河北省邯郸市某中学2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（原卷版+解析版）

育华中学2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每题3分）

1.下列图形中，不是相似图形的一组是（）

C

2.下列事件中，是必然事件是（）

A.任意买一张电影票，座位号是偶数

B.抽查背诵，刚好抽到学号是5的同学

C.对顶角相等

D.打开收音机，正好播放音乐《一路山程》

3.已知抛物线＞=（。-1）£一3有最低点，那么〃取值范围是（）

A.。>0B.«<0C.a>1D.a<1

4.如图，从点C观测点。的仰角是（)

CE

AB

水平地面

A.NDABB.NDCEC.ZDCAD./AOC

则反比例函数的图象所在的象限为（

5.若〃?，〃互为倒数,y=2”

X

A.二、四B.C.一D.一、二

6.如图，四边形A8CD与四边形EFG”位似，其位似中心为点。，且。E=£4,则四边形A8CO与四

边形瓦GH的面积比是（）

A

A.1:2B.2：1C.1:4D.4:1

7.若方程/一3日+攵+1=0的两根之积为2,则左的值是（）

A.2B.-]C.OD.1

8.如图，。。经过正六边形ABCOEV的顶点A、E,则舛后所对的圆周角NAPE等于（）

A.15°B.25°C.30°D.45°

9.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高。。为14的奖杯，杯体釉截面A8C是

A.7B.8C.9D.10

10.如图，。。是VA8C1的外接圆，A8是直径，。。是VA3C的内切圆，连接AD30,则—AO8

的度数为（）

C.145°D.150°

11.如图，在正方形ABC。中，顶点A,B,C,。在坐标轴上，且3（2,0）,以A5为边构造菱形AB比'.将

菱形A8E户与正方形ABCZ）组成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转90。，则第2026次旋转结束时，点

鸟秘的坐标为（）

C.（2立-2）D.(-2,-25/2)

12.如图，点P为函数y=3（x>0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，0P半径为2,A（3,0）,

x

B（6,0）,点Q是。P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是（）

B.2V2+1C.4D.2

二、填空题（共4小题，每题3分）

13.计算：2sin450=.

\/113

14.点A（2,y）,B--,y2在反比例函数），=—的图象上，则，乂（填”"，"<”或“二”）

12/x

15.已知点A（a,3）和点8（—2,〃）关于原点对称，则+6广6=.

16.如图，V48C是等腰直角三角形，NB4C=90。，A8=AC=2,点。为6。中点.以点O为圆心作

扇形DOF,Z/X）F=45°,当扇形。0尸绕点。旋转时，线段。。与AB交于点/）,线段尸。与直线CA

交干点。.

(1)若尸O_L4C于点。，则

(2)若BP=L则CQ=.

2

C

三、解答题

17.如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数.

（I）若〃二一3,求这四个有理数的和；

（2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求〃的值.

xx—3

18.小珍解方程——十——=1过程如下；

x-2x-2

解：去分母，得x+（x—3）=l……第一步

去括号，得x+x—3=l……第二步

合并同类项，得2为一3=1……第三步

解得x=2……第四步

检验：当尢=2时，x-2=0

，工=2不是分式方程的根，原分式方程无解.……第五步

（1）你认为小珍从第步出现错误；

（2）写出正确的解答过程.

19.如图，在由边长为I个单位长度小正方形组成的网格中，点A，B,C均为格点（网格线的交点）,

A（2,3）,8（3,2），C（1,O）.

（1）将VA8c向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△△片G，请画出△A4G；

（2）将△A8C绕点。顺时针旋转90。得到△&&&，请画出△&与C?：

（3）在（2）的旋转过程中，点C1经过的路径长为.

20.邯郸作为国家历史文化名城，拥有磁州窑烧制技艺、大名草编、邯郸皮影等多项国家级丰物质文化遗

产.某学校非遗社团为宣传家乡文化，决定从A.磁州窑究器、B.大名草编、C.邯郸皮影三种非遗作品

中选择一种进行展示.

（1）该社团从这三种非遗作品中随机选择一种，恰好选中“C.邯郸皮影”的概率是一；

（2）为更好地推广邯郸非遗，社团准备分甲、乙两个小组进行展示体验，每组随机选择一种非遗作

品.请用列表或画树状图的方法，求两组恰好选中同•种非遗作品的概率.

