2026年高考数学二轮复习突破：三角形中的特征线

微点突破5三角形中的特征线>对应学生用书P35

【考情分析】与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高

考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，

难度中档或偏下.

重点1三角形的中线

1.中线长定理：在△ABC中，AO是边8。上的中线，则482+4^=2(302+402).

2.中线的向量表示：AD2=^(AC2+AB2+2-\AC\-\AB\-COSZBAC).

典例(2025•广西桂林一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知h2

=(cz+c)?-«c.

(1)求8；

(2)若/?=3,求△ABC的周长的最大值；

(3)若△ABC的面积为遍，。为AC的中点，且|/。=28，求3。的长.

解:(1)*.*/?2=(a+c)2—ac,/.b2=a1-\-c1+ac,

又据余弦定理b2=a2-\~c2—2accosB,/.cosB=-

2

VBG(0,n),

⑵由b=3及已知得9=(o+c)2—QC,

22

又,.,.(a+c)?-9=QCW(^|^),

...Q+CW2国，当且仅当。=C=A/5时，等号成立，

故△48C的周长最大值为3+2V3.

(3)S4fic=-«csinB=—ac=y3^>ac=4则c=-,

A24af

2222222

由b=a+c—2accosB,得12=a+c+4,则a-\-c=8f

故居+号=8,化简得《4—8/+]6=3—4)2=o,解得。=2,

：.a=c=2,又。为AC的中点，：.BDA.AC,

又|4D|=b,

，由勾股定理得|BD|=\AB\2-\AD\2=4-3=1.

［规律方法］解决三角形中线问题的常用方法

(1)利用角互补及余弦定理求解；

(2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程；

(3)利用向量法求解.

对点练1.(2025•河北秦皇岛一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为①b,c,且

华sinC=sin(B+1)+L

⑴求3；

(2)若AABC的面积为鼻b=2,求AC边上的中线长.

解：(1)已知回sinC=sin(3+E)+L

c2

根据诱导公式，可得sin(B+-)=cosB,则原式变为'弓与抽C=cos5+1.

2C

由正弦定理可得〃=2Rsin&o=2RsinC

代入上式可得\Q乂2的1证系§由c=cosB+1,化简得\GsinB=cosB+1.

2/?smC

将等式变形为BsinB—cosB—1,根据辅助角公式可得2(--sinB--cosB)=\,

22

即2sin(3一e=l,所以siMB—e/

因为0<3〈兀，所以一UVB—史，则3一E=上解得3=二

666663

(2)已知△ABC的面积为B=%

根据三角形面积公式5AABc=-acsinB,可得工或4户=理，

2232

即与cX更=且，解得〃c=2.

222

由余弦定理/?2=4+/—2〃ccos8,已知b=2,8=三，

可得22=tz2+c2-2X2Xcos-,

3

即4="+/-2,解得浮+\=6.

设AC中点为。，则丽=三(而+前)，两边平方可得前2=〃瓦彳2+前2+2反『前),

24

可得加2=[/+/+2accosB)=-(6+2X2Xcos-)=々6+2)=2,

4434

所以I前|=/，即AC边上的中线长为鱼.

重点2三角形的高线

l./ii,岳，必分别为△ABC边mb,c上的高，则力1：①：自=工：工：工

abc

1.1.1

sirii4sinFsine"

2,求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度.

3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关.

典例H(2023・新高考I卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-Q=sinB.

⑴求sinA；

⑵设48=5,求48边上的高.

解：(1)VA+B=3C,

，兀一C=3C,即

4

又2sin(A—C)=sinB=sin(A+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC十cosAsinC,

AsinAcosC=3cosAsinC,

sinA=3cosA,

即tanA=3,所以OVAV：

2

.,.si.nAA=-3==-3-x-/1-0-.

Vioio

⑵由⑴知，3噂,

由sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsin。=孝噂)=等,

5X2VS

由正弦定理三=上，可得

sinCsinBv2

2

：.-ABh=-ABAC^\nA,

22

，/?="sin4=2VlUx答=6.

［规律方法］解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定理求得三角形的某些边和角

来表示三角形的面积，然后解S=/AsinC=%csinB=»sinA=［＞＜边长X/?,求高无

对点练2.（2025弓可南周口二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且

华=2sin（C+=）.

⑴求8

（2）若〃=2,过点B作BOL4C,。为垂足，求的最大值.

解：⑴由华=2sin（C+§及正弦定理，得音詈=V5cosC+sinC,

所以VSsinA=V^sinBcosC—sinBsinC,又sinA=sin（B+C）,

则逐sinBcosC+V3cosBsinC=V3sinBcosC+sinBsinC,

化简可得BcosBsinC=sin3sinC,又C£（0,n）,sinCWO,

所以冉cos3=sin3,所以tan3=B，又6£（0,IT）,所以3=工

3

（2）设5。=〃，由三角形的面积公式可得S—8c=4/2=%csin3,解得h=@ac,

224

又。2=屋+/—2QCCOS3=。2+。2—QC22QC—4C=4C,当且仅当4=C时，等号成立,

又/?=2,所以〃cW4,当且仅当Q=C=2时，等号成立,

故〃=更〃cW更义4=返，即BD的最大值为6.

