2026中考第一轮复习数学第25课时：平移与旋转（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第25课时平移与旋转一、核心知识一、核心知识（一）平移的相关概念与性质1.平移的定义在平面内，将一个图形沿着______某个固定方向______移动一定的______距离______，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的______形状______和______大小______，只改变图形的______位置______。2.平移的核心性质对应线段______平行（或在同一直线上）且相等______；对应角______相等______；对应点所连的线段______平行（或在同一直线上）且相等______；平移前后的图形______全等______（周长、面积、对应边、对应角均保持不变）。3.平移的作图步骤确定已知图形的______关键点______（如顶点、端点等）；根据平移方向和距离，作出每个关键点的______对应点______（作关键点的平行线段，使线段长度等于平移距离）；顺次连接各对应点，得到平移后的图形。4.平移的相关计算平移距离：对应点之间的线段长度即为平移距离；图形平移后的坐标变化（平面直角坐标系中）：水平平移：点(x,y)向右平移a个单位得(x+a,y)，向左平移a个单位得(x−a,y)；垂直平移：点(x,y)向上平移b个单位得(x,y+b)，向下平移b个单位得(x,y−b)；斜向平移：可分解为水平平移和垂直平移的组合（如向右平移a个单位且向上平移b个单位，坐标变为(x+a,y+b)）。（二）旋转的相关概念与性质1.旋转的定义在平面内，将一个图形绕着某个固定点（旋转中心）按______某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的______角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。旋转不改变图形的______形状______和___大小___，只改变图形的______位置______。2.旋转的核心要素旋转中心：图形旋转时围绕的固定点；旋转方向：顺时针或逆时针；旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，旋转角都______相等______。3.旋转的核心性质对应线段______相等______；对应角______相等______；对应点到旋转中心的距离______相等______；旋转前后的图形______全等______；旋转中心是对应点所连线段的______垂直平分线的交点______。4.旋转的作图步骤确定已知图形的______关键点______、旋转中心、旋转方向和旋转角；连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角作出对应线段（使对应线段长度等于原线段，旋转角等于已知角度），得到各关键点的______对应点______；顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。5.旋转的相关计算旋转角计算：通过对应点与旋转中心的连线夹角求解，或利用全等三角形、等腰三角形性质推导；图形旋转后的坐标变化（平面直角坐标系中，绕原点旋转常见角度）：点(x,y)绕原点顺时针旋转90∘得(y,−x)；点(x,y)绕原点逆时针旋转90∘得(−y,x)；点(x,y)绕原点旋转180∘得(−x,−y)。（三）平移与旋转的区别与联系项目平移旋转运动方式沿固定方向移动固定距离绕固定点旋转固定角度核心要素平移方向、平移距离旋转中心、旋转方向、旋转角对应点连线平行（或共线）且相等相等且夹角等于旋转角图形对称性平移前后的图形是______轴对称______图形（沿平移方向的垂直平分线对称）旋转前后旋转180∘时的图形是______中心对称______图形联系都是______全等变换______（不改变图形的形状和大小）；复杂图形的运动可由平移和旋转组合而成（四）平移与旋转的应用（图案设计、几何证明与计算）1.图案设计核心思路：以基本图形为基础，通过平移、旋转的组合，设计出对称、美观的图案；关键步骤：确定基本图形，选择平移方向/距离或旋转中心/方向/角度，重复操作形成图案。2.几何证明与计算平移的应用：通过平移将分散的线段、角集中到一个图形中，方便利用全等三角形、勾股定理等知识求解；旋转的应用：通过旋转构造全等三角形，转化线段长度或角度关系，解决线段相等、角度计算、最值问题等（常见旋转模型：等腰三角形旋转、正方形旋转、等边三角形旋转）。