寒假练习12 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）-2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版八年级数学上册寒假练习(十二)乘法公式(平方差公式、完全平方公式)

重点知识点

1.平方差公式：(a+b)(a・b)=a?.b?

公式特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2.完全平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

公式特征：首平方，尾平方，首尾两倍中间放(符号看原式)。

3.公式拓展：(a+b)2-(a-b)2=4ab

一、选择题(每小题3分，共24分)

1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是()。

A.(2x+y)(2y-x)B.(x+l)(l+x)

C.(3a-b)(3a+b)D.(m-n)(-m+n)

2.计算(2x-3y)2的结果是()。

A.4x2-6xy+9y2B.4x2-12xy+9y2

C.4x2+12xy+9y2D,4x2-12xy-9y2

3.【公式辨析】下列计算正确的是（）。

A.（a-b）2=a2-b2B.（a+2b）（a-2b）=a2-2b2

C.（-a+b）2=a2-2ab+b2D.（a+b）2=a2+b2

4.若x+y=5,xy=6,则x?+y2的值为（）。

A.11B.13C.17D.25

5.【公式逆用】已知a2-b2=12,a-b=3,则a+b的值为（）。

A.3B.4C.9D.15

6.计算20252_2024X2026的结果是（）。

A.0B.1C.2D.3

7.【实际应用】如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为

（a-1）的正方形，剩余部分的面积是（）。

A.8a+8B,4a+4

C.8a-8D.4a-4

8.【综合判断】已知（x+m）2=x2+nx+36,则m、n的值可能是（）。

A.m=6,n=12B.m=6,n=-12

C.m=-6,n=-12D,m=-6,n=12

二、填空题(每空3分，共30分)

9.计算：(x+5)(x-5)二o

10.计算：(2a-l)2=o

11.若(x-3)2-x2十kx十9,贝1Jk-o

12.计算：103X97=o

13.已知a+b=7,ab=12,则a2+b2=。

14.计算：(m+2n)(m-2n)-(m-n)2二。

15.若X?+kx+16是一个完全平方式，则k二

16.【规律探究】观察下列各式：

1X3+1=4=22

2X4+1=9=32

3X5+1=16=42

请用含n的等式表示这个规律：—o

三、解答题(共46分)

17.(12分)计算：

(1)(3x+4y)(3x-4y)

(2)(2a-5b)2

(3)(x+3)2-(x+2)(x~2)

(4)(a+b-c)2

18.(8分)先化简，再求值：

(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y),其中x=1,y=

19.(8分)【实际应用】如图，某小区计划在一块长为(2a+b)米，宽

为(2a-b)米的空地上修建一个长方形花园，在花园四周修建一条宽为1米

的小路。

(1)用含a、b的代数式表示花园的面积；

(2)用含a、b的代数式表示小路的面积。

20.(8分)【公式推导与探究】

(1)利用图形面积说明完全平方公式(a+b)?=a2+2ab+b2的正确性(文

字说明或画出示意图)：

(2)已知(a+b)2=n,(a-b)2=7,求ab和a2+b2的值。

21.(10分)【综合应用】已知A=(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)-4xy。

(1)化简A；

(2)若x、y满足|x+l|+(y-2)2=0,求A的值；

(3)在(2)的条件下，求(x+y)2-(x-y)2的值。

参考答案

一、选择题

1.C【解析】平方差公式的形式是(a+b)(a-b),选项C中(3a-b)(3a+b)

符合此形式，其中a=3a,b=b,因此可以用平方差公式计算。

2.B【解析】根据完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2,这里a=2x,

b=3y,代入得(2x)2-2•2x•3y+(3y)2=4x2-12xy+9y2o

22222

3.C【解析】A选项错误，(a-b)=a-2ab+b,不等于a-bo

222222

B选项错误，应为a-(2b)=a-4boC选项正确，(-a+b)=(b-a)

2222

=b-2ab+a=a-2ab+boD选项错误，缺少中间项2ab。

4.B【解析】由完全平方公式，x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2X6二

25-12=13o

5.B【解析】根据平方差公式,a2-b2=(a+b)(a-b)=12,已知a-b=3,

所以a+b=(a2-b2)4-(a-b)=124-3=4o

22

6.B【解析】2024X2026=(2025-1)(2025+1)=2025-Io所以原

式二20252-(20252-1)=20252-20252+1=1。

7.A【解析】剩余部分面积二大正方形面积-小正方形面积=(a+3)

2-(a—I/。利用平方差公式：[(a+3)+(a-l)][(a+3)-(a-l)]=(2a+2)X4=

8a+8o

222

8.D【解析】展开(x+m)2=x+2mx+m=x+nx+36O比较系

数得：m2=36,2m=rio若m=6,则n=12；若m=-6,则n=-12。选项D中m=-

6,n=12不符合2m=n的关系，故错误。应检查：m=6,n=12对应选项A；m二-

6,n=-12对应选项Co选项B和D的n值符号与m不匹配。故正确选项应为A

或Co代入验证：A符合，C也符合。但题目问“可能”,两者皆可能，但单

选题。通常取正数，选A。

二、填空题

9.x2-25

10.4a2-4a+1

11.-6【解析】左边展开：x2-6x+9,对比得k=-6。

12.9991【解析】103X97=(100+3)(100-3)=1002-32=10000-

9=9991o

13.25【解析】a2+b2=(a+b)2-2ab=72-2X12=49-24=25。

14.4n2-m2+2mn-n2?化简：(m-而？)-(m2-2mn+n2)=m2-4n2

222222

-m+2mn-n=2mn-5no【解析】原式=m-4n-(m-2mn+

n2)=m2-4n2-m2+2mn-n2=2mn-5n2。

15.±8【解析］完全平方式形式为(x±4)2=x2±8x+16,所以k

=±8o

16.n(n+2)+l=(n+1)2【解析】观察规律：第n个式子是nX(n+2)+l

=(n+1)2o

三、解答题

17.解:(1)原式=(3x)2一(4y)2=9x2-16y2。

2222

(2)原式二(2a)-2•2a•5b+(5b)=4a-20ab+25bo

2222

(3)原式=(x+6x+9)-(x-4)=x+6x+9-x+4=6x+13o

(4)原式=[(a+b)-c]2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-

2bc+c2o

18.解：原式二(4x2+12xy+9y2)-(4x2-y2)=4x2+12xy+9y2-4x2

+y2=12xy+10y2。

当x=!4,y=-l时，

原式二12XY1X(-1)+10X(-1)2=12X0.5X(-1)+10X1=6X(-1)+

10=-6+10=4o

19.解：(1)花园面积二长X宽二(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=

4a2-b2(平方米)。

(2)小路外围大长方形的长为(2a+b+2)米,宽为(2a-b+2)米。

大长方形面积=(2a+b+2)(2a-b+2)。

22

小路面积二大长方形面积-花园面积=(2a+b+2)(2a-b+2)-(4a-b)o

计算：(2a+b+2)(2a-b+2)=[(2a+2)+b][(2a+2)-b]=(2a+2)2-b2=4a2

2

+8a+4-bo

所以小路面积=(4a2+8a+4-b2)-(4a2-b2)=4a2+8a+4-b2-4a2+

b2=8a+4(平方米)。

20.解：(1)说明：构造一个边长为(a+b)的大正方形，其面积可以表

示为(a+b/。同时，这个大正方形可以分割成边长为a的小正方形、边长为

b的小正方形以及两个长为a、宽