2026年高考数学复习讲义：数列通项与求和（解析版）

专题10数列通项与求和

目录

01析•考情精解

02构•知能框架

03破•题型攻坚

考点一数列通项

真题动向

必备知识求数列通项公式的常用方法

题型1累加法

题型2累乘法

命题预测

题型3构造数列法

题型4倒数变换法

考点二数列求和

真题动向

必备知识数列求和常用方法

题型1分组转化法

题型2裂项相消法

命题预测

题型3错位相减法法

题型4倒序相加法

析•考情精解

从近三年高考试题来看，对数列的通项公式与数列求和考查仍是高考的热点,经常以选择题、

命题轨填空题的形式出现,也常与数学文化结合命题,难度为一般;而对于等差、等比数列的证明以及求

迹透视数列通项公式也是高考的热点，常在解答题中的第⑴问出现，难度中档以下.

2026命预计在2026年高考中，高考对数列求和的考查主要以解答题形式出现，通过分组转化、错位

相减、裂项相消等方法求数列的和，难度为中等偏下，有时也常与函数、不等式等交汇命题.

题预测

构•知能框架

累加法

•题型攻坚

考点一数列通项

1.12025・天津卷T6)S”=—/+&?,则数列％=()

【答案】%=-2〃+9(〃WN)

【解析】因为S2+8%

所以当〃=1时，4=，=-F+8xl=7,

22

当〃N2时，^=5„-5„_1=(-/1+8«)-[-(/:-1)+8(/2-1)]=-2«4-9,

经检验，4=7满足上式，所以q=-2〃+9(〃WN)

2.(2022•北京卷T15节选)已知数列｛%｝各项均为正数，其前〃项和S”满足/0=95=1,2,…).证明｛4｝

为递减数列

【解】由题意可知，V/?GN\q>。，当〃=1时，。；=9,可得4=3；

99QQ9(a.-a)

当〃之2时，由So=-可得S“_j=,两式作差可得q=-------=-------->0,

44Tan%a„an_｝

可得。所以,数列｛4｝为递减数列,

L累加法

4,一4—-1)

形如为+1=%+/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于n的函数)可构造：•凡t--2)

q-=/⑴

将上述四个式子两边分别相加，可得：%=/(〃-1)+/("2)+.J(2)+/⑴+%(〃22)

①若/(〃)是关于〃的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于〃的指数函数，素加后可转化为等比数列求和；

③若/(〃)是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关丁〃的分式函数，累加后可裂项求和.

2.累乘法

—=/(n-D

©

也=/'(〃-2)

=4•/(〃)%•=/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造：,

形如。向(ln-2

%J

将上述四个式子两边分别相乘，可得:=f(n-1).f(n-2)...../(2)/(l)«p(n＞2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

3.构造数列法

(一)形如q川=pq+9(其中均为常数且)型的递推式：

(1)若P=1时，数列｛(｝为等差数列；

(2)若尸0时,数列为等比数列；

(3)若pwl且9工0时，数列｛%｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

如下两种：

法一：设。“+1+2=〃(%+幻，展开移项整理得为+］=pa“+(pT)2,与题设为+i=P%+9比较系数(待定系

数法)得2二，7，(〃/。)=＞凡+|--^7=p(4+，7)=＞。“+—=P&T+-^)，即.%+，一.构成以

〃一1〃一1〃一］〃一1〃一］p-］

4+」一为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出［3+4］的通项整理可得为.

P-1!_，〃_］

法二：由。用=+q得为=PQ.T+4(〃22)两式相减并整理得也=p,即｛。用一｝构成以令-q为首

兄，一

项，以〃为公比的等比数列.求出也向一凡｝的通项再转化为类型m(累加法)便可求出4.