二、核心能力二、核心能力题型1平移的性质与坐标变化解题思路识别平移特征：根据“对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等”判断图形是否为平移变换；坐标计算：平面直角坐标系中，根据平移方向和距离，直接套用坐标变化规律（水平平移变横坐标，垂直平移变纵坐标）；验证结果：通过对应点距离是否等于平移距离、对应线段是否平行且相等验证答案正确性。题型2旋转的性质与坐标变化解题思路明确旋转要素：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，再分析对应点、对应线段、对应角的关系；坐标计算：绕原点旋转时，直接套用常见角度的坐标变化规律；绕非原点旋转时，先平移至原点，旋转后再平移回原位置；角度与线段计算：利用“对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等”，结合等腰三角形、全等三角形性质求解。题型3平移与旋转的作图解题思路平移作图：标记关键点，按平移方向和距离作出对应点（可借助直尺、三角板画平行线）；顺次连接对应点，标注平移方向和距离。旋转作图：连接关键点与旋转中心，按旋转方向用量角器量出旋转角，作出对应线段；确保对应线段长度相等，顺次连接对应点，标注旋转中心、旋转方向和旋转角。题型4平移与旋转的综合应用（几何证明与计算）解题思路图形转化：通过平移或旋转将不规则图形转化为规则图形（如矩形、三角形），或把分散的条件集中到一个图形中；构造全等：旋转问题中，常构造旋转型全等三角形（如将等腰三角形的腰旋转至另一腰的位置），利用全等性质转化线段和角度；结合其他知识：与勾股定理、等腰三角形性质、平行线性质等结合，求解线段长度、角度或证明线段/角相等；最值问题：利用平移或旋转将动点转化为定点，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”求解最值。题型5平移与旋转的图案设计解题思路确定基本图形：选择简单、对称的图形作为基本图形（如三角形、正方形、线段）；选择变换方式：根据图案需求，确定是单一平移/旋转，还是组合变换（先平移再旋转、先旋转再平移）；规范作图：按平移/旋转的作图步骤操作，确保图形变换准确，图案对称、美观；标注说明：标注基本图形、变换方式（平移方向/距离、旋转中心/方向/角度）。三、易错警示三、易错警示平移性质应用误区错误：认为“平移后的图形与原图形一定关于某条直线对称”（忽略平移方向与对称轴的关系）；平面直角坐标系中，混淆水平与垂直平移的坐标变化（如将向右平移误记为纵坐标变化）；计算平移距离时，误将对应线段的长度当作平移距离（平移距离是对应点之间的线段长度，非对应线段）。提醒：平移后的图形不一定是轴对称图形，仅当平移方向与图形的对称轴垂直时才对称；牢记“水平平移变横、垂直平移变纵”的坐标变化规律；平移距离是对应点连线的长度，与对应线段长度相等，但需注意对应点的正确匹配。旋转要素判断错误错误：旋转角判断错误（误将对应线段的夹角当作旋转角，正确旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）；忽略旋转方向（顺时针与逆时针旋转后的图形位置不同）；绕非原点旋转时，直接套用绕原点旋转的坐标规律。提醒：判断旋转角时，务必连接对应点与旋转中心，夹角即为旋转角；作图时明确标注旋转方向；绕非原点旋转时，需通过“平移—旋转—平移”的步骤转化，再进行坐标计算。作图规范问题错误：平移作图时，未作出平行线段导致对应点位置偏差；旋转作图时，对应线段长度不相等、旋转角不准确；作图后未标注关键信息（平移方向/距离、旋转中心/方向/角度）。提醒：平移作图需借助直尺和三角板保证对应线段平行；旋转作图时，用圆规确保对应线段长度相等，用量角器准确量出旋转角；作图完成后，必须标注变换的关键信息，确保作图规范。综合应用时思路僵化错误：遇到平移或旋转相关的综合题时，无法想到通过变换转化图形，导致条件分散难以求解；旋转问题中，未发现旋转型全等三角形，无法转化线段和角度。提醒：牢记“平移可集中线段，旋转可构造全等”的核心思路，遇到分散的线段或角时，优先考虑通过平移或旋转转化；熟悉常见的旋转模型（如等腰直角三角形绕直角顶点旋转、等边三角形绕顶点旋转），快速找到解题突破口。坐标变化规律混淆错误：绕原点旋转时，混淆顺时针与逆时针旋转90∘的坐标变化（如将(x,y)顺时针旋转90∘误记为(−y,x)）；旋转180∘时，误将坐标变为(x,−y)或(−x,y)。提醒：牢记绕原点旋转的坐标规律：“顺90变(y,−x)，逆90变(−y,x)，180变(−x,−y)”，可通过画图验证或举例记忆（如点(1,0)顺时针旋转90∘后为(0,−1)，符合规律）。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·四川模拟）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查了平移作图，

