乙、内，由分步乘法计数原理可得.

【详解】第一步，从六名学生中选3名，分配给中指导，有C：=20种不同的方法，

笫二步，将剩余3名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有（C；・G）-A：=3x2=6种不同的方法，

根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有20x6=120种.

故选:B.

方汝透视

平均分组、部分平均分组

1.对不同元素的分配问题

（1）对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以An（n

为均分的组数），避免重复计数.

（2）对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除

以ni!,分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.

（3）对于•不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排

列数.

变式演依

【变式3-1］（2025•天津东丽•联考）第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五

名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张、小赵

只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.

【答案】12

【分析】结合排列和组合数直接求解即可.

【详解】由题意知小张或小赵只有一人入选，且只能从事安保工作，其余三人从事不同工作，

则有不同的选派方案C；A：=12.

故答案为：12.

【变式3-2]（2025・天津和平・联考）某大学开设了“九章算术”，“数学原理〃，"算术研究”三门选修课程.甲、

乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择

（1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种.

（2）若定义事件力为丙和丁恰好有一人选择的是"九章算术〃，则P（4）=.

【答案】30|

【分析】（1）把4人分成3组，再分配课程，减去甲乙选择同一课程的情况即可；（2）在丙丁恰有1人

选择“九章算术”时，按只有1人、有2人选择“九章算术”分类求出事件力含有的基本事件数即可.

【详解】（1）四个人参加三门选修课程共有C；A：=36种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有A；=6种方

案，

所以甲和乙选择的课程不同共有36-6=30种方案；

（2）"九章算术”只有1人选择，共有C；C；4；=12种方案；

“九章算术〃有2人选择，共有C；C；A；=8,因此事件彳发生的方案种数为20,

所以?（力）=§20=?5

369

故答案为：30；

【变式3-3]（2025•天津•联考）2325年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需

将6名工作人员安排到“内宾接待"、"会议保障”、”媒体宣传〃三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，

若“内宾接待〃安排2名工作人员，”会议保障〃、“媒体宣传"至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有_

种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为.

【答案】2101/0.2

【分析】根据分组分配先将6人分成三组，再进行分配即可求得不同的安排方法；再利用古典概型计算可

得所求概率.

【详解】根据题意可将6名工作人员分成三组，符合题意的分组为2,1,3或2,2,2；

因此不同的安排方法有或C；A；+C：C：=120+90=210种；

若三项工作各安排2人，共有C：C：=90种，

则甲和乙安排相同工作的方法有C；C；=18种，

c'c21

所以甲和乙安排相同工作的概率为尸=赤=§.

故答案为：210,

题型04三项展开式的应用及解题技巧

【例4・1】（2025•天津静海•三模）（l+x+.d）’的展开式中，Y的系数是.

【答案】6

【分析】利用组合方法求出通项，然后可得.

【详解】对于（l+x+x?）'的展开式，依据排列组合知识，

相当于从（1+X+/）（1+X+XB（1+X+X2）这3个因式中选出4个因式取元素

再从剩下的3-2个因式中选出〃个因式取元素x,

最后再从剩下的3-4-，•个因式中取元素1.

根据分步乘法计数原理，可知选取的情况种数为

所以可以得到（l+x+x）'的通项公式为：

C；CLC之仁亡）‘卜=0,1,2,3/e{〃eZ|04/Y3-叶）.

根据通项公式，可得犬的系数为C；C；C；+CK；C：=6.

故答案为：6

【例4-2］（2025•天津武清•模拟预测）（2025•天津•月考）已知RX+Q-'T的展开式中的常数项为19,

则a=.

【答案】±713

【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可.

【详解】二项式（2x+a$）

的展开式中的常数项为

C；C；(2x)/

则-12a2+6+/=19，解得"=13或/=7（舍去），

所以a=±x/i-3.

故答案为：土

方依透视

三项展开式的解题技巧是不要用二项式定理去解两次，而应该从数学意义的角度看做多少个式子相乘,

直接当做排列组合求解•，可秒解。

变式演族

【变式4-1］（2025•天津河西•联考）在卜-2）仅＞0）的二项式展开式中f的系数为90,贝!。=.

【答案】3

【分析】利用展开式的通项人/令5-9=2求HV,进而求解.

【详解】因为卜-云）（a＞0）的二项式展开式的通项为加=4尸（-力丫=（-〃）（.5片，

令5-5=2,解得：〃=2,所以］=（-。）2（4?=10//,

又因为卜-亍［（。＞0）的二项式展开式中V的系数为90,则101=90,

所以a=3,

故答案为：3.

【变式4・2】（2025•天津滨海新•三模）在（一+工一2），）’的展开式中户的系数是

【答案】-160

【分析】由题可知展开式的通项公式（M=（-2）'G（寸+到~了：进而可得.

【详解】因为（/+工-2»’的展开式中，

通项公式I.=C；（一+,vp（-2^=（-2）rC；（x2+xfry,

令7=3,解得&=（—2代；，+4，，

又C。=J+2T",

・•・的系数为2x（-2『C；=一160.

故答案为：-160.

L+lf的展开式中，含丁项的系数为.

