2026年九年级中考数学专项复习：二次函数动点问题（二）

2026年九年级中考数学专题复习二次函数动点问题

一、单选题

1.（21-22九年级上•全国•课后作业）如图1,AABC是直角三角形，NA=90。，AB=Scm,

AC=6cm点。从点A出发，沿A8方向以2cm/s的速度向点3运动；同时点。从点A出发,

沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，

则三角形APQ的最大面积是（）

A.8cm2B.16cm2C.24cm2D.32cm2

2.（25-26九年级上•江苏南通・月考）如图1,在Rt2\48C中，4B=90。，BC=12cm,动点

M从点A开始沿边AB向点B移动，动点N从点8开始沿边向点C移动，两点同时出发，到达

各自的终点后停止.设点M运动的时间为t（单位：s）,aMBN的面枳为S（单位：cn?）,S与t

的函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（）

图1图2

A.12cm2B.18cm2C.24cm2D.30cm2

3.（23-24九年级上.安徽合肥・期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2,点后是

线段A。的三等分点（AE<ED），动点”从点D出发向终点后运动，以3尸为边作等边△BFG,

在动点尸运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（）

G

A.-V3B.V3C.-V3D.-

332

4.（25-26九年级上•湖北武汉・月考）如图1,在矩形48。。中，48=4cm,力。=2cm,动点

P以acm/s的速度自A点出发沿折线A-B-C-。方向运动至。点停止，动点Q以lcm/s的

速度自人点出发运动至。点停止，若点P、Q同时出发，运动时间为£秒，记△R4Q的面积为

sen?,且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中m的值为（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

5.（2025.河南驻马店.三模）如图1,在矩形49C0中，点夕为射线718上的动点，点M是对

角线力C上的动点，且CM=4P,连接OP,BM.设CM=x,OP+/?M=y,则y与x的函

数关系的图象如图2所示，其中点£为图象的最低点，则点£的纵坐标，〃的值为（）

D.6V3

6.（2025•山东济南•二模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点4（a,b）,若

点7@y）满足*=°；c,y=d,那么称点7是点4B的伴4融合点，例如;4（1,1）,8（4,2）,

试卷第2页，共8页

当点T（%,y）满足％=会=一3,、=当亘二一1时，则点7（—3,—1）是点力，8的伴力融合

点.如图，点Q是直线y=2%上且在第三象限的一动点，点P是抛物线、=/上一动点，点

R（x,y）是点Q,P的伴Q融合点.那么，所有的点R（x,y）中最高点R的坐标是（）

C.(-1,1)D.(1,1)

7.（24-25九年级上•山东济宁・月考）如图，在AA8C中，=90。,力8=3cm,8c=6cm,

动点P从点、A开始沿边AB向B以lcm/s的速度移动（不与点3重合），动点。从点4开始沿

动向。以2cm/s的速度移动（不与点。重合）.如果P、Q分别从A、5同时出发，那么

经过（）秒，四边形APQC的面积最小.

A.-B.1C.-D.2

22

8.（2018•山东潍坊・中考真题）如图，菱形ABC。的边长是4厘米，48=60。，动点P以1厘

米/秒的速度自A点出发沿力5方向运动至B点停止，动点。以2厘米/秒的速度自B点出发

沿折线8。。运动至D点停止.若点P,Q同时出发运动了/秒,记^BPQ的面积为S厘米2,

下面图象中能表示S与1之间的函数关系的是（）

A

BD

Q

C

M（厘米2）AS（厘米2）

泮秒）

A.B.C.

AS（厘米2）

2\/3hx

O\24^）

D.