根据平移的定义“平移是指将一个图形或物体按照一定的方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的变换”解答即可．【解答】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；

B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；

C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；

D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到．

故选：A．2.（24-25·江苏模拟）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（

）

A.①③ B.①② C.②③ D.①②③【答案】A【解析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键．

根据图形变换，数形结合分析即可判定．【解答】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴l1折叠，再沿着对称轴l2折叠可以与另一条“鱼”重合，

∴经过①③的变换即可，

故选：A．

3.（22-23·广东模拟）已知点A坐标为A(5,4)，将点A向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到A'，则A'点的坐标为（

A.(2,0) B.(9,1) C.(1,1) D.【答案】C【解析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．【解答】解：点A坐标为A(5,4)，将点A向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到A'，则A'点的坐标为(5—4, 4—3)，

即(1,1)，

故选：C．4.（23-24·河北中考）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（

）A.平行四边形 B.等腰梯形 C.正六边形 D.圆【答案】A【解析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【解答】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，

∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，

∴平行四边形ABCD是平移重合图形．

故选：A．5.（24-25·吉林模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（

）

A.22.5∘ B.30∘ C.45【答案】C【解析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为360∘8=45∘【解答】解：由题意得，正八边形的中心角为360∘8=45∘，

∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为45∘，

故选：C6.（24-25·四川中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE=A.3 B.2 C.1 D.1【答案】B【解析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．

根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合CD=1，得AB=2CD=2，由△ABC平移得到△EGF，根据平移对应线段相等，可知GE=AB，进而得GE=2．【解答】在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB中点，

∴CD=12AB，

∵CD=1，

∴AB=2CD=2，

∵△ABC沿CB方向向右平移至△EGF7.（23-24·广东中考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（

）

A.35×20-35x-20x+2x2=600【答案】C【解析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．【解答】解：如图，设小道的宽为xm，

则种植部分的长为(35-2x)m，宽为(20-x)m,

由题意得：(35-2x)(20-x)=600．

故选C8.（24-25·吉林模拟）如图为建造楼梯的设计图，虚线AC为楼梯的倾斜线，AC与地面的夹角∠ACB=θ．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点C铺到点A），已知CB=d米，则所铺地毯的总长度为（

）

A.d+dtanθ米 B.dsinθ米 C.d+dsinθ【答案】A【解析】本题考查了解直角三角形的应用和平移的性质，根据正切求出AB的长，再通过平移性质即可求出地毯的长度，掌握知识点的应用是解题的关键．【解答】解：∵tan∠ACB=ABBC=ABd，

∴AB=dtanθ，

∴所铺地毯的总长度为AB+BC=d+dtan9.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若点A，C的坐标分别为(-2,4),(-1,1)，平移后点A1，C1A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据对应点坐标可判断出平移方式，再根据平移方式求出m、n的值即可得到答案．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若点A，C的坐标分别为(-2,4),(-1,1)，平移后点A1，C1的坐标分别为(m,5)，(2,n)，

∴平移方式为向右平移2-(-1)=3个单位长度，向上平移10.（23-24·甘肃模拟）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移6cm到ΔDEF的位置，若AB=12cm，DH=5cm，则阴影面积等于（

）

A.90cm2 B.57cm2【答案】B【解析】根据题意知阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE=6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵两个三角形大小一样，

∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，

由平移的性质得，DE=AB,BE=6，

∵AB=12,DH=5，

∴HE=DE-DH=12-5=7，

∴阴影部分的面积=12×(7+12)×11.（24-25·西藏模拟）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（

