二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（8大重难题型+3阶分层过关）原卷版-2025-2026学年高一数学（人教A版必修第一册）

二次函数、一元二次不等式

与其他常见不等式的解法及应用（8大重难题型+3阶分层过关）

.明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

3.1一次困数的

图象与性质（开能根据解析式决速画出草图，并分析其在

所有二次问题的基础，必须熟练掌握。

口、对称轴、顶给定区间上的最值。

点、单调性）

3.2一元二次方

能利用韦达定理解决与两根相关的对称

程根与系数的关常与函数、不等式综合考查。

式求值问题。

系（韦达定理）

3.3解一元二次能熟练运用“化正T求根一画图T写解

必考技能，解集的规范书写是易错点。

不等式（不含参）集”的步骤求解。

3.4解含参数的能根据二次项系数、判别式△、根的大小期末压轴题常见考点，对分类讨论思想要求

一元二次不等式进行分类讨论。局。

3.5解分式不等能通过移项、通分化为商的形式，再利用易错点是宜接去分母或忘记分母不为零的

式符号法则转化为整式不等式组求解。限制。

期末压轴题核心题型。易错点是混淆“恒成

3.6不等式的恒能准确将"叵成K与“有解”问题转化为函

立”（求最值）与“有解”（求最值）的转化逻

成立与有解问题数最值问题，并求解参数范围。

辑

3门一元二次不能解决与利润、面积、升降趋势相关的实

体现数学应用价值，是命题方向

等式的实际应用际问题。

卜记•必备知识,.

愎知识点01二次函数及其性质

一元二次函数y=ax2+bx+c（a*0）有如下性质：

（1）函数y=Q/+M+c的图象是一条,顶点坐标是,对称轴是直线—.

（2）当Q>0时，抛物线开口向上.在区间（一8,一5］上，函数值），随自变量x的增大而减小；在区间

—+8）上，函数值），随自变量x的增大而增大.函数在“一卷处有最小值，即.

15

当aVO时，抛物线开口向下.在区间（—8,—/］上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间［―/,+8）

上，函数值y随自变量x的增大而减小.函数在X二一尚处有最大值，即.

愎知识点02解一元二次不等式

判别式A=b2-4ac△>0△=0△<0

1£V

二次函数y=ax2

+bx+c(a>0)的图

象1/

O]XL.xo\*

一元二次方程。好

有两个相异实根勺，有两个相等实根M

没有实根

+bx+c=0（a>0）b

%2（工1<X）

的根2=力=一五

一元二次不等式a/即耳

+bx+c>0（a>0）

的解集

一元二次不等式a/

+bx+c<0（a>0）

的解集

写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件.

（1）xERtQx2+b%+c>o（a学°）恒成立的充要条件是且.

（2）xeR,QN+与+CNOS手0）恒成立的充要条件是—且.

（3）xeR,a%2+以+c<0（。字0）恒成立的充要条件是且.

（4）x€R,ax2+bx+cV0（a工0）恒成立的充要条件是口.

2/15

叵知识点03解分式不等式

①用<0o/'(x)g(x)<0②用>0=/(x)g(x)>0

y（x）g（x）<o

③翳川g（M〉CJ/（x）g（x）N°

国知识点04解根式、高次不等式

根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解.

隰知识点05解指对数不等式（跨章节）

指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0.

.破•重难题型.

团题型一解不含参的一元二次不等式

【典例1]（24-25高一上•四川眉山•期末）解下列不等式:

⑴/+x-640;

（2）6-2X2-X<0;

【典例2]（24-25高一上,四川巴中•期末）己知集合力=卜1x2-.r-6>0},i5={.r|"5<x<2a+l,aN0}.

⑴若q=0,求（44）八8：

（2）若力U4=R,求〃的取值范围.

3/15

【变式1】解下列不等式:

(l).r2-5x-6>0：

(2)-x2+7x>6；

⑶(2-力(》+3)<0；

(4)4(2X2-2X+1)>X(4-X).

【变式2】(24-25高一上•福建福州•期末)不等式3X«4的解集为力.

⑴求力；

(2)若函数9=2'+1的值域为8,求/LM.

【变式3】(24-25高一上•江苏南通・期末)已如集合/=卜卜2_4>0},5={x|(xi2)(xk)<o].

(1)若左=1,求力U8；

(2)若“xe(；4〃是“xcZT的充分条件，求实数4的取值范围.

