2026年高考数学二轮复习突破：恒成立与能成立问题

第6讲恒成立与能成立问题A对应学生用书P12

【考情分析】恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近

几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式

出现，难度较大.

真题［命题探源］

(2024•全国甲卷节选)已知函数/(x)=(l—or)ln(l+x)—x,当上20时，恒成立,

求。的取值范围.

解：/x)=(l—〃x)ln(l+x)一心%e[0,+oo),则/a)=—Hn(l+x)一号詈

设g。)=-dn(l+x)-

aa+1

则g\x)=-1+x(l+x)2*

因为当xNO时，且火0)=0,/(0)=0,

所以g'(0)=-24—120,得

故—三是原不等式成立的一个必要条件.

2

下面证明其充分性：

当。或一匕x20时，

26v72(1+%)2(l+x)22(l+x)2

所以F(X)在［0,+8)上单调递增，且八X)2八0)=0,

所以成工)在［0,+8)上单调递增，且人工)2黄0)=0.

综上，〃的取值范围是(一8,-1］.

2

典例1方法导析I;

考点1利用导数研究不等式恒成立问题

典例T(2025•江西新余一模)已知函数人幻=6，+6一，+。IxI+Z?cosx,其中mb£R,

当〃=—2时，7U)2o恒成立，求。的取值范围.

解：由/(—x)=e-x+ev+6fI—xI—2cos(—x)=eA+e~v+t7IxI—2cos工=/0)且定义域

为R,

所以/U)为偶函数，即函数图象关于y轴对称，只需研究x》()时，70)2()恒成立,

由负0)=0,要使/(x)20在/£(0,+8)上恒成立，必有八o)2o(必要性)，

由.A^)=e'+e+tzx—2cosx,则八x)=eJer+o+2sinx,即/(O)=aNO,

下证(充分性)：Q30时，恒有八r)》0在x£((),十8)上成立，

在%E(0,+CG)-k-f(x)=ex+e^x+cix—2cosx>2\ex^e~x—2cosx+tzx=2(l—cosx)+

ax,

又。20,且1—cosx20,故2(1—cosx)+or20,即«r)20在(0,+8)上恒成立；

,x¥

当a<0时,令g(x)=/(%),则g(x)=e+e--+2cosxf

在工£(0,+8)上e'+er>222cos犬2—2,即gQ)>0恒成立，

所以x£(0,+8)上g(x)单调递增，

当尢趋向于()时，g(x)趋向于。(々VO),当x趋向于+8时，g(x)趋向于+8,

所以三沏£(0,+°°),使以即)=六¥())=0,

即无£(0,沏),g(x)=f(x)<09则於)在x£(0,沏)上单调递减,

又X0)=0,故存在区间无£(0,松)上火x)V0,不合题设.

综上，〃20.

［规律方法］由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略

⑴求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.

(2)分离参数法.将参数分离出来，进而转化为。力⑴max或。V«T)min的形式，通过导数

的应用求出式幻的最值，即得参数的范围.

对点练1.(2025•山东淄博一模)已知函数yU)=-e「+x+2,若对于任意x£(e,+

8),心:)〈/恒成立，求实数入的取值范围.

解：因为x£(e,+°°),

所以由一&门+1+2〈氏，即入〉一丈二+?+l.

XX

设g(x)=-J+4+l,%e(,+oo),

Xe

则ga)=xe：ei)=ef-2<0在e+8)上恒成立，

所以函数g(x)在(e,+8)上单调递减，

所以g(x)Vg(e)=­?+2+1,

e

所以入>一ee2+-+1,即实数入的取值范围是L—ee2+-+1,+°°).

ee

考点2利用导数研究不等式能成立问题

典例2(2025•山东荷泽一模)已知函数危)=会一乂

⑴求外幻的单调区间；

(2)当。>0时，存在工仁[-1,1],使得|/(幻|22,求。的取值范围.

解：(l)f(x)=6zev-l,

当aWO时，八工)〈0恒成立，此时式处在R上单调递减；

当〃>0时，令八x)=0,则x=-ln〃，

当尢£(—oo,—Ina)时，/。:)VO,此时人幻在(-8,一Ina)上单调递减，

当x£(—lna,+s)时，八M>0,此时“r)在(一皿外+8)上单调递增；

综上所述，当。W0时，兀V)的减区间为(一处+oo),无增区间；

当。>0时，的减区间为(一8,-Ina),增区间为(一Ina,+8).

(2)因为存在x£[—1,1],使得|/(%)|22,只需4X)max22或穴X)minW—2,

因为a>Q,所以兀¥)=〃―一x>—x>—1,

所以只需./(X)maxN2,

由(1)知4工)max为/(—1)与穴1)中的较大者，

所以,/(l)=ae—122或/(—1)=优一】+122,解得或〃2e,

所以a》。，

e

综上所述，。的取值范围为[|,+oo).

[规律方法]含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法：

若a>於)在X£。上能成立，则。>/(X)min；

若4<危)在上能成立，则aV/U)max.

注意：不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差另山

对点练2.(2025・河北张家口一模节选)已知人%)=111工-。。+1),6/GR,若三&£(0,

2],使穴%。)>0,求〃的取值范围.

解：因为三刈£(0，2],使得八Xo)>O即lnxo-0(&+l)>O，

所以〃〈3，

Xo+l

]

.1ny1+InXh(y,)

令ga尸有'E0'2]，则tg'G尸常M=品'1°,2]，

所以公(%)=一9一*0在(0,2］上恒成立，

所以函数〃(%)在(()，2］上单调递减，

Q/p3

所以也(%)2力(2)=1-ln2=lnx—>0,

22

所以g'(%)>0在(0,2］上恒成立，

所以函数g(x)在(()，2］上单调递增，

所以R(%)max=g(2)=?，

所以Q<小.

