高考数学二轮总复习：统计、成对数据的统计分析与概率

小题专讲第2讲统计、成对数据的统计分析与概率

「考情分析」本讲主要考查样本的数字特征、统计图表、古典概型、互斥事件与对立事件

的概率、条件概率、正态分布和全概率公式，以选填题为主，难度中等，其中古典概型、正

态分布和条件概率是近几年高考的热点.

热点题型

题型一统计

核心知识

1.分层随机抽样问题的类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，到比例

式进行计算.

样本量

⑶分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，具中，抽样比=总样本量一

各层样本数量

各层个体数量.

频率，频率=组距X芥京.

2.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示

组距

3.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.

4.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数

(1)最高的小反方形底边中点的横坐标即众数.

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小

长方形底边中点的横坐标之和.

(1)(2024•河南名校我盟高三5月模拟)已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数

分别为40,30,50,学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀

学生，已知乙班分配到的优秀学生名额为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为()

A.16B.30

C.24D.18

答案：C

解析：甲、乙、丙三个班级的人数比为4：3：5,由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名

额分别为8人，6人，10人，所以高三年级三个班优秀学生总人数为8+6+10=24.故选C.

(2)(2024.辽宁葫芦岛高三第二次模拟)某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的

人数比例采用分层随机抽样，抽取了40名初中牛和2()名高中牛，调杳发现初中牛每天的平

均睡眠时间为8小时，方差为2,高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查

数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（）

A.1.3B.1.5

C.1.7D.1.9

答案：D

解析：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为非X8+非<7=?小时，该地区中学生每天睡

眠时间的总体方差为需X12+（8—苧）］+含乂］|+（7—胃）］=||七1.9.故选D.

（3）（多选）（2024•辽宁沈阳高三模拟）下图为某市2024年第一季度全市居民人均消费支出构成

图.已知城镇居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4%：农村居民人均消费支出

4388元，与上一年同比增长7.8%,则关于2024年第一季度该市居民人均消费支出，下列说

法正确的是（）

医疗保健528元火他用品及服务163元

交通通信5H3元

居住2084元

教ff文化娱乐791元

生活用品及服芬356元入X衣者453元

食品烟酒1435元

A.2024年第一季度全市居民人均消费支出6393元

B.居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50%

C.城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小

D.医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6%

答案：ABD

解析：2024年第一季度全市居民人均消费支出为2084+453+1435+356+791+583+528+

163=6393元，故A正确；由题图易知居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为2084+1435

3519

=3519元，占总人均消费支出的意QX100%%55.04%>50%,故B正确；依题意可得，2023

年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为磊一勰-3520元，2024年第一季度城乡居

民人均消费支出的差额为7924-4388=3536元，由于3520<353G,故C错误；医疔保健与教

528+791

育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的二X100%比20.6%,故D正

确.故选ABD.

（4）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以

增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计

图：

19000

I60CX)

13000

10000

7000

4000

星

星

星

星

早

1000—="星

期

期

期

期

期

期

日

三

四

期六

：fl:

则下列结论中不正确的是()

A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600

B.乙星期四的日步数比星期三增加了一倍以上

C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙

D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙

答案：B

解析：这一星期内甲的日步数从小到大排序为2435,7965,9500,11600,12700,16000,

16800,中位数是11600,故A正确；乙星期三的日步数为7030,星期四的日步数为12970,

19970—1

因为1)3()合1-84<2,所以没有增加一倍以上，故B不正确；因为x串=亍乂(16000+7965+

—|

12700+2435+16800+9500+11600)=11000,x乙=亍X(14200+12300+7030+129704-5340

+11600+10060)=10500,所以k甲>式乙，故C正确；这一星期内甲的日步数比较分散，波

动较大，所以甲日步数的方差大于乙，故D正确.故选B.

(5)(2024天津南开区高三质量调查)某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩(满

分10()分，成绩取整数)按[60,70),170,8()),[80,90),[90,100]分成四组，并整理成如图

所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是()

A.。的值为0.015

B.估计这组数据的众数为80

C.估计这组数据的60%分位数为87

D.估计成绩低于80分的有350人

答案：C

解析：易知10a+0.020X10+0.050X10+0.025X10=1,解得。=0.005,故A错误；由频率

分布直方图可知，众数落在区间[80,90),用区间中点表示众数即为85,故B错误；由频率

分布直方图可知，前两组频率之和为0.005X10+0.020X10=0.25,前三组频率之和为

0.005X10+0.020X10+0.050X10=0.75,故60%分位数落在区间[80,90),设60%分位数为

x,则0.25+。-80)义0.050=0.60,解得x=87,故C正确；成绩低于80分的频率为0.005X10

+0.020X10=0.25,所以估计成绩低于80分的有1000X0.25=250人，故D错误.故选C.