包题型二一元二次不等式的解求参数问题

【典例1】(24-25高一上•辽宁大连•期末)关于x的一元二次方程加+云+。=0(abc<0)的解集为{-2,3},

贝I不等式5、+人工+4W0的解集为()

B.[-23]

D.(7),-2]U[3,+g)

【典例2](23-24高一上•山东临沂•期末)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为

{x|xM-2或xNl},则()

A./)>0Hc<0B.4a+2b+c=0

D.不等式cr?一版+a<0的解集为卜|一1<x<g

C.不等式法+c>0的解集为卜|%>2}

4/15

【变式1】（24-25高一上•山西吕梁•期末汨知关于x的一元二次不等式—2/+皿—心0的解集为

（W2,则色的值为）

n

35

A.-c.2D.

5B-i2

【变式2］（多选）已知关于x的不等式ox?-限+c>0的解集为{x|-3<x<4},则（）

A.b>0B.c>0

C.a+c>0D.c=-12b

【变式3】（24-25高一上•江苏盐城•期末）（多选）已知关于x的不等式尔+bx+c>0的解集为（T3）,则

）

A.a<0B.a+b+c<0

C.不等式bx>”c的解集为（l,+oo）D.不等式以2_加+〃《0的解集为一

等题型三解分式不等式

*0的解集为（）

【典例1］（24-25高一上•安徽宿州•期末）不等式

11

A.「别B.一利

1

C.D.-O0,——产）

251

【典例2】（24-25高一上•安徽合肥•期末）已知关于x的不等式"?+云-2>0的解集为卜|1<》<2},则不

等式三q<0的解集是（）

X-D

,1B.]x-<x<l

A.<x-I<x<—­

22

C.{x|-3<x<l}D.{x|-l<x<3}

5/15

【变式I】⑵-25高一上•北京延庆•期末)不等式合5的解集为()

A.(—<30,—3]B.[—3,2]C.0,2)D.[—3,2)

【变式2】(24-25高一上•江苏无锡•期末)以下命题中是不等式“x+』>2〃成立的充分不必要条件的是

x

()

A.x>1B.x>0C.x>0且xwlD.xHl

3题型四解根式、高次、绝对值不等式

【典例1】已知集合4={疝<五<2},8={0,1,2},则4n8=()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2)

【典例2】不等式工(3丁+/—8x+4)(x+2)<0的解集为()

A.(y,—2)5一2,0)唱,1)B.卬)“■!»(1，1)

C.(-2,0)u0,1u(l,+e)D.(-«?,0)u0,-|u仔』

【典例3】关于x的不等式^-I、,八3)、4。的解集为

(x-2)(4-x)(x-6)

【变式1]已知全集U为实数集R,若集合力={刈W<1},则Q"=()

A.[2,+cc)B.(2,+<»)

C.(-8,l)U[2,+8)D.(TO,1]U[2,+8)

【变式2】已知集合N={x||x+1|42},8={x|4<2},则/Cl八()

A.{x|-3<x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|-3<x<1}D.{x|-l<x<0}

6/15

【变式3】不等式犬『的解集为——(用区间的形式表示).

【变式4】不等式(x+7)6(x+3)'(x-1)1.5『任+5、+7"0的解集为()

A."|.丫4-3且％21}B.{N|》<一3且工>1}

C.{x|x«-3或xNl}D.{x|x<-3或x>l}

官题型五解含参的一元二次不等式

【典例1](23-24高一上•贵州黔南•期末)已知函数/(月=/-(4+1)》+“4€2.

⑴当。=2时,求函数/(x)在[-1,3]上的值域；

⑵求关于其的不等式/(力<0的解集.

【典例2】(23-24高一上•北京•期末)求解下列关于x的不等式，并写出不等式的解集

⑴汉白0

x+2

(2).V(X-1)(3X-2)(X+2)2<0

(3)ux~+(</—2)x-2>0

【变式1】(24-25高一上•湖南邵阳•期末)已知集合4=卜=之0卜

5={、/+3-1)2>2仆2+1)<0}.若4n於。,则实数。的取值范围是()

A.|-oo,-^-IB.(-oo,-1]C.{l}U(-8,-!D.(一8,一!