44

重点3三角形的角平分线

如图，在△ABC中,A。平分/氏4C,ZBAC,ZB,NC所对的边分别为。，b,

1.内角平分线定理：AZ）为△ABC的内角NR4c的平分线，则丝=丝.

ACDC

.QBAC

2.角平分线长公式：AD=obcc^s~.

典例（2025・吉林长春二模）在aABC中,b,c、分别为角4,B,。所对的边，且土

=h-acosC,角A的平分线交5c于O,且BD=2DC.

⑴求角A；

(2)若AC=3,求AD的长.

解：（1）由4=/?—acosC和正弦定理，可得linC=sinB—sin4cosC,

22

因sinB=sin（7i—A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

则工sinC=sinAcosC+sinCeosA—sin4cosC,即工・sinC=sinC-cosA,

22

因为sinCWO,则得cosA=5因为OVAVm则A=g.

（2）如图，因为AO是NC48的平分线，则丝=吧=2,解得48=6,

ACCD

又S„ABC=S^ABD+S^ACD,则LAB/Csin2=LAB/Z）・sinU+LACAO・sin2,

232626

即6义3义过=6/。」+3/。二，解得4。=2百.

222

［反思感悟］解决与三角形的角平分线有关问题的方法

(1)利用角平分线定理、找边之间的关系；

(2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为大三角

形的面积求解.

对点练3.(2025・贵州六盘水一模)在△A3C中，内角A,B,C的对边分别为mh,

若2a—c=2bcosC.

⑴求角8的大小;

(2)若切访4=遍，点。是边AC上的一点，BD平分NABC,且50=2,求△ABC的

面积.

解：(1)由余弦定理得2a-c=2bF"”［C

2ab

整理可得。2+/一岳=",

・„a2+c2-b2

..cosB=----------=一1,

2ac2

又8£（0,n）,・・・8=泉

⑵在AMC中，由正弦定理焉二焉得心山^二加山人二8一,二篇二？,

平分NA8C,

AZDBC=-叉BD=a=2,：.ZBDC=ZC=—,

6f12

.・.4=兀―1+空）=土・"=巫=警=遍，

\31274sinA匹

2

Z.SAABC=-absin。=[X2X痣sin（^+三）=遍X（也X立+立X工）=3.

22\46722222

«

二

ADG

[课下巩固检测练（十七）1三角形中的特征线

（每题10分）

1.在△43C中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,C,4=7,A=60°.

⑴若2c—b=2,求sinC；

（2）若边上的高万=竿，求△ABC的周长.

解：（1）由余弦定理cr=b2+c2—2/?ccosA,得49=庐+/一如

联立2c—b=2,解得c=—3（舍）或c=5,

由正弦定理得号得』=告，解得sinC=萼.

sinAsinCsin60°sinC14

（2）由题得△ABC的面积5AABc=-ah=-X7X—=6A/3,：.-bcsinA=—bc=6V3

22724f

：.bc=24.

由余弦定理得49=〃+/—%,・・・按+/=73,

・・・S+C）2=73+48=121,：,b+c=l\,；・△ABC的周长为。+Z?+c=18.

2.已知△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为①b,a且满足a：〃：c=

V7：2：1.

⑴求角A的值；

⑵若点。为8c的中点，求AO：8C的值.

解：⑴设c=l,则a=«,b=2,

利用余弦定理可得COSA=M+c2a2=4+l—7=一工，

2bc2x2x12

又因为A£（0,71）,所以4=4.

（2）设c=l,则〃=夕，b=2,因为点。为5c的中点，所以而=工（荏+前），

2

两边平方可得而2=］（荏+近）2，即4|而|2=\AB\■2+1就I2+2|荏II^4CIcos

A,

所以4|前|2=I+4+2X1X2X（-；）=3,可得|而|=中，所以AQ：BC=答.

3.（2025•广东惠州模拟）在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为小b,c,且A=,

J

4=4.

（1）若3C边上的高4。=2百，求证：△ABC为等边三角形；

（2）已知直线4M为N84。的平分线，且与BC交于点M,若AM=畔，求△ABC的周

长.

解：（1）证明：在△45C中，4=二。=4,

3

2222

由余弦定理得b+c—2bccosA=49即b+（r—bc=16①.

又S^ABC=-\BC\-\AD\=-bcsinA,即工乂4*28=工•历•且，故bc=16②.

22222

由①②得S—C）2+Z?C=16,即（〃一C）2=（）,故b=c=4=a.

所以△ABC为等边三角形.

（2）在小ABC中，由5AABC-S^ABM+S^ACM9

得4csinNA4C=工AMcsinNR4M+工AM"sinNCAM,

222

又直线AM为N84C的平分浅，则ZBAM=ZCAM=-ZBAC=-,

26

所以4cx立=工义辿。义工+工义壁bxL即儿=延仍+。）③，

222322323'7

又由余弦定理可得cosNR4C=F+c'—4,即b2+c2~bc=16④，

2bc

由③④可知16=S+C）2—38C=S+C）2—2V^S+C）,

解得。+0=4\泛或/?+c=—2鱼（舍），

所以△4?C1的周长为a+h+