2026年高考数学二轮复习：数比大小与构造函数型（题型）（天津）解析版

专题06数比大小与构造函数型

目录

।第一部分题型破译微观解剖，精细教学

i性]典例引领囱方法透视性）变式演练

j【选填题破译】

i题型01常规思路

I题型02构造函数

!题型03放缩法

!题型04数形结合（交点问题）

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01常规思路

（^11-1]（2026•天津滨海新・月考）已知0=0.72,b=207,c=log072,那么a,6,c的大小为

A.c>h>aB.c>a>b

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可.

【详解】因为函数y=0.7'在（0,+2）上单调递减，所以0.72<0.7°=1，故（）<”1;

因为函数》=2、在（0,+8）上单调递增，所以2">2。=1，故8>1;

因为函数N=logoiX在（°，+8）上单调递减，所以10go,72<bg071=0,故c<0：

综上，b>a>c.

故选:D.

【例1・2］（2026•天津滨海新・月考）已知"OS"力=0.607］=嚏60-7则。也c三者的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】C

【分析】根据y=06是单调递减函数，y=bg6x是单调递增函数，判断分析即可.

【详解】由于0<0.6<1,故y=06在R上是单调递减函数，且-0.7<0.6,

故0<0.6°6<0.647,即0va<6,

又y=log6》在（0,”）上是单调递增函数，且0.7<1

故，=噫。・7<1幅1=0，

故cvaS.

故迄C

方武通观

①底数相同，指数不同时，如人和a”,利用指数函数y=a'的单调性；

②指数相同，底数不同，如x：和弓利用基函数y=x"单调性比较大小：

③底数相同，真数不同，如log°x和1。九超利用指数函数log。》单调性比较大小：

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小

关系的判定.

变式窗依

【变式1-1］（2026•天津河东•月考）已知“Tog。/,6=c=ln3,则的大小关系为

【答案】a<b<c.

【分析】利用对数函数，指数函数的单调性比较大小即可.

【详解】因为对数函数歹二唯。/在（°，田）上单调递减，log052<log05l=0,因此。<0,

因为指数函数y=（gj在R上单调递减，且七）>0,因此

因为对数函数y=lnx在（0,+8）上单调递增，ln3>lnc=l,因此。>1,

综上，a<b<c.

故答案为：a<b<c.

【变式1-2］(2026・天津•月考)己知］=2§，8=1隔2,c=log052,则。、b、。的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【分析】由指数函数、对数函数的单调性求得各数的范围，由此得出结果.

【详解】V2O<25<2I,.\1<«<2,

Vlog51<log52<log55,/.0<Z><1,

Vlog052<log05l,：.c<0,

a>\>b>0>c,所以4>6>c.

故选:A.

【变式1・3】(2026•天津滨海新•月考)已知定义在R上的偶函数/(x)在(YO,0)上单调递增，则()

/3\<\/3\/\

A.f2y<flog,6</(log2V5)B./2^</(log2V5)</log,6

\)k47\)47

/X/3\/\/3\

c.flog16<f24</(log,75)D.flog,6</(log?。5)</24

\/\zX47\/

【答案】D

【分析】利用对数函数的单调性及指数函数的图象得10或6>1085〉1>23>0,再利用偶函数在关于原点

对称的区间的单调性得函数/(x)在(0,收)上单调递减，再利用函数/(外在(0,欣)上单调递减得

(_3\

/(log46)</(log45)</2"，进而利用偶函数的性质得结论.

\/

［详解］因为bg［6=Tog,6,log,石=log45,

4

而函数J，=log4X是增函数，所以Iog46>log45>l,

而由函数y=的图象得

因此log46>log45>1>2*>0»

又因为定义在R上的偶函数/(x)在(-8,0)上单调递增，

所以函数“X)在(0,位)上单调递减，

(_3\(\(_3\

®llt/(log46)</(log45)</2",即/log,6</(log2V5)</2«.

\7\4/\/

故选：D.

题型02构造函数

【例2-1](2026・天津南开•期中)已知辕函数/(x)=(5〃?+3)x〃的图象过点(©2及)，设〃=/(〃?)”=/(〃)

c=fnn，则().

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【分析】根据呆函数的概念和耗函数图象过的点卜方，2@，可求出〃?,〃的值，从而根据显函数的单调性可比

较大小.