【变式4-3］（2025・天津•一模）在X-

【答案】6

【解析】利用二项展开式的通项公式即可得出结果.

【详解】+=［l+（x-：）『，

其展开式的通项公式为：％二烧（X—»，

X

的展开式的通项公式为I.=（-iyc"i'，

X

令k-2r=5,则有A=5/=0,

所以含丁项的系数为：C；C=6,

故答案为：6.

题型05二项式乘积的应用及解题技巧

舞钠和小

【例5・1】（2025•天津西青•联考）（x+），）（x-y）4的展开式中炉产的系数是（）

A.0B.2C.4D.10

【答案】B

【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解.

【详解】由"+力（.”4的展开式中炉俨的项是：7+>€：/（炉,

所以（x+y）（x-y）’的展开式中炉俨的系数是2,

故选:B.

【例5・2】（2025・天津•模拟预测）（2+切（尸耳6的展开式中的，3的系数为（用数字作答）.

【答案】-25

【分析】根据二项式的展开式，求指定项的系数即可.

【详解】由（2+三]（），一力6=（2+3]0f£（一"=2《式《（-融召。^（一^,

\y）\y）y

化简得卜+小尸"=2（-1）（於严+力191j6广，

\y/

当上=3时，2(-l)3Cjx3/=-40x3/,

当上=2时，Cy（-l）2（x）3=15xV,

所以寸/得系数为-40+15=-25.

故答案为：-25

方依透视

二项式乘积的解题技巧是先相乘，再结合二项式定理的通项公式求解即可。

变式演依

【变式5・1】(2025•天津河西•模拟预测)[+炉的展开式中d的系数为.

【答案】-20

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算可得(x-l)’的展开式中f项与/项的系数，则可得

1+£)(x—if的展开式中F的系数

【详解】对(x-l)s有&=C；

则(工-1)5展开式中炉项的系数为

展开式中一项的系数为C>(-l)=-5,

则展开式中d的系数为lx(-10)+2x(-5)=-20.

故答案为：-20.

【变式5・2]仕+J的展开式中的常数项是()

IX7

A.12B.8C.-8D.-12

【答案】B

【分析】求出(1+4的通项公式，得到(=1,7>10/,从而得到住-2](l+x『的展开式中常数项的值.

【详解】(1+X)5的通项公式为却尸c；X1.『=CX,

当了=0时，7；=Cb°=l.当,・=2时，7；=C；X2=10X2,

故(,-21l+x)s的展开式中常数项的值为1X(-2)+1X10=8.

故选:B.

【变式5-3](2025•天津南开•联考)已知jad+工]的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和

IX)

为-1.

⑴求〃和。的值及展开式中.r-4项的系数；

⑵求伍.-!7M加+口”的展开式中的常数项.

I厂八X)

【答案】(1)〃=7,a=-2；-14

⑵448

【分析】(1)二项式系数和为2"即可求出〃，再令x=l可得各项系数和，即可求出。，写出展开式的通项,

利用通项求出项的系数；

(2)由(2x—2/+：]=2乂—+卜2/+xT);利用(1)中的通项计算可得.

【详解】⑴因为的展开式中所有项的二项式系数和为128,所以2"=128,解得〃=7；

IX)

所以(*2+g),令x=l可得(0+1)7=-1,解得〃=-2；

z[\7

所以-2/+力展开式的通项为：7；M=C：(-2.，m=c(-2)7'”-M,2=(M,2「r7,

令14-3攵=-4,解得々=6,

所以r4项的系数为&(-2)=-14：

⑵=(2…%2/+k)7

=Zv(-2x12+x)7-x-2(-2x2+x,

①当14-3k=-l即1=5时,2xC|(-2)2x-'=168；

②当14-3£=2即女=4时，-X-2C^-2/x2=280；

「•所求的常数项为168+280=448.

i巩

1.(2025・天津南开•模拟预测)在(2-x)(x+l)，的展开式中，f的系数为.(用数字作答)

【答案】8

【分析】先找到(x+l)4的展开式通项为C；/-，，再由乘法分配律得展开式中』的系数为2C：-G，即可得解.

【详解】(2-x)(x+l『=2(x+l『一x(x+l『，

因为(x+1)，的展开式通项为CJj,

令4-2或4T=1,解得：1=2或厂=3,

所以f的系数为：2C：—C：=12—4=8.

故答案为：8.

2.(2025•天津•二模)在(3--4)6的展开式中，f的系数为.

【答案】135

【分析】由二项式定理写出通项，根据题意，利用赋值，结合组合数，可得答案.

【详解】由伊2的展开式的通项为T7鼠(3/厂卜用r=c；36f(-1)'X吟，

令12—■|r=6,解得〃=4,则x6的系数为C：X32X(-1)4=135.

故答案为：135.

3.（2025•天津红桥•模拟预测）在（2/一;r的二项展开式中，x的系数为_________.

5%

【答案】-4/-0.32

4.（2025•天津和平•三模）若二项式「+工丫（4＞0）的展开式由，/的系数为会，则。=_____.

\ax）16

【答案】4

【分析】求解二项式展开式的通项，确定父的系数列方程即可得〃的值.