9.（2024・河南周口•模拟预测）如图1,在匹48CD中，Z-DAB=2z5,BC=2AB,动点P以

每秒1个单位长度的速度从点A出发沿线段4B运动，到点B停止.同时动点Q以每秒4个单

位长度的速度从点3出发，沿折线8—。一0运动，到点0停止.图2是点P、Q运动时，2BPQ

的面积S随运动时间t变化关系的图象，则ABPQ的面积的最大值为（）

图1图2

A.3遥B.475C.4V3D.3历

10.（25-26九年级上•江苏镇江・月考）四边形A8CD中，AD||FC,△8=90。，AB=8cm,

AD=10cm,BC=16cm.动点M从点8出发，以2cm/s的速度沿边84、边4。向终点。运动；

动点N从点C同时出发，以lcm/s的速度沿边CB向终点8运动.规定其中一个动点到达终点

时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts.当t=2s时，点M,N的位置如图所

示，有下列结论：①当，=6s时，CN=DM；②当1<L<2时，△8MN的最大面积为26s/；

③C有两个不同的值满足ABMN的面积为39cm2.其中，正确结论的个数是（）

试卷第4页，共8页

二、填空题

11.（25-26九年级上•全国裸后作业）如图，在ABC中,“=90。,口=30。,48=12cm,

P是48边上的一个动点（不与端点A,8重合），过点户分别作PE18C于点E,PF1.4c于

点?当PB=cm时，四边形P£CF的面积最大，最大面积为co?.

12.（23-24九年级上.浙江嘉兴.期末）如图，已知点M（Q,b）,匕＜0为抛物线y=/-2x-3

上的动点，点N是以点M为圆心，I为半径的圆上的动点，点4（1,0）,则线段4N的最小值

13.（2022•河南信阳•二模）如图，直角坐标系中，点41,4）,点8（1,0）,点。（0,3）,点

0）是“轴上一动点，点N是线段4"上一个动点，若ZMNC=90。,则〃?的取值范围

是.

14.（25-26九年级上.湖南岳阳•月考）定义：平面内任意两点P（jq,%）,Q（xz»%），^PQ=

|%i-x2\+仇-yzl称为这两点之间的曼哈顿距离，例如P（l，2）,Q（3,-4）,dpQ=\x±-x2\+

IXi-y2\=|1-31+|2-（-4）1=2+6=8.若点4为抛物线y=炉上的动点,点8为直线

y=g%+b上的动点，且抛物线与直线没有交点，或8的最小值为1，则力的值为.

15.（23-24九年级上•山东滨州•月考）如图，在中，48=90。，AB=12mm,BC=

24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从

点3开始沿边8c向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从4、8同时出

发，设运动的时间为%s,四边形力PQC的面积为ymm?.则），关于x的函数解析式为.

三、解答题

16.（25-26九年级上•安徽亳州・月考）如图，抛物线y=ax2+bx+4经过4（一1,0）、8（4,0）两

点，与y轴交于点C,点。是抛物线上一动点，设点D的横坐标为〃?（0<m<4）,连接AC、

⑴求抛物线的函数表达式.

（2）当仆的面积等于△AOC的面积的4倍时，求的值.

⑶当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的

点M,使得以点A、。、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

17.（2025•黑龙江齐齐哈尔•三模）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线y=依+4与x轴交于点4（-4,0）,与、轴交于点。，抛物线

y=-x2+bx+c经过4c两点且与％轴的正半轴交于点B.

试卷第6页，共8页

(1)求k的值及抛物线的解析式.

(2)如图①，若点。为直线AC上方抛物线上一动点，当乙4c0=243力。时，。点的坐标为

(3)如图②，F是线段OA上的一个动点，过点尸作直线E尸垂直于工轴交直线八。和抛物线分

别于点G、E,连接设点尸的横坐标为m.当m为何值时，线段EG有最大值，并写出

最大值为多少；

⑷在(2)条件下，点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2,若动点P(m,4；在直

线=4匕动点Q(m,O)在x轴上，连接PD,PQ,NQ,请直接写出PM+PQ+QN的最小值.

18.(24-25九年级上•重庆巴南・月考)如图，在正方形48。。中，AB=4,动点尸以:个单位

每秒的速度沿A-8的线路运动，同时，动点Q以1个单位每秒的速度沿A-D-C的线路运

动，当一个动点先到达终点时，另一个动点随之停止运动.设运动时间为x秒，三角形4PQ的

面积记为力.

(1)请直接写出为关于%的函数表达式，并注明自变量工的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数为的图象；请写!H函数必的一条性质；

(3)若函数y2=4-x,结合函数图象，直接写出yiAy2时第的取值范围.(近似值保留一位

小数，误差不超过0.2)

19.(2025九年级上•浙江・专题练习)如图，抛物线y=/+匕％+6:与工轴交于点4,B,与

y轴交于点C,其中点A在)，轴的左侧，点C在x轴的下方，且04=OC=5.