(二)形如生+1/I)型的递推式：

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时:

法一：设4+4?+"=〃,小+4〃-1)+可，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以％+4+8为首项,

以A；为公比的等比数列｛6+A〃+B｝，再利用等比数列的通项公式求出｛《+A〃+码的通项整理

(〃一〃?)！

可得凡・

法二：当/(〃)的公差为4时，由递推式得：。2=叫"5)，4=两式相减得:

q+-%=〃3”一为一1）+，/，令"二，向-4，得："=P"T+"转化为类型v㈠求出"，再用类型in（累加法）

便可求出

（2）当/（〃）为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设4+，“〃）=通过待定系数法确定义的值，转化成以4+义/⑴为首项，以

勺”=厂/^为公比的等比数列&+"*（〃）｝,再利用等比数列的通项公式求出｛3+2/（〃）｝的通项整理可

得外

法二：当/（〃）的公比为q时，由递推式得：=加“+/（〃）一①，耳=〃％+/（〃-1），两边同时乘以《得

anq=pqanA4-^（/:-I）----②，由①②两式相减得（十]-。,“=〃（为-必如），即也二"=〃，在转化为类

勺一网1

型V㈠便可求出％.

法三：递推公式为。〃+]=+4"（其中p，q均为常数）或4“+i=+W（其中p，q，r均为常数）时，

要先在原递推公式两边同时除以得：会户夕会+：，引入辅助数列也｝（其中2=孑），得：

隈=已2+J■再应用类型V㈠的方法解决.

qq

（3）当/（〃）为任意数列时，可用通法：

在。向=〃％+/（〃）两边同时除以P"“可得到与-N+华，务工=b“,则％=2+华，在转化为类

PPPPP

型in（累加法），求出以之后得生

4.倒数变换法

形如q二（〃为常数且）的递推式：两边同除于《-4,转化为-L-」_+〃形式，化

anan-\

归为为*=P〃“+q型求出的表达式，再求凡;

%

还有形如仆的递推式，也可采用取倒数方法转化成』一=""!"+"形式，化归为〃"=〃q+，/型

pa“+qq+1机可加

求出-L的表达式，再求品.

题型1累加法

1.已知数列｛叫满足0=19+「4=拓七，则%=()

D1751

A.-B.—D.

51240

【答案】C

___L]

【解析】依题意,

n｛n+2)2[〃n+2)

所以％=(。广％)+(%-6)+(4-〃2)+(♦-4)+4

1

+1

23243546)

故选：C.

2.在数列｛q｝中，q=3,a”+i=%+lg1+'),则4oo=.

【答案】5

【解析】由q川=a”+lg0+：可得4»+|-q=怆(1+[)=吆仁讶=联〃+1)-怆〃，

故的_《=怆2_也1,

q-«2=lg3-lg2,

«1oc-^=>g>OO-lg99,

相加可得4oo=1gl°OTgl+q=5,

3.数列｛%｝满足q=1,且对任意的/?eN'都有4+j=4+〃+1,则%=

【答案】21

【解析】因为。”+[=q+〃+1，所以氏+|-%=〃+1,

当〃之2时,an=(«„-%_|)+(6I-a,7)++(3-4)+%

=n+(n-\)+(n-2)+•+2+1=-

其中4=1满足。”=当2

故对任意的〃wN'，所以数列｛4｝的通项公式为a”=当辿

所以&二？卬

4.已知数列｛q｝满足q=2,a.+i-%=2〃+2,“eN'，则

【答案】/+〃

【解析】因％=2,a〃+1-a“=2〃+2,〃eN,,

“(2+2n)->

则%=(凡一41)+(凡-1一。”-2)++(出-4)+%=2+4+6++(2〃-2)+2〃=--------=n~+n.

2

题型2累乘法

5.若数列｛〃”｝的首项6=1,且q=2"，〃i(〃22),则数列｛可｝的通项公式为

【答案】4,=22

【解析】••数列中，％=1，(〃22),

Z,_|小一|)

—=2,an=atx^-x—x...x=1X2X22X...X2B-'=2"2+HZ)

l,n-i-2,

6.若数列｛q｝满足％=12吗+2%+3%++〃〃“=〃％,则。”23=

I?

