2026年高考数学二轮复习突破：函数的极值与最值

第4讲函数的极值与最值A对应学生用书R

【考情分析】利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空

题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，

难度较大.

1命题探源］

1.(多选)(2025•全国n卷)已知7W是定义在R上的奇函数，且当公＞0时,")=(/一

3)ev+2,贝IJ()

A.K0)=0

B.当xVO时，於0=-Q—3把一*—2

C.yu)22,当且仅当X2遮

D.x=-1是共幻的极大值点

解析：选ABD.对于A,根据奇函数的定义有,火0)=0,故A正确；对于B,当x〈0

时，一尢＞(),所以八-x)=(»—3)e「+2,因为x)=一/(x),所以/U)=—(f—3)er

-2,故B正确；对于C,当七＞0时，八尢)=(炉+2¥—3纪，=。-1)。+3把；，所以函数

人外在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，又#8)=2,当x—0+时，«r)一一

1,所以由得工2B；当xV()时，八一l)=2(e-l)＞2,满足/U)22,但一

1«［V3,+8),故C错误；对于D,根据C解析知x=l是函数火幻的极小值点，根据

奇函数图象关于原点对称，知x=-1是函数«r)的极大值点，故D正确.

2.(2022•全国乙卷)函数./(%)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2n］的最小值、最大值

分别为()

A.T?B.—孙，2

2222

C.-+2D.,-+2

2222

解析：选D./(x)=—sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以在区间(0,5)和(.,2n)±/(x)>0,

即穴x)单调递增；

在区间y)jlf(X)<(),即单调递减，

又穴0)=/3)=2,姆)=5+2,

娉)=_(>l)+]=d

所以/⑺在区间[0,2句上的最小值为一§,最大值为1+2.

3.(多选)(2024•全国I卷)设函数4丫)=。-1)2。-4),则()

A.x=3是人工)的极小值点

B.当OVxVl时，fix)<fix1)

C.当1VXV2时，-4V/(2r—l)<0

D.当一IVxVO时，

22

解析：选ACD.因为穴%)=(%—1)(无一4),所以人工)=2(_¥—1)(%—4)+(工-1)=3(x

-l)(x-3),令八x)=0,解得x=l或x=3,当xVl或x>3时，/(x)>0,当l〈x<3

时，/(x)<0,所以函数代x)的单调递增区间为(一8,1),(3,+8),单调递减区间为

(1,3),故x=l是函数7U)的极大值点，x=3是函数/W的极小值点，所以A正确.

当0<xVl时，工一(=入(1一%)>(),即OVfVxVl,又函数於)在(0,1)上单调递

增，所以人/)〈八》),所以B错误.

当l<x<2时，1V2T—1V3,函数火X)在(1,3)上单调递减，所以一4=<3)V;(21一1)

<70)=0,所以C正确.

22

当一1V%VO时,j{2—x)—y(x)—(2—x—1)(2—x—4)—(x—1)(x—4)=

2223

(x—1)(—x—2)—(x—1)(%—4)=(x—1)(—2x4-2)=—2(x—1)>0,所以心一

x)>Ax),所以D正确.

4.(2025•全国H卷)若x=2是函数7U)=(x—l)(x—2)(x—〃)的极值点，则式0)=.

解析：/(x)=(x—2)f[(x—1)(x—d)]+(x—2)[(x—l)(x—a)r=(x—I)。一&)+(/—2)[(x—

l)(x-tz)r，因为x=2是函数次x)的极值点，所以八2)=0,即(2—1)(2—4)=0,则。=

2,经检验，满足题意，所以凡0=(工一1)(工一2)2,所以共0)=-4.

答案：一4

典例1方法导析I

考点1利用导数研究函数的极值

(1)导函数八#的变号零点，即为函数/U)的极值点.

⑵利用函数fix）的单调性可得函数的极值点.

典例

已知函数兀r）=alnx~x+af且〃W0,讨论函数7U）的单调性和极值情况.