21.如图，在VA8c纸片中，ZMC=90°,。是斜边8C上一点，将△A8沿AD折叠，使点、C落在点F

处，线段。/与48相交于点E，已知OF_LA8.

（1）求证：^DEB^FEA：

（2）若AC=6,A3=8,且8。=4,求BE.

22.如图，在。。中，点A是BAC的中点，OC平分N4CB,ZBDC=60°,BC=26.

A

（1）求NAC3的度数；

（2）求出0O的半径；

（3）直接写出图中阴影部分的面积.

23.阅读材料，完成任务.

如图（1）,一个书架上放着8个完

全一样的长方体档案盒，其中左边7

个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边1

素材一

个档案盒向左斜放，档案盒的顶点

。在书架底部，顶点”靠在书架右

图（1）

侧，顶点C靠在左边的档案盒上

其示意图如图（2）,经测量知书架内

侧长度BG=60cm,

ZCDE=53°，档案盒

素材二

AB=35cm.

（参考数据：sin53°«0.799,

图（2）

cos53°=0.602，tan53°«1.327）

计算右边档案盒的顶点。到它所靠

任务一（I）求EO的长（结果保留整数）

的档案盒的距离

任务二求出每个档案盒的厚度（2）求。尸的长（结果保留整数）

（3）求出该书架上最多能放几个这样

任务三书架摆放档案盒的设计

的档案盒

24.如图①，平面宜角坐标系中，有抛物线G|；），=公2一2以一3々（々-0）.设抛物线G1与x轴相交于点

A,8,与y轴正半轴相交于点C,且C(O,3).

⑵如图②，将抛物线G1平移得到抛物线G2：y=ad+法+《。工0),使伉过点c和(-1,6),求抛物

线G2的解析式.

(3)将(2)中G?在)，轴左侧的部分与G|在)，轴右侧的部分组成的新图象记为G.过点C作直线/平行

于x轴，与图象G交于D,E两点，如图③.

①求出OE的长；

②有一条直线丁二〃与新图象G只有两个公共点P,Q,且直线)=〃与直线/的距离等于2,请直接写出线

段P。长度

育华中学2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每题3分）

1.下列图形中，不是相似图形的一组是（

C

【答案】D

【解析】

【分析［本题考查J'相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义.根据相似图形的定义，形状

相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解..

【详解】解：A、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，

B、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，

C、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，

D、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意，

故选：D.

2.下列事件中，是必然事件的是（）

A.任意买一张电影票，座位号是偶数

B.抽查背诵，刚好抽到学号是5的同学

C.对顶角相等

D.打开收音机，正好播放音乐《一路山程》

【答案】C

【解析】

【分析】木题主要考查随机事件，解题的关键是理解定义；必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件：

选项A、B、D都是随机事件，可能发生也可能不发生；选项C是几何性质，对顶角一定相等，因此是必然

事件，然后问题可求解.

【详解】解：:对顶角相等是几何基本定理，

・•・选项C是必然事件；

其他选项：A中座位号可能为奇数或偶数；B中抽查可能抽到其他学号；D中收音机播放内容随机，均不一

定发生;

故选c.

3.已知抛物线）=（。-1）/一3有最低点，那么。的取值范围是（）

A.a>0B.。<0C.a>\D.a<\

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象及性质.抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数大于零，据此得到

«-1>0,求解即可.

【详解】解：•・•抛物线y=（a—3有最低点，

・•・抛物线开口向上，

:.tz—1>0,

解得。>1.

故选：C.

4.如图，从点C观测点。的仰角是（）

D

CE

,，/

[/H

AB

水平地面

A.ZDABB.NDCEC.ZDCAD.ZADC

【答案】B

【解析】

【分析】根据仰角定义解答即可.

【详解】•・•从点C观测点。的视线是C"水平线是CE,・••从点C观测点。的仰角是

故选B.

【点睛】本题考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键.仰角是向上看的视线与水平线的夹角；

俯角是向下看的视线与水平线的夹角.

