2026年人教版七数下教案：实际问题与二元一次方程组 第2课时 几何图形与图文信息问题

第2课时几何图形与图文信息问题

------------/教学设计7--------------

教学目标

课题第2课时几何图形与图文信息问题授课人

1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界

中含有多个未知数的问题的有效数学模型.

素养目标

2.实际问题与图形相关时，则可以绘制出简图，根据图形特点寻找相等

关系，列出方程组.

教学重点借助几何图形分析题目中的各个量之间的关系.

教学难点借助图形分析问题中所蕴含的数量关系.

教学活动

教学步骤师生活动

【实践导入】

活动一：仓1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，

【教学建议】

设情境，新课有哪些折法？

通过折叠长方

导入

----形纸片，按要求分

【设计意

配长方形的面积，

图】2.把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小

引入本节课对几何

以图形问题长方形，又有哪些折法？

为例，引出本图形问题的探究.

----T—

节课所要学习▲1

的内容.在实际生活中，经常会遇到像上面这样如何对几何

图形进行分割的问题，本节课我们一起来探讨下.

探究点几何图形问题【教学建议】

活动二：例1(教材P102探究2)据统计资料，甲、乙两种由学生按问题

问邈引入，自作物的单位面积产量的比是1:2.现要把一块长20()顺序分析题目，确

"7、宽100,〃的长方形土地划分为两块小长方形土地，

主探究定未知数及相等关

【设计意分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、系，厘清解题思

图】乙两种作物的总产量的比是3：4?路.在寻找相等关

以教材探究我们一起来分析探讨下：系时，问题4中的

题为例，引入问题1把一个大长方形分割成两个小长方形，可相等关系①与两个

几何图形问能有哪些划分方案？小长方形的面积之

题，探究如何可能有如图所示的两种划分方案.和=大长方形的面

1)*C1)C

分析、解答此积是等效的.在一

A/—N

类问题.些较复杂的问题

EBAB中，部分条件未明

(T②

问题2如果是按如图所示方案来划分，两种作物确给出时，可尝试

的总产量大小与哪些量有关系？设辅助元(如例1

总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关.问题3中所设的4)

问题3以图①为例，要表示种植面积需设哪些以表示出相关量，

量？要表示这位面积产量呢？之后对方程进行整

可设这两块地的长AE,BE分别为x加，ytn.理化简即可消去辅

可设甲种作物每平方米产量为久好0),则乙种作物助元.几何类问题

每平方米产量为2&通常在边长或者面

问题4结合问题3中所设的未知数，找出相等关积上存在一个相等

系并列方程组求解.关系.

1

■1

100in

—X—

200m,

如图，设甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形

AEHD和长方形EBCH

根据题意可找出下列相等关系：

①AE+BE=AB,即x+)，=2()0.

②产量=单位面积产量x种植面积，则甲种作物总

产量为eAEAD,即IOOOE；乙种作物总产量为

2aBEAD,即200qy.

③甲种作物的总产量：乙种作物的总产量=3:4,即

100f/r:200砂=3:4.

,+1y=200,

根据题意，得L。。-200”=3：4.

(£=120,

/+丁=200,1

整理，得|。=3乂解这个方程组，得卜=8。,

问题5如何表述你的种植方案？

过长方形土地的长边上离一端120加处，作这条边的

垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地

种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物.

问题6(教材P103练习71)如果利外第二种划分方

案，分别在长方形DMNC和MABN土地中种植甲、乙

两种作物，那么AM的长度是多少？

解：如图，设DM=/〃z,AM=ym.

r田七加㈤2°°ai：40°ay=3：4.

可得方程组i

.+y=100,

整理，得［21=33・

广=60.

解这个方程组，得卜=4。.

所以AM=40m,

答：AM的长度是40九

【对应训练】

1.教材P103练习第2题.

2.小明在探究完上面的例题后，提出这样•个想

法:如果把原题中“分为两块小长方形土地''改为“分为

两块梯形土地”，其他条件不变，还能否通过划分土地

使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4?

小明作出如下探究：如图，若甲、乙两种作物的种植

区域分别为梯形AEFD和梯形BEFC,DF=CF=100

〃心如何划分AB,可使甲、乙两种作物的总产量的比

是3：4?

解：设甲种作物每平方米产量为。，则乙种作物每平

方米产量为2a.

D卜、C

AEH

设AE=x加，BE=ym.根据题意，可列方程组

z+y=20C・

「1,1

卜义万X100(100+1):2tiX—X100(1004-V)=3：4.

2'.

/.r+v=200.

整理，得［2.r=3.y+100.解这个方程组，得

尸,=140,

b=60.

因此，过AB上距离A端140机的E处，连接

EF,将这块土地分为两块梯形土地，可使甲、乙两种

作物的总产量的比是3：4.

例2根据图中提供的信息，解答后面的问题：

4在152>r.

(1)求水瓶和水杯的单价；

(2)王老师购买了6只水瓶和20只水杯，商家给予

八折优惠，则王老师共需付款多少钱？

问题1观察上图，你能获得哪些信息？

活动三：知①1只水瓶和1只水杯共需48元；

识延伸，举一②3只水瓶和4只水杯共需152元.

反三问题2设每只水瓶的价格为x元，每只水杯的价格

【设计意为)，元，请将获取的信息表示成含未知数的等式.

图】①1X水瓶单价+1X水杯单价=48元，即x+y=48；

以实际问题②3x水瓶单价+4x水杯单价=152元，即3x+4y=

为例，引入图152.

【教学建议】

文信息问题.问题3第(2)小问中的付款金额应如何求解？

学生独立思考作

根据(1)中求得的水瓶与水杯的单价，计算6只水瓶和

答，解决此类问题

20只水杯的总价后乘以0.8即可.