）

A.把△ABC向右平移6B.把△ABC向右平移4格，再向上平移1C.把△ABC绕着点A顺时针旋转90∘，再向右平移D.把△ABC绕着点A逆时针旋转90∘，再向右平移【答案】D【解析】此题暂无解析【解答】试题分析：观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90∘旋转，然后再向右平移即可得到．

根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90∘旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合．

12.（24-25·贵州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45∘．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（A.2α B.90∘-2【答案】A【解析】利用三角形逆时针旋转90∘后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【解答】将△ADF绕点A逆时针旋转90∘至△ABH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90∘，

由旋转性质可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90∘，AF=AH，

∴∠ABH+∠ABC=180∘，

∴点H,B,C三点共线，

∵∠BAE=α，∠EAF=45∘，∠BAD=∠HAF=90∘，

∴∠DAF=∠BAH=45∘-α，∠EAF=∠EAH=13.（23-24·四川中考）如图，在△ABC中,AB=32,AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC=BD,点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（A.2+32 B.6+22 C.5【答案】D【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，把△ABC绕B顺时针旋转90∘得到△HBD,

∴AB=BH=32,AC=DH=2,∠ABH=90∘,

∴AH=AB2

14.（24-25·安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90∘得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（A.EC-ED的最大值是25 B.FB的最小值是10

C.EC+ED的最小值是42【答案】A【解析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90∘得到线段DF，

∴DE=DF，∠EDF=90∘．

又∵∠A=∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，AD=1，

过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH=AD=1,延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形，

∴∠GDA=∠ADE+∠EDG=90∘=∠EDG+∠HDF．

∴∠ADE=∠HDF，

∴△DHF≅△DAE(SAS)，

∴∠DHF=∠DAE=90∘,

∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，

∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，

∴HI=AD=BG=1，AI=DH=1，BI=4-1=3，

∵∠A=∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，AD=1，

∴DE=12+(4-BE)2,CE=32+BE2,

∴EC-ED=32+BE2-12+(4-BE)2，

∴BE最大时，EC-ED最大，

当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小,此时EC=42+32=5，ED=1,EC-ED=5-1=4≠25，故A错误，符合题意；BF=HI2+BI2=12+32=10,故B正确，不符合题意；

作点D关于AB的对称点M，连接MC,则ED=EM15.（23-24·四川中考）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB=10．下列三个结论：①若tan∠ADF=34，则EF=2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90∘得到△ADG'A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】根据tan∠ADF=AFDF=34，设AF=3x，得到DF=4x，进而得到AD=5x=AB=10，求出x的值，判定①，根据Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，求出AG=32BG，进而得到FG=AG-BG=13AG【解答】解：在Rt△ADF中，tan∠ADF=AFDF=34，

∴设AF=3x，则：DF=4x，

∴AD=5x=AB=10，

∴x=2，

∴AF=6,DF=8，

∵△DFA≅△AGB≅△BHC≅△CED，

∴DE=AF=6，

∴EF=DF-DE=2；故①正确；

若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则：12AG⋅BG=3FG2=3(AG-BG)2，

∴AG⋅BG=6(AG-BG)2，即：6AG2-13AG⋅BG+6BG2=0，

∴AG=32BG或AG=23BG（舍去），

∴FG=AG-（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（22-23·广东模拟）如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移_______2_____个单位，再向右平移_______2_____个单位得到．

【答案】2,2【解析】根据平移的规律求解即可．【解答】解：由由题意得线段AB先向下平移2个单位，再向右平移2个单位得到线段CD，

故答案为：2，217.（24-25·四川模拟）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120∘，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'=【答案】439【解析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出△A'EF∽△A'B【解答】解：∵等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120∘，

∴∠ABC=30∘，

∵AD为中线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴AD=12AB=1，BD=3AD=3，

∴BC=23，

∵将△ABC沿其底边中线AD向下平移，

∴B'C'∥BC,B'C'=BC=23，A18.（22-23·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A6,3,B6,0,O0,0．若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是

【答案】(3,3)【解析】根据平移的性质即可得出答案．【解答】将向左平移3个单位长度得到，，

.