5.若阳，〃互为倒数，则反比例函数、=丝图象所在的象限为（）

x

A.二、四B.二、三C.一、三D.一、二

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、倒数，根据互为倒数的两个数乘积为I，可得〃机-1,对于

反比例函数），=K,当4>0时，函数图象位于笫一、三象限，由此可得答案.

x

【详解】解：•・•切，〃互为倒数，

•*-mn=\,

mn1

y=—=-，

xx

反比例函数卜二丝的图象所在的象限为第一、三象限，

x

故选C.

6.如图，四边形43co与四边形瓦G”位似，其位似中心为点0,且。七=£4,则四边形48co与四

边形比'G/7的面积比是（）

A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的

面积比等于相似比的平方是解题的关键.

根据位似图形的概念得到四边形ABCQs四边形，EF〃AB，得到求出

EF:A3,根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【详解】解：•.•QE=E4,

0A:OE=2:1,

四边形48co与四边形EFGH位似，

...四边形八3cos四边形EFG",EF//AB^

:.AOEFS^OAB,

.\EF:AB=OA:OE=2：［,

二•四边形ABC。与四边形EFGH的面积比是4:1,

故选：D.

7.若方程Y—3Lv+八1=0的两根之积为2,则々的值是（）

A.2B.-1C.OD.1

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关

bc

键;设内,小分别是方程V—3履+2+1=0的两个根，然后根据“可+乐=一一0元,二一”进行求解即可.

a~a

【详解】解：设匹分别是方程冗2一36+2+1=0的两个根，

由题意得：斗々=2+1=2,

・》=1；

故选：D.

8.如图，0C经过正六边形ABCNE厂的顶点4、E,则用后所对的圆周角/A庄等于（）

A.15°B.25°C.30°D.45°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，连接4CCEAE,根据正六边形的性质可得全等三角

形，则可得到△4CE是等边三角形，则可推导出圆周角的度数.

【详解】解：如图，连接AC,AE,EC.

•••六边形48CQM是正六边形,

:・AB=BC=CD=DE=EF=AF,/B=ND=/F,

/.△ABC^ACDE(SAS)^CDE^EFA(SAS)3ABe、EFA(SAS),

/.AC=CE=EA,

「.△ACE■是等边三角形，

/.ZACE=60°,

/.=-^ACE=30°.

2

故选：C.

9.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高。。为14的奖杯，杯体轴截面ABC是

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案.

4

【详解】解：当产14时，14=3/+5,

99

解得玉=5，x2=~2f

99

••A(—,14),C(一,14),

22

99

•*•^^=--(--)=9.

22

故选:C.

【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系

数法求点的坐标是解题的关键

10.如图，。。是VA6c的外接圆，是直径，。。是VA8C的内切圆，连接AD,BD,则

的度数为()

C.145°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析1本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键.

根据外接圆，4B是直径可得NC=90。，根据内切圆，可得AO,8。是角平分线，再结合三角形内角和

定理即可求解.

【详解】解：是外接圆，A6是直径，

・•・ZC=90°,

・••在△48C中，NC4B+NCHA=90。，

V0。是内切圆，

・・・D4,DB是/CAB,NCBA的角平分线,

:.NDAB+ZDBA=g(NCAB+NC8A)=gx90。=45°,

:.在中，ZADB=180°-(ZZMB+/DBA)=180°-45°=135°,

故选：B.

11.如图，在正方形A8CQ中，顶点A，B,C,。在坐标轴上，且8(2,0),以A8为边构造菱形居所.将

菱形ABE尸与正方形A8CO组成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转90。，则第2026次旋转结束时，点

&C26的坐标为()

C.(2&,-2)D.(-2,-2>/2)

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规律、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，分别

求出£的坐标，发现规律，根据规律即可得出答案.

【详解】解：由题意得：四边形八BC。为正方形，且8（2,0）,

OA=OB=OC=OD=2，

在RLAOB中，由勾股定理得AB=Jon?+OB?=2JS，

•・•四边形4应产是菱形，

・•・AF=AB=2叵'

・,・％垃,2）,

•・•将菱形48所与正方形ABCO组成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转90。，

・・・耳卜2,2夜），6卜2a,—2）,居（2,—2五），尼（2a,2）,月卜2,2拒）…,

...不难发现从第五次旋转开始，点£的坐标与前面的重复了.

,••2026+4=506…2,

・•・第2026次旋转结束时，点6026的坐标与居重合，坐标为12夜,-2）.