方法归纳

1.对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义.

2.频率分布直方图中的常见问题及解题策略

(I)已知频率分布直方图中的部分数据求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本

与总体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据.

(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据，可利用图形与该范围结合求解.

3.方差的计算一般根据方差的定义求解，按比例分配的分层随机抽样的方差计算，按公式

S?=居+(X—Z)2]+〃回+()，—Z/]｝计算较简单.

题型二古典概型

「核心知识

1.古典概型的特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.

(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.

2.古典概型的概率公式

一般地,设试验E是古典概型，样本空间Q包含〃个样本点，事件A包含其中的k个样本点,

则定义事件A的概率p(4)=)=%.其中，〃(A)和〃(。)分别表示事件A和样本空间。包含的

样本点个数.

(1)(2024♦广东高三2月统一调研测试)《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河

图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、

八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取

3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是()

A5B4

C.|D.；

答案：A

解析：由题意可知，阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,若从这10个数中任取

3个数且3个数中至多有1个阴数，样本点总数为〃=Cg+C，Cg=60,取出的3个数之和是5

的倍数的样本点包括(2,I,7),(2,3,5),(4,1,5),(4,7,9),(6,1,3),(6,5,9),

(8,3,9),(8,5,7),(10,1,9),(10,3,7),(1,5,9),(3,5,7),共12个，故取出的

3个数之和是5的倍数的概率是尸=I益?=I:故选A.

⑵(2024•江西景德镇高三第三次质检)六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋

友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口

的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为()

A.r

o.50

C-72D-l08

答案：B

解析：不妨假设六位爸爸已经站好了位置，不同站位方法数为Ag,小孩找到各自的爸爸，则

其为定序问题，不同站位方法数为C史3所以所求的概率为。=鬻=表.故选B.

(3)从属于区间［2,9］的整数中任取两个数，则至少有一个数是素数的概率为()

6妨5

At.zB.,

「9、11

C14D14

答案：D

解析：属于区间［2,9］的整数共有8个，素数有2,3,5,7,共4个，非素数有4个.设事

件A表示“从属于区间⑵9］的整数中任取两个数，至少有一个数是素数”，由尸(4)=屋=

3—11

74*得夕(4)=1一户(人)=立故选口.

(4)(2024.安徽马鞍山高三教学质量监测)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个

人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名

志愿者，则甲、乙两人恰好选择同一岗位的概率为()

八3「9

A,20B,50

噫D25

答案：C

解析：若人数配比为3：1：1,则有CgA?=60种不同安排方法；若人数配比为2：2：1,则

有笔萼・A《=90种不同安排方法，所以共有60+90=150种不同安排方法.若甲、乙两人

恰好选择同一岗位且人数配比为3：I：1,则有CjA?=18种不同安排方法；若甲、乙两人恰

好诜择同一岗位且人数配氏为2：2：I,则有dA3=18种不同安排方法,所以共有IR+I8

=36种不同安排方法.所以甲、乙两人恰好选择同一岗位的概率为0=卷=表.故选C.

方法归纳

1.求解古典概型问题的一般步骤

⑴求出样本空间。包含的样本点个数〃；

(2)求出事件A包含的样本点个数长

(3)代入公式P(A)=/求解，即为事件4的概率.

2.求样本点个数的常用方法：列举法、列表法、树状图法、排列组合法.

题型三条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式

h核心知识

1.事件的相互独立性

(1)定义：对任意两个事件A,8,如果P(A4)=P(A)P(4),则称事件A与事件3相互独立，简

称独立.

(2)性质：若事件A与8相互独立，则A与万，可与8,彳与否也都相互独立.

⑶推广：如果事件4,…，A,,相互独立，那么这〃个事件同时发生的概率等于每个事件

发生的概率的积,即尸(4八2…A”)=P(4)P(42)…P(4).

注意：若事件A与事件B是互斥事件(或对立事件)，则A与8不相互独立.

