2026年高考数学二轮总复习：解三角形综合大题（天津）原卷版

专题09解三角形综合大题

目录

；第一部分题型破译微观解剖，精细教学

|&典例引领"方法透视他变式演练

!【选填题破译】

!

j题型01正弦定理的应用

|题型02余弦定理的应用

!题型03三角形周长定值与最值

题型04三角形面枳定值与最值

j题型05角平分线问题

|题型06中线问题

i第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01正弦定理的应用

【例1・1】(2026•天津滨海新•月考)记V/WC的内角4仇。的对边分别为已知〃+。=庐二］

⑴求角4:

(2)若VABC的面积为立，且sinB=2sinC.

①求VA8C的周长;

②求sin(28+A).

【例1-2]（2026•天津•月考）在VMC中，角A及C所对的边分另J为。也c,已知c/sin8+GAos（8+C）=0,

c-2b=1,a=yf\9.

⑴求角A的大小；

⑵求c的值：

（3）求tan住+B）的值.

1Z/

方汝透视

（1）已知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；.

大角求小角一解（锐）

[两解一sinA<l（一锐角、一钝角）

小角求大角一<一解一sinA=l（直角）

无解一sinA>1

（3）两边一对角，求第三边.

【变式1」】（2026•天津武清•月考）已知V/WC的内角A,B,C的对边分别为〃，从c,且

（2a-&c）cos8=>/3/?cosC,则tan4=.

【变式L2]（2026・天津•调研）在VA8C中，角A,B,C的对边分别为。，c,已知24cosA=〃8sC+c8s5,

c-2b=\,a=V7.

⑴求A的值；

⑵求。的值：

⑶求sin（A+23）的值.

【变式1・3】（2026・天津•月考）在V/WC中，已知sin8=cosAsinC,且泡./=4，则闷=

题型02余弦定理的应用

【例2-1]（2026•天津滨海新•月考）在VA4C中，角A、6、C的对边分别为人从c,已知3（a-c）2=3从-2皿

⑴求cosA的值；

（2）若5sinA=3sin8,求

（倒）sinA的值；

(0)cos(24+B)的值.

2-2](2026•天津西青•月考)在VAKC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,J已知

\/2cosC(flcosB+bcosA)+c=0.

⑴求C的大小；

(2)当〃=&,8=2时，

(i)求边长。；

(ii)求sin(2"+C)的值.

方做透规

(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值,

>0,则AABC为锐角三角形

若余弦值，=0,则AABC为直角三角形.

<0,贝IJAABC为钝加三角形

【变式2・1】(2026•天津南开•联考)在V4BC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足

sinAcos]A+—|=—.

I6j4

⑴求角A的大小；

(2)若。一2,c=>/力，求VAAC的面积.

【变式2・2】(2026•天津•开学考试)已知VA8C的内角A8.C的对边分别为且

仅a-Kc)cosB=G/TCOSC.

⑴求角8的大小；

(2)若。=6,。+0=2,求VABC的面积：

⑶若b=&a，求cos(2A-8).

【变式2・3】在VA6C中，角人,反。所对的边分别为&〃,。，且第一c=2acosC.

⑴求角A：

⑵若〃=4,AA8C的面积为2月，求V人的周长.

题型03三角形周长定值与最值

总的和横

【例3・1】(2025•天津滨海新•调研)在VA3C中，VA8C的内角A8,C所对的边分别为〃八%且满足

(2^-c)cosB=bcosC.

⑴求角3的大小；

（2）若丽=2觉，且CD=1,AD=",求V4BC周长；

__2__

（3）如图，若A8=2,AP=3,配衣，动点分别在线段上运动，RBE=2BC,CF=2CP,求

3

屈.标的最小值.

【例3・2】（2025・天津•二模）在YABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosA=（3/?-a）cosC.

⑴求cosC的值；

⑵若a=l,c=2,求sin（24+3的值；

⑶若VA3C的面积为3&,且a+b=G?,求VA3C的周长L

方法密视

1、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式，石《小，在结合余弦定理求底长取值范围；

2

2、利用正弦定理化角

核心技巧；利用正弦定理a=2AsinA,Z?=2Asin〃，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据

角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.