故选:B.

12.如图，点P为函数y=3（x>0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等,

0P半径为2,A(3,0),

x

B（6,0）,点Q是。P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是（)

B.2逝+1C.4D.2

【答案】B

【解析】

【分析】易求点P（4,4）,连接0P并延长交。P于点Q：连接BQ：因为OA=AB,CB=CQ,所以ACj

OQ,所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q，时，OQ最大，由此即可解决问题.

【详解】解：如图，连接OP并延长交。P于点Q',连接BQI取BQ，的中点C，，连接AC,

.・♦点P为函数y=,(x>0)的图象上一点，且到两坐标釉距离相等,

x

可设P(x,x)(x>0),贝ijx=—,

X

解得X=4(负值已舍去)，

・•.点P(4,4),

/.OP=4V2.

VA(3,0),B(6,0),且点C是QB的中点，

AOA=AB,CB=CQ,

r.AC=^OQ.

当Q运动到Q'时，OQ最大，

此时AC的最大<S=AC=*OQ，=；(OP+PQO=272+1.

故选:B.

【点睛】本题考查坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一

点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题.

二、填空题(共4小题，每题3分)

13.计算：2sin450=.

【答案】>/2

【解析】

【分析】根据特殊角的三角函数值即可得到正确的结果.

【详解】Vsin450=—，

2

・•・2sin450=2x—=>/2

2

故答案为：A/2.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

（1A3

14.点4（2,y）,B--,y2在反比例函数），=一的图象上，则,为（填“＞”，或"二”）

\7]

【答案】＞

【解析】

【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小.将点A和点3的横坐标代入反比例函数解析式，分别

求出x和y2的值，然后比较大小.

3

在反比例函数y=±的图象上,

【详解】解：•・•点4（2,yJ,B--,y2

k2

・•・弘＞＞2.

故答案为：＞,

15.已知点A（〃,3）和点3（—2⑼关于原点对称，则（a+b产6=.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得"22二-3,

20262026

・・.（a+^）=（2-3）=（-1产6=1;

故答案为：1.

16.如图，VA8c是等腰直角三角形，ZBAC=90%A8=AC=2,点。为6c中点.以点O为圆心作

扇形。。/，ZZX）F=45°,当扇形。。尸绕点。旋转时，线段。。与48交于点〃，线段尸。与直线C4

交千点。.

（1）若尸OJL4C于点。，则8P=；

（2）若BP=L则.

【解析】

【分析】（1）根据题意得到VAOB是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质求解即可；

（2）首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出03=0。=0，然后证明出VO8PsVQCO,利用

相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：（I）如图所示,

・・・4O_L3O,ZB=zaAO=45°,

・•・V403是等腰直角三角形，

■:/DOF=45。,

・•・ZAPO=90°,

・••点P是A3的中点，

ABP=-AB=h

2

故答案为：1：

（2）如图所示,

D

BC

O

VA3C是等腰直角三角形，NB4C=90。，AB=AC=2,

・•・BC=7A^+AC2=2V2，

•・•点。为BC中点,

•*-OB=OC=&，

•・•ZOQC+^AOQ=ZOAC=45°,

■:/DOF=45。,

・•・NBOP+NAOQ=45。

・•.ZOQC+ZAOQ=NBOP+ZAOQ,

・•.ZOQC=ZBOPf

又：ZB=ZC=45°,

・•.NOBP^QCO

PBBO，即2二血,

~OC~~QC

正一正

・•・解得QC=4.

故答案为：4.

【点睛】此题考查了等腰自角二角形的性质和判定，勾股定理，相似二角形的性质和判定等知识，熟练掌

握相似三角形的判定定理是解题的关键.

三、解答题

17.如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数.

（1）若。二一3,求这四个有理数的和；

（2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求〃的值.

【答案】（1）3（2）a=-4

【解析】

【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程；

（1）直接将4个数相加即可求解；

（2）列出关于。的方程求解即可.

【小问1详解】

解：-3+5+4+（-3）=3；

【小问2详解】

解：-3+4=5+。，

解得。=Y.