2.条件概率

(1)定义：一般地，设A,8为两个随机事件，且P(A)>0,我们称尸(酣4)=今黑为在事件A

发生的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

⑵性质：设P(A)>0,则

①P(O|A)=1；

②若事件B与事件C是两个互斥事件，则P(3UC|A)=P(8|A)+P(C|A)；

③己知事件B与事件否互为对立事件，则P(B\A)=\-P(B\A).

注意：(1)P(B|A)与P(A|B)是不相同的，P(8|A)表示在事件再发生的条件下事件8发生的概率,

产(川8)表示在事件8发生的条件下事件A发生的楼率.

(2)当事件4,8相互独立时，P(B\A)=P(B).

3.全概率公式

一般地,设4,42,…，4是一组两两互斥的事件,A|UA2U・・,UA”=0,且P(A0>0,i=l,

2,…，〃，则对任意的事件照。，有P(B)=f1P(4)尸(B4).

(1)(2024.山东聊城高三第二次模拟)甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获

胜的概率为2东乙获胜的概率为1东采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了

两局的概率为()

4

A2_0-

9

27

-2

C,7D5

答案：D

解析：根据题意，设甲获胜为事件A,比赛进行两局为事件8,则2(4)=9(义2彳+己*：2)《I乂：2

4

-

202249

=方，P(AB)=^X-=~,故P(B\A)=-

20

27

(2)(2024•河南郑州宇华实验学校高三模拟)现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳

远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛,每项比赛至少一位同学参加.事件A="甲

参加跳高比赛”，事件B="乙参加跳高比赛”，事件C="乙参加跳远比赛”，则()

A.事件A与8相互独立B.事件A与C为互斥事件

C.P(CU)=VD.P(B|A)=1

答案：C

解析：对于A,每项比赛三少一位同学参加，则有笔笋-A?=36种不同的安排方法，事件

A="甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有AS=6种方法；若跳高比赛安排I人，

则有CgC|A?=6种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6+6=12种，则P(4)

12I171

=笠=*同理可得p(3)=笠=白，若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为

甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有A9=2种不同的安排方法，所以P(A8)=2^=R1,

DO1o

因为尸(AB)#P(A)P(8),所以事件人与8不相互独立，故A错误.对于B,在一次试验中，

不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与。不是

互斥事件，故B错误.对于C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安

5

排方法有ci+a+a=5种，所以尸(4?)=看，所以P(CA)=^M=¥="故c正确.对

DO)上1L

3

1

1

于D,打阴八)=今絮=竽-

6故D错误.故选C.

3

(3)(多选)(2024•广州毕业班综合测试(一))甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个纥球和

2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事

件Ai和4表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件8表示

“从乙箱中取出的两球都是红球"，则()

3

-

A.5B.P（B）=55

92

C.P(BHI)=50D.P(A2|B)=R

答案：ABD

32C43C51

解析：依题意，得P(A)=5，P(42)=5,P(B|AI)=^=JQ»P(用42)=百=而，所以P(B)=

=

P(A।)P(BIAi)+P(A2)P(BIA2)=|XXlo50,故A，B正确，C错误；*出)=爷符=

±x2

P(B\A)P(A)1052班「工旅ARC

p(2B)2—11—]]，故D正确.故迈ABD.

50

(4)(多选)(2024・广西来宾高三第一次模拟)甲、乙、丙、丁4人相互传球，第一次由甲将球传

出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过〃次传球后，球在

甲手中的概率为P”(〃=l，2,…)，则下列结论正确的是])

A.经过1次传球后，球在丙手中的概率为:

2

B.经过2次传球后，球在乙手中的概率为$

C.经过3次传球后，球在丙手中的概率为5

D.经过〃次传球后，(-9]

答案：BCD

解析：对于A,依题意可知，经过1次传球后，球在丙手中的概率为小故A错误.对于B,

2I9

经过2次传球后，球在乙手中的概率为5义彳=不故B正确.对于C,经过3次传球后，球

在丙手中的事件包括两种情况：①第1次传球在丙手中，第2次传球不在丙手中，第3次传

球在丙手中，其概率为②第1次传球不在丙手中，第2次传球不在丙手中，第3

次传球在丙手中，其概率为^2乂，2乂：1=4万，所以经过3次传球后，球在丙手中的概率为§1十4斤=

看,故C正确.对于D,经过“次传球后，球在甲手中的概率为凡(〃=1,2,…)，则匕+|

=1(1-P„),%=-*”+；,整理，得即-----r=~3f又PL；=

一’一P~4

—所以数列｛P〃一；)是首项为一；，公比为一；的等比数列，则P〃一,Pn

故D正确.故选BCD.