解：因为八x）=〃lnx—>0）,

所以F（x）=2—1=詈，

当。<0时，则八处〈0,可知人幻在（0,+oo）上单调递减，无极值;

当a>0时，令八x）=0,则x=。，

当（）<x<〃时，/（%）>0,当x>a时，fW<（）,

可知应¥）在（0,Q）上单调递增，在（Q,+8）上单调递减，

所以成x）在x=a处取得极大值/（Q）=Hna,无极小值.

综上所述：当。<0时，*幻在（0,+8）上单调递减，无极值;

当4〉（）时，“X）在（0,Q）上单调递增，在（Q,+oo）上单调递减，

人幻在工=。处取得极大值J（Q）=alna,无极小值.

对点练1.已知函数火1）=〃1止"+不一Inx（mLIR）,讨论函数/U）的极值点个数.

解：函数八幻的定义域为（0,+oo）,

所以TV)=m^e~x-%er)+1(%_1)(§一m)，

令"3=f—'小贝九心）=中，

令〃(%)V0,可得OVxVL令可得％>1,

所以《X）在（0,1）上单调递减，在（1,+oo）上单调递增，

故〃Q）min=〃（l）=e一机，

①mWe时,〃（％）min2。，则Q%）20,令八x）V0,可得0<X<1,

令人工）>0,可得X>1,

所以成工）在（0,1）上单调递减，在（1,+co）上单调递增，

所以危）有1个极小值点;

@m>e时,M（x）min<0,

因为令〃（工）=。"一工一1,则力（%）=.*—1,

当x〉0时，〃（x）>0,则〃（无）在（0,+oo）上单调递增，

当xVO时，/?<%）<0,则/?（>）在（-8,0）上单调递减，

故/?O)26(0)=0,所以e"2x+l,当x=0时取等号.

当"尚VI时，心)>矍一〃2=1+；心。，

此时三即£(0,1),使得〃(无1)=0,

令oQ)=e"—x2,x>1,有沙(%)=^—2x,令9(x)=e'—2x,x>1,

,(%)=e”一2>0,8(x)在(1,+s)上单调递增，即w(%)>w(l)=e—2>0,

即有。(x)>0,即0(%)在(1,+GO)上单调递增，

即v(x)>v(l)=e—1>0,所以ex>x2,

r2

当X>m>6时，〃(x)>——〃2=X一加>0,此时三改£(1，+co),使得〃(％2)=0,

因此x£(0,'J,八x)<(),凡¥)单调递减，

不£(/，1),/U)>0,/")单调递增，

xe(l,%2),f(x)<0,贝x)单调递减，

不£(%2，+8)，/U)>0,/(X)单调递增，

所以/U)有3个极值点；

所以当mWe时，7U)恰有1个极值点；当m>e时，«x)恰有3个极值点.

考点2利用导数研究函数的最值

典例P2已知函数="

(1)求/U)的极值；

⑵讨论/W在区间［相，"?+而］上的最大值.

解：(1)函数«¥)=三三的定义域为R,

2X+1-(X2+X-1)(X+1)(X-2)

求导得八幻=

当工v—l或x>2时，f(x)<0,当一1VXV2时，/口)>0,

因此函数於)在尸一1处取得极小值1—l)=-e,在尸2处取得极大值J(2)=g

所以函数於)的极小值为一e,极大值为2.