Xr—3

18.小珍解方程一;+—；=1过程如下：

解：去分母，得x+（x-3）=l……第一步

去括号，得/+工一3=1……第二步

合并同类项，得2犬-3=1……第三步

解得x=2……第四步

检验：当x=2时，x-2=0

.♦.x=2不是分式方程的根，原分式方程无解.……第五步

（1）你认为小珍从第步出现错误：

（2）写出正确的解答过程.

【答案】（1）第一步（2）x=l,过程见解析

【解析】

【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键.注意：解分式方程，最后需

要检验，避免出现增根.

（1）根据解题过程逐步判断解答；

（2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可.

【小问1详解】

解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母，

故答案为：第一步

【小问2详解】

X

解:——+二1

x-2x-2

去分母，得x+（x—3）=x—2,

去括号，得了+工一3=大一2,

移项、合并同类项，得x=l,

检验：当x=l时，/一2工0,

・・・x=l是原方程的解.

19.如图，在由边长为I个单位长度小正方形组成的网格中，点A，8,C均为格点（网格线的交点）,

A（2,3）,3（3,2）,C（1,O）.

（1）将VA3C向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△4印£,请画出

（2）将△43C绕点。顺时针旋转90。得到△ABC，请画出△&&&;

（3）在（2）的旋转过程中，点C1经过的路径长为.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（e3）-3-丘----71

2

【解析】

【分析】本题主要考查三角形的平移以及旋转作图，弧长公式，掌握作图方法是解题的关键.

（1）先画出三角形各顶点平移后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到平移后的三角形；

（2）先画出三角形各顶点绕着点。顺时针旋转90。后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三

角形；

（3）根据弧长计算公式进行计算，求得旋转过程中点所经过的路径长.

【小问1详解】

解：如图所示，△A4G为所求:

【小问2详解】

解：旋转过程中，点G所经过的路径长为以0G为半径，90。为圆心角的弧长,

=里乂"石K=逑兀，

1802

故答案为：还兀.

2

20.邯郸作为国家历史文化名城，拥有磁州窑烧制技艺、大名草编、邯郸皮影等多项国家级卞物质文化遗

产.某学校非遗社团为宣传家乡文化，决定从A.磁州窑瓷器、B.大名草编、C.邯郸皮影三种非遗作品

中选择一种进行展示.

（1）该社团从这三种非遗作品中随机选择一种，恰好选中“C.邯郸皮影”的概率是

（2）为更好地推广邯郸非遗，社团准备分甲、乙两个小组进行展示体验，每组随机选择一种非遗作

品.请用列表或画树状图的方法，求两组恰好选中同一种非遗作品的概率.

【答案】⑴-

3

1

（2）-

3

【解析】

【分析】本题考查是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键.

（1）直接利用概率公式计算可得;

（2）利用列表法列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解.

【小问1详解】

解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好选中“C.邯郸皮影”的结果有1种,

所以恰好选中“C.邯郸皮影”的概率为;;

故答案为：

3

【小问2详解】

解：根据题意，画出树状图如下:

开始

由上可知，共有9种等可能的结果，其中两组恰好选中同•种非遗作品的情况共3利J

・•・两组恰好选中同一种非遗作品的概率为-=7-

93

21.如图，在V48C纸片中，ZBAC=90°,。是斜边8C上一点，将△AC。沿AO折叠，使点C落在点产

处，线段。/与AB相交于点E，己知_LA3.

（1）求证：ADEBS^FEA；

（2）若AC=6,AB=S,且8。=4,求

【答案】（1）见解析（2）y

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵

活运用所学是解题的关键.

（1）利用同角的余角相等可证明/C=NED8,由折叠的性质结合等量代换得到=结合对顶

角相等即可得证；

（2）先证明四边形ACO厂是菱形，推出由（1）知ADEHFEA，得到

AF_AE

即可求解.

【小问1详解】

证明：vZBAC=90°,

ZB+ZC=90°.

\-DFA.AB.

NB+/EDB=90。,

:"C=/EDB.

又由折叠可知NC=N/,

，/EDB=NF.

又•：ZDEB=NFEA,

;./\DEBs"EA.