变式但栋

【变式3・1】（2026•天津红桥•开学考试）在VA8C中，内角4,B,C所对的边分别是。，b,。，己知

3（a-c）2=3bl-2ac.

⑴求cos8的值；

⑵求sin（28+：；

（3）若〃=4,VA8C的周长为9,求VABC的面积.

SmCSin

【变式3・2】（2025•天津南开•模拟预测）在VABC中，tanA-tang=-f

cosAcosB

⑴求A；

⑵若4c=2,VA4c的面积为空，求VA4c的周长.

2

【变式3-3］（2025•天津河北•模拟预测）在VA3C中，角AB,C所对的边分别为,且asin8-GAosA=0.

⑴求A;

⑵若a=4,zM8C的面积为2百，求VA8C的周长.

题型04三角形面积定值与最值

【例4・1】（2026•天津•月考）已知/（x）=-J5cos2x+2sin（竽+x）sin（7T+x）,xeR.

⑴求的最小正周期及单调递减区间；

⑵已知锐角VABC的内角A8,C的对边分别为月J（A）=6,a=4,求VABC面积的最大值.

【例4・2】（2025•天津武清•模拟预测）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知Bw（0,］）

11瓜

且R----+-----=------------.

tanBtanC2/>sinBsinC

⑴求

⑵若V4BC的外接圆半径为R,周长为（G+#）R,且求4.

（3）若h=2,求面积的最大值

方法密视

1、三角形面积的计算公式:

①S」x底x高；

2

@S=—absinC=-acs\nB=-Z?csinA；

222

③S=Lm+/?+c））•（其中，Q,"c是三角形ABC的各边长，，•是三角形ABC的内切圆半径）；

2

④$二如（其中，•是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径）.

4R

2、三角形面积最值：

核心技巧：利用基本不等式而*竺女产《±12,再代入面积公式.

22

3、三角形面积取值范围;

核心技巧：利用正弦定理〃=2Rsin4,Z?=2RsinA,代入面积公式，再结合辅助角公式，杈据知的取值

范围，求面积的取值范围.

【变式4・1】（2026•天津西青•调研）在VABC中，角4比4所对的边分别为。，卜c.已知加in4=GasinC,

c=l.

⑴求〃的值：

7

⑵当cosB=§时，

（i）求。的值和V4BC的面积；

（ii）求sin（2A+£）的值.

【变式4・2】（2026•天津河北•调研）在VA8c中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,己知。+/?=11,

c=7,cosA=-y.

⑴求。的值；

⑵求V4BC的面积；

⑶求sin（24+C）的值.

【变式4・3】（2025•天津河北•调研）在VA8C中，内角A4,C所对的边分别为々Ac.已知。=而，b=2,

cosA=—.

4

（1）求sinB的值;

⑵求c的值和VA3c的面积.

题型05角平分线问题

总的和横

【例5・1］（2025•天津南开•一模）已知点P（/,）b）是双曲线C：三-汇=1的图象上第一象限的任意一点，J

45

居分别为C的左右焦点.直线/：空-9=1,直线/交不轴于点G.

45

（1）已知轴，求直线/方程；

（2）求证：直线/为/月尸鸟的角平分线；

卜"16

⑶若直线P6交。于另一点。，且丁为二百，求直线/和直线。4斜率之积.

3&QGF211

【例5・2】（2025•天津滨海新•联考）在V/WC中，。是4c的中点，4B=1,AC=2,4/）=且.则/B4C的大

2

小为;AE为/劭C的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为.

方做遗规

1.角平分线

如图，在AABC中，AO平分NBAC,角A,3,C所对的边分别为〃，b,c

内角平分饯定理：

丝=/或丝=吆

核心技巧:

BDDC'ACDC

2,等面积法

核心技巧

SMBC=S^BD+Sg/)c=—ABxACxsinA=—ABxADxsin—+—ACx40xsin—

3.角形式:

核心技巧：ZADB+ZADC=7r=>cosZADB+cosZADC=Q

在AAT火中有：cosZADB=DA+DB~~AB~.

2DAxDB

在MDC中有：cosZADC="十2-4b；

2DAxDC

变式演体

【变式5・1】（2025・天津•一模）已知VA8C的内角A8,C的对边为c,且驷七型=生二竺

sinCa+b

（1）求sinA;

（2）若V/WC的面积为与"

①已知E为8c的中点，且b+c=8,求VA8C底边8c上中线AE的长；

②求内角4的角平分线4D长的最大值.