【答案】痂

【解析】因为4+物+必+...+〃?=〃2。.(1),

2

所以q+2%+3%+...+nan+(n+lk/n+,=(〃+l)fl„+1(2)

(2)-(1)得，(〃+1)为川=(〃+If=3=

4〃+l

a,%a4an123n-\12,12

所以有q.…77”=5号"・•・丁9=小所以限=砺

n

7.已知数列｛4｝(〃eM)满足4=1,且加4,则通项公式〃“=

〃+1

【答案】如*)

%,得当，此2时，子=一

【解析】由伊，

~n+\aUn-\〃

n-2a_n-1

Ln

"I,%〃

q2a23%4

以上各式两端分别相乘，得

a123.n-1n-\a\

x—^n=-x-x-xLx-------x--------g|J-2-=1

234n-1〃'4

q'n-2an.n

.4=1,.,.%=:(〃之2).乂％=1,适合上式.二•可N，）.

n'

8.设数列｛q｝是首项为1的正项数列，且(〃+1)吭-〃4+6“%=。，则它的通项公式4=

【答案】-

n

【解析】由(〃+1)匕|-时+4+iq=。，则[5+1)%-9](。用+勺)=。

又数列｛〃”｝为正项数列,即凡＞0,4=1

所以（〃+l）a“+i-”=0,即%L=」L_

%〃+l

a、«-1n-21.1

所以为二2•也—•«1=----X-----XX—xl=—

*%qnn-\2n

9.数列｛《,｝中,已知卬=2,(〃-1)《向=则通项凡等于()

A.3D.1

B.-

n+\n。•言n

【答案】B

【解析】对任意的〃wAT,由(〃+1”的二”可得出号L=

n

-12

X-=一

23nn

故选B.

题型3构造数列法

10.已知数列中，4=1,4“=3肛+1,则an

【答案】-4

【解析】由4“=3%+1,可得：4N+g=3,+；｝所以｛“+g1｝是首项为I，公比为3的等比数列,

22

所以q+3I=京33"7,所以q=；3"弓I，

11.数列｛〃“｝满足q=2必用=3%+2"+\则数列｛〃”｝的通项公式为％=.

【答案】2(3"-2n)

【解析】数列｛4｝中，由％=3q+*,得爵=|.祟+1,即爵+2=|偿+2),

而q=2,4+2=3,于是数列｛黑+2｝是首项为3,公比为:的等比数列，

因此我+2=3xg严，即勺=2(3"-2"),

所以数列｛4｝的通项公式为=2(3"-2").

12.在数列｛刖｝中，4=4,。向=3%-2,若对于任意的正整数〃，-“49*恒成立,则实数々的最大值为

9

【答案】7

4

【解析】由4+|=3。”一2,有4川一1=3(q一1),且4一1=4一1=3,

故数列｛4-1｝为首项为3,公比为3的等比数列，可得4-1=3X3"T=3",

不等式姐,49”可化为心/二，令/(〃)=匕=心工(”62),

3+iF+F

令«〃)=表+/=修+3)j当〃=1时，/(〃)取最大值

所以〃祖有最小值“看对于任意的正整数〃，MW9"恒成立，

所以女《=9,故实数k的最大值为彳0.

44

13.数列｛4｝的首项4=2,且凡+=4/+6(〃为正整数)，令d=10历(q+2),则小绘荷&=

【答案】2024

【解析】因为数列｛见｝的首项4=2,且q*=4%+6(〃为正整数)，则1I+2=4(q+2),

且4+2=4,所以数列｛4+2｝是首项为4,公比也为4的等比数列，故凡+2=4”，

2w

所以,^=log2(«rt+2)=log22=2W,则〃用一包=2(〃+1)-2〃=2,

2023x(2+2x2023)

所以，数列色｝为等差数列，故4+仄++a侬_2

--ZUN4

2023-------2023

14.已知4=1,勺-2%_1=2",则｛。”｝的通项公式为

【答案】见=2"T（2〃-1）

【解析】由递推关系式可得：生-24_1=22,即生=2q+4=6,

且由%-2%=2”可得整一符=1，

故数列是以墨='为首项，以1为公差的等差数列，

则受■|+(〃-2)xl=〃一;

故数列的通项公式为：4=2"T（2〃-1）.

15.己知数列｛《,｝满足%=4%-⑵?+4,且％=4,若4=2024,则4=（）

A.253B.506C.1012D.2024

【答案】B

【解析】因为a“+i=4。”-12〃+4,所以a”“-4（〃+1）=4（4一4〃）.