【详解】因为幕函数/(切=(5利+3)£的图象过点

5/n+3=lm=~

所以“，解得‘

«=2^2〃=3

则，”=3；3久3°=一

根据指数函数单调性知o<3一；<3°，即0<<1，

由上知事函数的解析式为/(力二/，函数/(x)为R上的单调递增函数,

又阳<“</>所以/(〃?)</(/)<//，即

故选：B.

【例2-2】(2026・天津西肯•联考)已知奇函数/("是定义在R上的增函数，若。=/(1。氏4.1),力=

c=/(20s).则a,b,。的大小关系为()

A.a<h<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<h

【答案】D

【分析】利用奇偶性得到力=-/(log2!]=/(bg25),根据指数和对数函数单调性，可确定自变量的大小关

系；根据函数单调性得到函数值的大小关系，即a,b,C的大小关系.

(1A

【详解】因为/(X)是奇函数，所以方=-/=/(log25).

ID)

因为函数y=log2x是增函数，所以log25>log,4.1>log,4=2；

因为函数y=2'是增函数，所以2°*<21=2.

所以2°$〈噫4.1〈噫5.

因为函数/(x)是定义在R上的增函数，所以/"8)</(1吗4.1)〈/(10%5),即c<a<A.

故选：D.

方沐透规

利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,c的大小.

变式演族

【变式2・1】（2025•天津武清・模拟预测）已知定义在R上的函数/（x）=x・eW,a=/（log3石）"=-/（log,；）

c=/（ln3）,贝ija,b,c的大小关系为（）

A.c>h>aB.h>c>aC.a>h>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b=/（log32）,再结合函数的单调性，即可求解.

【详解】/（x）=x•阴，定义域为R,关于原点对称，

且“T）=-x-eT=T・川=-/1）,所以函数/（x）=x•朋为奇函数，

所以人=-/log31=/11叫；）=/。嗝2）,

又，（力=力巴》>0,

任取百户2«。，+0°），且0<再<%2,则0<e"，则/（芭）</（》2），

故“X）在（0,+8）上单调递增，

又由对数函数的单调性可得Iog32<bg3逐<l<ln3,

所以/（10g32）</（10g3⑸（ln3）,即c>a>方.

故选：D

【变式2-2］（2025•天津滨海新•一模）已知ulog，，力=4%。=1呜；，则a,b,c的大小关系是（

53Z

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】根据指数及对数函数的单调性即可得出判断.

【详解】因为N=logs%在（。，+8）单调递增，所以log3（〈logs】=。，即a<0，

因为y=4'在R上单调递增，所以4°3>4°=1，即方>1,

因为kbg产在（0,+8）单调递减，所以哨1<哨，即0<c<l,

3§§233

所以/）>C>。，

故选:A.

【变式2・3](2025•天津西青•调研)定义在R上的奇函数〃力满足固4-8,0)时,/(切+矿⑺<0成立,

若a=2°2/(2°2),/>=In2/(In2),c=(log030.09}f(log0?0.09),则。也c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】令g(x)=%(x),利用导数可求得g(x)在(-8,0)上单调递减，根据g(x)为偶函数可知其在(0,+8)

上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到g(logo.3().09)>g(202)>g(ln2),即可求解.

【详解】令g(x)=令(X),当工<。时，gr(x)=f(x)+xfr(x)<0,

所以g(x)在(-8,0)上单调递减，又/(力是奇函数，

则g(r)=r/(r)=^(x)=g(x)，所以g(x)为R上的偶函数,

则g(x)在(0,+。)上单调递增,XlogOJ0.09=2>2°^>2°=1=lne>ln2>lnl=0,

月亍以S(logg0.09)>g(202)>gQn2).即c>〃>〃,

故选：B.

题型03放缩法

翼例不■

【例3・1】(2025•天津•调研)a=ln>/2,b=e~\c=-y,则mb,。的大小关系为()

A.b<c<aB.c<a<bC.h<a<cD.c<b<a

【答案】B

【分析】构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小.