的关键是正确理解

问题4请写出完整的解答过程.

题意，从图中找出

解：(1)设水瓶的单价为每只X元，水杯的单价为每只

相等关系，分析出

y兀.

数量关系并列出方

根据图中水瓶、水杯的价格关系，列方程组

程组.

卜r+了=48,

13.r+4.y=152.

俨=40,

解这个方程组，得卜=&

答：水瓶的单价为每只40元，水杯的单价为每只8

元.

(2)(6x40+20x8)x0.8=320(元).

答：王老师共需付款320元.

【对应训练】

1.教材P103练习第3题.

2.王老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后

勤处赵主任交账，以下是两人的对话：

我买了，料书R105々，旱1分

必为8元/12元，7

1(100片,,”,在—唐凡

l\TN£走即

赵主任为什么说他记错了，请你用方程组的知识给予

解释.

解：设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的

书购买了)，本.

i+y=105,

根据题意，得kr+12.y=l600—518.解这个方程

产=44.5,

组，得b=60.5

因为x，)，作为书本的数量，必须是正整数，所以

赵主任说王老师记错了.

【教学建议】

例3如图，宽为50cm的长

学生独立思考作

方形图案由10个相同的小长方形J］।J［二E

活动四：强拼成，则每个小长方形的长和宽------左答，教师统一答

化训练，学以分别是多少？案.在此类问题

中，拼成的大长方

致用解：设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm.

［设计意根据图白长度的相等关系，列方程组形的长、宽可用小

图】长方形的长、宽表

/'+》•=50・产=40,

列举具体图示，然后再通过已

’I。，一一•解这个方程组，得1―10・

形的例子，强知量或把大长方形

化学生解决几答：每个小长方形的长为40clri,宽为10cm.的长、宽作为中间

何问题的能力.【对应训练】量，即可得到相应

小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好的相等关系.对应

可以拼成如图①所示的一个大的长方形.小林看见了训练中学生可能会

说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图由图②中面积的和

②所示的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3差关系得到关于

mm的小正方形.你能求出这些长方形的长和宽吗？X,），的二次方程，

教师应注意引导学

生转而观察线段间

L的关系.

①②

解：设长方形的长和宽分别为xnim和ymm.根据

=5y，

图中长度的相等关系，列方程组U+3=2.y•解这个方

尸13•

程组，得।

答：这些长方形的长为15mm,宽为9mm.

【随堂训练】见“随堂小练”册子（或“随堂作业”册子）

相应课时随堂训练.

【课堂总绢】师生一起回顾本节课所学主要内容，并

请学生回答以下问题：

活动五：随

1.如何从几何图形或图文对话中提取有效信息，获

堂训练，课堂

取相等关系？

总结

2.如何用画图或列表的方法分析数量关系？

【作业布置】

1.教材夕105习题10.3第5,6题.

2.主体本部分相应课时训练.

第2课时几何图形与图文信息问题

1.几何图形问题（例1）.

DFCDC

板书设计X

M—N

y

Xy

AERA

2.图文信息问题.

本节课通过利用方程组解决几何图形和图文对话形

式的实际问题，使学生进一步认识数学与现实世界的密

教学反思切联系.通过列方程组解决实际问题，在建模过程中强

化了方程思想，培养了学生列方程组解决实际问题的意

识和应用能力，更进一步强化了学生解方程组的技能.

备课素材

解题大招

解题大招几何图形与图文信息问题

1.几何图形问题：解决这类问题经常会用到有关几何图形的性质、周长、

面积等计算公式，这类性质、公式一般都是隐含的，解题时要注意挖掘.

例如，下面这道题就要注意正方形边长相等这一隐含条件：

例1一个长方形的长减少3cm,宽增加2cm,就成为一个正方形，并且

这两个图形的面积相等，这个长方形的长、宽各是多少？

解：设这个长方形的长为尤cm,宽为ycm.

由题意可得｛x—3=y+2,2(x—3)=3y.

解这个方程组，得｛x=9,y=4.

答：这个长方形的长为9cm,宽为4cm.

2.图文信息问题：常见的图文信息题，主要包括图景信息题、图表信息

题、图象信息题三大类.由于构成每类题的图和文都有其自身一定的特点，所

以相应的指导策略自然各有侧重.

注意；在解决以图为主的图景信息题时，要引导学生学会整体现察，了解

图意，将图的信息转译为文字信息，并整理所有信息，使得图文问题转化为学

生相对熟悉的纯文字问题.

例如，下面这道题中，第(2)问需要考虑水槽的容积，当大球和小球排出的

水的体积大于水槽的容积时，超出部分的水便会溢出，这个需要结合图以及生

活经验仔细揣摩.

例2如图是用“持水法''测量物体体积的装置，右侧是一个长10cm,宽5

cm,高12cm的长方体水槽(水槽壁的厚度忽略不计).分两次将若干规格相同

的大球和小球放入左侧容器中，水槽中收集到的水的高度如图所示.

(1)请根据图中信息，求出大球和小球的体积；

(2)若在左侧容器中放入4个大球和5个小球，水槽中收集到的水的体积是

多少？

解：⑴设大球的体积为xcn?,小球的体积为yen?.

根据图中涉及个数、体积的数量关系，列方程组

｛x+3y=10x5x4,2x—8y=10x5x9.

解这个方程组，得｛x=125,y=25.

答：大球的体积为125cm3,小球的体积为25cm3.

(2)4个大球和5个小球的体积为4x125+5x25=625(cm3),

长方体水槽的容积为I0x5xl2=600(cm3).

因为625cm3>600cm3,所以超出部分的水会溢出.

故在左侧容器中放入4个大球和5个小球，水槽中收集到的水的体积是

600cm3.

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