(1)求抛物线对应的函数解析式；

(2)点尸为抛物线对称轴上的•动点,当PB+PC的值最小时，求点尸的坐标：

⑶在(2)条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点”为抛物线上的动点，以点P、E、

凡M为顶点作四功形PEFM,当四功形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M

的坐标.

20.(2025•黑龙江齐齐哈尔・二模)综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y=。/+匕%+(:经过4(0,3),8(1,0),C(4,3)三点，连接8C.

(2)E是抛物线上的一个动点，连接BE,CE,当ABCE是以BC为底边的等腰三角形时，点E的

坐标为：

(3)如图①，0是直线8c卜方抛物线上的一个动点，连接8D,CD,求△BCD面积的最大值;

(4)如图②,G是线段BC上的一个动点，户是点B右侧不轴上的一个动点，且始终保持CG=BF,

连接力G,CF,贝IJ4G+CF的最小值为.

试卷第8页，共8页

《2026年九年级中考数学专题复习二次函数动点问题》参考答案

题号12345678910

答案BBACBDCDCC

1.B

【详解】根据题意设运动时间为x秒，可得：AP=2wm,AQrcm,

则S=^APAQ=12x-x=x2(0<x<4),

则根据题意可知：当.『4cm时，面积有最大值，最大面积为16cm2.

故选：B.

2.B

【分析】本题主要考查了函数图象上的动点问题.由图2得：点N到达点。所用时间为4s,

点M到达点B所用时间为6s,且当t=4时，，△MBN的面积为6cm2,从而得到^4cM的面

积为AMBN的面积的2倍，即可求解.

【详解】解：由图2得：点N到达点。所用时间为4s，点”到达点8所用时间为6s,且当

£=4时,ZiMBN的面积为6cm2,

，△ACM的面积为^MB/V的面积的2倍，即6x2=12cm2,

••.△A8C的面积为6+12=I8(cm2).

故选：B

3.A

【分析】连接BE,BD,过G作GH上BF,垂足为“，利用勾股定理求出8E和8D,设“=a,

求出G"和4凡利用S阴膨二,xBrxGH—^x力Bx/1尸表示出阴影部分的面积，利用二次函

数的最值求解即可.

答案第I页，共23页

【详解】解：如图，连接BE,BD,过G作GH1B口垂足为”,

*：AB=2,AD=2遮，点E是线段4。的三等分点（AEVE。）,

：,AE=-AD=—,BD=y/AB2+AD2=4,

33

:.BE=V/1E2+AB2=—,

3

设BF=a,则竽<a<4,

9G是等边三角形，

：,BH=FH=-a,GH=—a,

22

*：AF=>/BF2-AB2=VQ2-4,

・・.S回影=^xBFxGH-i；xABxAF

1V31r-——

=-xax—a--x2xJa2-4

222V

令、晨-4=3则=-<t<2A/3,

/.a2=尸+4,

则S阴影=(t2+4)-t=t2-t+V3,

当1=-&=等时，s阴影最小,且为亨x(豹-平+，=•,

故选A.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的

关键是正确表示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解.

4.C

【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点。在48上运动时，AP=atfAQ=t,则

s=1at2,根据图2可得，当t=2时，5=4,求出a=2,得出动点P以2cm/s的速度自人

答案笫2页，共23页

点出发沿折线4一8-。-。方向运动至。点停止，且当£=2s时，点Q到达点。，当点产

在BC上运动时，s=4.当点P在CD上运动时，s=10-2C.将点(m,3)代入s=10-2t即

可求出m=3.5.

【详解】解：当点尸在AB上运动时，AP=at,AQ=t,

则s=SdPAQ=xAQ=^at2,

根据图2可得，当"2时，S="X22=4,解得：a=2,

即动点P以2cm/s的速度自A点出发沿折线A-B-C-。方向运动至。点停止，且当t=彳=

2s时，点。到达点。，

当点P在BC上运动时，s=ShPAQ=^ABxAD=4.