【详解】解：设/(幻=g，x>0,则=x>0,

XX

.•.当xw(0,e)时，f'(x)>0；当xe(e,+00)时,f\x)<0,

/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，

.\/(x)</(e)=-,.t.a,b,c中b最大，

e

X10a=ln2\10c=ln5\W2S>52,

10a>10c,：.a>c,

故c<a<方，

故选：B.

【例3-2](2025•天津武清•模拟预测)设“Jcos学，2_i^,则。、方

c=sn、c的大小关系为()

n8n4719

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】D

用T。斗利用

【分析】利用诱导公式将。也c分别化为构造函数〃x)=

n8n24冗9

导数判断函数/(x)的单调性即可.

717T8.兀6=2=2sii,

【详解】a=—cos—=—cos=—sin—

718It5~8>九87［兀2

9.5TC9.(4兀)9.4兀

c=——sin——=——sin7i---=——sin——，

47t947rl9)429

*\sinx兀］、xcosx-sinx

令/c(》)=——,xe0,5，则/(*)=-----------，

令g(x)=xcosx-sinx,xe0,*,则g<x)=-xsinx<。,

所以g(x)在(由单调递减，所以g(x)<g(0)=。，即/'")<0，

所以/(x)在卜,外单调递减，因为?所以/仁卜力学卜/仁、

.8.n9.4n2.n,

n即i一sin->—sin—>-sin-,所以力.

江84兀9兀2

故选:D

方/电视

l.lnx<x-l(x>0)；Inx>l_~(x>0)

2.eK>x+l(xGR)：ex>x>Inx(x>0);(1—x)ex<l(xER)

3.sinx<x<tanx(0<xv5)

变式窗体

【变式3-1］(2024•天津•联考)已知函数/(x)=c。.+e',且。=/(2)、=c=/(ln2),则a、b、

c的大小关系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<h<aD.h<c<a

【答案】D

【分析】根据题意，求导得/'(X)，即可得到/(x)在(0,+8)上单调递增，从而可比较函数值的大小关系.

【详解】由/(x)=coar+c'可得=-sinx+c1

当x>0时，/*(x)=-sinx+cr>-sinx+l>0,

所以/(x)在(0,+纥)上单调递增，

clic1-21n2Ine-In4八1,

又一一In2=-------=--------<0,所以一<ln2,

2222

即;<ln2<2,则/(3)</(ln2)</(2),

所以匕<。<4.

故选：D

【变式3-2](2025•天津南开•模拟预测)设。=生孝1,b=如旦,C=^,则。，6,C的大小关系是

e32

()

A.b<a<cB.c<a<b

C.a<h<cD.a<c<h

【答案】C

【分析】根据三个式子的结构，构造函数〃"=竽求导判断单调性，进而比较/图，〜⑹，c=/（2）

的大小，即可得叫人。的大小关系.

【详解】令/（司=/，则”3（3]」3）

,In\/6In6.In2In4

h=——=——=f(6)»^=—=—=/(4),

3624

由“X）二手可得/3=等且"°'

由小）<0可得x>e；所以/（力=¥在（5+8）上单调递减,

3/3、

因为上。6.56>6>4,所以/Y</(6)</(4),

3I3,

所以〃</）<c,

故选：C.

79

【变式3-3]（2025•天津河北•模拟预测）己知〃C）,则〃，b,c的大小关系为（）

a-e88

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】构造Mx）=e；（x+1）,x<0,求导得到其单调性，结合〃（0）=0,得到a=e《>Lc；构造

8

Q1

g(.r)=lnx-(x-l),x>l,求导得到其单调性，结合g⑴=0得到ln=<9即5<c,从而得到答案.

88

【详解】构造Mx)=e'-(x+l),x<0,则〃'")二/一1<0在(一8,0)上恒成立，

故A(x)=e'-(x+l)在(F,0)上单调递减，又/?(0)=e°-1=0,

故力=eN+11>0,=Q>—=c,

I8)I8)8

构造g(x)=lnx-(x-l),x>l,

则g'(x)=L-l=4<()在(l,+oo)上恒成立，故g(x)=lnx-(x-1)在(l,+8)单调递减,

XX

(9、91o1

又g(l)=lnl_0=0,gQ<g(0)=0，^ln---<0,UPln-<-»

\oy88oo

故3<c,

综上：b<c<a

故选：D

题型04数形结合(交点问题)

翼例不■

【例4・1】(2025•天津静海•三模)已知关于x的方程g=|xl同有一个实根，则实数a的取值范围为()

A

■

A.4=0或—B.-a\()<a<--

2eJIe,

C.*a\—<a<—>D.■a\—<a<—>

2eeJ2ee

【答案】A

【分析】将方程的根问题转化为函数图象交点问题，分情况讨论/(“的表达式，利用导数分析/(x)的单调

性和极值，画出函数/(x)的大致图象，结合图象即可求解..

