2026中考第一轮复习数学第22课时：直线与圆的位置关系（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第22课时直线与圆的位置关系一、核心知识一、核心知识（一）直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，其判定与性质如下表所示：位置关系定义数量关系公共点个数性质备注相离直线与圆没有公共点dr个无公共点，直线上所有点都在圆心到直线的距离d与圆的半径r相切直线与圆有唯一公共点（该公共点为切点）dr个圆的切线垂直于半径；反之，过半径外端且半径的直线是圆的切线相交直线与圆有两个公共点dr个直线被圆截得的线段为弦，过圆心垂直于弦的直线平分弦（垂径定理）​圆心到直线的距离d：从圆心向直线作垂线，____________的长度（计算时常用勾股定理、面积法）就是圆心到直线的距离；切线的关键特征：“唯一公共点”“d=r”“垂直于过切点的半径”三者等价，是判定与性质的核心。（二）切线的判定与性质1.切线的判定定理定义判定：直线与圆有公共点，则直线是圆的切线（较少直接使用）；数量关系判定：圆心到直线的距离____________，则直线是圆的切线（计算型判定，需先求距离）；判定定理：经过__________且____________的直线是圆的切线（几何型判定，需证明“垂直”和“过半径外端”两个条件）。2.切线的性质定理基本性质：圆的切线____________（核心性质，常用来构造直角三角形）；推论1：经过圆心且垂直于切线的直线____________；推论2：经过切点且垂直于切线的直线____________。3.切线长定理定义：从圆外一点引圆的两条切线，这点到每条切线的长度叫做____________；定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点和圆心的连线____________（常用来证明线段相等、角相等）。（三）切线与三角形的综合（切线长、内心）1.三角形的内切圆与内心内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的____________，其圆心叫做三角形的____________；内心性质：内心是三角形三条____________的交点，到三角形三边的距离相等（距离等于内切圆半径r）；常见结论：设三角形三边长为a、b、c，周长为p，面积为S，则S=p(p-a)(p-b)(p直角三角形的内切圆半径r=a+b-c2（a、b为直角三角形两直角边，c为斜边）2.切线长与三角形的结合从三角形一个顶点引内切圆的两条切线，切线长相等；切线长可用来求三角形边长、角度，或证明线段、角的等量关系。二、核心能力二、核心能力题型1直线与圆的位置关系判定解题思路直接计算法：求出圆心到直线的距离d和圆的半径r，比较d与r的大小：d>r→相离；d=r→相切；d<r→相交；几何判定法：根据直线与圆的公共点个数或切线的判定条件间接判断；注意：计算d时，若直线与坐标轴平行/垂直，可直接用坐标差求距离；若为一般直线，可利用点到直线的距离公式d=Ax0+By0+CA2+B2题型2切线的判定与性质应用解题思路1.切线判定（重点）当直线与圆有明确公共点时：连接圆心与该公共点（构造半径），证明直线与这条半径垂直（“连半径，证垂直”）；当直线与圆无明确公共点时：过圆心向直线作垂线（构造距离d），证明垂线段长度等于半径（“作垂线，证半径”）；辅助线技巧：无论哪种情况，都需围绕“半径”和“垂直”构造图形，常用全等三角形、勾股定理、平行线性质证明垂直。2.切线性质应用已知切线，必连过切点的半径，构造直角三角形（“见切线，连半径，得直角”）；利用直角三角形的性质（勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形）求解线段长度、角度；结合切线长定理，证明线段相等、角相等，简化计算。题型3切线长定理与内心相关计算解题思路切线长定理应用：标记切点，利用“从圆外一点引圆的两条切线长相等”转化线段，将多边形周长转化为三角形边长（如：四边形的内切圆，对边和相等）；结合角平分线性质，证明角相等，或求角度（如：内心平分角，可求三角形内角的一半）。内心与内切圆半径计算：利用面积法求内切圆半径r=2SC​（S为三角形面积，C为周长），直角三角形优先用特殊公式r=a+b涉及内切圆与三角形边的切点，可设切线长为未知数，列方程求解边长。题型4直线与圆的综合计算（弦长、切线长、距离）解题思路弦长计算：利用垂径定理，构造“半径r、圆心到直线的距离d、弦长的一半l2l”组成的直角三角形，用勾股定理r2=d2+切线长计算：从圆外一点P引圆的两条切线，切点为A、B，则PA=PB，且OP垂直平分AB（O为圆心），构造直角三角形OPA，用勾股定理PA=OP2综合计算：结合三角形全等、相似、锐角三角函数，将直线与圆的位置关系转化为线段、角度的数量关系，多用到“直角三角形”“方程思想”。题型5直线与圆的动态问题（最值、存在性）解题思路最值问题：线段最值：利用“垂线段最短”（如：圆上一点到直线的最短距离为r−d，最长距离为r+d）；“两点之间线段最短”（如：圆外一点到圆上一点的最短距离为OP−r，最长距离为OP+r，P为圆外点）；面积最值：结合弦长、距离的最值，求解三角形或四边形的面积最值。存在性问题：假设存在满足条件的直线（如：切线、截得特定弦长的直线），根据直线与圆的位置关系列方程，判断方程是否有解（Δ≥0），有解则存在，无解则不存在。三、易错警示三、易错警示切线判定条件遗漏错误：只证明“直线垂直于半径”或“直线过半径外端”，忽略另一个条件；误将“与圆有一个公共点的直线是切线”用于无明确公共点的情况。提醒：切线的几何判定必须同时满足“过半径外端”和“垂直于半径”两个条件，缺一不可；无明确公共点时，需用“作垂线，证半径”的方法，不能仅凭“一个公共点”判定。圆心到直线的距离计算错误错误：计算距离时，未准确作出垂线段（如：将斜线段当作距离）；使用点到直线的距离公式时，代入坐标或公式记错。提醒：圆心到直线的距离是“垂线段的长度”，不是任意线段的长度；牢记点到直线的距离公式d=Ax切线长定理应用混淆错误：混淆“从圆外一点引圆的切线长”与“圆的弦长”；忽略切线长定理中“圆心与圆外点的连线平分切线夹角”的性质。提醒：切线长是“从圆外点到切点的线段长”，弦长是“直线与圆相交的两点间线段长”，二者定义不同；利用切线长定理时，可同步利用角平分线性质，简化角度计算。内心与外心性质混淆错误：将三角形内心（内切圆圆心，角平分线交点）与外心（外接圆圆心，垂直平分线交点）的性质混淆，如：误将内心到顶点的距离当作内切圆半径。提醒：内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径），外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）；直角三角形的内心在三角形内部，外心在斜边中点。动态问题中漏解或多解错误：解决直线与圆的动态问题时，未考虑直线的不同位置（如：切线的左右两侧）、点的不同位置（如：圆上点在直线的两侧），导致漏解；或未验证解的合理性，导致多解。提醒：动态问题需分类讨论，明确直线、点的运动范围，画出不同情况的图形；求解后需验证解是否符合题意（如：距离为正、边长为正），排除不合理的解。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·江苏模拟）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（A.2 B.5 C.6 D.82.（24-25·四川中考）PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点．点C在⊙O上，不与点A,B重合．若∠P=80∘，则∠A.50∘ B.100∘ C.130∘ D.3.（24-25·贵州模拟）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P=30∘，则∠A.30∘ B.45∘ C.604.（23-24·云南模拟）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（