当点尸在CD上运动时，s=S&PAQ=^PQx力。=3x2x(10-2t)=10-2t.

将点(m,3)代入s=10-2t可得3=10-2m,解得：m=3.5>

故选：C.

5.B

【分析】本题考查了动点二次函数的图象，矩形的性质，勾股定理.由函数图象得，当z=0

时，y=DP+BM=46.此时。尸=DA,BM=BC,即力。+BC=4^3,据此可求得矩形

的边长，由函数图象知，此函数为二次函数，点上为图象的最低点，此时点P与点8重合，

点M恰好是对角线4c的中点，据此求解即可.

【详解】解：由函数图象得，

当X=0时，y=DP+BM=4V3,

此时。P=DA,BM=BC,

・"。+8。=4百，

••,矩形

：.AD=BC,AB=CD,

：,AD=BC=2V3,

•・•点M是对角线上的动点，

由函数图象得力C=4,

：,AB=CD=yjAC2-AD2=2,

由函数图象知，此函数为二次函数，

答案第3页，共23页

•・•点E为图象的最低点,

•••点E的横坐标为等=2,

此时点P与点B重合，点W恰好是对角线力。的中点,

：.DP=J(2百『+22=4,BM=^AC=2,

=DP+BM=4+2=6,

故选：B.

6.D

【分析】本题主要考查了新定义、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的性质，设

Q(mt2m),由点R(x,y)是点。，。的伴Q融合点，可用含机和与的式子表示出

x和y,整理后得到)，关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：由题意设Q(m,2m),。(%,％/),

♦・•点R(x,y)是点Q,，的伴。融合点，

工与=mx-m,

..2m+(m—m)2=巴2+1

J2m2v

Vm<0,

・•・最高点R(l,l),

故选：D.

7.C

【分析】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关

系式，并根据二次函数的性质求出最值.

根据等量关系“四边形4PQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数美系

求最小值.

【详解】解：设P、。同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Scm?,

则有：S=ShABC-S^PBQ

11

=—x3x6——(3—t)x2t

=t2-3t+9

答案笫4页，共23页

327

=("2)+T

••・当£=|s时，S取得最小值.

故选：C.

8.D

【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形

结合是解决本题的关键.

应根据0WtV2和2两种情况进行讨论.把，当作已知数值，就可以求出S,从而得

到函数的解析式，进一步即可求解.

【详解】解：作PEJ.BC干点E,

当0WtV2时，

vAP=t,BP=4—t,

・・.PE=sin60°xj?P=yX(4-t),

S=ixx—x(4-t)=--t2+2\[3t；

22''2

当2WtV4时，作CN148于N,作QM1A8于M,

cvAB||CD,

CN=MQ,

•••CN=sin60°xBC=2V3,

S=1x4xyx(4-t)=-V3t+4V3；

只有选项D的图形符合.

故选：D.

9.C

答案第5页，共23页

【分析】根据题意和图2可推出48=4,BC=8,得到力P=3BP=4-3当Q在BC上

时，即0<t<2,此时BQ=4t,过点P作PM1于点M,再由平行四边形的性质和/DAB=

2乙B,可得到乙8=60。，从而推出PM=当BP,得到&BPQ=\BQPM=-V3(t-2)2+4®

可知当t=2时，S.8PQ取最大值；当点Q在。0上时，即2WtW4时，根据平行四边形的性

质可推出S.Q=S^BPC=.PM=-2V3t+8百，根据一-次函数性质，可知当t=2时，

S.PQ取最大值，综上当£=2时，得到Q,即ABOQ的面积的最大值.

