北京市海淀区2025-2026学年上学期九年级期末数学模拟试卷

北京市海淀区2025-2026学年上学期九年级期末数学模拟试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若3），=5式9=0）,则下列比例式正确的是（）

x5x3xV3y

A.-=-B.-=-C.土=2D.一=2

J35），355x

2.在平面直角坐标系中，抛物线），=/向左平移1个单位长度得到的抛物线为（）

A.y=(.r+l)2B.y=(x-\)2C.y=x2+\D.y=x2

3.半径为6的圆中，60。的圆心角所对的弧长为（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.67r

4.若点4不，-3）,8（々，1）,。（占,2）都在反比例函数），=9的图象上，则毛,修，5的大小

x

关系是（）

A.X）<x2<B.x2<xt<x3C.<x2<X）D.x,<^<

5.如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（）

A.点AB.点8C.点CD.点。

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（）

A.两枚硬币都正面向上的可能性最大

B.两枚硬币都反面向上的可能性最大

C.一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的可能性最大

D.以上三种情况的可能性相同

7.二次函数>公+C的图象如图所示，下列各式成立的是)

y

A.”0B.b<0C.c<0D.b2-4ac<0

8.如图，「。的半径为26,48为直径，过AO中点。作CZ)_LA8交CO于点。，连接

AD,BD,点尸为半圆4就上一动点，连接P。，过点。作交朋的延长线于点

E.有如下描述

①ZA£)8=90。：

②当点P由点4向点3运动时，。石的长增大；

③NE=30。：

④OE最长时为6.

A.①②B.②③C.①@D.①③④

二、填空题

9.如果两个相似三角形对应高的比是2:3,那么它们的面积比是.

BF

10.如图,直线AB//EF//O,EF分别交AD,RC于点,E,F.若4£=1,ED=2,贝U=

FC

的值为.

试卷第2页，共8页

11.如图，斜坡AB的坡度为1:3,坡面AB的长为J记m,则坡顶8到水平地面AC的币.离

13.某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下:

设计次数20401002004001000

射中9环以上次数153378158321801

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确至IJ0.1）.

14.如图，从一张边长为2cm的正方形纸片上剪出一个扇形，将剪下来的扇形围成一个圆

15.如图，V48C的顶点在正方形网格的交点处，则sinA的值为

16.某区域的快递网点位于〃处，负责区域内A,aC2E五个小区的配送业务，小区间有

道路相连，道路长度如图所示.快递员每次配送任务都是从严处出发，所有快件配送完毕即

完成任务，不用返I可网点P处，此过程希望快递员的总路程尽可能短.若某次配送任务只包

含氏C小区，则配送的最短路程为.若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路

程为.

E

三、解答题

17.计算：273cos300-4tan450-sin450+x/8.

18.已知：在RlZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=20,解这个直角三角形.

19.下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：QO及。。外一点P.

求作：直线24和直线依，使得必切。于点4,PB切"O于点B.

①连接OP,作线段OP的垂直平分线，交O0于点Q；

②以点Q为圆心，。。的长为半径作圆，交(。于点A和点8；

③作直线P4和直线依.

所以直线PA和阳就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

(I)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明：连接。A08.

〈OP是Q的直径，

・•・/()AP=4)BP=_(_)(填推理的依据).

试卷第4页，共8页

PA1OA,PBLOB,

•・・QAO8为，。的半径，

•••PAP8是：O的切线(_)(填推理的依据).

2

20.已知关于工的一元二次方程V-("?-2卜+3--小=().

⑴求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值.

21.二次函数)，=々「+加+c(aw0)的部分图象和对称轴如图所示.

JL

-l/o|jiX

(1)求该二次函数的表送•式：

(2)若方程公2+云+c=k总有两个正实数根，直接写出我的取值范围.

22.北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛由圜丘、祈

谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛(图1)最下层圆形石坛的直

径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制

了一个直角曲尺，制定了则算方案并画出了示意图.

直角曲尺的短边AC长为0.5m,在测量时，用直角曲尺的长边AB贴紧圆形石坛的边缘，并

使短边AC与圆形石坛的边缘接触，此时长边A8与圆形石坛的接触点记为点。，量得的

长为5.2m,示意图如图2所示.请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径.

23.炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度〃(单位:

米)与时间/(单位：秒)满足二次函数表达式：/7=4+"+《。叫,具体数据如下表:

t0135•••

h2274727•••

(I)结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为米；

⑵若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间.