e

(2)由(1)知，函数“¥)在(一8,—1),(2,+8)上单调递减，在(一1,2)上单调递增，

①当〃?+而W—1,即mW—1一遥时，兀¥)在［〃2,阳+遮］上单调递减，/(/)max=/(m)；

②当一i—通＜根＜—1时，，"）在［加，一1）上单调递减，在（-1,机+6］上单调递

增，

由yu）=o,得“i=—山工工2=士亘，&一汨=4亏，

22

当一1一遥v〃?W—三巴时，—lv〃z+V^W乎'，/（〃，）2人尤1）=7（x2）2大机+遮），

Ax）max=Xw）；

当一竽（利〈一1时，二竽1利+遍（心一1，,火帆）（人乃）-/（12）勺（利+通），/（X）max

=4加+遮）；

③当一一6时，«¥）在［〃2,根+\/写］上单调递增，«X）max=y（，〃+追）；

④当2—而〈机V2时，段）在［"2,2）上单调递增，在（2,九+6］上单调递减，/U）max=

欧=*

⑤当加22时,兀¥）在［〃2,zn+V5］上单调递减，於）3=危?1）.

综上所述，当加〈一上叱或团22时，函数火幻的最大值为人血）="号二；

2e

当一1＜m忘2一遮时，函数式处的最大值为人加+遮）=吐空漆上I；

当2一遍VmV2时，函数段）的最大值为火2）=言

［规律方法］（1）求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才

能下结论.

（2）求函数无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合

单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.

对点练2.设。＞0,函数Ax）=a+x2+ln（a—x2）.

（1）若小,讨论段）的单调性;

⑵求/1）的最大值.

解：（1）令〃-f＞0,且白〉0,解得一

可知/U）的定义域为（-G，Va）,且八x）=2x一台=二三产，

因为0＜〃Wl,且一则。一好＞0,x2-a+1＞0.

当一G＜xV（）时，f（x）＞0；当（XxVjH时，f（x）＜（）；

可知«r）在（一G，0）内单调递增，在（0,伞）内单调递减.

⑵由⑴可知：."）的定义域为（一五，Va）,且八工）=-2力:1）,

若0<〃Wl,可知危）在（一VH,0）内单调递增，在（0,迎）内单调递减，

所以«r）的最大值为/（0）=a+lnm

若。>1,令人x）>0,解得一V^〈x<—JQ—1或0<x<JQ—1;

令人））〈0，解得一JQ-1<XV0或JQ-

可知Rx）在（一VE,（0,Ja—1）内单调递增,在（-JQT,0

（JaT,G）内单调递减，

所以次x）的最大值为2a-I.

综上所述：若0<〃Wl,人幻的最大值为/（0）=a+lna

若小:）的最大值为2〃一1.

考点3已知函数的极值、最值求参数

典例[3-（2024.全国II卷节选）己知函数於）=e"奴一"，若於）有极小值，且极小值小

于（），求。的取值范围.

解：方法一：因为人幻的定义域为R,且八x）=ei-m

若〃W0,则/（x）>0对任意工£R恒成立，可知;U）在R上单调递增，无极值，不符合

题意；

若。>0,令/（x）>0,解得x>lno,令八x）V0,解得x<ln〃，

可知/W在（一8，Ina）上单调递减，在（Inm+8）上单调递增，

则./U）有极小值川na）=a—aln。一凉，无极大值，

由题意可得，filna）=a—alna-a3<0,即层+5a—1>（）,

令g（〃）=a2+lna—1，。>0，则炉（。）=2。+\>。，

可知g（〃）在（0,+8）上单调递增，且g（]）=o,

不等式储+ma—1>0等价于g（4）>g（l），解得a>\,

所以a的取值范围为（1,+8）.

方法二：因为儿丫）的定义域为R,且八x）=e*—a,

若#x）有极小值，则八x）=e'一〃有零点，

令人））=^—a=0,可得e'=a,可知y=e，与y=a有交点，则Q>0,

令/（元）>0,解得％>lna；令/（x）V0,解得xVlno,

可知其x）在（一8,Ina）J_单调递减，在（Ina,单调递增，

则凡丫）有极小值*na）=a—a\n〃一〃，无极大值，符合题意，

由题意可得,/（lna）=a—alna—a3Vo,即次+皿。-l>0,

令g（a）=a2+］na—1,。>0,因为y=〃2,y=ln。-1在（0,+8）上均单调递增，

所以g（。）在（0,+8）上单调递增，且g（］）=0,

不等式a2+lna~1X）等价于g（a）>g（l），解得a>1,

所以a的取值范围为（1,+8）.