因为4=4,所以％-4x1=0,故｛4-4〃｝为常数列，

所以凡=4〃.由4=42=2024,解得左=506,故选B

16.已知数列｛q｝满足凡+|+24=3且4=2,其前〃项和为S“，则《,=.

【答案】9

【解析】因为〃向+2%=3,

所以=且q—l=l,

所以，数列｛4-1｝是首项为1,公比为-2的等比数列,则q-1=（-2广，所以，勺=1+（-2）。

题型4倒数变换法

17.己知数列｛《J满足4*=—T〃cN・，若/=5，则q=

/Iy

【答案"

【解析】由题得q产。，则等式两边同取倒数得」-二'史」=2+',

%an%

则」-----=2,〃£N*,则数列—•为公差为2的等差数列，

a

“向ndn

则‘=’+2(〃-4)=2〃+1,当八=1,则，=3,则^二!

品*43

18.已知数列｛〃“｝满足4=1，。==三事,则勺=

【答案】蠢一)

【解析】由己知得」-=泡里=3+,

n+l

卜3,

1

19.数列｛%｝中,％=。,工“”答"5则数列通项公式T

【答案】n-\

【解析】0=%+1

n+\n〃(〃+l)

・4+11x„1

+----=」+一

7+7〃+1nn

XI,

因此数歹心土+占为常数列，i+-—+-=1t:.x=n-\

nnI1”

。

在数列｛%｝中，片2」，则勺=(

20.4=1,“2=〃wN.,)

n

A2_2〃「n+1_n+2

A.a„=-----cD.a=-------

"/2+1•"”=M"n2〃+l

【答案】A

【解析】在伍/中，1=1,

2an\2+MII

由%+】77丁可得一=-7==一+3,

2+%~2%an2

1•为以,二|为首项，公差为5的等差数列，

所以

a\/

1,1n+\2

所以丁”(z〃7)•二〒,所以故选:A.

考点二数列求和

1.(2025•上海•高考真题)已知等差数列依｝的首项％=-3,公差d=2,则该数列的前6项和为

【答案】12

【解析】根据等差数列的求和公式，§6=6%+亨6x5〃=12.

2.(2023・上海・高考真题)已知等比数列｛为｝的前〃项和为S.,且q=3,q=2,求Sf=；

【答案】189

【解析】由题意得56="卓=189,

3.(2025•全国一卷•高考真题)已知数列｛%｝中，q=3,^=-2s-+—^―.

(1)证明：数列｛〃〃”｝是等差数列；

(2)给定正整数m,设函数/*)=平+//+1+金/，求八-2).

【解】(1)由题意证明如下，〃wN’，

在数列间中，4=3,4二热+人，

・•・伍+1)/=s+i,即5+1)%-也“=1,

・•・｛”/“｝是以％=3为首项，1为公差的等差数列.

(2)由题意及(1)得，〃eN’，

在数列｛〃4｝中，首项为3,公差为I,

2

nalt=3+lx(/?-l),即aa=l+—,

2

在f(x)=aAx+a2x++中，

f(x)=3x+2x2++(1+\卜，/'(X)=3+4X+・・・+(〃7+2)父一

.广⑺=3+4x+.+(6+2产

•,|^(.r)=3x+4x2+-+(/n+2)r*

当工工1且xw0时,

，(I)r(x)=3+x+/++/T-(/〃+2)V”=3+_(/〃+2)廿，

x

"(＞白7+-X(1k)(〃?+2匹

(1)2l-X

...”2);3「2[|一(一2口1+2)(—2广

•:1-(-2)[1-(-2)]21-(-2)

7(-2)[1-(-2广](m+2)(—2厂

93

I2(-2『(〃7+2)(-2『

993

7(3〃?+7)(-2『

99~

题型1分组转化法

n

1.已知数列｛q｝中，q=l,an+[-2an=2(〃为正整数).

(1)求证：数列长是等差数列，并求数列｛为｝的通项公式;

⑵求数列作+3"的前〃项和小

【解】(I)已知〃「24=2”，等式两边同除2向得招一*，且宗=；,

所以｛争｝是以3为首项，以3为公差的等差数列.