【详解】解：根据题图2可知，当t=4时，点P停止运动

.-.?!£?=1x4=4,BC=2AB=2x4=8

根据题意得，AP=t,BP=AB-AP=4-t

当Q在BC上时，即0WtW2,此时8Q=4t

过点P作PM1BC于点M,如图1,

Z.DAB+48=180°

又•••Z.DAB=2乙B

1

:.=-x180°=60°

在Rt△8Mp中，PM=sinZ,B-BP=sin60°-fiP=—BP=—(4-t)

22

11y/3f—,f—

S^p=-BQ-PM=-X4tx—(4-t)=-V3t2+4bt=-V3(t-2)2+4百

BQ乙乙乙

当£=2时，S.BPQ取最大值，最大值为4V5

当点。在CD上时,即2WtW4时，如图2,

AABKD

答案第6页,共23页

11V3厂厂

•••S^BPQ=SABPC=-BCPM=-x8x—(4-t)=-2V3t+8V3

乙乙乙

V-2V3<0

t越小，S&BPQ越大

•••2<t<4

•."=2，SABPQ取最大值，最大值为4百

综上所述，C=2,5^PQ取最大值，最大值为

a的值为4遮，B|JA8PQ的面积的最大值为4V5.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、

二次函数的最值、一次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

10.C

【分析】本题考查了二次函数的性侦，一兀二次方程的应用，一兀一次方程的应用，三角形

面积的计算，熟练应用数形结合思想和二次函数的性质是解题的关键.当t=6s时，点M在

4。上，求出DM、CN,可判断①；当1时，点M在48上，利用三角形面积公式表

示出ABMN的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，当

点M在4)上时，结合A8MN的面积为39cm2,列出方程，可判断③.

【详解】解：根据题意得：点M在A8上的运动时间为：=4s,点M在AD上的运动时间为三=

5s,点N在C8上的运动时间为16s,

①当£=6s时，点M在从。上，此时AM=2x6-8=4cm,CN=1x6=6cm,

DM=AD-AM=10—4=6cm,

ACN=DM,故①正确：

②当时，点M在力B上，此时8M=2tcm,CN=tcm,

:.BN-(16—t)cm,

SWMN=xBN=：X2tX(16-£)=72+16t=-(t-8)24-64,

v-1<0,

・•・当t<8时，S"MN随£的增大而增大，

.•.当t=2时，SMMN取得最大值，最大值为一(2-8,+64=28,

即当1工亡42时，A8MN的最大面积为28cm2,故②错误；

③当点M在48上时，MBM/V的面枳为39cm2,

答案第7页，共23页

：,S&BMN=xfi/V=Ix2tx(16-t)=-t2+16t=39,

解得£i=3,t2=13(舍去)，

••・当t=3时,△BMN的面积为39cm2；

当点M在力。上时，-AD||BC,Z-B=90°,

•••LA=180°-乙B=90°,即481AD,

此时SABMN=x1x8x(16-t)=64-4t=39,

解得”与，

4

・•・当t=8时,ABM/V的面积为39cm2；

4

・•.t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2,故③正确.

综上，正确结论有①③，共2个.

故选：C.

11.696

【分析】此题主要考查了更形的面积公式以及直角三角形30。定理，得出矩形面积与x的函

数关系式是解题关键.

利用30。定理和勾股定理表示出PE,BE的长，进而利用矩形面积求法以及二次函数最宜求

法得出即可.

【详解】解：••,在RtZiABC中，LB=30°,AB=12cm,.•.AC=AB=6cm,

：•BC=V122-62=6V3(cm).

•：PE1BC,PFLACt£C=90°,

四边形PECr为矩形，△P8E为直角三角形.

设Pf=xcm,则尸8=2xcm,

•••BE=x/3xcm,CE=(673—x/3x)cm,

•••S矩形PECF=%(6冉-V3x)=-V3(x-3)2+973.

-V3<0,

二当％=3,即P8=6cm时，矩形PECF的面积最大，最大面积为96cm2.

12.--1

2

【分析】连接4M交OM与点Nl首先得出当点N运动到点N，时，4N有最小值，即4M的长

答案第8页，共23页

度，ANr=AM-MNr=AM-1,当AM的长度最小时，4N'取得最小值，然后根据题意得

到(a-1)2=b+4,表示出AM?=伍+/然后利用二次函数的性质求出当力=时,

AMZ取得最小值指进而求解即可.

4

【详解】如图所示，连接4M交OM与点N：

•・•点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，

・•・当点N运动到点N'时，4N有最小值，即A"的长度，

・••当AM的长度最小时，力”取得最小值，

,一点b<0为抛物线y=x2-2x-3上的动点,

.'./?=a2-2a-3=(a-I)2-4

/.(a—l)2=ZJ+4

V4(l,0),M(a,b)

2

•*.AM2=(a-I)?+-2=炉+b+4=(++y.