故答案为3,3．19.（23-24·江苏中考）直线l1:y=x-1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15∘，得到直线l2，则直线l2【答案】y=3x【解析】根据题意可求得l1与坐标轴的交点A和点B，可得∠OAB=∠OBA=45∘，结合旋转得到∠OAC=60∘，则∠【解答】解：依题意画出旋转前的函数图象l1和旋转后的函数图象l2，如图所示,

设l1与y轴的交点为点B，令x=0，得y=-1；令y=0，即x=1，

∴A1,0，B0,-1，

∴OA=1，OB=1，即∠OAB=∠OBA=45∘

∵直线l1绕点A逆时针旋转15∘，得到直线l2，

∴∠OAC=60∘，∠OCA=30∘，

∴OC=OC×tan20.（24-25·四川中考）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为____24________．

【答案】24【解析】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键．

根据平移的性质可得DF=AC、AD=CF=2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，

∴DF=AC，AD=CF=2，

∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD

=△ABC的周长+AD+CF

=20+2+2

=24．

故答案为：24．21.（24-25·北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(4,1)．将线段AB沿某一方向平移后得到A'B'，若点A的对应点A'的坐标为(-1,0)．则点B的对应点B'的坐标为_______【答案】(2,-2)【解析】本题主要考查了平移的性质，由A(1,3)平移到A'(-1,0)可确定平移方式，进而根据平移方式即可确定点【解答】解：由A(1,3)平移到A'(-1,0)可知：

A点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，

∴4-2=2，1-3=-2

∴则点B(4,1)的对应点B22.（22-23·河南模拟）两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC=2，则AD＝___-【答案】-2+62【解析】作直线AE，则AE⊥BC；设E点为坐标原点，则A(0, 1)，B(-1, 0)，则直线AB为：y=x+1，设D点(a, a+1)，利用D、【解答】解：如图，作直线AE，

△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，∴AE⊥BC，

∵BC=2，∴BE=1，AE=1，AB=BE2+AE2=2，

∵△ABC≅△DEF，∴DE=AB=2，

设E点为坐标原点，则A(0, 1)，B(-1, 0)，

设AB所在的直线为：y=kx+b，代入A，B坐标可得直线为：y=x+1，

D点在直线AB上，设D点(a, a+1)，由两点距离公式可得：

DE=a2+(a+1)2=2，

2a2+2a-1=0，解得：23.（22-23·内蒙古中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,AC=3,BC=1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90∘，得到△AB'C'．连接BB'【答案】5【解析】过点D作DF⊥AB于点F，利用勾股定理求得AB=10，根据旋转的性质可证△ABB'、△DFB是等腰直角三角形，可得DF=BF，再由S△ADB=12×BC×AD=12×【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，∵∠ACB=90∘，AC=3，BC=1，

∴AB=32+12=10，

∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转90∘得到△AB'C'，

∴AB=AB'=10，∠BAB'=90∘，

∴△ABB'是等腰直角三角形，

∴∠ABB'=45∘，

又∵DF⊥AB，

∴∠FDB=45∘，

∴△DFB是等腰直角三角形，

24.（22-23·辽宁中考）如图，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，连接AM，将△ADM绕点A顺时针旋转90∘得到△ABN，在AM, AN上分别截取AE, AF，使AE=AF=BC，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG并延长交BC于点H．若AM=253，CH=2，则AG的长为【答案】【解析】根据题干条件可得，所以≅，得到，又证明得≅，，所以≅，,设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据∽，即可求出答案．【解答】由题意可得，≅，，.，,△BAD是等腰直角三角形，∴EF=BD.连接DE，BF, ∵△ABF≅△ADE，∴BF=DE，连接BE，∵EF=BD，BE=EB，∴△BEF≅△EBD，∴∠GEB=∠GBE，∴BG=EG.又∵AB=AE，AG=AG，∴△ABG≅△AEG，∠BAG=∠EAG.连接EH, HM，∵AH=AH，AB=AE，∴△ABH≅△AEH，∠ABH=∠AEH=90∘.设AB=BC=CD=AD=a，∵AM=253，CH=2，∴DM=AM2-25.（22-23·四川中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转90∘到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD【答案】213+4【解析】先整理得AC×CD=48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE=8，则CECA=CDCB，结合∠BCE=∠ACD=90∘,整理得∠ACB=∠ECD，证明△【解答】解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90∘到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，