【详解】由g=klnx|,因为x>(),所以。=x11nx|,

X

，、,

I1nx,x>1

令，(力=4皿乂=<

-x2Inx,0<x<1

当xNl时，/,(x)=2xln.r+x=x(2lnx+l)>0,

即/(x)单调递增；XTX，/(X)->+00,

当0cx<1时，f'(x)=-2A-InX-A=-X(2InX+1),令/'(x)=0,得1=白,

当工e时，21nx+l<(),/'(x)>0,即/(x)单调递增,

(七」)时'21nx+l>0,_r(x)<0,即/(x)单调递减,

当xw

所以/（“在工=不处取得极大值,/住吁=去，⑴助

方程巴=|xlnx|有•个比根，即函数/（x）与函数V=。有1个不同的交点,

•X

结合图象可得。=0或“＞；.

2e

【例4-2］（2025•天津武清•模拟预测）函数/（x）的部分图象如组所示，则（）

B..r(2)<0

c.or⑸D.八3)>0

【答案】B

【分析】根据函数单调性与函数极值点和导函数值之间的关系，分别判断正误.

【详解】因为〃力在［1,5］上单调递减,所以/'（3）＜0,/'（2）＜0,所以B正确，D错误.

因为x=l,x=5是函数极值点，所以/'（1）=/'（5）=0,所以A错误，C错误.

故选:B.

方汝透视

数比较大小+数形结合的核心技巧是把抽象的数转化为函数图像上的点的纵坐标，通过图像的高低、单调性、

交点来判断大小。

核心步骤

L构造函数

把需要比较的数整理成同一函数的不同自变量取值，可构造统一模式。

天津高考常考的函数模型有：对数函数y=lnx、指数函数y=cx、’幕函数尸x，

2.绘制图像(或分析图像特征)

利用函数的单调性，函数交点，特殊点锚定范围。

3.转化比较

将原数的大小比较，转化为对应函数图像上点的纵坐标的高低比较。

变式修稼

【变式4・1】(2025•天津滨海新•调研)已知函数=若和XzeR,x1<x2,则下列说法

x\nxyx>0

正确的是()

A《芭+424/&)+/(/)

B.当占<々<：时，(x,-x2)r/(x1)-/(x2)]<0

C.当/(xj=/(q)时，西+々>1

D.当+)=0，〃一£)+/(%)=0时，/VOj

【答案】D

【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用导数分析函数/(“在上的单调性，可判断C选

项：设力(X)=/(T)+/(X),结合零点存在定理可判断D选项.

【详解】对于A,取引=-1,当=1，则/(-1)=1+1=2,/(1)=0,

此时，/(当玉)=/(。)=0,

/(%)+/(%)+/⑴人/玉+初

=0,故A错误;

222)

对于B,当x>()时，/(x)=xlnx,令/'(x)=l+lnx=0,得x=L

e

当0<x<：时，r(x)<0,/(力在(o《)单调递减，

当二时，r(x)>o,在单调递增，即若，<玉<々<:，

e22Je2

则〃/)</(/)，则($-X2)[〃再)一/(々)]>0,故B错误:

对「C,取2=1,当=0,则/(。)=/(1)=0，x,+x2=l,故C错误;

对卜D,令〃(x)=/(-x)+/(x),

若x>0则一x<0,此时。(x)=J+x+x]nx=x(x+l+lnx),

令p(x)=x+1+lnx(x>0),p,(x)=l+->0,所以在(0,+力)上单调递增,

X

因为，伐卜卜"哈

p(l)=l+l+lnl=2>0,

所以P（x）在（2，1）上存在一个零点,即Mx）在（2」）上存在一个零点，

若x<0则-X>0,则〃(x)=-xln(-x)+x2-x=x[.v-l-ln(-x)],

令g(x)=x-l-In(-x)(x<0),(y,(x)=l--=-~~->0,

所以函数4（x）=x-l-ln（-x）在（e,0）单调递增,

I\\11

因为g(_l)=_2_ln]=_2<0,q\--=--r-l+2=l--r>0,

所以函数4（x）在存在唯一零点，即函数〃（x）在存在唯一零点,

又因为〃（0）=2/（0）=0,所以函数〃（x）有且只有三个零点,

•个零点在区间（*,1）,一个零点为0,一个零点在区间

当/（一xj+/'（x）=o，/（-工2）+/（工2）=。时，必有当《0«工2，故D正确.