方法归纳

1.求条件概率的常用方法

(1)利用定义,分别求P(A)和P(48),得P(8|A)=号需;

(2)借助古典概型的概率公式，先求事件4包含的样本点数〃(A),再在事件A发生的条件下求

事件4包含的样本点数，即加44),最后可得P(阴A)=鬻2.

2.求相互独立事件同时发生的概率的策略

(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；

(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出

符合条件的事件的概率.

3.应用全概率公式求事件发生概率的一般步骤

(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件AM=1,2,n)；

(2)求P(A)(i=l,2,外和所求事件8在各个互斥事件A发生条件下的概率P(3|A)(i=l,

2,…，〃)；

(3)代入全概率公式求P(B).

题型四回归分析

L核心知识

求经验回归方程的步骤

(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略);

(2)计算出x,y,a,b；

(3)写出经验回归方程.

皿1(1)(2024.山东滨州高三模拟)某学校一同学研究温差M单位：℃)与本校当天新增感冒

人数N单位：人)的关系，该同学记录了5天的数据：

X368912

y1620252836

由上表中数据求得温差x与新增感冒人数)，满足经验回归方程£=源+2.6,则下列结论不正

确的是()

A.x与)，有正相关关系B.经验回归直线经过点(8,25)

c7=2.4D.x=9时，残差为0.2

答案：C

解析：由表格中的数据可知，x越大，,，越大，所以x与)，有正相关关系，故A正确；因为7

5+6+8+9+1216+20+25+28+36

=7=8=25,所以经验回归直线经过点(8,25),

y=5

故B正确；将点(8,25)代入经验回归方程，得25=8合+2.6,所以1=2.8,故C错误；因为£

=2.8x+2.6,所以当x=9时，£=27.8,)，一)八=28—27.8=0.2,故D正确.故选C.

(2)(2024.河北名校高三联考)某校为了解本校高一男生身高与体重的相关关系，在该校高一年

级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高与体重，所得数据如下表：

身高x/cm167173175177178180181

体重＞'/kg90545964677276

由表格制作成如图所示的敌点图:

166168170172174176178180182"cm

由最小二乘法计算得到经验回归直线人的方程为£=£d一其样本相关系数为n；经过残

差分析，点(167,90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直

线12的方程为£=+样本相关系数为◎则下列结论正确的是()

AAAAAAAA

41>〃2，r\<r2。1<。2，门>广2

C./?i</?2»〃i<s，n>r2D.Z)I</>2，力<，2

答案：D

167+173+175+177+178+180+181

解析：这7名男生身高的平均数7=

7176,因为离群

点(167,90)的横坐标167小于平均值176,纵坐标90相对过大，所以去掉离群点后经验回归

直线的截距变小，而斜率受大，所以之42,去掉高群点后成对样本数据的线性相关程

度更强，拟合效果会更好，所以.故选D.

(3)(2024.广东惠州高三第一次模拟)为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dn?)与

水生植物的株数N单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型尸c*(c>0)去拟合x

与1y的关系，设z=ln)，，工与z的数据如下表所示，得到x与z的经验回归方程为z人=1.2》

+〃，则c=()

X3467

Z22.54.57

A.-2B.-1

C.e-2D.e-1

答案：C

3+46+7

解析：由已知可得，y=+=5t3=2+2.5：-+7=%所以有4=1.2X5+£,解

得〃=—2,所以zA=1.2x—2,由z=l”，得lny=1.2r—2,所以y=炭以一2=©-2..巴则。

=}2.故选C.

方法归纳

(1)样本点不一定在经验回归直线上，但点(7,亍)一定在经验回归直线上.

(2)求I时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆.

(3)利用样本相关系数判断相关性强弱时，看H的大小，而不是「的大小.

(4)要注意区分样本相关系数「与决定系数

(5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值.

题型五随机变量及其分布

h核心知识

1.离散型随机变量X的分布列为

••••••

X-viX2XiX”

••••••

PPiP2Pi

则(l)Pi2O,i=L2,…，小

(2)pi+p2H-----\-pn=1；

(3)£(X)=xip)+工力2H-----卜XipH-------

(4)D(X)=[xi-E(X)l2pi+[及一旦刈2应+S-E(x)]2pj+...+[而一七(刈2〃”；

(5)若y=aX+b,则E(K)=aE(X)+6,D(Y)=a2D(X).

