高考数学二轮复习：求圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题

j大题专讲〜第2讲求圆锥曲线的方程及计算、

证明、最值与范围问题

「考情研析」主要考查证明问题(证明位置关系、线段长度关系等)、弦长或图形面积的计

算及其最值或范围问题，属于较难问题，热点是直线与圆锥曲线相交所形成的三角形或四边

形面积的最值问题.

热点考向探究

考向1求圆锥曲线的标准方程和基本计算问题

例1(2024•山东滨州二模)已知点5(-1,0),圆C：(X-1)2+/=12,动点A满足卦|AQ(1

+cos/84C)=4.记点A的轨迹为曲线E.

(1)求七的方程；

(2)过点。作倾斜角互补的两条直线小/2,设直线的倾斜角为0,"eg)，?，直线人与曲

线E交于M,N两点,直线6与圆。交于P，Q两点，当四边形PMQN的面积为亍时，求

tan〃.

解：(1)由题意，可知圆C：。-1)2+产=12的圆心为C(l,0),半径r=2小，则归C|=2,

若4,B,C三点不共线，

小|A8|2+HQ2一|8C|2八用2+依。2—4

McosNBAC=2|。例AC|=-21A例AC|-，

因为|A3||AC|(1+cosN/MC)=4,

—.(,|A8F+|AQ2-4、4,

所以|A阴|A41+—2\AB\\AC\~J

整理得(|AB|+|4C1)2=I2,

可知|A+|ACl=2小>2=|BC|,

可知点A的轨迹是以8,C为焦点的椭圆(除去长轴顶点)；

经检验，可知(一小，0),(小，0)也符合题意.

综上所述，点A的轨迹是以8,C为焦点的椭圆，则。=小，c=\,b2=a2—c2=2,

所以E的方程为科争=1.

(2)由题意，可知直线八与曲线E必相交，直线A与圆C必相交，设直线/i的方程为)=©%

—1),k>0,M(xi，y\),Ng,冲)，

联立方程，消去y可得（3F+2）M-6FX+3F-6=0,

6严3^-6

则X|+'2=3炉+2'*的=3「+2,

4（3好一6）4小（1+1）

可得|MM=5/7不

3斤+239+23炉+2

因为直线上过圆心C，则|PQ=|QC1=2小，且P,Q两点到直线MN的距离相等，

又因为直线人的倾斜角为仇"£(0，。

则k=tan。，且NPCM=sinm-28)=sin2。，

可知点P到直线MN的距离d=|PC|sin/PCM=24sin2G=2小濯当悬=2

F+1'

贝Scs也形PMQN=2sbpMN=|。7川”=3,2+2=万'

解得k=2或k=y

所以tan^=2或tanO=Q.

1.求轨迹方程的常用方法

(I)直接法

①用直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等

价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明

可以省略；

②注意求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一先根据条件设出所求曲线的方程，

再由条件确定其待定系数.

(3)定义法

①所求的轨迹符合某种圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义；

②看轨迹是否是完整的椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量X

或)，进行限制.

(4)相关点(代入)法

明确主动点(已知曲线上的动点，

三目1被动点(要求轨迹的动点力

第二步T寻求关系式y),y产g(x,)j

第三步T将打，%代入已知曲线方程:

^....................................

第四步P整理关于x,＞的关系式得点M的轨迹方程

2.解答圆锥曲线基本计算问题的注意事项

(1)准确求出圆锥曲线的方程和直线的方程.

⑵直线与圆锥曲线方程联上消元，利用根与系数的关系得到等量关系.

(3)注意常见等量关系的应用：点在曲线上其坐标满足曲线方程、圆锥曲线的定义、几何图

形中位置关系揭示的等量关系、向量的有关知识等.

对点精练

(2024•海南高三学业水平诊断)如果•双曲线的实轴及虚地分别为另•双曲线的虚轴及实轴，

2

则这两个双曲线互为“共训双曲线”.已知双曲线热一炉=1(加＞0)的共规双曲线C的离心率为

小.

(1)求。的方程；

(2)若直线/：)，=代工-1)与C的右支交于A,8两点，且以线段44为直径的圆与)，轴相切,

求尸的值.