［反思感悟］方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法,分离参数时，等式或

不等式两边符号变化以及除数不能等于0,易忽视.

对点练3.（1）（2025•浙江台州二模）已知若函数段）=1+2一In尤既有极大值又有

X

极小值，则。的取值范围是（）

A•&+8）B.（o,；）

C.（一0）D.（-+oo）

解析：选C.因为函数於）=x+2—Inx的定义域为（0,+a））,所以八］）=1一卷一工二

XXX

x2-x-a

*'

因为函数./U）既有极大值，又有极小值，

则关于X的方程X2—X—。=0有两个不等的正根即，X2,

p=l+4a>0,

所以《与+%2=1>0，解得一［<〃<（），因此，实数〃的取值范围是（一0）.

Vx1x2=_a>0,

（吗%>2,

（2）（2025・江苏宿迁二模）若函数」（幻=x~有最大值，则女的最大，直为（）

kx,x<2

AA.—ln2BE

42

c.-D」

2ee2

解析：选C.当x22时，网=竽则八幻=三臀

当2WxVe时，八幻》（）,此时，函数应0单调递增，

当x>e时，人］）<0,此时，函数段）单调递减,

则函数«r）在x=e处取得极大值，且极大值为

flnx、c

——，%>2,fc>0,1

因为函数«r）=X有最大值，则1解得OWjtwZ,

2/C<i,2e

kx,x<2e

因此，实数攵的最大值为工.

2e

［课下巩固检测练（四）］函数的极值与最值

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分）

一、单选题

1.已知函数y=/（x）的导函数八处的图象如图所示，那么对于函数），=/（x）,下列说法正

确的是（）

A.在（一8,—1）上单调递增

B.在（1,+8）上单调递减

C.在x=l处取得最大值

D.在x=2处取得极大值

解析：选D.由导函数图象可知，当不<一1或亡>2时，/（x）VO,当一l<rV2时,

八幻20,所以於）在（-8,-1）,（2,+oo）上单调递减，在（一1,2）上单调递增，故

选项A,B错误；

在x=2处取得极大值，且41）〈/（2）,故C错误，D正确.

2.已知函数,/U)=ex—ex,则7U)()

A.有最小值1,无最大值B.有最大值1,无最小值

C.有最小值0,无最大值D.有最大值0,无最小值

解析：选C.因为式x)=e'—ex,所以八元)=匕丫一©♦

当x£(—oo,1)时，/(x)<0,人幻单调递减，

当x£(L+oo)时，八x)>0,兀t)单调递增,

故#x)的最小值为41)=(),无最大值.

3.(2025•广东汕头一模)设。£R,若函数.人幻=|3—92+x+2在(1,2)内存在极值

点，则。的取值范围是()

A13.3B.(3,I)

—

C.(GO,3)D.E，+s)

解析：选B.依题意，/(x)=2f—分+1在(1,2)内存在变号零点，即方程2r—ov+l

=0在(1,2)内有解，也就是a=2x+工在(1,2)内有解.令g(x)=2x+士对g(x)求导得

ATX

gQ)=2—^>0在(1，2)内恒成立，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(l)=3,g(2)=,

所以。的取值范围是(3,|).

4.(2025•河北张家口二模)已知正三棱柱的表面积为6b，则当其体积取得最大值时，

该三棱柱的高为()

A.3B.这C延D,2

334

解析：选B.设正三棱柱的底面边长为Q,高为儿

则其表面不只S=2X且。213Hz=6打，得八=丝咨,又〃>0,所以0VaV26，

42yj3a

212aa3

故正三棱柱的体积V=—ah=~f

48

则V(a)=2—三〃2,当()V〃V2时，V(a)单调递增，

28

当2<。<2b时，V(a)V0,V(a)单调递减，

所以当〃=2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为独.