【变式2】(24-25高一上・甘肃临夏•期末)已知函数/(X)=F-G+人

14

⑴若/(-1)=3,且〃>0,b>0,求上+；的最小值；

ab

(2)若力=2a,解关于x的不等式/(x)-2xK0.

7/15

【变式3]（24-25高一上•山东淄博•期末）已知函数/（x）=ax2-2x+3,4eR.

⑴关于x的不等式/（x）〈。的解集为（，"，〃），求4〃?+〃的最小值；

⑵解关于x的不等式/（'）+（。+1卜>4.

Z题型六一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题

【典例1]（24-25高一上•浙江绍兴•期末）若关于x的不等式（用-1）疝。-加sinx+〃Ll>0在0片上恒

成立，则〃?的取值范围是（）

A.（L+8）B.（2,4-09）C.（2,4]D.[3,4]

【典例2]（24-25高一上•江苏南通・期末）已如命题“VXG[1,2],使得小+24+“<0〃为假命题，则实数。

的范围为.

【典例3】（24-25高一上•云南昆明・期末）若关于x的不等式x2-4x+l-ox>0在区间口,4]内有解,则实数

。的取值范围是.

【变式1】（24-25高一上•广东广州•期末）若对Vxw[l,2],x2_2a.3a<0（“€R）恒成立，则。的取值范围是

（）

A.卜叫B.（”）C.卜也）D.忤+,

【变式2】（24-25高一上•江苏苏州•期末）若命题“心£艮/7+〃此0"是假命题，则实数，〃的取值范围是

（）

A.卜8,；]B.卜8,；）C.（*"D.[&s）

【变式3】（24-25高一上•河南关I洲•期末）设xcR,不等式加+2a”3<0恒成立的一个充分条件可以是

（）

A.-3<a<0B.-3<a<0

8/15

C.-3<<1D.-3<a<\

国题型七一元二次方程根的分布问题

【典例1](24-25高一上•上海徐汇・期末)下列说法正确的是()

A.方程F+*+]=()的两个实数根%,x2满足再+勺=-1

B.关于x的一元二次方程/+次+1=0一定有两个不相等的实数根

C.已知方程(x+3)2+x+l=0的两个实数根X|，W，则中工2=1

D.若关于X的一元二次方程——x—l=0的两个实数根玉＜4,则王＜1＜/

【典例2]若关于X的一元二次方程--2亦+4=0有两个实根，且一个实根小于1,另一个实根大于2,则

实数。的取值范围是()

A.(-℃,-2)B.(2,+oo)

C.彳,+8D.(-a?,-2)v(2,-a?)

【变式1】(24-25高一上•上海嘉定•期末)已知关于x的方程ad+2x+i=0至少有一个实根，则实数。的

取值范围是.

【变式2](23-24高一上•河南南阳•期末)一元二次方程2)=0有一个正实根和一个负实根的

充分不必要条件是()

A.aw(-2,1)B.er€(-2,0)C.cre(-l,0)D.

【变式3】(23-24高一上・重庆・期末)关于x的一元二次方程/+(1-1卜+”2=0有一个根小于—1,另

一个根大于1，则。的取值范围是.

"题型八实际应用

【典例I】(24-25高一上•云南昭通・期末)已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查,

9/15

该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后

的售价为x元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则x的最大值是（）

A.20B.25C.27D.28

【典例2】（24-25高一上•四川宜宾•期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98

万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后

（-veN,）,其x年来所需维修保养费用的总和为（2/+10”万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利

总领=总收入一总支出）.

⑴写出p与X之间的函数关系式；

（2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）：

⑶使用若干年后，对设备的处理方案有两种：

①当年平均盈利额达到最大值时，以30万兀价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额+使用年数）：

②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.

试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.

【变式1】（24-25高一上•上海徐汇・期末）目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在

全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设

备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前X（X为正整数）年维修、保养费用总和为2r+10x万

元，设使用x年后该设备的盈利额为V万元.

⑴写出，与x之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；

⑵使用若干年后，对设备的处理方案有两种：

①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；

②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.

请你研究一下哪种方第处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为上）

x

【变式2】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

⑴据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品

每件定价最多为多少元？

⑵为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售黄略调整，并

10/15

提高定价到X元.公司拟投入!(/一600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入X万元作

6

为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量。至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低

于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

■过•分层验收.