2

解：⑴由题意可得c：F一5=1(心0),

因为c的离心率为小，

所以#〃户+1=小，得加2=2,

所以。的方程为『d=i.

(2)直线/过C的右顶点(1,0),不妨设A(l,0),B(xi，yi),

由C的方程可得其渐近线方程为)，=±＜3-，

因为A,8均在C的右支上，

所以kx/i或k＜-\f2.

（y=k（x—I），

由（0r

lx2-2=1，

得（2一3）.d+23x—2一尸=0,

匕山1,2标么+2

所以为+1=产工，用=卢豆•

|48|=41+曲”-11

以线段为直径的圆的圆心横坐标为铝=昌，半径为伊=斗殍，

।g+人FZy/l+fc2

由题意知卢工=.》_2，

整理得六一4好一4=0,

解得炉=2+2立（负值舍去）.

考向2证明问题

x2v2S

例2（2024・湖北武汉模拟）已知椭圆C：/+方=13＞力＞0）的离心率为乎Ai，A2,B分别

为椭圆。的左、右和上顶点，直线A8交直线/：y=x于点P,且点P的横坐标为2.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点P的直线与椭圆C交于第二象限内。，E两点，且石在P,。之间，4石与直线/交

于点、M,证明：AlD//A2M.

解：（1）因为椭圆C的离心率为坐，

所以、卜二M二坐，即。=24①

因为点P（2,2）在直线A/：4+方=1上，

22

所以石一£=1,②

联立①②，得《=2,b=1»

所以椭圆C的方程为3+产=1.

(2)证明：由题意知，直线。石与坐标轴不垂直，设其方程为

因为直线DE经过点、P(2,2),

所以/"=2—2/,③

联立，1_［消去x得(尸+4)/++m*2—4=0,

设。(xi，》)，Eg1y2)，M(xo，即)，

则9+»=一器^④

m2—4,_、

⑤

且J=4m212-4(?+4)(/n2-4)>0,

因为4，E,“三点共线，

所以以科=心/'即尚

整理得向=缶？

所以以2M一以也=会一会

2步

X2—J2+2_V|

2.V2_~.ri+2

刈一州+2

旷2(Xi+2)+)」(及-2”+2)

(“2—2.y?+2)(JI+2)

2(1—I)1yly2+(6+2)(yi+)'2)

(决-2>2+2)(xi+2)

“z?—4(2〃?/

由@@⑤，得2(/—1)、172+(/〃+2)&1+)空)=2土—1).+4+。〃+2)(_产+4

2(〃?+2)(m+2L2)

=—?+4=°，

所以乂2M—心［/)=。，即他

故A|Q〃A2M.

，方法指导］圆锥曲线证明问题的类型及求解策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关

系，如：某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不

等).

⑵解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通

过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

(3)常用的求解策略

策略一LW证人R,C三点共线，可证儿产3c或

/就入记

耕田一］:证直线M4LM",可证儿川•心疗=-1或

策略一~：――►

—____：MA-MB=O

…二Ld证可证点A在线段"C的垂

策略二—：士丁八心i

------：直平分线上

,对点精练

977

己知圆M：。+2)2+)，2=亍的圆心为例，圆N：(X—2尸+)2=W的圆心为N,一动圆与圆N

内切，与圆M外切，动恻的圆心£的轨迹为曲线C

(1)求曲线。的方程；

(2)已知定点/(I，。)，过点N的直线/与曲线C交于A,4两点，证明：ZAPN=ZBPN.

解：(1)如图，设圆E的圆心坐标为(x,)，)，半径为r,

贝U|£M=r+乎，|和=「一坐，

所以\EM\-\EN\=25<|MN|.

由双曲线的定义可知，E的轨迹是焦点为M,N,实轴代为25的双曲线的右支，所以曲线

C的方程为专一)2=1,X2小.