故选：D.

【变式4-2]（2025•天津滨海新•三模）已知函数/（幻的图象如图所示，/'（X）为/（X）的导函数，根据图象

判断下列叙述正确的是（）

，，

A../(A-1)</(X2)B.7'6)>f'&)

c.D./（司）>小）>0

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断/'（$）与/'（吃）、/（%）与/（0），及其与0的大小

关系.

【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，

结合图象知:/'&）>八七）>0,而/（』）<0</（电）.

故选:B.

【变式4・3】（2025•天津滨海新•联考）“切线放缩''是处理不等式问题的一种技巧.如：y=e'在点（0,1）处

的切线为y=x+l,如图所示，易知除切点（0,1）外，y=e'图象上其余所有的点均在y=x+l的上方，故有

el>x+l.该结论可通过构造函数/。）=/-工-1并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得

的不等式也不同.请根据以上材料，下列命题中正确的是（）

②VaeR,DxeR,el2e"（x-a+lj；

@VAeR,ex-,-A+->0；

2

（4）Vx>0,ev>l+—

xx

A.①②B.①②④C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】利用已知不等式e，Nx+l，可变形得到x-121nx,然后再进行赋值代入证明各选项，即可.

【详解】对于①,对VxeR,由Fe'Nx+1恒成立,可得薪”不，当x>0时,两边取自然对数得x-lNlnx,

所以有2x>x-l2Inx，即e'"之lnx=e'Nelnx,故①正确；

对于②，对VxwR,由于e、2x+l恒成立，可得e~Nx-a+l,即e、2e"（x-a+l）,故②正确；

对于③，对DxwR,由于e'Nx+1恒成立，可得广七工，因为工〉工一；，

所以有即"7+；>0,故③正确；

对于④，对VxeR,由于ex>x+1恒成立，可得et-1>x,

当x>0时，两边取自然对数得x-1之Inxnx21+lnx,

把1用xe,代得：xe'»l+lnke'）=l+x+lnx,

又因为x>0,所以有e*21+止+1,故④正确；

xx

故选：D.

1.（2025•天津南开•模拟预测）若2a=3=log，9,c=e'"t则实数。、b、c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.h>a>c

【答案】D

【分析】求出。、b、c,利用对数函数、暴函数的单调性可得;||〃、b、c的大小顺序.

【详解】由题意可得a=log?3,/=9,可得6=9.。=|，

因为对数函数V=log?x为（0,+8）上的增函数，则2=10824>。=1。823>1。822=1,

转函数》=）在（0,+8）上为增函数，则6=/>8；=2，

故>c.

故选：D.

2.（2025•天津河东•一模）已知a=lge,6=ln0.8,f=e0%则。，b,。的大小顺序为（）

A.a<b<cB.b<c<ciC.b<a<cD.c<b<a

【答案】C

【分析】由指数函数的性质可得c〉l,由对数函数的性质可得力从而即可得答案.

【详解】解：因为c=e°》>e°=l，/）=lnO.8<lnl=O,

O=lgl<a=lge<lglO=l,

所以<c.

故选:C.

3.（2024•天津武清♦模拟预测）设a=log。，2,/>=—^―,c=0,304,则三者的大小顺序是（）

1U62U・J

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】先根据符号判断三个数的大小，在符号相同时，根据函数的单调性再判断即可.

【详解】由对数函数的性质可知，1。8。42<0,1二<0,0.3°4>0,

log20.3

由对数换底公式得：*2二康

由对数函数的性质可知log?0.3〈kg?0.4<0,,

由以上判断得：c>b>a；

故选：A.