24.如图，直径为A3,点C。为。上的两个点，OC1OD,过点C的直线交48延

(2)连接8。，若BC=2底tanNBCE=g,求8。的长.

25.篮球课上，小华和小明在距离篮箧中心水平距离5m的位置处，正对篮筐进行定点投篮

练习.篮筐距离地面的高度为3.05m.篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一

部分.建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度(单位：m)与水平距离工(单

位：m)近似满足二次函数关系.

①直接写出篮球的竖直高度的最大值；

②篮球的竖直高度V与水平距离工近似满足函数关系y=a(x-M+N"0),求”的值;

③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由；

(2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度了与水平距离”近似满足函数关系

试卷第6页，共8页

)，=-().3/+AE+。，篮球H手时竖直高度满足24)，<2.05,若小明将篮球投进篮筐中心，直

接写出〃的取值范围.

26.如图，在V/WC中，点。在AC边上，作点。关于A8的对称点连接。。交力4于

点E,连接8。，V^BFA.BD(点/在8c右侧)，且BF=BD,连接8。，DF,小产，D'F

交A/3于点G.

⑴①依题意补全图形；

②若45。=。，用含有1的式子表示/8切的度数；

(2)用等式表示线段跖与G/的数量关系，并证明.

27.已知抛物线y=Y-2",若点A(fy),8(〃?,为)在抛物线上.

(I)求抛物线的对称轴(用含力的字母表示)；

⑵若对于〃壮1时，都有)2>y，求b的取值范围.

28.在平面直角坐标系xQv中，对于点W和点用("?,〃)给出如下定义：将点W先关于直线

x=，〃翻折，再向上(，后。时)或向下(〃<0时)平移同个单位，得到的点叫做卬关于点M

的“关联点”

⑴①点0(0,0),4(2,1),点。关于点A的“关联点”的坐标是；

②若点区(-2,-1)关于点。的“关联点”的坐标是(4,0)，贝］点。的坐标是______

⑵直线y=X+2分别与x轴，y轴相交于点。，E,P是线段OE上的点.

①点。（1应），若直线丁=1+2上存在着点〃关于点。的“关联点”，直接写出9的取值范围;

②点T是以。为圆心，I为半径的圆上的点，点了关于点尸的所有“关联点”组成图形G.若

图形G与坐标轴有公共点，直接写出点尸的横坐标X的取值范围.

试卷第8页，共8页

《北京市海淀区2025-2026学年上学期九年级期末数学模拟试卷》参考答案

题号12345678

答案CAADCCBC

1.C

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判

断.

x5

【详解】解：A.因为一=不，所以3x=5y,故A不符合题意；

y3

B.因为2=3,所以个=15,故B不符合题意；

5y

C.因为:=1，所以3y=5巴故C符合题意；

D.因为［=2,所以3x=5)，，故D不符合题意；

5x

故选：C.

2.A

【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可.

【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，抛物线＞=/向左平移1个单位长度得到的抛物线

为y=(x+l)2,

故选：A

3.A

【分析】此题主要考查了扇形弧长的计算，注意掌握扇形的弧长公式是解题关键.

根据题意可以利用扇形弧长公式/=照直接计算.

18()

【详解】解：根据题意得出：/=怒=毁岩=2兀，

18()1o()

故选：A.

4.D

【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由反比例函数解析式得反比例函数图象分布

在一、三象限，在每个象限内，的值随着x的增大而减小，当x＞0时当x＜。时)Y0,

据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.

【详解】解：•・•反比例函数)，=自，

X

・•・反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内，)的值随着/的增大而减小，当犬＞0

答案第1页，共21页

时y>0,当xvO时）Y（）,

丁点4芭,一3）,倒和1），。（右2）都在反比例函数），=£的图象上

x

，王<0,x2>x3>0,

，x2>x3>内，

BP内<x3<x2,

故选：D.

5.C

【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形

的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键.观察图形可知，点C到两个格点三角

形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可.

【详解】解：如图，两个格点三角形分别为▲人种和连接C4、CO.CP、CB、CR,

设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1,

由勾股定理得C4=CP=CQ="百=石，CB=CR=jF+/=&,

..AB?和AQRA的每一组对应顶点到点。的距离都相等，

两个格点一ABP和一Q心的旋转中心是点C,

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出小

再从中选出符合事件A或B的结果数目然后利用概率公式求事件A或B的概率.

先画出树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两E面朝上的、两背面朝上的和一个正

面朝上，另一个背面朝上的结果数，然后分别计算它们的概率，再比较大小即可.