(2)证明：由题意可知，直线/的斜率不为0,设4为，M)，B(X2.”)，直线/的方程为犬=

〃?y+2,

由于直线/与曲线。交于两点，

故一小<〃?〈小，

%->2=1，

由jJ得（加—3））7+4/〃y+1=0,

[x=〃"+2，

卜+"=-碧，

故一

1?'必一加2—3，

要证明N4PN=NBPM

只要证明直线A0的斜率与直线BP的斜率互为相反数即可,

上

r--

即公p=—加尸，即证3

3-

2

又为=my\+2,X2=tnyi+2,

即证一113——3-

殁1+2-；5

，阳+/〃少2+3

又凹和，）“0，得.

y\

即证一2〃?=共著•

（.4小

9+）'2=-2

由

1

）仍=后

4m

2

,Vi+y21ffl-3

"?I得证.

W2-3

考向3最值（范围）问题

例3（2024.江苏苏州三校）已知平面直角坐标系xOy中，椭圆E：，+提=1（〃＞历＞0）与双曲

=x

线Gi-i

（1）若七的长轴长为8,短轴长为4,直线八：＞，=依+皿原±2）与。有唯一的公共点"，过点

M且与/i垂直的直线分别交汇轴、y轴于点八（X,0）,8（0,＞'）»当M运动时，求点O（x,y）

的轨迹方程;

（2）若E的长轴长为4,短轴长为2,过E的左焦点长作直线"与E相交于P，Q两点（P在

》•轴上方），分别过P，。作E的切线，两切线交于点N,求ANPQ面积的最小值.

解：（1）£的长轴长为8,短轴长为4,

则a=4,b=2,

所以双曲线C

联立y=kx-\~m与］一汽=1，得（4一9后—2h〃x—〃?2—15=0.

因为直线八与C有唯一的公共点M,所以/=（）,即加=以2—16,且M-*，一黑）

过点加且与八垂直的直线方程为什*=—疝+却

则A（-警，。），的‘T）,

mn20k20

即x=--i-n-,y?=——m,

22

所以点。的轨迹方程为孟一去=葭原0）.

（2）依题意，椭圆E：，+『=1，左焦点尸1（一小，0）.

当直线A的斜率为0时，P，Q分别在椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点;

当直线，2的斜率不为0时,

设直线，2：x=ty一小，

得（》+4）产一2小少一1=0,zl=16r2+16>0.

设P（X1，），1）,Q（X2,⑼，

则#+”=沿,）炉=百^，

/。|='1+及|川一）引

=、］+W（），|+丁2）2_4yly2

12尸7_4（7+1）

（一+4）2+1+4——不J一•

椭圆在大轴上方对应的方程为），=，

—x

y,=

则。处的切线斜率为

得切线方程为平+）iy=l.

同理可得，。处的切线方程为等+%y=L

•+）D=1①，

由

等+）»=1②，

4（”一）"）4±j3

得XN=

xi”一gu（勺一小）＞2―（D'2一小）yi3.

1+乎XI1+乎（加一巾）

小i

代入①，得M=

yiyi=3'

所以A{—芈,嚼.

所以01=（坐，一里），而丽=”，，1）,

所以NA•而=0,

即NQ_LPQ.

又岫尸]（书+（-用L寸壬

所以SANPQ=]PQIWQ|

14（户+1）/1+尸

=，,7+4N~T~

2s（户+1）、/户+1

=3,产+4-

令7尸+1=机21,

则SAWQ=2次消;3.

令小〃尸&’

病（病+9）

则|〃，〃）=>0,

（nr±3）2

所以人〃力在［1,+8）上单调递增.

则当"1=1时，（SAVPQ）min=*^

方法指导解决圆锥曲线中的最值（范围）问题应考虑的五个方面

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的最值（范围）.

（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系.

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的最值（范围）.

（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的最值（范围）.

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的最

值（范围）.

对点精练

在△ABC中，A,B的坐标分别是（一地，0）,（陋，0）,G为的重心，y轴上一点M满

足且|MC1=|MB|.

（1）求aABC的顶点C的轨迹E的方程;

（2）直线/：），=h+机与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹E上存在点R,使得四边形OPRQ

为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围.

解：（1）设点。的坐标为（笛蟹*0,）省）,

因为G为△/IBC的重心.