∴∠ACD=90∘,

∵△ACD面积为24，

∴AC×CD×12=24

∴AC×CD=48，

过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE=8，

∵BC=6

∴BC×CE=6×8=48

即AC×CD=BC×CE

∴CECA=CDCB，

连接DE，

∵CE⊥BC，

∴∠BCE=∠ACD=90∘,

∵∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE，

∴∠ACB=∠ECD，

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·河南模拟）如图，菱形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，AC与BD相交于点E．若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点E，一次函数的图象经过(0,8)和CE的中点F．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）①将菱形ABCD向下平移___1.6______个单位长度，可使反比例函数的图象经过点C；

②将菱形ABCD向右平移____4_____个单位长度，可使一次函数的图象经过点B．【答案】反比例函数的解析式为y=12x(x>0)；一次函数的解析式为①85（或1.6）；②【解析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据平移规律结合函数解析式进行解答即可．【解答】（1）解：由题意可知，点E的坐标为(3,4)，

把(3,4)代入y=kx(x>0)得到4=k3，解得，k=12，

∴y=12x(x>0)，

由题意可知，CE的中点F的坐标为(4,4)，

设一次函数的解析式是y=kx+b，把(0,8)和(4,4)代入得到，

4k+b=4b=8（2）①∵点C的坐标为(5,4)，

∴x=5时，y=125，

∴4-125=85，

即将菱形ABCD向下平移85个单位长度，可使反比例函数的图象经过点C；

故答案为：85

②∵B的坐标为(3,1)，

∴当y=1时，1=-x+8，解得x=7，

∴27.（24-25·福建中考）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．

（1）求∠DCE（2）求证：△CEG【答案】60∘见解答【解析】（1）等边三角形的性质推出∠DCB=30∘，垂直，得到∠BCE=90（2）平移得到CD // EF，进而得到∠EAC=∠DCA=30∘，角的和差关系推出∠EAC=∠ECA，进而得到AE=CE,∠【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60∘．

∵D是AB的中点，

∴∠DCB=∠DCA=12∠ACB=（2）由平移可知：CD // EF，

∴∠EAC=∠DCA=30∘，

又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30∘，

∴∠EAC=∠ECA，

∴AE=CE,∠AEC=120∘，

又∵AB=CB，

∴28.（24-25·湖南月考）函数y=kx+a的图象可以由函数y=（1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x+a的图象，则a=（2）下列关于函数y=1x+a的性质：①图象关于点-a,0对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y=-x+a对称；④y的取值范围为y（3）根据(1)中a的值，写出不等式1x+a>1x的解集:

【答案】;①④;或.【解析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解；（2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将向左平移个单位，得出，即可判断③；（3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．【解答】（1）∵函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，∴.

故答案为．（2）∵可以看作是由向左平移个单位得到的，∵函数图象的对称中心为，将其对称中心向左平移个单位，

则对称中心为-a,0，故①正确;

②类比反比例函数图象，可得x≠-a，故函数图象不是连续的，

在直线x=-a两侧，y随x的增大而减小，故②错误；

③∵y=1x关于直线y=-x对称，

同①可得，y=-x向左平移a个单位得到y=-x+a=-x-a，

∴图象关于直线y=-x-a对称，故③错误；

（3）∵a=-4，∴不等式1x-4>1x,

如图所示，在第三象限内和第一象限内，1x-4>1x，

∴29.（22-23·湖南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC>BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90∘得到DA'，线段DA'交AB于点E，作A'F（1）求证：△ADE（2）求证：AF⋅（3）若AC=8，tanA=12，当A'G平分四边形【答案】见解答;见解答;.【解析】（1）根据旋转的性质可得，再根据，可得，即可；（2）根据，可得点B，C，G，F四点共圆，从而得到，，从而得到，进而得到，可证明，即可；（3）连接，根据，，可得，，，设，则可得，，CG=8-3x，EF=55x,A'F=255x，FG=355x，BF=45-6【解答】（1）证明：∵线段DA绕点D按顺时针方向旋转90∘得到DA'，∴DA=DA',∠ADA'=∠GDA'=90∘，