,•,二次项系数为1>0

・••抛物线开口向上

••・当b=一；时，/IM?取得最小值,

24

・・・力用=当，负值舍去，

・•・止匕时AN'=AM-1=^-1

•••线段AN的最小值为手-1.

故答案为：乎—L

【点睛】此题考查了二次函数的性质和圆综合题，勾股定理，解题的关键是正确表示出4M2=

答案第9页，共23页

13.--4<m<5

【分析】根据题意可设点N(I,〃)，其中04九三4,从而得到CM?=血2+9,eV=1+

2222

(n-3)fMN=(m-l)+n,再由zMNC=90。，根据勾股定理可得n?—3n=m-1,

2

然后设y=n-3n,则y=(n-丁一三根据二次函数的性质可得一冷y<4,即可求解.

【详解】解：如图,

•・•点41,4),点8(1,0),

轴，

•・•点N是线段AB上一个动点，

・••可设点N(1,〃)，其中0WnW4,

'・•点C(0,3),点0),

'•CM2=m2+9,CN2=14-(n-3)2,MAf2=(m—l)2+n2,

.:4MNC=90°,

：,MN2+CN2=CM2,

A1+(n-3)2+(m-l)2+n2=m2+9,

整理得：n2-3n=m-1,

设y=*一3九，则y=(九一习-/

・••当n=：时,y有最小值此时m=_j,

2.44

VI>0,

・•・当n>|时，y随〃的增大而增大，当nv弓时，y随〃的增大而减小,

・••当九=0时，y=0»当九=4时，y=16-12=4,

<4,

9

<m—1<4,

答案第10页，共23页

：•—<ni<5,

4

故答案为：一：WmW5.

4

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质、勾股定理

是解题的关键.

【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值.根据定义表示出曼

哈顿距离四8,可证明服8的最小值在4B两点横坐标相等时取得，取得最小值1,求解

即可.

【详解】解：设点力的坐标为(血m2),点8的坐标为(七：九+力)，

对于抛物线上任意一点力(皿机2),其到直线y=1X+b的曼哈顿距离在％坐标相等的点

+处取得最小直，

因为k=3的绝对值小于1,因此，问题转化为求1瓶2-Gm+b)|的最小值，

则服夕=\m-n\+|m2--n-Z?|.

2

当m=n时，dAB=|m-b.

令/(m)=m2—b,

该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标m二：,

此时f(3=Gy41-=於_»6=一表一，

故|f(m)|的最小值为卜表一川=|3+b|=1,

即2+b=1或f+b=-1,

1616

解得上=崇财=亮.

由于抛物线与直线没有交点，方程/=1%+力无实数根,

即/—［之一匕=。的判别式△<(),

2

△=-4•1•(-匕)=:+4bV0,

答案第II页，共23页

—

解得b<16•

因此b=装不满足条件，力=一9满足条件.

1616

故答案为：-*

16

15.y=4x2—24x+144(0<x<6)

【分析】本题考查求二次函数的应用，理解题意，正确表示出BP,BQ是求解本题的关键.

先表示i4P=2x,BQ=4x的长，进而得到P8=12—2x的长度，利用—S“8Q来表示

四边形4PQC的面积即可.

【详解】解：由题意得：，4P=2x,BQ=4x,

・"8=12-2%,

:・S"BQ=\PBBQ=1(12-2x)-4x=-4x2+24x，

22

：.y=-xABxBC-S^PBQ=-x12x24-(-4x+24x)=4x-24x+144.

/

l<12

X一

r2

其中•<

•—

24

X<一

\4

..0<%<6.

故答案为：y=4x2—24x4-144(0<x<6).

16.(I)y=-x2+3x+4

(2)2

(3)(0,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0)

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形，三角形的面积，掌握相关知识是解

决问题的关键.