所以点G的坐标为你所以

由|MQ=|MB|,得炉+&）=2+（§,

o>>2

即尹卷="0,）¥0）,所以的顶点C的轨迹E的方程是与+卷=1（/0,}¥0）.

y=kx-\-m»

（2）设P3,》），Q6,”），联立'2+足_]

消去y,得/2+3）』+2卜派+m2—6=0,

A=4/rw2-4(F+3)(w2-6)=12(2标一nr+6)>0,①

2km

且即+12=西？XIX2=7+31

因为四边形OPRQ为平行四边形，所以线段尸。的中点即为线段OR的中点，所以点R的坐

标为（即+42，51+）2），

整山理e々得网J—西2kmrw6/〃M、、削

(2km丫

由点R在椭圆上，可得21,

整理得2〃尸=必+3.②

将②代入①，得机2>。恒成立,

由②得2〃Pe3,所以乎或机W-当，

所以，〃的取值范围为（一8，-啕喈，+s）.

真题YS押题

刊,真题检验,

1.（2024•新课标I卷）已知A（0,3）和《3，号为椭圆C：，+方=13>">0）上两点.

（1）求。的离心率；

（2）若过P的直线/交。于另一点从且△A3P的面积为9,求/的方程.

彷2=9，

解：（1）由题意，得解得<

«2=12，

3

3-

-2

（2）解法一：因为直线AP的斜率抬尸=

所以直线AP的方程为），=一%+3,

即1+2），­6=0,

2孚

八

\AP\=yj(0-3)2-

2»;

由（1）知椭圆C：77

设点8到直线AP的距离为d,

2x912小

则1=

3^55

2

则将直线沿着与AP垂直的方向平移号但个单位，所得直线与椭圆的交点即为点比

设该直线的方程为x+2y+机=0,

|〃?+6|12小

见十=5解得7/2=6或m=—18,

当…时,联立肥”

b+2y—6=0'

x=0‘

解得彳或I3

尸一3［尸一二

即8（0,一3）或4一3，一号，

当8（0,—3）时，直线/的方程为），=米一3,即决一2厂6=0,

乙乙

当从一3，一号时，k尸¥直线/的方程为y=5，即x-2y=0.

任+^=1，

当〃?=—18时，联立，129

A+2>--18=0，

得232—27），+117=0,

J=272-4X2X117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.

综上所述，直线/的方程为3x—2y—6=0或x—2y=0.

解法二：同解法一得到直线A户的方程为x十2），-6二0,点6到直线AP的距离4=3后,

冈+2），（1-6|12小

小=5，

独上加一1

（12+厂1，

X0=-3,fxo=O•

解得，3或1。

yo=~2"»=-3，

即8（。，-3）或以F同解法一.

解法三：当直线48的斜率不存在时，可得伏0,—3）,

SZABP=5X6X3=9,符合题意，

33

此时&/=］，直线/的方程为了=>一3,

即3%—2〉一6=0,

当直线AB的斜率存在时，设直线A6的方程为），=入+3,

y=H+3，

2

与椭圆方程联立有xr则（49+3）炉+24心=0,其中原公夕，即后一）,

行+L2

—24女

解得x=0或x=41+3'厚0,

一24女-12^+9

令、"=止+3'令nl尸43+3'

,「一24攵-123+9)

则，43+3)

同解法一得到直线AP的方程为X+2>-6=0,点B到直线AP的距离d=/^,

I-24k-12Xr+9

|4S+3+2x4s+3612小

乂忑二5，

3

-

2

11

则--

2*2-'

即X-2y=0,

综上所述，直线/的方程为3X一2)，-6=0或x—2y=0.

3

解法四：当直线/的斜率不存在时，直线/：x=3,B(3，-

-2|P同=3,点4到直线PB的

距离d=3,

此时508"=臼<3*3=表9,不满足条件.

3

当直线/的斜率存在时，设直线尸B：3，一］=«、•一3),令P3,v),6(X2,闻,

3

+-

2

肖去

・7-y

可得(4乒+3)/一(24/一12々比+36好一364-27=0,

/=(24K—12&)2-4(4&2+3)(3622—36%—27)>0,且厚心p,

{,24炉一12火

1即+也=底+3'

即上一不〈,

236炉一36一一27

产刈=―花+3―，

\PB\=7产+Z(X]+X2)2-4.UX2

6/年+112Z+3I

=413'

3

-

2

点4到直线P8的距离

3

弘-

+■2

5,=罗喘詈+3［卜；=9,解得&=聂点均满足题意,

I3

所以直线I的方程为3•或>=六一3,

即x~2y=0或3x—2y—6=0.