则M=；+("-1)'J=3〃，解行=〃,2"”.

(2)数列偿+3"｝的前〃项和为

T=1x1+3'+1X2+32++-XH+31,=(-X1+-!-X2++-xn)+(3'+32++3"),

222222

1n

(，

根据等差数列等比数列前〃项和公式可得T2+2)/\3-(l-3n)3向上/+〃3,

/=--------------1--------------=-----H--------------

“21-3242

所以数列移+3)的前〃项和7；=三+W2LV

2.已知数列也｝满足％=L4=3“小+4（〃>2）.

⑴求证：数列｛q+2｝是等比数列；

⑵求数列｛〃”｝的通项公式；写出£生“的具体展开式，并求其值.

;-1

【解】（1）由凡=3q_]+4,得%+2=3（%+2）,

〃+2c

即〃N2时^~­=3,且4+2=3W（）,

所以数列｛q+2｝是以3为首项，以3为公比的等比数列.

（2）由（1）知数列｛q+2｝是等比数列，公比为3,且首项4+2=3,

从而勺+2=3・31=3",所以%=3"-2,

5.

Z^2i-i=4+%+4+〃7+/=（3,+3。+3+3'+3"）-2x5

r=1

3（1/“83

-..............-Iu-------------

1-988

3.已知数列｛叫满足6=2,且4+争争++务=爸二在数列出｝中，&=2,点尸色也川）在函数

），=x+2的图象上.

⑴求｛凡｝和也｝的通项公式:

⑵洛数列低｝和14+与卜勺所有公共项从小到大排列得到数列｛4｝,求数列k｝的前〃项和却

【解】⑴因为为+?+争+,+券=筌，

所以当“22时，卬+经+§+…+3■=（〃一｝”,

।22?2"22"T

所以4="出一回?，

2〃T2〃2”

所以2a“=〃a“+]-2（〃-l）q,,所以a.1=2a”（〃N2）,又4=2,⑰=2q=4,

所以｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，所以勺=221=2”，

因为点？（如%）在函数y=x+2的图象上，所以b—,即%也=2,

又4=2,所以也｝是首项为2,公差为2的等差数列，所以"=2+2（〃-1）=2〃；

（2）因为"=2〃是所有的正偶数，又可+4=2"+〃，所以％=2J2〃，所以

7；=。+。2+。3++。=2?+2+24+4+26+6++22n+2n=22+24+26++22M+2+4+6++2〃

M

4（1-4）〃（2+2〃）4向一42

1-4+2-------+n~+n-

3

4.在等差数列也｝中，4=2,且%,%+2,%构成等比数列.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵令〃=2狐+2,记5”为数列出｝的前〃项和，若S.210000,求正整数〃的最小值.

【解】（1）在等差数列｛q｝中，4=2,设公差为d,由。2，4+2,%构成等比数列，

可得/%=（%+2））即有（2+d）（2+74）=（4+2d）2,得4=±2.

因为当"=-2时，％=。，不满足题意，舍去,

所以4=2,=2+2（〃-1）=2〃.

（2）由（1）得”=24+2=4”+2,则勿>0,S”递增，

4（l-47）4w+,-4

S“二（4+16+...+4"）+2〃=-y]+2〃=---+2n

8

由S6=；X（47—4）+12=5472V10000,S7=1X（4-4）+14=21858>10000

可得S”N10000时，正整数n的最小值为7.

题型2裂项相消法

5.己知数列｛为｝的前〃项和S“满足条件2s”=3（4-1）,其中〃是正整数.

⑴求证：数列｛〃“｝成等比数列；

（2）设数列｛%｝满足2=log3%.若，“=77一，求数列｛/“｝的前〃项和.