）A.23 B.3 C.1 D.5.（22-23·内蒙古中考）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21A.8 B.4 C.3.5 D.36.（24-25·山东中考）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C=90∘,AB,BC,CA的长分别为c,a,b．则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（A.d=a+b-c B.C.d=2(c-7.（23-24·四川中考）如图,EA,ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=A.56∘ B.60∘ C.68∘8.（24-25·山东中考）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（

）

A.π B.2π C.3π9.（24-25·山东中考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB=12,OB=5，则下列结论正确的是（

）

A.FC=3 B.EF=12

C.当AB与⊙O相切时，EA=4 D.当OB⊥CD时，EA=AF

10.（24-25·浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC、BC．若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为

(

)A.33 B.4 C.5 D.11.（24-24·江苏模拟）如图，直线y=12x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3, 0)向以P为圆心，12AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为A.543 B.5 C.212.（24-25·四川模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，CD是AB边上的高，AB=4，若圆D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么圆D与直线ACA.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定13.（24-25·安徽模拟）如图，将抛物线y=34x2进行平移，使其经过点A-4,0和点O0,0，设平移后的顶点为B，连接OB，以O为圆心、OB的长为半径作圆，交抛物线y=34x2于点A.132π-3 B.13214.（24-25·四川模拟）如图，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDEA.1 B.5 C.3 D.215.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：

①∠AED+∠EAC+∠EDB=90∘，

②AP=FP，

③AE=102AO，

④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·达州模拟）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC=35∘，∠P=17.（24-25·江苏模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是___________．

18.（23-24·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y=3x的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为____________．（结果保留π19.（22-23·江苏中考）已知一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y=kx+2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为

．20.（22-23·江苏中考）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于

6步（注：“步”为长度单位）．

21.（23-24·四川中考）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为__________cm22.（22-23·江苏中考）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为

里．

23.（24-25·四川模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为_________645_________24.（22-23·内蒙古中考）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA,PB分别与AMB⌢所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm,∠P=60∘，则主视图的面积为____________cm25.（23-24·四川模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM=1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：

①HD=2BG；②∠GCH=45∘；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2-2．其中正确的结论有（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·山东模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，点E在DC（1）求证：DC是⊙O（2）若OAOD=23，27.（23-24·山东模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠（1）求证：EF与⊙O（2）若BF=1,sin∠AFE=428.（22-23·四川中考）如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E（1）求证：直线AC是⊙O（2）若点E为AO的中点，AD=3，求阴影部分的面积；（3）连接DE，若sin∠DBA=529.（24-25·广西模拟）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD（1）求证：AB为⊙O（2）若⊙O的半径为2，∠AOB=4530.（23-24·贵州中考）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB,AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作，DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD=BE,BD=AF（1）求证：PB是⊙O（2）若AP=4，sin∠C=231.（23-24·四川中考）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD=（1）求证：AE是⊙O（2）若PA=4，PD=2，求⊙O的半径和DE32.（24-25·山西模拟）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD=AD+BC．

（1）求证：CD与该半圆相切；（2）当半径r=2时，令AD=a，BC=b，m=22+a+22+b，（3）在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG=x，4AE⋅BE+1FG+CD=y33.（23-24·北京模拟）对于平面内的点K和点L，给出如下定义：

若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90∘，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角