期末基础通关练(测试时间：20分钟)

一、单选题

1.(24-25高一上•陕西•期末)若关于x的不等式--反+c>0的解集为卜|-1。<2},则加一以+小。

的解集为()

A.(-1,2)B.(-oo,-l)U(2,+oo)

C.(-2,1)D.(e,-2)U(l,+叫

2.(24-25高一上•浙江杭州•期末)已知集合力={x]—3。47}.B={x\x2-5x-6>0},则4n8=()

A.(-1,6)B.(—3,7)36,7)C.[-3,-l)u(6,7]D.[-3,7]

3.(24-25高一上•山东济南•期末)若*wR,〃Ld+2(〃L3)x+4W0,则实数机的取值范围为()

A.(1,9)B.(-co,0)C.(-CO,1)U(9,-KO)D.(-oo,l]u[9,+x)

4.(24-25高一上•上海・期末)若是"/+3x-4<0”的必要不充分条件，则实数。的取值范围是

()

A.[1.+0O)R.(l.+oo)C.(-coj]D.(-co.l)

5.(24-25高一上•江西吉安•期末)设QGR,则是"WxwR,不等式a/+4仆-12<0恒成立"的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

6.(24-25高一上•重庆•期末)若不等式(。一2八2一2(。-2)工一4<0对一切工61^恒成立，则实数。的取值范

11/15

围为()

A.(-8,-2)D(2,+8)B.(-<»,-2)<J[2,+8)

C.(-2,2)D.(-2,2]

二、填空题

7.（24-25高一上•河南渊可•期末）已知x〉0,不等式/+3+1＞（）恒成立，则实数机的取值范围是.

8.（24-25高一上•广东深圳•期末）当关于x的不等式2A^+依-对一切实数x都成立时，〃的取值范

O

围是.

三、解答题

9.(24-25高一上•上海•期末)已知awR,集合“=<x«0•,8=卜产+(2-4)x-2a<0}.

⑴求集合4

⑵若4U8=4,求实数”的取值范围.

10.（24-25高一上•江苏南通・期末）已知函数/（x）=ad—2x-3.

（1）若〃x）＜0的解集为㈠⑼，求。，。的值：

⑵若方程/（”=-4在停,2上有解，求实数。的取值范围.

期末重难突破练（测试时间：50分钟）

一、单选题

1.（24-25高一上•江苏宿迁•期末）设a,b,c为实数，不等式a?+bx+c＞0的解集是{小＜।或x＞3},

则6-1的最大值为（）

c

A_8R8r473n473

3333

2.（24-25高一上•天津•期末）关于x的不等式2/+（1-2〃）》-。＜：（）的解集中整数有且只有3个，则正数。

12/15

的取值范围为（）

A.(2,3]B.[2,3)C.(2,3)D.[2,3]

3.（24-25高一上•云南曲靖•期末）是"关于x的不等式丁一（〃+/）〃+而<0有解"的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（24-25高一上•云南楚雄•期末）已知二次不等式f—反+2/）-3<0的解集为（占,占），-+^-<2,则人

再八二

的取值范围是（）

A.B.U(6,+co)

C._8,彳o(2,+0O)D.(2,6)

二、多选题

5.（24-25高一上•河南南阳•期末）已知关于x的不等式♦+加+。2。的解集为{小2W3},则（）

A.abc<0

rr

B.不等式c/-/zx+a<0的解集为‘》一；<x<；,

C.函数/（x）=x"在定义域内单调递增

D.§的最小值为3

36+12

6.（24-25高一上•广东广州•期末）如图，二次函数丁=。/+以+。的对称轴为x=[,且与x轴交于点

^（-1,0）,则（）

B.Vw€R,6/+/;>am2+btn

C.av+c>0的解集为{Tx<3}

13/15

D.“2+版+。<0的解集为<

7.(24-25高一上•云南曲靖•期末)己知函数/(力=/_2如+不-4.若不等式/(/(x))<0的解集为空集,

则整数。可以为()

A.-6B.2C.-8D.4

三、解答题

8.(24-25高一上・广东梅州•期末)已知函数/(x)=/+丘+6.

⑴若关于戈的不等式/(x)40的解集为［2,可，求实数上。的值；

(2)对于参数左eR,解关于x的不等式/(工)>。.

9.(24-25高一上•江西抚州•期末)已知二次函数y=a/+2x+c.

(1)若y>0的解集为卜卜2<x<4},解关于X的不等式x2-4av-4c>0:

(2)若且ac=4,求"的最小值;