【详解】解：画树状图为：

答案第2页，共21页

开始

正反

正反正反

共有4种等可能的结果数,其中两正面朝上的占I种，两背面朝上的占1种，•个正面朝上，

另一个背面朝上的占2种，

所以两正面朝上的概率=；,两反面朝上的概率=；,一个正面朝上，另一个背面朝上的概

44

?1

率=二」.

42

故选：C.

7.B

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据函数图象可以判

断4、b、c的正负情况，从而可以解答本题.

【详解】解：由函数图象，可得：

A、函数开口向上，则。>0,选项不符合题意；

B、对称轴在），轴右侧，则〃<0,选项符合题意；

C、图象与），轴交点在），相正半轴，Mc>0,选项不符合题意；

D、图象与x轴有两个交点，则从-4ac>0,选项不符合题意；

故选：B.

8.C

【分析】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特

殊角三角函数值，求特殊角等知识.

根据连ARO。，根据直径所对的圆周角得到〃U）8=9（T,故①正确，再由CO_LA3,半

径长为2利用锐角三角函数求ZCOD=60。，再由圆周角定理求出ZDPA=NA8O=30。,

由圆内接四边形的知识证明/042=4）此得到DAPDBE,推出当=卷，

DPDE

NE=ZAPD=300,故③王确，进而推出=判断②④错误，则问题可解.

【详解】解：连AP3,

•：AB为。直径，

，乙405=90。，故①正确,

答案第3页，共21页

CD1AB,半径长为26,

，CO=G，

x/3_1

・

••cosZCOD=2^3~2

・•・ZCOD=60°,

；・NDPA=ZABD=30。,

/.AD=2瓜BD=6,

；COJ.AB,

，ZPDE=90°,

，ZADP=/BDE,

由顾意，AP,民。四点共圆，

ZDAP+ZDBP=]S(T,

•；NDBE+NDBP=180。,

/.ZDAP=ZDBE,

，DASDBE,

,空=丝，ZE=ZAPD=30°,故③正确，

DPDE

：.DE=M^=£DP,

AD

工当点?由点A向点3运动时，当。尸过圆心。时，。上的长最大,

此时，OE=WX4X/5=12,故④错误，

随着点夕继续向运动，。£的长度逐渐减小，故②错误，

故选：C

9.4:9

【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

答案第4页，共21页

由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于

相似比的平方，由此即可得出答案.

【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形

的面积比等于相似比的平方，

•••它们的面积比是：（|J=[=4:9,

故答案为：4:9.

10.-/0.5

2

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理.

根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可.

【详解】解：AB〃EF〃CD、AE=\,ED=2,

BFAE1

---==—，

FCED2

故答案为：；.

II.1

【分析】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比.根据

斜坡A8的坡度为1:3,设8C=xm,则4C=3xm,根据勾股定理可得A8=Ji五vm,又因

为=可知x=l,可得坡顶8到水平地面AC的距离为1m.

【详解】解：•・•斜坡A8的坡度为1:3,

/.8cAe=1:3,

设8C=.un,则AC=3.vm,

在,A8C中，BC1AC,

:.AB=V«C2+4C2=J">.?=ViO.rm.

VAB=VlOm,

Viov=Vio,

解得：x=i,

坡顶B到水平地面AC的距离为Im.

故答案为：Im.

答案第5页，共21页

12.30

【分析】本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出〃、b,计

算即可.

【详解】解：x2+10x+a=x2+10x+25-254-fl=(x4-5)2-25+«,

由题意得：—25+。=0,b=5,

二.a=25,b=5,

.-.«+/?=25+5=3(),

故答案为：30.

13.0.8

【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根

据频率即可估计概率.

【详解】解：15+20=0.75,

33・40=0.825,

78+100=0.78,

158+200=0.79,

321・400=0.8025,

8014-1000=0.801,

由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.801附近，

••・估计这名运动员射击一次”射中9环以上”的概率是0.8(精确到0.1).

故答案为:0.8.

14.1/0.5

【分析】本题考查圆锥的计算，先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长,

可求出底面半径.

【详解】解：7弧4。的长为桀莽=不，即圆锥底面周长为期，

IOU

设圆锥的底面半径为mm.

则2仃=71,

1

-^=2*

二圆锥的底面圆的半径为gem.

答案第6页，共21页

故答案为：

15,正

5

【分析】本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键.设每个

网格正方形的边长为1,且COJLA3,交A8的延长线于点。，利用勾股定理，正弦函数的

定义解答即可.