解法五：当直线/的斜率不存在时，直线/：x=3,|P同=3,点A到直线PB的

距离d=3,

此时Sg护=%＜3乂3=表9,不满足条件.

3

当直线/的斜率存在时，设直线/：)，=&。-3)+3,

设直线/与y轴的交点为Q,令x=0,

r3

z3、y="_3A+g，

则Q(0，_3&+习，联立jy,

则(3+4K)f—8434一|}+363一36左一27=0,

4-64《32一3

—4(3+4产)(363-36A-27)>0,且存一»

36^-36^-27\2lc~\2k~9

则"8=—在而—，/B=—k而—

[1312Z+18

则S^ABP=^2A1Q\-\XP-XB\=223k+g•3+43=9,

解得4=3或4=|,经代入判别式验证均满足题意.

13

则直线/的方程为y=2^或＞'=2X-3,

即x-2y=()或3工一2)，-6=0.

2.(2024.全国甲卷)已知椭圆C：£+£=1(八枚＞0)的右焦点为F,点从1，方)在C上，且

轴.

(1)求。的方程;

(2)过点P(4,0)的直线与C交于A,B两点，N为线段产P的中点，直线NB交直线M歹于点

Q,证明：4Q_Ly轴.

解：(1)设尸(c,0),由题谀，有c=l且故”!=*,解得。=2,卜=小,

vf•—Cl—

72

故椭圆C的方程为5+^=1.

(2)证明：由题意可知，直线A6的斜率一定存在，

设直线的方程为)，=©》-4),A(x”>'])♦8(必)2)，

』5+畀，渣土

由广J消去y,

[y=k(x—4)♦

可得(3+4F*—32R+64F—12=0,

故A=1024^-4(3+4^)(64^-12)>0,

解得一：<小4，

▽।.32〉64J2

,

XX\~rX2_Q_i_zi/2，

而Ml，。)故直线6N的方程为

［一3y2M（2x2-5）+3公

所以户一■?=》十20一5一2,V2-5

k（汨一4）（2刈-5）+3k（幻一4）

2x2-5

ZYIJQ-5（X1+X2）+8

=kx

2x2-5

c64Zr-12<321c

2、3+4公-5乂3+4/+8

会-----------------------------

128^-24-160^+24+32^

3+43

=kx=0,

2x2-5

故丁|=）3即AQ_Ly轴.

►金版押题

72

已知双曲线E：8>0)的左、右焦点分别为R,B，离心率为2,P是E右支

上一点，且PFI_LPF2,△PFIB的面积为3.

(1)求E的方程；

(2)若E的左、右顶点分别为A,B,过点B的直线/与E的右支交于M,N两点，直线AM

?

和BN的斜率分别记为以“和kBN，求&w+?8N的最小值.

解：(1)设双曲线的半焦距为c(c>0),

•・・54丹］々=由2尸山。尸2|=3，

・・・|PR||P同=6.

由题意可知，|PFi|-|PBI=2a,底尸仔+叶尸加=4，,

・•・|PAF+|尸?2『一21m\\PF2\=4/,

即4/-12=4。2,:.f=3,

又，2，

(2)如图，由题意可知，F2(2,0),A(~\,0),8(1,0),且直线MN的斜率不为0,设直线

MN的方程为x=)+2(一坐vr<^),M(x\,yi),Ng,只)，

将方程x=)+2和1-5=1联立，消去x,得(3-一1))3+12)+9=0,

.,_⑵__2_

・小+”--3尸_]，)讨-3尸

，

•••心"=V1而'痴=二V:\，

-3f

.k.M)'i(也—|)yi(12+1)(yig+.vi3.—]X_1

kiiNyz(xi+1)y2(rvi+3)ty\y2-^3y2%3'

'N+3”

:,kBN=—3kAM，

2

代w+qk"N=（心M—1）2—1,

•••直线AM与E的右支有交点，

，一小〈心庐小>

?