【解】（1）证明:由题意得。—一尸孤「的）（〃之2）,

又$=1（4_1）=4,解得q=3,

.••区=3（〃之2）,

%-1

・•・数列｛为｝是首项为3,公比为3的等比数列；

(2)由(I)得：4=3",

故以=log3a„=log3(3')=/z,

~1111

所以=T^=—―n=-----77，

匕也a〃(〃+1)n〃+1

令数列,｝的前〃项和为。，

计算得

〃+1

综上：数列y｝的前〃项和为

6.已知数列｛〃”｝满足4=1.AE=J^7(〃eN)

OUn..।]

■、

⑴求证：,是等差数列，并求｛为｝的通项公式；

q>

出记J=的2+。2%+,，+。”4川，证明：s”q.

a11c

【解】(1)由凡讨=不七，两边取倒数，可得一=一+3,

3%+14

即有数列，’•是首项’二1，公差d=3的等差数列，

由等差数列的通项公式，可得-!-=l+(〃-1*3=3〃-2,故q二丁二.

a

n3〃-2

I1(1______\_J

(2)由凡“向一(3〃-2)(3〃+1)—313〃-2-3〃+J'

可得……”•.+/・；[(1-：](；-力一(33-3:1)]

中一高得

7.记公差大于零的等差数列｛q｝的前〃项和为3，已知《=2,《是外与心的等比中项.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵求数列,的前〃项和7；.

【解】(1)由己知，*=%«，即(2+34)2=(2+d)(2+7"),

解得d=0(舍)或4=2,

an=2+2(〃-1)=2〃.

c_//(/?-1)x2.八

(2)由(1)得,S=2〃+---------=〃(〃+1),

n2

iI_1

n{n+I)nn4-1

8.已知递增的等差数列｛4｝的前三项之和为27,前三项之积为585,

⑴求数列应｝的前〃项和3；

(2)瓦数列仇｝的前〃项和记为，，若N'T；v2恒成立，求2的最小值.

anan+l

【解】(1)根据题意，设等差数列｛q｝的前三项分别为4,4+d，4+2d,

,+(6+4)+(%+24)=27

'4•(《+d>(4+24)=585

解得或｛,u，又数列｛端为递增数列，所以,，：：，

2

/■q=4〃+1,/.Sn=(5+彳+=⑵?+3)〃=2n+3n.

(2)由(1)得，a„=4n+\t

则b，，==(4〃+1)(4〃+5)=4[4〃+1-4/7+5｝

1f/1111

-i---+

4-599

V13

因为。是单调递增，〈占，又…,所以丸有最小值上.

452。/。

题型3错位相减法法

9.已知数列｛q｝的前〃项和为3,且q=lMz=&^S”.

(1)证明：为等比数列

n

(2)求数列—｝的通项公式

(3)求数列⑸｝的前〃项和Tn

【解】(1)由题意可得s..「s〃=2s“，即Sm=s“+*s”=2虫s〃,

nnn

qS

两边同时除以〃+1可得3~=3x=,

n+\n

s

-

又4-

4

所以」是以1为首项，3为公比的等比数列.

n

(2)由(1)得2•=lx3"T=3"TnS“=〃x3"T,

n

当〃时，a'=S"-Si=〃x3"T-("-l)x3"-2,

化简可得qt=(*+1)x3-,

当〃=1时，代入4=(2+l)x31=1也成立,

所以4=(2〃+1)X3"2.

(3)因为S,=〃X3"T,

则7；=1x30+2xS+3x3?+,+〃x3””，

23

37；(=1X3'+2X3+3X3++nx3",

3Z,-1

两式作差可得-27；=1+31+3、+3"T-〃X3"=------wx3M=-——nx3n

1-32

(2〃-1)x3"+l

所以，=

"I"

10.已知数列｛4｝满足q=1,%=2a“+l(〃eN)

⑴求证：数列｛4+1｝是等比数列；

(2)设勿=〃，求｛。也｝的前〃项和Tn

【解】(1)因为，褊=2a”+l(〃eN・)，

所以a.x+l=2(a〃+D(〃eN.),又％+1=2,

所以泞=2(〃WN'),

fl

・•・数列也+1｝是首项为2，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知，勺+1=2-2""=2",・,.4=2"-1,

•••4=〃，...a.也

JTrl=她+a2b2+她+…。也

=1（2'-1）+2（22-1）+3（23-1）+-7?（2/,-1）

=（1-2,+2-22+3-23+---/?-2Z,）-（1+2+3+---+/7）

45„=1-2,+222+3-23+--/1-2"

234+,

2Sz=b2+2-2+3-2+-n-2"

两式相减-S“=1•〉+22+筋+…2"-〃•2叫

今）〃十|

所以-s,,==--〃・2"”

1-2

所以5.=2”"（〃-1）+2,

又1+2+…+〃=111也，

2

...£=2向（〃一1）+2一“（〃+.