【详解】解：设每个网格正方形的边长为I,且交人4的延长线于点。，根据题

意，得CD=3,AO=6,

故AC=\/CD2+ADi=3>j5，

16.1020

【分析】本题考查J'有理数的加法的应用，根据题意正确列出算式并正确计算是解题的关键.

①根据题意，正确列出算代，再根据有理数加法法则计算即可得到答案

②根据题意，正确列出算式，再根据有理数加法法则计算即可得到答案.

【详解】解:①配送任务只包含仇。小区，则配送的最短路程为：PA+AC+BC=3+2+5=\0,

②配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为：

PE+E£>+AM+AC+C4=5+3+5+2+5=2()；

故答案为：①10;②20.

17.3

【分析】本题考杳了特殊用的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算

法则是解题关键.先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最

后计算二次根式的加减法却可得.

【详解】解：2>/3cos30°-4tan45°-sin45°+>/8

答案第7页，共21页

=2岛冬4xlx冬2夜

3-2夜+2及

18.乙4=30,ZB=60,AB=46

【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，先求出

ianA=(|=¥=曰，得出NA=3()。，再求出/8=90。-〃=60。，根据直角三角形的性质

得出AB=2BC=2x2&=4®.

【详解】解：在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,8。=26,

BC2万x/3

/.tanA--=----=--，

AC63

AZA=30°,

，N4=90°-ZA=60°,A8=2AC=2x26=46,

AZA=30°,N8=60。，AB=A&.

19.(I)见解析

(2)90°；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的

切线

【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理,

解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

(1)根据题意，画出图形即可；

(2)根据直径所对的圆周角为直角，得出NO4P=NgP=90。，再根据垂线的定义，得出

PA1OA,PBLOB,再根据切线的判定定理，即可得出结论.

【详解】(1)解：如下图即为所求：

答案第8页，共21页

(2)证明：・.・OP是Q的直径，

・・・NQ4P=NO3P=90。(直径所对的圆周角为直角).

：.PA1OA,PBVOB.

08是。。的半径，

APA,PB是。的切线(经过半径的外端，并且垂直干这条半径的直线是圆的切线).

20.⑴见解析；

(2)6.

【分析】(1)先计算出根的判别式的值得到△=%则△>(),然后根据根的判别式的意义得

到结论；

(2)先由求根公式得到』二£,々=甘，再利用£>0且等>0得〃>4,然后根据

々和个都是正整数可确定，〃的值；

此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的

解法，正确理解一元二次方程加+^^=。卜"。)根的判别式A=b2-4〃c,当△>()]□方

程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实

数根；掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

【详解】(1)证明：•••△=[一(〃?一2)『一4

=m2—4"?+4—m2+4m

=4>0,

••・方程总有两个不相等的实数根;

m-2±2

(2)解:*.*x=

2x1

inm-4

•・•方程的两个根都是正数,

答案第9页，共21页

・・.竺＞0且曰＞0,

22

解得m＞4,

•••方程的两个根都是正整数，

和彳都是正整数，

22

:・m的最小值为6.

21.⑴），=-/+2十+3

（2）3＜心4

【分析】本题主要考查二次函数与不等式、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最

值.

（1）直接利用待定系数法求得二次函数解析式为y=x2-2x-3：

（2）根据题意可知），=«*十以十6与了=及的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大

于0,结合函数图象即可得到答案.

【详解】（1）解：由图象可得，），=#+加+〃的图象过点（-1，0）,（0,3）,对称轴是直线x=l,

a-b+c=0

二.”c=3,

-A=i

2a

a=-\

解得：b=2,

。二3

二•二次函数解析式为尸-/+2x+3；

（2）解：由（1）知，二次函数解析式为丫=-3+2*3,Wljy=-U-l）2+4,

•••该抛物线的顶点坐标是。，4）,

,.,"2+=+°=上有两个不相等的正实数根，

.•.），=办2+法+。与丁二上的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于（），

.•.3＜火44.

22.54.58m

【分析】本题考查圆切线的实际应用.解题的关键是添加辅助线，熟练掌握圆切线性质，勾

答案第10页，共21页

股定理解解三角形.

如图，连接。。，过点C作CT_LOD于点，设O"=OC=nn,利用勾股定理构建方程求解.