J当以M=l，加N=-3时，后M+?8N取得最小值，为一L

专题作业

基础题（占比20%）中档题（占比30%）拔高题（占比50%）

题号123456

难度★★★★★★★★★★★★★★

抛物线、直线与双

双曲线的轨

椭圆的曲线位置

迹方程；与双抛物线的抛物线的椭圆的标

标准方关系的应

曲线有关的物迹方程；轨迹方程；准方程；与

程；与抛用;利用向

对点弦中点问题；与抛物线与抛物线面积有关

物线、椭量的数量

直线与双曲有关的证有关的范的最值问

圆有关积判断点

线位置关系明问题国问题题

的交点与圆的位

的应用

问题置关系

1.（2024•广东六校第四次联考）已知椭圆G、抛物线Q的焦点均在A轴上，G的中心和C2

的顶点均为坐标原点O,从G，C2上分别取两个点，将其坐标记录于下表中:

X正12

2

亚

202也

y2

（1）求椭圆C,和抛物线C2的标准方程；

⑵若椭圆G和抛物线C3交于不同的两点A,B,求8•苏的值.

2

解：⑴设抛物线C的标准方程为），2=2px（p>0），则2〃=/

2人

?2（2\[2）2

结合表格数据，因为〒=T-=%

所以点（1,2）,（2,26）在抛物线。2上，

且2P=4,解得〃=2,

所以抛物线G的标准方程为V2-4A-.

将点(坐,嘤)'(叵0)代入椭圆C1的标准方程,+*=13>/»0)中,

右+京Rcr=2，

得解得，

2/二1，

所以椭圆G的标准方程若+)7=].

(2)根据对称性，可设A,B两点的坐标分别为(xo,为)，(必，一刈)，联立方程组，

消去y得f+8戈一2=0,

=-

解得用=-4—3y[2tX244-3,\/2,

因为x=?20,所以n=3g一4.

所以福^Sj^一声=而一4xo=(3*\/5—4)2—4(3也-4)=50—36也.

2.(2024•河北衡水模拟)已知圆尸：。-2)2+V=⑵E(-2,0),过E的直线与圆厂交于人，

B两点,过E作A厂的平行线交直线B/于点H

(1)求点”的轨迹C的方程；

(2)过尸作两条互相垂直的直线小小公交曲线。于丹，Ql，，2交曲线。于B，。2,连接

弦Pi。的中点和P2Q2的中点交曲线。于M,N,若品丽=百，求/I的斜率.

解：(1)如图，因为E"〃4F,所以NHEB=NFAB,

又因为|An=[BF],所以|H£=|HB|,即|，F|一|，E|=|BF1=24L当A,8两点互换时，|Hg

一|“Q=2小，所以点”的轨迹是以E,尸为焦点，实船长为2小的双曲线，H=小,c=2,

b=1,

即点”的轨迹C的方程为"一)，=1()¥0).

(2)显然人的斜率存在且不为0,

设直线八：y=A(x—2),Pi(xi,y\),Q(X2,”)，

y=k(x-2)，

联立及

白一产1'

整理可得(1-3公)『+12后£一(12d+3)=0,

则1—3♦9,

日_u12标,41

且总+X2一吊口,),|十,'2—京二T

所以P|Q1的中点为“0傣三7，司注T)，

用一1代换A-可得PiQi的中点为N((UR,言•，

当送道%，即时，MWo的斜率也是MN的斜率，

2k_-2k

3狂一13—F2k

5=6炉_T-=-3(J)'

33一1-3一炉

2k

所以直线MN的方程为厂31

=-3(囱)

即y=-3()_])(L3),所以直线MN恒过点(3,0)；

当父=1时，M)(3,1),No(3,-1),或Mo(3,-1),Ng,1),直线MN过点(3,0).

综上，直线MN恒过点(3,0).

设M(i3，3'3)»Ng,)必)，直线MN的方程为(y=x—3,

ty=x-3，

联立整理可得(尸一3))2+6)+6=0,

值4=1，

因为尸一3翔，且4=36产一4x6（尸一3）＞0,

—6r6,..一18—27—3Z2

所以"+jLjJTZ5，"）4=^5，13+入4=&+*）+6=^775，田产--，

所以殖•丽=（4一2）。4—2）+山以=1+号=11，

解得产=16,即尸土4,

所以-

解得k=±3或左=3，

所以人的斜率为2=±3或&=弓.