2

11.已知公比大于1的等比数列｛%｝的前〃项和为S.，且*=14,4=8.

⑴求数列｛牝｝的通项公式；

⑵若数列2.｝满足b„=4,求使得＜bn成立的所有〃的值；

n~-7

（3）在勺与。向之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求数歹贝十｝的前〃项和

n

4（1-力74

【解】3）设等比数列｛〃“｝的公比为式夕＞1）,则\-q，整理得

-2=8

2

解得q=2,或4=一,（舍去），

Q

所以4=-7=2,

q

所以4=2"；

（2）由题可得=易得4=—?>“=—：

一7-733

2"(〃+2)(〃-4)工0

当〃之2时'令以不广一户工

(；r+2n-6)(n?-7)

得〃=3,4»

所以，使得〃向工“成立的所有〃的值为1，3,4；

2〃

（3）由题可得4=区匚

〃+1-H+I

1H+1

所以7=~?1，

atl乙

所叱于万+…+

92〃।

两式相减得=1+*+最+/+…

=1+/

所以聋=3一展•

12.已知各项均为正数的数列仅“｝的前〃项和为S.，首项为q,且g、%S“成等差数列.

（1）证明：数列｛〃“｝是等比数列，并写出通项公式;

⑵若d=-2132%,设。=3,求数列｛%｝的前〃项和7；；

⑶若不等式”二4金〃2一〃?_］对一切正整数〃恒成立，求实数机的取值范围.

8〃

【解】（I）各项均为正数的数列｛〃”｝的前〃项和为S”，首项为4,目2,5〃成等差数列.

则：：十邑二24①，

当〃=1时，g+S1=2q,解得：4=；.

当〃22时:g+Sg=2%②，

①一②得：。“=2q-2%,整理得：上口=2,

an-\

所以：数列｛%｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

所以：^=-.2n-'=r-2.

4-2/116-8〃

（2）由于：勺=2"-2,所以“=-21og2a.=4-2〃，则。"=r=亍-

458016-8〃G

所以爹■+•♦•+——3，

IT8016-8〃自

2^=2?+2?+",+r*'"

①-②得：，7>4一心二+…+斗9=4—8三1弃一生加=加

2nI2?2，2川/2"’12""2“

1-2

解得：聋哼.

/，、语/3〃-23n-28〃3n-2

⑶设4二百/=百三二”「

则:小4=驾詈-岁=要

当〃=1,2,3时，M=；，/2=14，

28

当”>1时，^<0,即九<4，

故口的最大值为1，

不等式刀.—对一切正整数"恒成立,只需病一”用即可，

故：加一〃—2NO,解得：〃?22或“24一1,

所以6的取值范围是：（-8,-1]=[2,+8）.

题型4倒序相加法

13.已知函数/（6=」7,数列｛可｝是正项等比数列，且4。=1,

人•1

⑴计算的值；

⑵用书本上推导等差数列前〃项和的方法，求〃4）+/（生）+/（。3）+…+/（/）+/（须）的值.

【解】（1）因为函数/（x）=工，

X+1

用以X\+X.,11+xl+x

1+——

X

（2）因数列｛%｝是正项等比数列，且4）=1,则q%9=。3%7==«!0=1»

所以/（4）+/（%）=f⑷+/（—）=1,

同理fw)+—="％)+fSQ=…=r(^0)+/(%)=i,

令S=/(q)+〃％)+/3)++〃须)+/(49)，

又S=/(49)+f(48)+/(%7)+…+/(%)+/(%),

19

则有2s=19,故S=7，

1Q

所以/(“I)+/(/)+/(6)+…+/(%8)+/(%9)=耳.

14