【详解】解：如图，连接O。，过点C作CT_LQD于点=设O£)=OC=r

回是。的切线,

X.凡言白曲尺

.\ODLAB,

VACA.AB,

/./CTD=/CAD=/AO7=90,

二•四边形AO7C是矩形，

.\CT=AD=5.2,DT=AC=(l5f

在Rl^OCT中，OC2=OT2+CT2,

.\r2=(r-0.5)2+5.22,

解得r=27.29.

所以圆形石坛的直径：27.29x2=54.58(m).

23.(1)47

⑵炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒

【分析】本题考查了二次函数的应，根据已知数据求出抛物线对称轴是解题关键.

⑴根据抛物线过点(1,27)(5,27),可得抛物线的对称轴，那么可得抛物线的顶点坐标，结合

表中所给的数据可得炮弹£行的最大高度；

⑵用顶点式表示出抛物线的解析式，取〃=42可得炮弹此时的飞行时间.

【详解】(1)根据抛物线过点(1,27),(5,27),可得抛物线的对称轴为直线工=手=3,

那么结合表中所给的数据可得抛物线的顶点坐标为(3,47),

则炮弹飞行的最大高度为47米.

故答案为：47；

答案第11页，共21页

(2)•••抛物线的顶点(3,47),

二•设抛物线表达式为：〃=3尸+47.

抛物线过点(1,27),

27=4(1-3/+47.

/.a=—5.

.,.力=一5(1—3尸+47.

当/?=42时，42=-5(Z-3)2+47,

「」=2或4.

答：炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒.

24.⑴讦明见解析

(2)3710

【分析】(1)方法一：根据直径所对的圆周角是直角可得出N84C+443c=90。，根据等

边对等角可得出=然后结合已知可得出/8。石+/0。8=90。=/。口，最后

根据切线的判定即可得证；

方法二：根据等边对等角和三角形内角和定理可得出NO8C=NOC8=90O-gN3OC,结合

已知可得出/。。8=90。一/8(%,则NOC4+N4C石=90。，根据切线的判定即可得证；

(2)方法一：连接C。，过点C作C尸JLBD于点F.根据勾股定理可求出B广=C/=而，

根据圆周角定理并结合已知可得出4CDB=14BOC=ZBCE,根据正切的定义可求出

DF=2>/10,即可求解：

方法二：过点C。作A8的垂线段CG,。“，连接AC.判断N8CE=NC48=N8CG,根据

正切的定义可求出AC=4后,4B=10,CG=28G=4,OG=3.证明△COGg^OD”.得出

DH=OG=3,OH=CG=4,最后在中，根据勾股定理求解即可87)=3后；

方法三：连接AC8Z)交于点K,连接AD.根据正切的定义可求出AC=4逐，根据圆周角

定理NC8O=NCAO=45,根据等边对等角可求C”=5C,进而求出AK,根据勾股定理

可求OK和3K,即可求解.

答案第12页，共21页

【详解】(I)证明：方法一:

连接AC.

.­.ZACfi=90°.

NK4C+NABC=90。.

QOC=OB,

ZABC=ZOCB.

ZBAC=-NBOC=NBCE,

2

"BCE+NOCB=90°=ZOCE.

s.OCLCE.

:.CE是。的切线.

方法二：

QOC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=18。。-/"℃=90°--ZBOC.

22

•:ZBCE=-ZBOC,

2

AOCB=90°--ZBOC=90°-/BCE.

2

/OCB+/BCE=90。.

:.OC1CE.

・•・CE是:。的切线.

(2)解：方法一：

连接C。，过点C作CFLBD于点F.

答案第13页，共21页

在Rt.BCF中，BC2=BF1+CF2=2BF?=2().

BF=CF=M.

•・・ZCDB=-NBOC=/BCE,

2

1CF

，tanZCDF=tanZBCE=—=.

2DF

DF-2.

/.BD=BF+DF=3x/10.

方法二:

过点CO作A8的垂线段CG,。“，连接AC.

乙BCG=90。-^ABC=NBAC=-Z.COBNBCE,

2

tanZBCE=tan/CAA=tanZ«CG=-=—=—.

2ACCG

AC=4>/5.AB=10,CG=2BG=4,OG=3.

NCGO=/OHD

..在-COG和OOH中，<CCOG=4DOH,

OC=OD

:ACOG0/XODH.

：.DH=OG=3QH=CG=4.

••在中，BD=3M.

方法三：

连接AC,8。交于点K,连接AD.

1BC

tanZCAB=Van/.BCE=—=,

2AC

答案第14页，共21页

/.AC=4yf5.