2

4.（2025•天津红桥•一•模）设a=2%〃=2,c=0.3,则三者的大小顺序是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

【答案】B

【分析】分别比较a,b,c和0,1的大小关系，进而得出结论.

2

【详解】因为〃=2°3>1,Z>=log0.2<0,c=0.3e（0,l）,

所以a>c>6,

故选：B.

5.（2025•天津河东••一模）已知函数/（-丫）=，+二8（.1）=10811./7，〃3=/+*，它们的零点出瓦2的大小

顺序为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【分析】把零点变成方程的解，现转化为函数图象与直线的交点，由图象可得大小关系.

【详解】f（x）=e'+x=0=>ex=-x,e"=-a,

g（j）=log0Jx-,v=-logx-x=0log=-xlog,0b=-b

~3TT

h（x）=x'+x=0==-x,c3=-c，

作出函数N=bg与"，y=d的图象及直线y=:,由图象可得

a<0,b>0,c=0,所以。<c<6.

故选：B.

6.(2025•天津河东•一模)偶函数/(x)在［0,2］上递增，且。=/⑴，b=flog.-,c=flog2g大小

12ni2)

为()

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>a>cD.a>b>c

【答案】C

【分析】先根据对数性质化简臼变量，再根据偶函数性质将日变量转化到已知区间，最后根据单调性确定

大小.

【详解】因为6=/“og!；)=/(2),c=/(log2¥)=/(—；)=/§),又/(x)在［0,2］上递增，所以

/(2)>/(I)>/(I):.b>a>c,选C.

2

7.(2025•天津,模拟预测)已知函数/(x)=x+sinx,xeR,若a=flog,3,b=flog12,c=f(2-)

\2/\>)

则叫Ac的大小为

A.a>h>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

【答案】C

【分析】对函数/(x)=x+sinx求导，确定函数的单调性，然后确定㈣3,叫2,2,这三个数之间的大小关系,

最后利用函数的单调性判断出出仇c的大小关系.

【详解】/'(x)=A-+sinx=>/(x)=l+cosx>0,所以/'(x)是A上的增函数.

vlog,3=-log23<-log22=-1,0>log2=-log32>-log33=-l,2>0

2J

所以'=/(2-2)>6=/(暝I2］〉"=力哨3］,故本题选C.

k5727

8.(2025•天津•模拟预测)已知a、且e°—2sina—l=/—2cos6=0，则()

A.a>PB.a-P

C.a<pD.无法确定。、夕的大小

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=e'-2cosx、g(x)=ev-2sinx-l,利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点

存在定理可得出。、尸的大小关系.

［详解］令/(x)=e'—2cosx,则/r(x)=er+2sinx,

当时，sinx>0,故/'(x)=e'+2sinx>0恒成立，

故/(x)=e，-2cosx在但J上单调递增，

xf(0)=l-2=-l<0,也>此-&>0,

Z7T、

由零点存在定理得尸£0,-,

I4J

令g(x)=e'一2sinx—1,则g*(x)=cv-2cosx,

/\

由上面的求解可知g'(x)=e'-2cosx在()(上单调递增，

且存在/7e(0,：)使得g'(£)=0,

当xw(O,£)时，g'(x)<o,当KC(尸谭时，g'(x)>0，

所以g(x)=e=2sinx-1在(0,4)上单调递减，在(凡；)上单调卷增，

又g(0)=0，gQ=r_3>/一3>(2.5)匕>0,

故g(x)的零点ac(夕g),g(a)=0,所以。>夕.

故选:A.

9.(2025•天津•三模)已知定义域为R的连续函数/(x)满足：①/(x+6)为偶函数；②

VXGR,/(2+X)+/(4-X)=0：③VX,Y,C(0,3),小止9>0.则/(2),/(5),/(121)的大小

顺序为()

A./(2)</(5)</(121)B./(2)</(121)</(5)

C./(⑵)<〃2)<〃5)D.〃5)</(2)</(121)

【答案】C

【分析】根据①得・.・/3)关于直线x=6对称，再得其/")关于点(3,0)对称，则得到其周期性，再利用其

单调性即可比较大小.