【小问2详解】

解：由（1）知/F=/EDB，/C=/EDB,

：.AC\\DF9AF\\CD,

・•・四边形ACDF是平行四边形，

由折叠的性质得AC=4尸，

・•・四边形4c。厂是菱形，

AAF=CD=AC=6,

由⑴知ADEBS/EA,

AFAE

••---=----,

BDBE

VBD=4,AB=8，

.6AB—BES-BE

••一=--------=-------,

4BEBE

•*BE—・

5

22.如图，在0。中，点A是BAC的中点，0C平分NAC3,ZBDC=60%BC=2坦.

A

(1)求/AC3的度数；

(2)求出。。的半径；

(3)直.接写出图中阴影部分的面积.

【答案】(1)60°

(2)2(3)-^-y/3

3

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质，求不规则图形的面积，

(1)由点A是84c的中点，得到外3=用。，因此A8=AC.由圆周角定理得到

N8AC=NBAC=60。，从而得到VA/C是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答；

(2)过点。作QEJL3C于点E,由垂径定理得到CE=1BC=G，再。。平分,AC8得到

ZOCE=-ZACB=30°,因此OE=」OC,进而在RtZXCOE中求出OC,即可解答；

22

(3)连接08,求出△3OC和扇形的面积，根据S阳影=5扇形8℃一,8”•即可求解.

【小问1详解】

解：•・•点A是B4C的中点，

工用8=并。，

:•AB=AC,

•;BC=BC，

・•・ZBAC=ZBZ)C=60%

・..VA8c是等边三角形，

・•・ZAC^=60°.

【小问2详解】

解：过点O作OELBC于点E,

A

•・•。£过圆心0,

：.CE=-BC=-x2y/3=>/3,

22

•・•0C平分/AC8,

・•・乙OCE=-ZAC^=-x60°=30°，

22

・•・在RtaCO石中，OE=、OC,

2

VOE2+CE2=OC2»即(goc)+(6)2=002,

・•・OC=2,

・•・0。的半径为2.

【小问3详解】

解：连接08,

A

由(2)可得0E=,C0='x2=l,

22

SB0c=—BC'OE=—x2Gx1=G,

△22«

由（1）可知：VABC是等边三角形,

・•・NBAC=60。，

,•*BC=BC，

・•・/BOC=2NBAC=2x600=120%

_120^-x22_4

扇形8次二360=丁’

,*S阴影=S扇形80c-S.BOC=§%一百.

23.阅读材料，完成任务.

如图(1),一个书契上放着8个完、/〃/〃/"

全一样的长方体档案盒，其中左边7

个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边1

素材一DOC)00OO

个档案盒向左斜放，档案盒的顶点1夕

lrV

。在书架底部，顶点厂靠在书架右

图(1)

侧，顶点C靠在左边的档案盒上

其示意图如图(2),经测量知书架内

/i

侧长度BG=60cm,C%

ZCDE=53Q，档案盒

素材二F

AB=35cm.

BEDG

(参考数据：sin53°«0.799,

图(2)

cos53°x0.602,tan53°«1.327)

计算右边档案盒的顶点。到它所靠

任务一(i)求。的长(结果保留整数)

的档案盒的距离

任务二求出每个档案盒的厚度(2)求。尸的长(结果保留整数)

(3)求出该书架上最多能放几个这样

任务三书架摆放档案盒的设计

的档案盒

【答案】(I)七。长度约为21cm；(2)每一个档案盒的厚度=5cm；(3)该书架中最多能放12个这

样的档案盒.

【解析】

【分析】本题考查了三角函数的应用.

(1)根据DE=C/)cos53。，即可求解；

(2)ZDGF=NCDF=900,则NFDG=180°—Na)E—NC£>F=37。，推出NDR7=53。，设每

一个档案盒的厚度为比例，则DG=£>F・sin53o=0.8x,根据“书架内侧8G长为60cm”，列方程即

可求解；

(3)用书架的总长度除以每一个档案盒的厚度即可求解.

【详解】解：(1)在RtZXCOE中，ZCDE=53°,CD=AB=35cm,

DE=CD-cos53°35x0.60221(cm),

二•EO长度约为21cm；

（2）如图，由题意得：/DGF=/CDF=骄,

・•/CDE=53。，

・••4FDG=180°-NCDE—NCDF=37°，

•••4DFG=琳—/FDG=53。,

设每一个档案盒的厚度为xcm,

在RtZXDPG中，DF=Acm,

DG=DF-sin53°0.799x（cm）,

由题意得：