(1)将点力(-1,0)，8(4,0)代入，即可求解析式；

(2)过点。作DE1》轴交BC于点E,求出8C的直线解析式y=-x+4,设。(m,-病+3m+

4),则E(m,-m+4),根据S.CD=1x4xED=4s列方程即可求m的值；

(3)设N(n,-n2+3n+4),分三种情况讨论：①当DM和/IN为平行四边形对角线

时；②当ZL4和MN为平行科边形的对角线时；③当DN和.4M为平行四边形的对角线时，因为

平行四边形对角线互相平分，所以对角线中点重合，根据中点公式列方程求解即可.

【详解】(1)解：将点A(-l,0),8(4,0)代入？=。/+以+4,

答案第12页，共23页

,(a-b+4=0

116Q+4b+4=0'

尸3

la=-1

•••y=-X2+3x4-4:

(2)解：令x=0,则y=4,

C(0,4),

•••OC=4,

•••OA=1»

S^OAC=]X1x4=2，

•••△3CD的面积是^AOC的面枳的4倍，

•*,SQBCD=8,

过点。作OE1》轴交BC于点E,

设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B(4,0),C(0,4)

.fb=4

“1轨+匕=o'

.•・代=T,

Ib=4

/.y——为+4,

,:D(m,-m2+3m+4),则E(m,-m+4),

:.DE=-m24-4m,

,,,S&BCD=-x4xED=8»

:.—m2+4m=4,

即W-4m+4=o

/〃i—〃。2=2，

(3)解：存在点M使得以点A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

vm=2,

•••D(2,6),

设M(£,0),N(n,-n2+3n+4),

•・•平行四边形对角线互相平分，

・•・对角线中也重合，

答案第13页，共23页

①当DM和AN为平行四边形对角线时,

2+tn+(-l)

—=I'

此时22

6+0-n2+3n+4+0'

22

二或忆；

•••时(-2,0)或也一1,0)(舍去)；

②当ZZ4和MN为平行四边形的对角线时,

2+(-1)_t+n

=F

此时2

6+0-n2+3n+4+0

---=

2

X；或ki

二M(0,0)或(舍去);

③当ON和4M为平行四边形的对角线时,

2+nC+(-l)

此时22

6+(-n2+3n+4)_0+0

2=F

•••仁网MT

•••M(8,0)或M(l,0)；

综上所述:M点的坐标为(0,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0).

-3x+4

⑵(一2,6)

(3)当m=-2时，线段EG有最大值为4

(4)4伤+4

【分析】(1)将点力的坐标直接代入直线解析式可得出々的值：再求出点C的坐标，将4。的

坐标代入抛物线解析式，却可得出结论;

(2)由(1)可得。4=OC=4,则4。4c=WCA=45°,设CN=DN=n,可表达点D的

答案第14页，共23页

坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；

(3)①由点4C坐标可得出直线4c的解析式，由此可表达点G,E的坐标，进而表达EG的

长度，结合二次函数的性质可得出结论；

(4)根据题意确定N(2,-6),将点。向下平移四个单位长度到点从得“(-2,2),连接〃“交

工轴于点Q,过点Q作PQ_L%轴，连接PD，过点N作NE1DH的延长线于点E,利用平行

四边形的性质得出DP=HQ,DPWHQ,确定点”、Q、N三点共线，此时Q”+QN取得最

小值，即PO+Q/V取得最小值，然后由各点的坐标结合勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：,直线y=kx+4与x轴交于点力(一4,0),

・♦・-4k+4=0,

1•k=1,

直线4c的表达式为y=x+4；

当工=0时，y=4,

•••点C的坐标为(0,4),

将点A的坐标为(一4,0),点。的坐标为(0,4),代入y=—/+"+c,

得:f-16-4b+c=0y

Ic=4

解得：="3,

Ic=4

••・抛物线的解析式为y=-/-3x+4：

(2)如图，过点C作CMIIx轴交抛物线于点M,过点。作CM的垂线，垂足为N,

邛

vCM||%轴,

:，Z.ACM=Z.BAC,

vZ.ACD=2/-BAC,

•••Z.ACD=2/.ACM,

答案第15页，共23页

•••Z-ACM="CM,

OA=OC=4,

Z-OAC=Z.OCA=45°,

Z.DCM=乙CDN=45°,

DN=CN,

设CN=DN=n,

•••。的坐标为(一科n+4),

将点。的坐标代入解析式可得，一九2+3n+4=n+4,

解得n=2或n=0(舍去)