【详解】由①,有/。+6)=/(-1+6),「./。)关于直线工=6对称：

由②，令f=2+x,则x=f-2,有/(6-)=一/"),.•./(》)关于点(3,0)对称；

则〃6-%)=-又因为/(—x+12)=/(x),则/(6T)=-/(_+12),

则/(X)=-f(x+6),则f(x+6)=-f(x+12),则f(x)=f(x+12),

则/㈤的周期为12,故/021)=/0)；

由③,知/(x)在(0,3)单调递增,••・/a)关于点(3,0)对称，

/(X)在(3,6)单调递增，又•••/(X)在R上连续，

.•./(X)在(0,6)单调递增，故有/。)</(2)</(5),

即〃⑵)<八2)<〃5).

故选：C.

10.(2025•天津•模拟预测)己知函数/(x)=l+ln(l+x)-4TM,则下列比较大小正确的是()

A./(-0.33)>/(-0.44)>0

B./(-0.44)>/(-0.33)>0

C./(-0.33)>0>/(-0.44)

D./(-0,44)>0>/(-0.33)

【答案】B

【分析】由导数判断函数的单调性，进而可得.

【详解】由£+可得函数/W的定义域为+8)，

,!

由题意知/w=r——7=i==,

1+x\Jl+2x(\+x)\J\+2x

令函数g(x)=Jl+2x-1-4,且-g<x<0,

则g'3="A=7>°，即8⑴在单调递增，所以g(M<g⑼=0，

故/'(x)<0在区间(一;，。)上恒成立，则/(x)在上单调递减，

所以/(X)>/(0)=0,由函数的单调性可知/(-0.44)>/(-0.33)>0.

故选：B

11.已知函数/(x)=2'+x,g(x)=log2x+x,〃(x)=x3+x的零点分别为小b,c,则a,b,C的大小顺序为

()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到〃«T0)，c=0,

得到答案.

【详解】由题意得/1(工)=2，+%"(力=、3+、在口上单调递增，

g(X)=k)g2X+X在(0,+8)上单调递增，

又f(-l)Y<0，/(0)=1>0,故"(TO),

g(l)=l>0,g(£=T<。,故bw(T，l)，

A(0)=0,故c=O,

故b〉c>4.

故选：B

12.(2025•天津•二模)若2“=3=lo&3,小。吗，则实数“、hc的大小顺序为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】B

【分析】求出〃、b、c,利用对数函数、累函数的单调性可得出。、b、c的大小顺序.

【详解】由题意可得。=13^3,/=3,可得人=31c=T，

因为对数函数y=1。&x为(0,+e)上的增函数，则a=log,3>log22>/2=1=c,

I

哥函数y在(0,+8)上为增函数，则6=3：<(2ZF=3=C，故a>c〉b.

y~UJ2

故选：B.

13.(2025•天津•模拟预测)已知函数/'(x)=xe'-a有两个零点网,》2,且王<9,则()

A.$+2ex,>-3B,再+2e.v2=-3

C.X112CX2<3D.巧I2%与-3无法比较大小

【答案】C

【分析】将函数有两个零点问题转化为方程xe、a有两个解的问题，先对■函数求导，判断单调性和西的

范围，然后判断并证明演+2^2与-3的大小比较，最后得到答案.

【详解】函数/(x)=xex-a有两个零点，即方程有两个不同的根.

设g(x)=xe，则g[x)=(x+l)e)

当*e(-8,-1)时，g<x)<0,所以g(x)在(-8,-1)上单调递减；

当上1,+动时，g1x)>0,所以g(x)在(-1,+e)上单调递增.

乂因为当x<0时，g(x)<0,当x>0时，g(x)>0,所以玉<-1<》2<0.

因为占可以趋近于无穷小，所以猜测为+2以2<-3,下面给出证明.

先正当一1<x<0时，xe*>X.

令力(x)=xe*-x,则〃(x)=(x+l)e，-l,

当x<0时，//(x)<0,当x>0时，//(x)>0,

所以“x)在(-8,0)上单调递减，在(0,内)上单调递增.

由4(0)=0知，当一lvx<0时，/?(X)>0,即xe'x,所以”的〉仁

再证当xv-l时，xex<-—(x+\]--.

2e'?c

令9(x)=xc'+-!-(%+1)+',贝ij°'(x)=(x+l)e'+—.

2ee2e

令阳(x)="(x),则加'(x)=(x+2