∴∠A+∠AED=90∘，

∵A'（2）证明：∵∠BFG=∠ACB=90∘，∴点B，C，G，F四点共圆，

∴∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180∘，

∵∠AGF+∠CGF=180∘，

∴∠AGF=∠（3）解：如图，连接EG，

∵△ADE≅△A'DG，

∴DE=DG，AE=A'G，

∵AC=8，tanA=12，

∴tanA=BCAC=DEAD=12,tanA'=EFA'F=12，

∴BC=4,A'D=AD=2DE，A'F=2EF，

∴AB=45，

设DE=DG=x，则

30.（23-24·广西模拟）综合与实践

主题任务：“我的校园我做主”草坪设计

任务背景：学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九(2)班参加校园美化设计任务：校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，

具体要求：(1)矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；(2)两条小路必须设计成平行四边形；

驱动任务一：九(2)班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：

（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系S甲与S乙相等，S甲与S丙纵向小路面积横向小路面积纵横交叉面积小路总面积甲方案31x40x乙方案31x40x丙方案31x40x（2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积：____71x-x2平方米__________（3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？

驱动任务四：为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角∠BGF=∠AEF=θ．若x=1时，请用含θ的三角函数表示两条路重叠部分四边形FHPQ的面积，并直接写出sin【答案】相等，不相等71x-1米【解析】（1）应用平移的性质即可求得答案；（2）根据小路总面积=横向小路面积+纵向小路面积-重叠部分的面积，即可得出答案；（3）表达出草地面积，建立方程求解即可；【解答】（1）解：如图1，

∵S甲=40×31-(40-x)(31-x)=71x-x2（2）S甲=40x+31x-x2（3）由题意得：(40-x)(31-x)=1170，

解得：x1=1，x2=7031.（23-24·广西中考）如图1，△ABC中，∠B=90∘，AB=6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB（1）求证：△ABC（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α(0∘<a<360∘)．连接A'【答案】见解答①83，α=180∘【解析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出OA=OC，利用等边对等角得出∠A=∠ACO，结合角平分线定义可得出∠（2）先求出∠A=∠ACO=∠OCB=30∘，然后利用含30∘的直角三角形性质求出BO=2，AO=4，MO=2，利用勾股定理求出AM=23，AC=43，取A'C'中点M'，连接OM'，MM'，作MN⊥A'C'于N，由旋转的性质知△AOC≅△A'OC'，OM'为OM旋转α所得线段，则OM'⊥A'C'，A'C【解答】（1）解：证明：∵MO垂直平分AC，

∴OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∵CO平分∠ACB

∴∠ACO=∠OCB，

∴∠解：①∵∠B=90∘，

∴∠A+∠ACO+∠OCB=90∘，

∴∠A=∠ACO=∠OCB=30∘，

∴BO=12CO=12AO，

又AB=AO+BO=6，

∴BO=2，AO=4，

∵MO垂直平分AC，

∴OM=12AO=2，AC=2AM，

∴AM=AO2-MO2=23，

∴AC=43，

取A'C'中点M'，连接OM'，MM'，作MN⊥A'C'于N，

由旋转的性质知△AOC≅△A'OC'，OM'为OM旋转α所得线段，

∴OM∵△AOC≅△A'OA

∴∠A'=∠CAO=30∘，∠OAA'=∠OCA=30∘，

∴∠A'OA=120∘，

∵∠AMO=90∘，

∴∠AOM=60∘，

∴∠A'OA+∠AOM=180∘，

∴A'、O、M三点共线，

∴△A'MC'为直角三角形，

此时旋转角α=∠A'OA=120∘；

当A'和32.（23-24·江苏中考）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．

（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE=4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是___CE_____，d=（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4)，以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F【答案】CE，2图见解析（答案不唯一）0<r≤4【解析】（1）根据平移的性质，进行求解即可；