3.（2024.山东潍坊三模）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，E为直线/：），=一1上一点，

动点F满足/£!/,O^A.Ok.

（1）求动点F的轨迹C的方程；

⑵若过点於，°）作直线与。交于不同的两点M点P（1,I）,过点M作），轴的垂线分

别与直线OP,ON交于点A,B.证明：4为线段BM的中点.

解：（1）设厂y）,则E（x,-1）,因为9_L旗，所以拚.就=0,

所以f—y=0,即x2=j,

所以动点尸的轨迹C的方程为,=1.

（2）证明：因为轴，

所以设y\）,Ng）'2）»4（"川），8（湘，乃），

若要证明A为线段的中点，只需证明2X、=XB+M即可，

当直线WN的斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线

MN的斜率存在且不为0,

设直线MMx=my+5，汨0,

4=4—4x2〃?xl=4—8〃?,

由题意可知，直线A/N与抛物线C有两个交点,

所以1>0,即4—8〃?>0,祈以

由根与系数的关系，得为+*=5，月检=+，

由题意，得直线OP的方程为），=x,

所以A（yi，y\）,

直线ON的方程为所以*

所以加+内一次=黄+不一2)，|=誓+.打—2*=工1e一1—法］)=即2”*=.(即+

Mf的尸思-2xa0,

所以人为线段BM的中点.

4.(2024•湖南邵阳第三次联考)如图所示，已知点8(6,—9),8cLx轴于点C,点M为线

段OB上的动点(M不与端点O,B重合)，MHLx轴于点H，MEA.BC于点E,OE与MH

相交于点Q，记动点。的轨迹为「

(1)求〃的方程；

(2)点A,N是T上不同的两点，点N关于)，轴对称的点为N,记直线AM与y轴的交点为

。(0,优)，直线AN与y轴的交点为P.当△〃修W为等边三角形，且州〈一1时，求点P到直

线A。的距离的取值范围.

解：⑴设Q(x,y),则〃(',0).

•・,直线OB的方程为产一齐，

，一却，｛6，一m)

・••诙=(x,),)，征=(6,一|,・・•丽〃亦

；・4(一|x)=6y,化简得f=-4.y,其中0W6.

即〃的方程为『=-4y(0<v<6).

(2),・・抛物线/=一4)，关于丁抽对称，点八在〃上，

/.点N关于y轴对称的点M也在抛物线『=-4y上.

设直线AN'的方程为y=mx^-yo(m/O),A(x\,yi),N(x?,yi)，

则N(—X2，»).

y=77tv+yo，

）整理得/+4〃次+4和=0.

{x-=~4y»

*.*J=1—16vo>O，

.*.X）+志=-4/〃，XiX2=4jo.

设P（0,券），则丽=（一%2，户―＞3），/=（片，＞,）—J3）.

VP,N,A三点共线，

:.（72—”）如+_”）X2=0,

，（内+X2）＞'3=”汨+y/2=277U1X2+（X1+也）和，

即一4/2ZV3=4/77VO，

又〃印0,：.y3=—yo,AP（0,—_yo）.

丁点M,N关于y轴对称，・・・|PM|=|PM，

•••△PMN为等边三角形，

:・/DPN=/DPN=30。,

工直线AN的斜率仁空J（工一斤=_小,."-『4小.

X]-tX2（X|+X2）4Yv

由（X[—X2）2=（X|+%2）2-4戈|X2=16〃户一16泗=48,得〃户=3+和

Vw2>0».,•和>-3,

又刈v—1,—3<yo<-1»

|2四|一2yo

则点P到直线AO的距离d=

A/W2+144+）“

设1=、4+和,则且和=尸一4,

有,8-2/28

故d—;=~~~2t.

o

,・》=7—2，在（I,小）上单调递减，

,25,,

•."＜J＜6.

即点P到直线AD的距离的取值范围是殍，6）.

2

5.（2024•安徽芜湖二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆IV：%+方=1（。＞比＞0）的离心率为e,

已知椭圆长轴长是短轴长的2倍,且椭圆W过点（1,e）.

⑴求椭圆W的标准方程；

（2）已知平行四边