3

5.(2025•陕西榆林二模)已知壬实数a,人满足。-21na=2\n。-48+4,则\ogab=

()

A.iB.—C.-ID.~-

222

解析：选C.由。-21na=21n/?—4/?+4,得1+2/?—2=lno+ln

因为a,b均为正实数,所以]+2b22GF(当且仅当9=24即〃=4。时取等号)，

所以ln(ab)^2Va6-2,即Inyfab^yfab—1.

令7(x)=lnx~x+1,则八x)=、』，

当0<x<l时，f(x)>0,八力单调递增；

当x>\时，「a)vo,兀o单调递减,

故当x=l时，Xx)max=ln1-1+1=0,即兀0=1%一尢+1辽0(当且仅当工=1时取等

号)，

因此InVab—VaF+1^0,即Iny[ab^y[ab~\.

由In4ab^4ab—1和InVab^VaF—1可得Inyfab=Vab—1,

则有解得所以log/=log2：—l.

二、多选题

6.(2025•浙江杭州二模)设函数段)=(V—x)lnx,贝")

A.y(x)是偶函数

B../U)20

C./U)在区间(0,1)上单调递增

D.x=l为火x)的极小值点

解析：选BD.对于A,7U)的定义域为(0,+oo),故式x)为非奇非偶函数，故A错

,0

伏；

对于B,由于凡¥)=(二一%)]nx=x(x+1)。-Dinx,且x>0,故x+l>0,

当x>l时，lnx>(),此时/U)>(),当OVxVl时，lnx<(),此时力>)>(),当x=l

时，大幻=0,因此./U)N0,故B正确；

对于C,八x)=(3/—i)|nx+x2—l,当尢£(立，1)时，3x~l>0,lnx<0,/一1<

3

o,此时八%)<0,因此危)在卢,1)单调递减,故c错误.

3

对于D,/口)=(3/—1)1111+/一1,当x>l时，3^-1>0,lnx>0,x-l>0,故

/(x)>(),当工£(白，1)时，3^-1>0，lnx<0,x2-l<0,此时/'(x)V0,因此人x)在

(y,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，x=l为/U)的极小值点，故D正确.

7.(2025・山东济宁二模)已知函数y(x)=cosx—sin(cosx)—1,则下列结论正确的是

()

A.於)的图象关于y轴对称

B.2兀是府)的一个周期

C.於)在［0,向上为增函数

D./U)V一f

解析：选ABD.对于A,函数的定义域为R,关于原点对称，/(—%)=cos(一%)一

sin(cos(一%))—1=cos%—sin(cosx)—1=J(x),所以#x)是偶函数，其图象关于y轴对

称，故A正确；

对于B,f{x+2ir)=cos(x+2n)—sin(cos(x+27c))—1=cosx—sin(cosK)—1=J(x),所

以./U)的一个周期是2兀，故B正确；

对于D,因为一KcosxWl,令/=(：05工，则y=LsinLl,求导得V=］—cosf,由

于cos，e［—1,1］,所以y'=1—cosy=LsinL1单调递增.当，=1时，y取得

最大值1—sin1—1=-sin1；当/=—1时,y取得最小值一1一sin(—1)—1=sin1—

2.因为sinl>sinE=逛，所以一sin1V—sinE=一虫，即火幻〈一迎，故D正确；

4242J2

对于C,令，=85%，当工可。，句时，f=cosx在［0,可上单调递减，又丁=Lsinf一

1单调递增，根据复合函数单调性，所以/(x)=cosx—sin(cosx)—1在［0,n］上单调递

减，故C错误.

三、填空题

8.(2025・陕西安康三模)函数")=丑1111—1)的最小值为.