【变式5・2】（2025•天津•联考）在VA8C中，AB=4,E是8C边中点，线段AE长为石，ZBAC=\20°t

。是8c边上一点，AO是23AC的角平分线，则A。的长为（）

248

A.-B.一C.2

33.3

【变式5・3】（2025・天津•模拟预测）在△48C中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且

cosA（ccosA+〃cosC）+；a=0.

⑴求角3的大小：

(2)若a+c=8,/?=7,…，求sin(2A+C)的值；

⑶设。是边AC上一点，8。为角平分线且2A0=7X7,求cosA的值.

题型06中线问题

再何和横

【例6・1](2026•天津滨海新•月考)设VABC的内角A、B、C的对边分别为"、〃、小已知AinC+点A=.

⑴求角。的大小；

(2)若c=，求cos(2A-C)；

3

(3)若c=2ji，sinAsin^=-,求A3边上中线CT的长.

8

【例6-2](2025•天津•月考)已知锐角V/WC的内角ARC所对的边分别为。也c,向量正二(〃,sin8),

日二(2a,6),且正///

⑴求角4的大小；

⑵若V人AC的面积为6,求。的最小值；

(3)若c、=2,AC边上的中线AO长为G，求/?的值.

方收电视

1、中线：

在AA6C中，设。是6c的中点角A.6.C所对的边分别为。，b,

1.1向量形式：(记忆核心技巧，结论不用记忆)

核心技巧：2通=丽+/

结论：AD2=-(b2+c2+2bccQsA)

4

1.2角形式：

核心技巧：ZADB+ZADC=兀=cosZADB+cosZADC=0

升士/Ann+DB2-AB2

在WDB中有：cosZADB=----------------------------;

2DAxDB

八一/h后“sDA2+DC2-AC2

在SADC中有：cosZ.ADC=-----------------------------;

2DAxDC

【变式6・1】(2025•天津滨海新•联考)在VA3c中，角ARC的对边分别为

2sinAsinZ?sinC=V3（sin?>4-cos123C+cos?4）

⑴求8：

（2）若a=2,b=M，且84,。边上的两条中线CM,BN相交于点G,求/MGN的余弦值；

⑶若VABC为锐角三角形，。=2,且外接圆圆心为。，求△OBC和AOAC面积之差的最大值.

【变式6・2】（2024•天津河西•模拟预测）如图，在VA8C中，已知/18=2,40=5,/84。=60:8。,耳。边上

的两条中线AM，4N相交于点P.

⑴求中线AM的长；

⑵求/M/W的余弦值；

⑶求△ABP面积.

【变式6-3］（2025・天津•模拟预测）在VA3C中，满足。+75。巾13-〃一acos3=0.

⑴求A；

（2）若4=2加，边上的中线力。=J7,设点。为V/WC的外接圆圆心.

①求VAHC的周长和面积：

②求而•而的值.

一02巩

1.（2025•天津武清•模拟预测）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知。=2,b=5,c=底.

⑴求C的值；

⑵求sinA的值；

⑶求cos（2A+8）的值.

2.（2025•天津•二模）在VA3C中，内角A8,C的对边分别为a1“，已知〃=2acos（c-g.

⑴求A;

⑵若〃=26c,且VA4C面积2#,

（G）求a的值；

（0）求8s（2A-A）.

3.（2025•天津•二模）在VA8C中,a,b,c分别为角A,8,C的对边，6/cosC+ccosA=2/?cosB,sinB=25/5cosA.

⑴求sinA的值；

(2)若〃=26，求c的值.

4.(2025•天津北辰•三模)在VAHC中，角A4,C所对的边分别为4,4。.满足75。8$3=加1”.

⑴求角8的大小；

⑵若a<c,b=2币qABC的面积为3VL

①求《c的值；

②求sin(2C+3)的值.

5.(2025,天津河西•模拟预测)在VABC中，内角A8C的对边分别为。也。，且'"一叽⑶出.

a2-b2-c2

⑴求角8的大小；

⑵若VA3。的面积为156，〃=14,〃>c.

(0)求。和。的值;

(0)求sin2A的值.

6.(2025•天