3

［课下巩固检测练(六力恒成立与能成立问题

(每题10分)

1.(2025•江西鹰潭二模)已知函数y(x)=xlnx

⑴求函数人处在x=e处的切线方程；

(2)若关于x的不等式质)2以一工一1恒成立，求实数a的取值范围.

解：(\)J(x)=x\nx,［(x)=lnx+l,

而穴e)=e，/(e)=2,

所以成x)在x=e处的切线方程为y=2x-e.

(2)因为x>0,所以於r-1恒成立等价于在入e(0,+s)口寸，aWln尢+工+1恒

X

成立，

令g(X)=lnx+-+1(%>0),

X

83=妥，

当%>1时,屋久)=爰>(),g(x)单调递增;当OVxVl时,gf(x)=x-1<0,g(x)单调

递减，则函数g(x)2g⑴=2,故

2.(2025•河北保定一模)已知函数人］)=—，"一起丫+2〃2尤

⑴当。=1忖，求/)的极值;

⑵若关于x的不等式儿()+储，0有实数解，求。的取值范围.

解：⑴当a=\时，於)=一货一^+2匕

则/。)=一6一©'+2=©+2)(1-ex),

令人工)>0,得x<0；令/(6<0,得x>0,

所以«v)在(一8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

所以©的极大值为穴0)=一会无极小值.

⑵由题得/(x)=—e2x~aex+2a2=(a—ex)(ex+2a),

当a=0时，/0)=—32”<0，不符合题意；

当a>0时，令八处>0,得工Vina；

令人工)<°，得x>lna,

所以./U)在(-8,Ina)上单调递增，在(ina,+8)上单调递减，

所以,/(x)max=/(lna)=--e"11"一。田"+2〃21na=--cr+2a2\na,

22

由一土尸+2屋]na+a2NO,得一工+21n〃20,解得

22

当“VO时,令八<>0,得工Vln(-2a)；令八x)V0,得光>。(-20),

所以«x)在(一8,ln(—2%))上单调递增，在(ln(—2a),+8)上单调递减，

所以Ax)max=y(ln(-2Q))=—1e21n(-2a)一泥皿—2a)+2〃2[n(—2a)=2tz2ln(—2a),

由2«2ln(—2。)+〃20,得21n(—2a)+120,解得。〈一

综上，〃的取值范围为(-8,--1=]ue?,+8).

3.(2025・河北沧州一模)已知函数於)=。一°)111。+1).

(1)若。=0,证明：段)20；

(2)若存在过点(一1,0)的直线与曲线)，=/U)相切，求实数。的取值范围.

解：(1)当。=()时，/U)=jdn(x+1),%e(-l,4-oo),

则人))=lnQ+l)+M，%e(-l,4-oo),

令人(x)=ln(x+l)+W，xe(-l,+oo),

则力。)=」-+'^=*勺>0,

'7x+l(x+1)2(x+1)2

所以函数人。)在(-1,+8)上单调递增，

又加0)=0,所以当x£(—l,0)时，Z?(x)<0,

即yv)vo

所以函数凡r)在(-1,0)上单调递减；

当x£(O,+8)时，/?(x)>0,即八#>0,所以函数凡r)在(0,+8)上单调递增，

所以当工=0时,./U)min=/(0)=0，

所以凡V)2,X)min=0.

(2)设过点(一1,0)的直线与由线y=A外相切于点(X0,州)，

fM=ln(x+1)+拶，则/(&)=ln(xo+1)+署，

X~rkXQ*T1

则切线方程为y—yo=/(xo)(x—%o),

又该切线经过点(一1,0),所以0—jo—/(xo)(—1—扰)，

即—(x。—〃)ln(xo+1)=[ln(4o+1)+^-(―1—&),

整理得(xo—a)ln(xo+1)=(1+xo)ln(xo+1)+沏一。，

即xo+(l+a)ln(xo+1)—。=(),

即xo+1+(l+^)ln(xo+1)-3+1)=0,

即[ln(xo+1)—l](a+1)=—(AO+1),

显然当。+1=0时，不合题意；

则_「—E(%o+1)—1,

a+1x0+l

令以))=也匚，x£(()，+8),

X

则g'a)=&，

当了£(0,e?)时，g3>0,函数g(x)在(0,e2)上单调递增；

当工£(4,+8)时，g«)V0,函数g(x)在(e?,+8)上单调递减;

所以函数g(x)在x=e之时取得最大值ge)=J且当x-()时，g(x)一一8,当不一+8

时，g(x)-O,所以g(x)W，,

即一止产，解得〃>—1或〃W—e?-1,所以实数〃的取值范围为(-8,—e2—

1]U(-1,+oo).

v

4.(2025•安徽蚌埠二模)已知函数段)=(QX+l)e-l(anR).

⑴若。=—2,求为力的极值;

(2)若./(X)W(Q+l)x对任意的尤仁[0,+8)恒成立，求。的取值范围.

解：(1)若。=一2,则氏0=(—2%+

所以((/)=(~2x+l)ev-2e'=(~2x—l)ev,

令人))=0,解得工=一三，令八#>0,解得了〈一士

22

令/a)vo,解得九>一二

2

所以/U)在(一8,一m上单调递增，在(―：，+8)上单调递减,

所以人幻的极大值为—0=2e-2—1,无极小值.

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