2.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为〃用X表示事件

A发生的次数，则X的分布列为尸(X=k)=C/(l—p)”“，k=0,1,2,…，小E(X)=np,

D(X)=np(\—p).

HJ(1)(多选)已知随机变量X〜M3,吟,且P(l<X<3)=0.27,则下列说法中正确的是

()

A.P(3<X<5)=0.27B.P(3<Xv5)=0.23

C.P(-2<X<1)<P(1<X<3)D.P(-2<X<1)>P(3<X<5)

答案：AC

解析：由X〜N(3，小)，得"=3,因为W^=3,所以尸(3<Xv5)=P(lvX<3)=0.27,故A正

确，B错误;因为"=3,所以P(X<3)=0.5,P(XWl)=P(Xv3)-P(l<X<3)=0.23,所以P(1<X<3)

=0.27>0.23=P(XW1)>P(-2<X<1),故C正确；由上可知，P(—2<X<1)<P(1<X<3)=P(3<X<5),

故D错误.故选AC.

(2)(多选)(2024•云南昆明高三联考)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取

球4次，每次取一个球，取到白球记0分，取到黑球记1分，记4次取球的总分数为X,则()

A.X〜44,|)B.P(X=2)=芥

Q8

C.X的期望E(x)=1D.X的方差ax)=g

答案：ACD

解析：从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球的概率相

等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以X〜从4,分，故A

正确；又P(X=2)=dX(|)义自=探故B错误；因为X〜8(4,|),所以E(X)=4X号，

故C正确；因为X〜44,所以。(X)=4温X；=3,故D正确.故选ACD.

(3)(多选)(2024•江西八所重点中学高三4月联考)已知随机变量X,Y,且Y=3X+1,X的分布

列如下：

X12345

113

P〃？n

105To

若风y)=io,则()

A3C1

A.B・n-§

7

C.E(X)=3D.D(y)=3

答案：AC

II3

解析：因为E(r)=E(3X+1)=3E(X)+l=10,解得E(X)=3,故C正确；由机+而+§+〃+而

2I137

=1.得机+〃=《①，因为E(X)=〃】+2Xm+3X《+4〃+5X而=3,所以加+4/?=诃②，

JJLv/1xzJLV/

3131

所以由①②可得，〃?=而，〃=而，故A正确，B错误；D(X)=(1-3)2XJQ+(2-3)2X—+(3

113311313

-3)2X-4-(4-3)2X—+(5-3)2XJQ=4XJQ+1X—+1X—+4X-j^=y,。⑴=Q(3X+1)

=9Q(X)=9X£=¥，故D错误.故选AC.

JJ

(4)(多选)随机变量。的分布列如下表，其中孙K0,下列说法正确的是()

G012

V2v

PX

33

A.K+），=1B.现尸才

c.zxr有最大值D.Z）⑹随、的坞大而减小

答案：ABC

解析：由题意可知，x+1+^=l,即x+y=I,故A正确；£©=0X/+1X、+2X孕=号,

JJJJJ

故B正确;D©=«-笏+氐1-第+和-苧）-=（1-），）（0-苧）一+史-第+却-竽）

=一普72+3.y,因为xyWO,x+y=1,易得Ov.yv1,而Av）=-^.v2+3.v的图象开口向下，对

称轴为直线尸器所以心在（0,给上单调递增，在僚，1）上单调递减，故心）在尸系处

取得最大值，所以随着），的增大先增大后减小，当〉=幼27时取得最大值，故C正确，D

错误.故选ABC.

方法归纳

1.分布列性质的两个作用

(D利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性；

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范

围内的概率.

2.求随机变量X的均值与方差的方法及步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；

(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；

(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X),方差Z)(X);

(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特

殊分布列的均值和方差的公式求解.

3.与离散型随机变量性质有关问题的解题思路

若给出的随机变量y与X的关系为y=aX+〃，》为常数，一般思路是先求出E(X),D(X),

再利用公式E(〃x+%)=a员X)+〃，Q(〃X+〃)=/Q(x)求E(y),LXY)：也可以利用X的分布列

得到丫的分布列，关键是由X的取值计算y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(r),

D(Y).