【洋解】二项式卜+2、（。＞0）的展开式的通项为：心=黑尸（5）=晨『1-2,,/.=0,1,2,r6,

当，=2可得/的系数为C"2=?,所以32=上，

1616

因为。＞0,所以。=4.

故答案为：4.

5.（2025•天津和平•三模）下列结论中不•正•确♦的是（）

（1A

A.已知随机变量X-8//,-,若。（3X）=27,则E（X）=4

\4/

B.用决定系数代来刻画回归的效果时，心的值越接近1,说明模型拟合的效果越好

C.用0,1,2,3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30

D.经验回归直线夕=为+,至少经过样本数据点（冷乂）,冈火）,…中的一个点

【答案】D

【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；山决定系数2的概念即可直接判断B；山分布乘法计

数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D.

【详解】对于A,由二项分布的方差公式可知O（X）=〃x；x：=W〃，

27

所以。（3X）=320（X）=—〃=27,所以〃=16,

16

所以二项分布的期望为O（X）=l6x；=4,故A正确；

对干B,用火2来刻画回归效果，R2的值越接近于1,说明模型的拟合效果越好，火2的值越接近于0,说明

模型的拟合效果越差，故B正确：

对干C,百位数字不能为0,有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位

数的个数有3x4x4=48种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有3A”3x3x2=18种方法，所以组成有重

复数字的三位数的个数为48-18=30,故C正确：

对于D,在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点底,亍），但不一定会经过样本数据点

（再.乂）,（修，心），…中的任何一个，故D错误：

故选：D.

6.（2025•天津河东•二模）在（.一一蛾）’的二项展开式中，含/的项的系数是.（用数字作答）

【答案】84

【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可.

【详解】根据二项式定理,（一一：］的通项为：

幻=“(一广(一2川=C；(2J

(X7

当14-57•=4时，即r=2时，可得［=C；•(-2)1=84/.

即V项的系数为84.

故答案为：84.

7.（2025•天津和平•二模）在五-的展开式中，常数项为..（用数字作答）

【答案】-5。

【分析】由二项式展开式的通项公式，令x的次数为0,求出左的值，代入通项公式中可求得常数项.

【详解】4-司展开式的通项为如=《向［-言）=图可言，

令5—51=0,得A=l,

所以常数项为4=c（6）=-5、a.

故答案为:-56

8.（2025•天津•一模）二项式£-2丫的展开式中，一项的系数是________.（用数字填写答案）

Ix）

【答案】-12

【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.

【详解】二项展开式的通项公式为工广屋.产〜卜：）=«.（—2）'.产匕

令6-2厂=4,得，，=1,C^-（-2）'=-12

所以一项的系数是-12.

故答案为：-12

9.（2025・天津和平•一模）在（2/-9）的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

【答案】280

【分析】利用二项式定理，求得二项展开式的通项，把含x的进行冢运算合并，然后令指数等于7,即可求

解.

【详解】因为（2/-/,21---T

的通项为4,1=c;◎Li白卜(-1)-27*C；x2,

7

令21——r=7,得〃=4,

2

所以，的系数为（-厂广仁=8x35=280.

故答案为：280.

10.（2025•天津•一模）某中学组建了力，B,C,D,E五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要

求每个学生必须且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，

且结果互不影响.记事件M为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，'，则P（M）=：若甲、

乙、丙三名学生中有两人参加社团4,则恰巧甲参加社团/的概率为.

■122

【答案】示i

【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团4的事件数，及恰巧甲参加社团力的事件数，

再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有5x5x5=125个，

12

若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团4,则有C；C；=12种选择，所以尸（河）=云；

1

甲、乙、内三名学生中有两人参加社团力,则恰巧甲参加社团/，则有C；C：=8种选择，

所以甲、乙、丙二名学生中有两人参加社团力，则恰巧甲参加社团力的概率尸

122

故答案为：——•；—

11.（2024•天津和平•二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，

组织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这

两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】B

【分析】根据题意，首先选取1种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

首先选取1种相同课外读物的选法有C；=5种，

再选取另外两种课外读物需不同，则共有C；C；=12种，

所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5x12=60种.

故选：B.

12.（2024•天津南开•二模）在的展开式中，工7的系数为.

【答案】y/22.5

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.

即，xT的系数为三.

45

故答案为：y.

13.（2024,天津河西•三模）已知递增数列｛4｝的前〃项和为S.,且4S,=a；+4〃，W€N*.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

⑵设"="C++…+%C：.

（i）求数列出｝的通项公式；

三（12〃一2'+3]

（n）求工---------

*■-1Vai*ai+2y

【答案】⑴6=2〃

）〃+25+】

⑵（i）2=小2"；（ji）--+-——4

〃+2〃+1

【分析】（1）根据4的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案；

（2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出12”一2二的表达

q《+2

式，利用裂项相消法，即可求得答案.

【详解】（1）因为4S.=a；+4〃，当〃=1时，45=/+4,则4=2：

当〃N2时，4S”T=“3+4(〃-1),贝IJ44=。：一。3十4,即a"=(%-21，

而｛%｝为递增数列,故勺一。”]=