••・。的坐标为(-2,6)；

(3)由(1)可知，直线.4。的解析式为：y=x+4；

■:点F的横坐标为m,

二点G的坐标为(m,m+4)；点E的坐标为(m,-mz-3m+4),

设线段EG的长度为“，

则”=—m2—3m+4—(771+4)

=­m2—4m

=­(m+2)2+4,

.•.当m=-2时，线段EG有最大值为4；

(4)•・•点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2,

当x=2时，y=-6,

，N(2,-6),

由(2)得。的坐标为(一2,6),

将点。向下平移四个单位长度到点H，

连接NH交x轴于点Q,过点Q作尸Qlx轴，连接P0,过点N作NEJ.OH的延长线于点£,

如图所示：

•••P(m,4)在直线上y=4上，动点Q(m,O)在x轴上，

：.DH\\PQ,DH=PQ=4,

・•・四边形PQHD为平行四边形，

；・DP=HQ,DPWHQ,

答案第16页，共23页

，点”、。、N三点共线，此时QH+QN取得最小值，即PD+QN取得最小值,

：,HE=2-(-6)=8,NE=2-(-2)=4,

：.HN=V424-82=4V5,

PM+PQ+QN的最小值为4遮+4.

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次(一次)函数解析式、

二次函数图象上点的坐标特征、最短路程等，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握运用这些

知识点.

(x(4<x<8)

⑵图形见解析•：当0SXS8时，乃随”的增大而增大

(3)2.5<x<8

【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，

(1)当OWNW4时，当4VXW8时，分别求出即可求解；

(2)画出图象，结合图象即可求解；

(3)画出图象，结合图象即可求解；

能根据动点的不同位置分段求解及数形结合求解是解题的关键.

【详解】(1)解：当0MxV4时，

AP=AQ=x,

1

yx=-APAQ

11

=-X-%XX

22

12；

答案第17页，共23页

当4VXW8时,

1

yi=-APAD

11

=2X2XX4

=x,

x2(X4)

综上所述：yi=p°--；

Ix(4<x<8)

(2)解：如图所示，

7

6

5

4

3

2

性质：当0WXW8时，%随x的增大而增大;

(3)解：如图，

由图象得，当力＞及时，人的取值范围为2.5＜人工8.

19.(1)y=x2+4x-5

(2)(-2,-3)

⑶M(—4,-3)或M(l,-3)或M(0,-3)或M(—5,-3)

【分析】(1)由题意，可得4(一5,0),。(0,-5).把点A,C的坐标代入y=/+bx+c,得

到关于〃，c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式；

(2)利用配方法求出抛物线的对称轴是直线％=-2.由抛物线y=/+4%-5与工轴交于

答案第18页，共23页

点A,B,得出点A,B关于直线x=-2对称.连接力C,交对称轴于点P,根据两点之间

线段最短可知此时P8+PC的值最小.利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-5,

把％=-2代入，求出y=-3,进而得出点P的坐标；

(3)在(2)条件下，点P的坐标为(-2,-3).设F(X,/+4X-5),根据正方形的性质可得

f(-2,/+4x-5),M(x,-3),PM=PE,根据两点间的距离公式列出方程|x+2|=

以2+4%-5+3],解方程即可求解.

【详解】(I)解：由题意，可得力(一5,0)((0,—5).

・「抛物线y=x2+bx+c过点4,点C,

.(25—5Z?+c=0

'1c=-5

解得仁5.

・•・抛物线对应的函数解析式为y=/+4%-5；

(2)解：Vy=/+轨一5=(x+27一9,

工对称轴是直线％=-2.

:抛物线y=7+4%-5与4轴交于点A,B,

・••点A,8关于直线％=-2对称.

连接AC,交对称轴于点P,此时「8+27=41+。。=/1。的值最小.

设直线i4c的解析式为y=mx+n,

则｛解得;二;,

，直线AC的解析式为y=-x-5,

当％=-2时，y=-3,

工点。的坐标为(-2,-3)；

(3)解：在(2)条件下，点P的坐标为(一2,-3).

设尸(%%2+4%-5),