感悟高考

1.(2024.新课标H卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各

块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：

[900,[950,[1000,[1050,11100,[1150,

亩产量

950)1000)1050)1KX))1150)1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是()

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1(X)0kg之间

答案：C

解析：对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1050

kg,故A错误；对于B,亩产量不低于110()kg的频数为24+10=34,所以低于1100kg的

100—34

稻田占比为|()0=66%,故B错误；对于C,稻田亩产量的极差最大为1200—900=300,

最小为1150-950=200,故C正确；对于D,由频数分布表可得，亩产量的平均值为高

X(6X925+12X975+18X1025+30X1075+24X1125+10X1175)=1067,故D错误.故选

C.

2.(多选)(2024•新课标I卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动

茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动

出口后亩收入的样本均值工=2.1,样本方差$=0.01,己知该种植区以往的亩收入X服从正

态分布ML8,0.12),假设推动出口后的亩收入丫服从正态分布M^，/),则(若随机变量Z

服从正态分布/)，p(z<〃+QF).8413)()

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(y>2)>0.5D.P(K>2)<0.8

答案：BC

解析：依题意可知，7=2.1,bo。],所以Y〜NQ.T,0.12),故P(E>2)=P(r>2.1—0.1)=

P(Y<2.1+0.1)^0.8413>0,5,C正确，D错误；因为X〜N(1.8,0.12),所以尸(X>2)=尸。>1.8

+2X0.1),因为P(Xvl.8+0.1)%0.8413,所以P(X>1.8+0.1)=«1-0.8413=0.1587<0.2,而

P(X>2)=P(X>1.84-2X0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误.故选BC.

3.(2023•新课标H卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机拍样方

法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有

400名和20()名学生，则不同的抽样结果共有()

A.C揄-C品种B.C纵・C物种

C.Cl8o-C%种D.闭・(2纵)种

答案：D

解析：根据比例分配的分层随机抽样的定义知，初中部共抽取60X瑞=40名，高中雷共抽

取60X端=20名，根据组合数概念和分步乘法计数原理，不同的抽样结果共有C熬o-C38o

种.故选D.

4.(多选)(2023.新谭标I卷)有一组样本数据xi，%2，…其中xi是最小值，“6是最大值，

则()

A.X2，彳3，X4，右的平均数等于巾，X2，…，X6的平均数

B.X2，%3，X4，格的中位数等于汨，X2，…，X6的中位数

C.及，"3，X4，刖的标准差不小于即，X2，…，X6的标准差

D.孙工3，X4，刀5的极差不大于XI，必…，X6的极差

答案：BD

解析：对于A,设孙工3，X4，工5的平均数为m，X],X2，…，死的平均数为〃，贝U〃一加=

为+超+用+川+4+济K+用+g+*2(X1+在)—+由+.14+4)H上、几士心占〜I、

一=^2，因为没有确定2(X[।

及+总+&+*的大小关系，所以无法判断〃?，〃的大小，例如1,2,3,4,5,6,可得"?=

〃=3.5,例如1,I,1,I,1,7,可得机=1,〃=2,例如1,2,2,2,2,2,可得用=2,

〃=,，故A错误；对于B,不妨设可知也，X3，M，右的中位数等

于为，足，…，死的中位数，均为""，故B正确；对于C,因为即是最小值，公是最大

值，则X2，X3，X4，X5的波动性不大于即，X2，…，X6的波动性，即X2，X3，X|，舟的标准差

不大于即，X2，…，死的标准差，例如2,4,6,8,10,12,则平均数〃=^X(2+4+6+8

222222

+10+12)=7,标准差S1=^1[(2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7)]=

,例如4,6,8,10,则平均数〃?=1X(4+6+8+10)=7,标准差级=

，，山(4-7)2+(6—7)2+(8-7)2+(10—7月=小,显然粤即Si>$2，故C错误；对于

D,不妨设X|WX2&X3WX|WX5WX6，则右一由24一工2，当且仅当天=彳2，*=彳6时、等号成

立，故D正确.故选BD.

5.(2023•全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题

准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()

5

-

A.6

答案：A

解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故共有6X6=36种，若甲、乙抽到的主题不同，则

共有乂=30种,则其概率为比咕故选A.

6.(2023•全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓

球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()

A.0.8B.0.4

C.0.2D.0.1

答案：A

解析：报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,记“某人报足球俱乐部”为事件A,“某

4

-

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