(2)延长AB，在射线AB上截取线段BE=AB，分别以B,C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接BE,DE，△EBD即为所求；

(3)分DE在圆内和圆外两种情况，进行求解即可．【解答】（1）解：∵B、C、D是线段AE的四等分点．AE=4，

∴AB=BC=CD=DE=1，

∴AC=BD=CE=2，

∴线段AC的平移图形是CE，d=2；

（2）解：如图所示，△EBD即为所求；

由作图可知：BE=CE=AB=AC,BC=BD=BE=CE，

∴四边形ABEC为菱形，

∴CE // AB，

∵BC=BD=CE，

∴四边形CBDE为菱形，（3）∵点D、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4)，

∴OD=OE=1,OG=4，

∵对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE=2<3，

∴DF≥3,EF≥3，

当DE在圆外，点F在y轴上DF=3，EF=3时，

∴FO=DF2-OD2=32-12=22，

（23-24·四川中考）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45∘，BD=3，CE=4，求DE的长．

解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90∘得到△ACD'，连接ED'．

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．

∵∠BAC=90∘，∠DAE=45∘，

∴∠BAD+∠EAC=45∘．

∵∠BAD=∠CAD'，

∴∠CAD'+∠EAC=45∘，即∠EAD'=45∘．

∴∠DAE=“②”处应填：___EC2“③”处应填：___5___．

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．

【知识迁移】

如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】

如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45∘．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】

如图5，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=4【答案】【问题解决】①△ADE≅△AD'E；②EC2+CD【解析】【问题解决】根据题中思路解答即可；

【知识迁移】如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90∘，得到△ADF'．过点D作DH⊥BD交边AF'于点H，连接NH．由旋转的特征得AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF'．结合题意得EF=DF+BE=DF+DF'=F'F．证明△AEF≅AF'F，得出∠EAF=∠F'AF．根据正方形性质得出∠ABD=∠ADB=45∘．结合DH⊥BD，得出∠ADH=∠HDB-∠ADB=45∘．证明△ABM≅△ADH，得出AM=AH,BM=DH．证明△AMN≅△AHN．得出MN=HN．在Rt△HND中，根据勾股定理即可求解；

【拓展应用】如图所示，设直线EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90∘，得到△AGH，连接HM,HE．则△ADF≅△AGH．则DF=GH,AG=AD,AF=AH，∠DAF=∠HAG，根据∠EAF=45∘，证明△AEH≅△AEF，得出EF=HE，过点H作HO⊥CB交CB于点O，过点H作HG⊥BM交BM于点M，则四边形OHGB为矩形．得出OH=BG,OB=HG，证明△BME,△DNF,△【解答】【问题解决】解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90∘得到△ACD'，连接ED'．

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．

∵∠BAC=90∘，∠DAE=45∘，

∴∠BAD+∠EAC=45∘．

∵∠BAD=∠CAD'，

∴∠CAD'+∠EAC=45∘，即∠EAD'=45∘．

∴∠DAE=∠D'AE．

在△DAE和△D'AE中，AD=AD'，∠DAE=∠D'AE，AE=AE，

∴①△ADE≅△AD'E．

∴DE=D'E．

又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90∘，

∴在Rt△ECD'中，②EC2+CD'2=ED'2．

∵CD'=BD=3，CE=4，

∴DE=D'E=32+42=5③．

【知识迁移】DN2+BM2=MN2．  

证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90∘，得到△ADF'．

过点D作DH⊥BD交边AF'于点H，连接NH．

由旋转的特征得AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF'．

由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE，

∴EF=DF+BE=DF+DF'=F'F．

在△AEF和△AF'F中，AE=AF',EF=F'F,AF=AF，

∴△AEF≅AF'F(SSS)．  

∴∠EAF=∠F'AF．

又∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ABD=∠ADB=45∘．

∵DH⊥BD，

∴∠ADH=∠HDB-∠ADB=45∘．

在△ABM和△ADH中，∠BAM=∠DAH,AB=AD,∠ABM=∠ADH，

∴△ABM≅△ADH(ASA)，

∴AM=AH,BM=DH．

在△AMN和△AHN中，AM=AH