角翠析：/(x)=2x(lnx—1)+x=x(21nx—1)，x>0,

令八X)=0,得x=Je,

当0<xV粕时，f(x)<0,人］)单调递减，

当尢>五时，八处>0,危)单调递增,

所以当工=粕时，函数4v)取得最小值一之

2

答案：一：

9.(2025•天津河东二模)设函数八r)=x+lnx,g(x)=x+ev,若存在xi,使得g(xi)=

“T2)，则Ix\—xiI的最小值为.

解析：因为g(x)=x+e*,所以g'(x)=1+c">()恒成立，

所以g(x)=x+e］在R上单调递增，

又因为於)=%+=欠=”*+111方=8(111%),且存在XbX2，使得g(Xl)=/(X2)=g(ln%2)，

所以xi=lnX2,

x

所以-x2|=|lnx2~2|，

令6(x)=lnx—x+l(%>0),则/?"(%)=--1=—

XXf

当OVxVl时，》(x)>0,〃(x)单调递增；

当犬>1时，/?/(x)<0,〃(%)单调递减，

所以/?(%)W/z(l)=O,所以In尤Wx—1,即x—lnx21,当x=l时取等号.

=X

所以—x2\=\\nx2—X2||2—ln%2|=X2—lnx22l(当X2=l时取等号,此时即=

0,g(Xi)=/(X2)=1满足题意)，所以IX］-X2I的最小值为1.

答案：1

四、解答题

10.(2025・甘肃白银二模)已知函数,«%)=4m工+/-4工(0>0),函数./U)的导函数为

八。

(1)当。=1时，求曲线)，=/U)的斜率为一1的切线方程；

(2)若函数g(x)=/U)+/(x)的极小值大于0,求。的取值范围.

解：(1)当a=］时，F(x)=［+2x—4,

令八力=一1，

化简得2f—3x+l=0,解得工=1或工=±

2

当切点为(1,f(l))时，所求切线方程为)，一/(1)=一(％—1),即x+)，+2=0；

当切点为《，/(：))时，所求切线方程为厂昭)=一(%—3，即x+y+|+ln2=0.

(2)/V)=，+2x—4,g(x)=ytx)+/(x)=〃lnx+x2—2%+^—4,

g，(x)=g+2L2—

°XX2X2

因为q>0,所以Z?+oX),当OVxVl时，g'(x)v(),g(x)单调递减；

当x>l时，g'(%)>0,g(x)单调递增.因此，当x=l时，g(x)有极小值.

由题意，g(l)=—l+。一4>()=。>5,则。>5.

11.(2025•云南红河三模)已知函数於)=陋+1.

X

⑴求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)求函数段)的极值;

(3)设，>0,求函数/W在区间［t,2t］上的最大值.

解：(1)函数次x)的定义域为(0,+oo),

由人力=滔”，则切线的斜率2=/(1)=2,

X

又火1)=1,故切点为(1,1),

所以切线的方程为)-1=2(%—1),即21一丁一1=0.

(2)因为八x)=f^,则/(此>0,得OVxVe；/(x)<0,得x>e,

所以成1)在(。，e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

故当x=e时，，«x)有极大值J(e)=(+1,无极小值.

⑶由(2)得：当2/We且>0,即0VW］时，人］)>0在上，2t］上恒成立，函数危)在

(32。上单调递增，

所以/U)max=/(2t)=竽+1；

当fVeV2f,即士We时，xW(3e)时,/(x)>0,%e(e,2。时，/(%)<(),

2

所以函数/(x)在(3e)上单调递增，在(e,2t)上单调递减，所以火=/>)=?+1；

e

当f'e时，八x）WO在［t,2H上恒成立，函数兀v）在（32。上单调递减，

所以«r）max=/Q）=半+1.

V

综上所得：当（）V『W时，九）皿=竽+1；

乙V-

当K^Ve时，,"）max=2+l；

ze

当时，」（X）max=¥+l.

V

［创新题］

12.（2025•江西南昌一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到

右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两