ZCOD=90°,BO=CO,

ZCBD=ZC4D=45，

又Z4C8=ZAZ）8=90°,

/DAK=ADAK=45°,NCBK=NCKB=45。，

/.AD=DK,CK=BC=2后，

AK=AC-CK=245，

：.BK=ylBC2+CK2=2710»。/+心=«=20，

；.DK=M,

BD=BK+DK=3M.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定

与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键.

25.⑴①4.05；②叫-！；③能，理由见解析

4

（2）1.74b41.71

【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并竺握抛物线的性质，顶点坐标，图形

开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键.

（1）①根据表格信息得到'•值的变化9），值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标

为（3,4.05）,图象过（0,1.8）,代入计算即可；③把工=5代入计算得到小华投球的高度与篮筐

高度进行比较即可求解；

（2）根据篮球出手时竖直高度满足2W），W2.05,分类讨论：当（0,2）,（5305）经过函数关系

y=-C.3%2+bx+c的图象上时,：当（0205）,（5,3.05）经过函数关系），=一0.3工2+〃x+c的图象上

时;代入计算即可.

【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为（3,4.05）,

・•・篮球的竖直高度的最大值为4.05m；

②根据题意，顶点坐标为（3,4.05）,图象过（0,1.8）,代入二次函数y=jy+NavO）中

得，

1.8-^（03）214.05,

答案第15页，共21页

解得，

4

③能，理由如下，

根据上述计算可得，y=-l(x-3)2+4.05,

•••当x=5时，y=-lx(5-3)2+4.05=3.05,

，小华本次投篮能将篮球投进篮筐；

(2)解：篮球出手时竖直高度满足24)32.05,篮管中心水平距离5m的位置，篮筐距离

地面的高度为3.05m,

•••当(0,2),(5,3.05)经过函数关系)，=-0.3/+bx+c的图象上时，

c=2

,-O.3X52+5/?+C=3.O5

解得，b=\J\

当(0205),(5,3.05)经过函数关系)，=-0.3/+队+°的图象上时,

c=2.05

[-0.3x52+5"c=3.05'

解得，〃=1.7；

•••小明将篮球投进篮筐中心，〃的取值范围为1.74841.7I.

26.(1)①见解析；②/次。=45。-。

Q)GF=4iBE(或/或竺=巫)

2GF2

【分析】(1)①正确画图即可；

②根据轴对称的性质和等接三角形的性质即可解答；

(2)如图2,过点F作FHLAB于H,证明尸是等腰直角三角形，证明

BDE^£8”(AAS),根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的&倍即

可解答.

【详解】(1)解：①如图I所示，

答案第16页，共21页

B

D\

ADC

图1

②丁点D关于AB的对称点”，

:・BD=BU,ZABD=/DBE=a,

•JBFVBD.

/./DBF=义中，

力所=90。+勿，

VBD=BF，

BD=BF,

,,180。一（90。+2。）

・・ZBFD'=NBD'F=--------------------

2

（2）解：GF=42BE，证明如下：

如图2,过点F作FH_LAB于H,

,:BD=BF,ZDBF=90°,

，/后尸是等腰直角三角形，

NBFD=NBDF=45。,

由②知：ZBF/y=45°-cr,

工/DFD'=a=ZABD,

V/BOG=/DOF,

，/BGO=/BDF=45°=/EGU,

•・•点。关于AB的对称点!滔

答案第17页，共21页

:・DE=DE,AB工DD',

:•NDEB=/BHF=90。,

：・NEDB+/DBE=90。,

VNOB尸=90°,

JZDBE+ZHBF=90°,

:・/EDB=/HBF,

BD=BF,

・•・BO£^F8”(AAS),

:.BH=DE=D'E,BE=FH,

:4DEG=90°,ZEG77=45°,

••・O'EG是等腰直角三角形，

:,EG=DE=ED=BH,

，EG+BG=BH+BG,

即BE=GH,

VZBGF=45°fZ/7=90°,

・•・AG加是等腰直角三角形，

GF=>/2GH»

,GF=®BE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三

角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题

是解题的关键.

27.(l)x=b

(2)/?<0

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

(1)根据抛物线的解析式，得到对称轴为x=b；

(2)根据题意，得到〃「_2为〃>力+1,变形为〃一1-加>0,结合〃?的范围，得到〃<0.

【详解】(1)解：•・•抛物线丁=炉一次,

工对称轴为：直线"-二=氏

2x1

即x=b：

答